2024屆廣東省東莞中學(xué)松山湖學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆廣東省東莞中學(xué)松山湖學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．斐波那契螺旋線，也稱“黃金蜾旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列（1，1，2，3，5，8…）畫出來的螺旋曲線，由中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列奧納多?斐波那契最先提出．如圖，矩形ABCD是以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成的，在每個正方形中作一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分．在矩形ABCD內(nèi)任取一點，該點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．2．設(shè)方程的兩個根為，則（）A． B． C． D．3．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為()A． B．C． D．4．橢圓的左、右焦點分別為，弦過，若的內(nèi)切圓的周長為，兩點的坐標(biāo)分別為，，則（）A． B． C． D．5．某班級要從四名男生、兩名女生中選派四人參加某次社區(qū)服務(wù)，則所選的四人中至少有一名女生的選法為（）A． B． C． D．6．函數(shù)f(x)＝3sin(2x－)在區(qū)間[0，]上的值域為()A．[，] B．[，3]C．[，] D．[，3]7．（2017新課標(biāo)全國I理科）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．88．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部等于（）A．1 B．-1 C．2 D．-29．若拋物線,過其焦點的直線與拋物線交于兩點,則的最小值為()A．6 B． C．9 D．10．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度11．已知雙曲線的焦距為，其漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離為（）A．1 B． C．2 D．12．平面向量與的夾角為，則（）A．4 B．3 C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線上一個動點，定點，那么點到點的距離與點到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是__________．14．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部為______．15．如圖是一個算法流程圖，若輸入的值為2，則輸出的值為_______..16．已知集合，集合，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的普通方程為.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線和直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求.18．（12分）已知函數(shù)(為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與軸平行.（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）已知的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求展開式的二項式系數(shù)的和；(2)求展開式中含的項.20．（12分）（1）解不等式:（2）設(shè)，求證：21．（12分）已知橢圓：的離心率為，短軸長為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（1）若圓：的切線與曲線相交于、兩點，線段的中點為，求的最大值．22．（10分）甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立.求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；記為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)幾何概型的概率公式，分別求出陰影部分面積和矩形ABCD的面積，即可求得。【題目詳解】由已知可得：矩形的面積為，又陰影部分的面積為，即點取自陰影部分的概率為，故選?！绢}目點撥】本題主要考查面積型的幾何概型的概率求法。2、D【解題分析】

畫出方程左右兩邊所對應(yīng)的函數(shù)圖像，結(jié)合圖像可知答案?！绢}目詳解】畫出函數(shù)與的圖像，如圖結(jié)合圖像容易知道這兩個函數(shù)的圖像有兩個交點，交點的橫坐標(biāo)即為方程的兩個根，結(jié)合圖像可知，，根據(jù)是減函數(shù)可得，所以有圖像可知所以即，則，所以，而所以故選D【題目點撥】本題考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出圖像，利用圖像解答，屬于一般題。3、A【解題分析】

利用代入法，即可得到伸縮變換的曲線方程．【題目詳解】∵伸縮變換，∴xx′，yy′，代入曲線y＝sin2x可得y′＝3sinx′故選：A．【題目點撥】本題考查代入法求軌跡方程，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．4、A【解題分析】

設(shè)△ABF1的內(nèi)切圓的圓心為G．連接AG，BG，GF1．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則1πr=π，解得r=．可得==?|F1F1|，即可得出．【題目詳解】由橢圓=1，可得a=5，b=4，c==2．如圖所示，設(shè)△ABF1的內(nèi)切圓的圓心為G．連接AG，BG，GF1．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則1πr=π，解得r=．則==?|F1F1|，∴4a=|y1﹣y1|×1c，∴|y1﹣y1|==．故選C．【題目點撥】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義及其性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5、A【解題分析】所選的四人中至少有一名女生的選法為本題選擇A選項.6、B【解題分析】

