江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A．30° B．60° C．45° D．120°2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A． B． C． D．3．在5張撲克牌中有3張“紅心”和2張“方塊”，如果不放回地依次抽取2張牌，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為A．625 B．310 C．34．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的值為A． B． C．或 D．或5．已知是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，，都有，且對(duì)于任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知集合，則A． B．C． D．R7．的展開(kāi)式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）A． B． C． D．8．若，，，則實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．2π＋2 B．4π＋2C．2π＋ D．4π＋10．若數(shù)列是等比數(shù)列，則“首項(xiàng)，且公比”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．非充分非必要條件11．對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，且f(0)＝2，則f(2015)＋f(2016)＝()A．0B．2C．3D．412．已知函數(shù)，則曲線在處的切線的傾斜角為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小為_(kāi)____．14．連續(xù)拋擲同一顆骰子3次，則3次擲得的點(diǎn)數(shù)之和為9的概率是____．15．已知函數(shù)為偶函數(shù)，對(duì)任意滿足，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．16．甲乙兩名選手進(jìn)行一場(chǎng)羽毛球比賽，采用三局二勝制，先勝兩局者贏得比賽，比賽隨即結(jié)束，已知任一局甲勝的概率為，若甲贏得比賽的概率為，則取得最大值時(shí)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；（2）若不論取何值，對(duì)任意恒成立，求的取值范圍。18．（12分）如圖，點(diǎn),,,分別為橢圓:的左、右頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)，已知當(dāng)直線軸時(shí)，.(1)求橢圓的離心率;(2)若當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)到橢圓的右準(zhǔn)線的距離為上.①求橢圓的方程;②求面積的最大值.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）設(shè)，，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．（12分）如圖，棱長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，且將沿折起，使得兩點(diǎn)重合于，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知點(diǎn)，經(jīng)矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下，變?yōu)辄c(diǎn).（1）求的值；（2）直線在對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€，求直線的方程.22．（10分）已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程根.(1)求的值；(2)復(fù)數(shù)滿足是實(shí)數(shù)，且，求復(fù)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

求導(dǎo)得：在點(diǎn)處的切線斜率即為導(dǎo)數(shù)值1.所以傾斜角為45°.故選C.2、D【解題分析】分析：分別判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可得到結(jié)論．詳解：A．函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件．B．y=﹣x2+1是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，不滿足條件．C.是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減，故不正確.D．y=|x|+1是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+1是增函數(shù)，滿足條件．故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3、D【解題分析】

因?yàn)槭遣环呕爻闃?，故在第一次抽到“紅心”時(shí)，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，根據(jù)隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式，即可計(jì)算第二次抽到“紅心”的概率．【題目詳解】因?yàn)槭遣环呕爻闃樱试诘谝淮纬榈健凹t心”的條件下，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，第二次抽取時(shí)，所有的基本事件有4個(gè)，符合“抽到紅心”的基本事件有2個(gè)，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為12故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題給出無(wú)放回抽樣模型，著重考查抽樣方法的理解和隨機(jī)事件的概率等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB為等腰直角三角形，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)與半徑R，可得出AB，求出AB的長(zhǎng)，圓心到直線y=﹣x+a的距離為AB的一半，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到實(shí)數(shù)a的值．詳解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，又圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑R=1，∴AB=.∴圓心到直線y=﹣x+a的距離d=AB==，∴|a|=1，∴a=±1．故答案為C．點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是直線和圓的位置關(guān)系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長(zhǎng)或者切線長(zhǎng)時(shí)，經(jīng)常用到垂徑定理和垂徑定理.5、B【解題分析】

由可判斷函數(shù)為減函數(shù)，將變形為，再將函數(shù)轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題即可【題目詳解】，又是定義在上的奇函數(shù)，為R上減函數(shù)，故可變形為，即，根據(jù)函數(shù)在R上為減函數(shù)可得，整理后得，在為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以在為增函數(shù)，為減函數(shù)在恒成立，即，當(dāng)時(shí)，有最小值所以答案選B【題目點(diǎn)撥】奇偶性與增減性結(jié)合考查函數(shù)性質(zhì)的題型重在根據(jù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化函數(shù)，學(xué)會(huì)去“”；本題還涉及恒成立問(wèn)題，一般通過(guò)分離參數(shù)，處理函數(shù)在某一區(qū)間恒成立問(wèn)題6、D【解題分析】

先解出集合與，再利用集合的并集運(yùn)算得出.【題目詳解】，，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的并集運(yùn)算，在計(jì)算無(wú)限數(shù)集時(shí)，可利用數(shù)軸來(lái)強(qiáng)化理解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】試題分析：由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.8、A【解題分析】

利用冪指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性，比較大小即可.【題目詳解】解：，，，∴，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，考查函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

試題分析：由三視圖知幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，上面是一個(gè)四棱錐，四棱錐的底面是一個(gè)正方形，對(duì)角線長(zhǎng)是，側(cè)棱長(zhǎng)，高是，下面是一個(gè)圓柱，圓柱的底面直徑是，高是，所以組合體的體積是，故選C.考點(diǎn)：幾何體的三視圖及體積的計(jì)算.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了幾何體的三視圖及其體積的計(jì)算，著重考查了推理和運(yùn)算能力及空間想象能力，屬于中檔試題，解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖的規(guī)則“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊”的原則，還原出原幾何體的形狀，本題的解答中根據(jù)三視圖得出上面一個(gè)四棱錐、下面是一個(gè)圓柱組成的組合體，得到幾何體的數(shù)量關(guān)系是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

