2024屆上海市楊浦區(qū)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆上海市楊浦區(qū)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“若，則，都有成立”的逆否命題是（）A．有成立，則 B．有成立，則C．有成立，則 D．有成立，則2．某班班會準(zhǔn)備從含甲、乙的7人中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序有（）A．720種 B．520種 C．360種 D．600種3．與曲線相切于處的切線方程是（其中是自然對數(shù)的底）（）A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．5．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象如圖所示，為了得到g（x）＝Acosωx的圖象，只需把y＝f（x）的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度6．設(shè)在定義在上的偶函數(shù)，且，若在區(qū)間單調(diào)遞減，則（）A．在區(qū)間單調(diào)遞減 B．在區(qū)間單調(diào)遞增C．在區(qū)間單調(diào)遞減 D．在區(qū)間單調(diào)遞增7．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率為A． B． C． D．8．通過隨機(jī)詢問111名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表：

男

女

總計(jì)

愛好

41

21

31

不愛好

21

21

51

總計(jì)

31

51

111

由附表：

1．151

1．111

1．111

2．841

3．325

11．828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過1．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過1．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”9．在一組數(shù)據(jù)為，，…，（，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為，則所有的樣本點(diǎn)滿足的方程可以是（）A． B．C． D．10．五名應(yīng)屆畢業(yè)生報(bào)考三所高校,每人報(bào)且僅報(bào)一所院校,則不同的報(bào)名方法的種數(shù)是()A． B． C． D．11．半徑為2的球的表面積為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)（其中）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《中國詩詞大會》節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六場開場詩詞的排法有____種.（用數(shù)字作答）14．設(shè)每門高射炮命中飛機(jī)的概率為，且每一門高射炮是否命中飛機(jī)是獨(dú)立的，若有一敵機(jī)來犯，則需要______門高射炮射擊，才能以至少的概率命中它．15．不等式的解集是__________．16．平面向量a與b的夾角為45°，a=1,-1，→=1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（選修4-4.坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.18．（12分）在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：摸球方法：從袋中隨機(jī)摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢.（1）摸出的3個球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？?）摸出的3個球?yàn)?個黃球1個白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計(jì)）能賺多少錢？19．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，分別是的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）完成下列證明：（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求證：.21．（12分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝t，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz．（1）若t＝1，求異面直線AC1與A1B所成角的大小；（2）若t＝5，求直線AC1與平面A1BD所成角的正弦值；（3）若二面角A1—BD—C的大小為120°，求實(shí)數(shù)t的值.22．（10分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)逆否命題定義以及全稱命題否定求結(jié)果.【題目詳解】“若，則，都有成立”的逆否命題是:有成立，則,選D.【題目點(diǎn)撥】對全稱(存在性)命題進(jìn)行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進(jìn)行否定；②對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.2、D【解題分析】

分別計(jì)算甲乙只有一人參加、甲乙都參加兩種情況下的發(fā)言順序的種數(shù)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理加和求得結(jié)果.【題目詳解】甲、乙只有一人參加，則共有：C2甲、乙都參加，則共有：C5根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有：480+120=600種發(fā)言順序本題正確選項(xiàng)：D【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠通過分類的方式，分別計(jì)算兩類情況的種數(shù)，屬于常考題型.3、B【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，把代入導(dǎo)函數(shù)，可求出切線的斜率，根據(jù)的坐標(biāo)和直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程．【題目詳解】由可得，切線斜率，故切線方程是，即．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程，屬于簡單題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.4、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，再利用復(fù)數(shù)的除法與減法法則可求出復(fù)數(shù).【題目詳解】，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】

由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【題目詳解】根據(jù)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象，可得A＝1，，∴ω＝1．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得1×+φ＝π，求得φ＝，∴函數(shù)f（x）＝sin（1x+）．故把y＝f（x）的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，可得y＝sin（1x++）＝cos1x＝g（x）的圖象.故選B．【題目點(diǎn)撥】確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法：(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝；(1)求ω，確定函數(shù)的最小正周期T，則可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把圖象上的一個已知點(diǎn)代入(此時A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．②特殊點(diǎn)法：確定φ值時，往往以尋找“最值點(diǎn)”為突破口．具體如下：“最大值點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時ωx＋φ＝；“最小值點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時ωx＋φ＝.6、D【解題分析】

根據(jù)題設(shè)條件得到函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，同時關(guān)于對稱的偶函數(shù)，根據(jù)對稱性和周期性，即可求解．【題目詳解】由函數(shù)滿足，所以是周期為2的周期函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，可得單調(diào)遞減，所以B不正確；由函數(shù)在定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞減，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，所以A不正確；又由函數(shù)在定義在上的偶函數(shù)，則，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，在在區(qū)間單調(diào)遞增，所以C不正確，D正確，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的應(yīng)用，以及函數(shù)的周期性的判定，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】分析：先求出基本事件的總數(shù)，再求出恰好取到1件次品包含的基本事件個數(shù)，由此即可求出.詳解：含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取2件，基本事件的總數(shù)，恰好取到1件次品包含的基本事件個數(shù)，恰好取到1件次品的概率.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用.8、A【解題分析】

由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A9、A【解題分析】

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念即可作出判斷.【題目詳解】∵這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為，∴這一組數(shù)據(jù)，，…線性相關(guān)，且是負(fù)相關(guān)，∴可排除D，B，C，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了相關(guān)系數(shù)，考查了正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，考查了一組數(shù)據(jù)的完全相關(guān)性，是基礎(chǔ)的概念題．10、D【解題分析】由題意，每個人可以報(bào)任何一所院校，則結(jié)合乘法原理可得：不同的報(bào)名方法的種數(shù)是.本題選擇D選項(xiàng).11、D【解題分析】

根據(jù)球的表面積公式，可直接得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以該球的表面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查球的表面積，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)增減性與對數(shù)函數(shù)的增減性來進(jìn)行判斷求解【題目詳解】，為減函數(shù)，若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，與題不符，舍去若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，的定義域滿足，，因在區(qū)間上單調(diào)遞減，故有，所以答案選D【題目點(diǎn)撥】復(fù)合函數(shù)的增減性滿足同增異減，對于對數(shù)函數(shù)中底數(shù)不能確定的情況，需對底數(shù)進(jìn)行分類討論，再進(jìn)行求解二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

根據(jù)題意，分2步分析：①將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進(jìn)行全排列，②再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在3個空里（最后一個空不排），由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步分析：①將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進(jìn)行全排列，共有種排法，②再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在3個空里（最后一個空不排），有種排法，則后六場的排法有=1（種），故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】（1）本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常見解法有：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.14、【解題分析】

設(shè)需要門高射炮，由題意得出，解出的取值范圍，可得出正整數(shù)的最小值.【題目詳解】設(shè)需要門高射炮，則命不中的概率為，由題意得出，得，解得，而，因此，至少需要門高射炮.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件概率乘法公式的應(yīng)用，在涉及“至少”問題時，可以利用對立事件的概率公式來進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15、【解題分析】分析：把不等式化為同底的不等式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．詳解：原不等式可以化為，所以，故或者，不等式的解集為，填．點(diǎn)睛：一般地，對于不等式，（1）如果，則原不等式等價于；（2）如果，則原不等式等價于.16、10.【解題分析】

分析：先計(jì)算|a|，再利用向量模的公式求詳解：由題得|a所以a故答案為：10.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查向量的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本計(jì)算能力.(2)若a=(x,y)，則a三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）或或.【解題分析】試題分析：（1）寫普通方程，則只需消去參數(shù)和根據(jù)極坐標(biāo)變換公式即可輕松求得故曲線的普通方程為.直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題可知,所以聯(lián)立和得，代入韋達(dá)定理即得答案解析：（1），故曲線的普通方程為.直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）直線的參數(shù)方程可以寫為（為參數(shù)）.設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程可以得到，所以或，解得或或.18、（3）3．35；（4）3．45；（4）3433.【解題分析】

（3）先列舉出所有的事件共有43種結(jié)果，摸出的4個球?yàn)榘浊蛑挥幸环N結(jié)果，根據(jù)概率公式得到要求的概率，本題應(yīng)用列舉來解，是一個好方法；（4）先列舉出所有的事件共有43種結(jié)果，摸出的4個球?yàn)?個黃球4個白球從前面可以看出共有9種結(jié)果種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到要求的概率；（4）先列舉出所有的事件共有43種結(jié)果，根據(jù)摸得同一顏色的4個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的4個球，摸球者付給攤主3元錢，算一下摸出的球是同一色球的概率，估計(jì)出結(jié)果.【題目詳解】把4只黃色乒乓球標(biāo)記為A、B、C，4只白色的乒乓球標(biāo)記為3、4、4．從6個球中隨機(jī)摸出4個的基本事件為：ABC、AB3、AB4、AB4、AC3、AC4、AC4、A34、A34、A44、BC3、BC4、BC4、B34、B34、B44、C34、C34、C44、344，共43個.(3)事件E={摸出的4個球?yàn)榘浊騷，事件E包含的基本事件有3個，即摸出344號4個球，P（E）==3．35.(4)事件F={摸出的4個球?yàn)?個黃球3個白球}，事件F包含的基本事件有9個，P（F）==3．45.（4）事件G={摸出的4個球?yàn)橥活伾珆={摸出的4個球?yàn)榘浊蚧蛎龅?個球?yàn)辄S球}，P（G）==3．3，假定一天中有333人次摸獎，由摸出的4個球?yàn)橥活伾母怕士晒烙?jì)事件G發(fā)生有33次，不發(fā)生93次．則一天可賺，每月可賺3433元．考點(diǎn)：3．互斥事件的概率加法公式；4．概率的意義19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算直線對應(yīng)向量，根據(jù)向量夾角公式得到答案.（2）分別計(jì)算兩個平面的法向量，利用法向量的夾角計(jì)算二面角余弦值.【題目詳解】（1）如圖，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，,異面直線與所成角的余弦值為.（2）平面的一個法向量為．設(shè)平面的一個法向量為,由得,，不妨取則，,,二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，求異面直線夾角和二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【解題分析】

（Ⅰ）運(yùn)用分析法，兩邊平方，化簡配方即可得證；（Ⅱ）運(yùn)用變形和基本不等式，即可得證?！绢}目詳解】（I）要證：≥只需證：≥，即證：，即證：,即證：，即證：，這顯然成立，故.（II）依題意，因?yàn)椋?，故?dāng)且僅當(dāng)，即，即時等號成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的證明的方法——分析法和綜合法，意在考查學(xué)生運(yùn)用分析法和使用基本不等式時涉及到的變形能力，化簡能力以及推理能力。21、(1).(2).(3).【解題分析】分析：（1）先根據(jù)坐標(biāo)表示向量，，再利用向量數(shù)量積求向量夾角，即得異面直線與所成角，（2）先利用方程組解得平面的一個法向量，利用向量數(shù)量積得向量夾角余弦值，再