證明由，可以得到數(shù)列單調(diào)遞增，而由數(shù)列單調(diào)遞增，不一定得到，，從而做出判斷，得到答案.【題目詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)，且公比，所以數(shù)列，且，所以得到數(shù)列單調(diào)遞增；因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，可以得到首項(xiàng)，且公比，也可以得到，且公比.所以“首項(xiàng)，且公比”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列為遞增數(shù)列的判定和性質(zhì)，考查充分不不必要條件，屬于簡(jiǎn)單題.11、B【解題分析】

根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，結(jié)合條件關(guān)系求出函數(shù)的周期，進(jìn)行轉(zhuǎn)化計(jì)算即可．【題目詳解】y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱，即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，令x=﹣1，則f（﹣1+2）﹣f（﹣1）=2f（1），即f（1）﹣f（1）=2f（1）=0，即f（1）=0，則f（x+2）﹣f（x）=2f（1）=0，即f（x+2）=f（x），則函數(shù)的周期是2，又f（0）=2，則f（2015）+f（2016）=f（1）+f（0）=0+2=2，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系判斷函數(shù)的周期性和奇偶性是解決本題的關(guān)鍵．12、B【解題分析】

求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由直線的斜率公式，可得所求傾斜角．【題目詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得在處的切線的斜率為，即，為傾斜角，可得．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，是解題的關(guān)鍵，屬于容易題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

連接，交于，連，可得是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，在直角三角形中可求得結(jié)果.【題目詳解】連接，交于，連，如圖所示：因?yàn)?，且在底面?nèi)的射影是，所以由三垂線定理可得，所以是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三垂線定理，考查了求二面角，關(guān)鍵是作出二面角的平面角，屬于基礎(chǔ)題.14、；【解題分析】

利用分步計(jì)數(shù)原理，連續(xù)拋擲同一顆骰子3次，則總共有：6×6×6=216種情況，再列出滿足條件的所有基本事件，利用古典概型的計(jì)算公式計(jì)算可得概率.【題目詳解】每一次拋擲骰子都有1，2，3，4，5，6，六種情況，由分步計(jì)數(shù)原理：連續(xù)拋擲同一顆骰子3次，則總共有：6×6×6=216種情況，則3次擲得的點(diǎn)數(shù)之和為9的基本事件為25種情況即：(1,2,6)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，(2,1,6)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，(3,1,5)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(3,5,1)，(4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，(6,1,2)，(6,2,1)，共25個(gè)基本事件，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查分步計(jì)數(shù)原理和古典概型概率計(jì)算，計(jì)數(shù)過(guò)程中如果前兩個(gè)數(shù)固定，則第三個(gè)數(shù)也相應(yīng)固定.15、【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)及解析式滿足的條件，可知的對(duì)稱軸和周期，并由時(shí)的解析式，畫出函數(shù)圖像；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得時(shí)的解析式，即可求得的臨界值，進(jìn)而確定的取值范圍.【題目詳解】函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，由可得函數(shù)為偶函數(shù)，對(duì)任意滿足，則函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的函數(shù)圖像如下圖所示：由圖像可知，根據(jù)函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱可知，若在時(shí)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足至少有個(gè)零點(diǎn)，即在時(shí)至少有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)與相切時(shí)，滿足有兩個(gè)交點(diǎn)；則，設(shè)切點(diǎn)為，則，解方程可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，所以滿足條件的的取值范圍為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，方程與函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的交點(diǎn)情況，數(shù)形結(jié)合法求參數(shù)的取值范圍，屬于難題.16、【解題分析】

利用表示出，從而將表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解出當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定最大值點(diǎn).【題目詳解】甲贏得比賽的概率：，令，則，令，解得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，取最大值，即取最大值本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)條件將表示為關(guān)于變量的函數(shù)，同時(shí)需要注意函數(shù)的定義域.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）首先判斷出為上的減函數(shù)，進(jìn)而可得其值域；（2）易知的最大值為2，原題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，根據(jù)分離參數(shù)思想可得任意恒成立，求出兩端最值即可.【題目詳解】解：（1）與在上均為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，的值域?yàn)椋?）易知的最大值為2.由題意可知，即對(duì)任意恒成立，即任意恒成立。設(shè)，，，，，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)值域的求法，不等式恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵，該題有一定難度.18、（1）（2）①②【解題分析】分析：（1）先求當(dāng)直線軸時(shí)，，再根據(jù)條件得，最后由解得離心率，（2）設(shè)直線為，，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，即得，令，利用基本不等式求最值，最后考慮特殊情形下三角形面積的值.詳解：解：（1）在中，令可得，所以所以當(dāng)直線軸時(shí)，又，所以所以，所以（2）①因?yàn)?，所以，橢圓方程為當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為又，所以此時(shí)直線為由得又，所以所以橢圓方程為②設(shè)直線為由得即，恒成立設(shè)，則，所以令，則且，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，即的面積的最大值為點(diǎn)睛：解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問(wèn)題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來(lái)使問(wèn)題得以解決.19、(1);(2)【解題分析】

(1)由絕對(duì)值不等式的解法可得解集；(2)由題意可得的最小值,運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得的最小值,再由一元二次不等式的解法可得所求范圍.【題目詳解】(1),可得或,解得或,即解集為.(2)，使得成立,即的最小值,由,當(dāng)且僅當(dāng)上式取得等號(hào),可得,解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查含有絕對(duì)值的不等式的解法,考查利用絕對(duì)值不等式解決能成立問(wèn)題中的最值,難度一般.20、（1）見(jiàn)證明（2）【解題分析】

（1）由平面可得，結(jié)合可得平面，故，又得出平面；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量，則為直線與平面所成角的正弦值．【題目詳解】（1）證明：在正方形中，，，∴，在的垂直平分線上，∴，∵，，，∴平面∴，又，，∴平面，∴，又，，∴底面．（2）解：如圖過(guò)點(diǎn)作與平行直線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，