分析：由，求出的取值范圍，從而求出的范圍，從而可得的值域.詳解：，，，，即在區(qū)間上的值域為，故選B.點睛：本題考查了求三角函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，意在考查解題時應(yīng)考慮三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于簡單題.7、C【解題分析】設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.點睛:求解等差數(shù)列基本量問題時，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.8、A【解題分析】由題設(shè)可得，則復(fù)數(shù)的虛部等于，應(yīng)選答案A。9、B【解題分析】分析：設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得出A，B兩點坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出關(guān)于A，B兩點坐標(biāo)的式子，使用基本不等式得出最小值.詳解：拋物線的焦點，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，則，，由拋物線的性質(zhì)得，.故選：B.點睛：本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.10、D【解題分析】因為把的圖象向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，所以，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象，向右平移個單位長度故選D.11、A【解題分析】

首先根據(jù)雙曲線的焦距得到，再求焦點到漸近線的距離即可.【題目詳解】由題知：，，.到直線的距離.故選：A【題目點撥】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，同時考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.12、C【解題分析】

根據(jù)條件，得出向量的坐標(biāo)，進行向量的和的計算，遂得到所求向量的模．【題目詳解】由題目條件，兩向量如圖所示：可知則答案為2.【題目點撥】本題考查了向量的坐標(biāo)和線性加法運算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義可知點到準(zhǔn)線的距離等于點的焦點的距離，設(shè)點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，所以，可得當(dāng)三點共線時，點到點的距離與點到準(zhǔn)線的距離之和最小，所以最小值為.點睛：本題主要考查了拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，解答中把拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到拋物線的焦點的距離是解答的關(guān)鍵，這是解答拋物線最值問題的一種常見轉(zhuǎn)化手段，著重考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.14、1【解題分析】

先將復(fù)數(shù)化簡，再求虛部即可【題目詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為：1故答案為1【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，在復(fù)數(shù)中，實部為，虛部為，屬于基礎(chǔ)題15、5【解題分析】

直接模擬程序即可得結(jié)論.【題目詳解】輸入的值為2，不滿足，所以，故答案是：5.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問題，涉及到的知識點有程序框圖的輸出結(jié)果的求解，屬于簡單題目.16、{3，4}．【解題分析】

利用交集的概念及運算可得結(jié)果.【題目詳解】，.【題目點撥】本題考查集合的運算，考查交集的概念與運算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，;(2).【解題分析】

（1）先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再化為極坐標(biāo)方程；根據(jù)直線過原點，即可得的極坐標(biāo)方程．（2）聯(lián)立直線的極坐標(biāo)方程與曲線的極坐標(biāo)方程，根據(jù)極徑的關(guān)系代入即可求得的值．【題目詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得曲線的普通方程為，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，即.因為直線過原點，且傾斜角為，所以直線的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)點，對應(yīng)的極徑分別為，，由，得，所以，，又，，所以.【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，利用極坐標(biāo)求線段和，屬于中檔題．18、（1）1；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【解題分析】試題分析：(1)利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)切線的關(guān)系得到關(guān)于實數(shù)k的方程，解方程可得k=1；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論對函數(shù)的解析式進行求導(dǎo)可得，研究分子部分，令，結(jié)合函數(shù)h(x)的性質(zhì)可得：的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）單調(diào)遞減區(qū)間是.試題解析：（1）由題意得又，故(2)由（1）知，設(shè)，則即在上是減函數(shù)，由知，當(dāng)時，，從而當(dāng)時，，從而綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）單調(diào)遞減區(qū)間是19、（1）；（2）【解題分析】

列出二項展開式的通項公式，利用前三項系數(shù)成等差可求得；（1）根據(jù)展開式二項式系數(shù)和的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）根據(jù)展開式通項公式可知，當(dāng)時為所求項，代入通項公式求得結(jié)果.【題目詳解】二項展開式的通項公式為：展開式前三項的系數(shù)依次為，，，整理可得：解得：（舍）或二項展開式的通項公式為：（1）二項展開式的二項式系數(shù)的和為：（2）令，解得：展開式中含的項為【題目點撥】本題考查組合數(shù)的運算、二項展開式二項式系數(shù)和的性質(zhì)、求指定項的問題，考查對于二項式定理的知識的掌握，屬于常規(guī)題型.20、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)零點分段法，分三段建立不等式組，解出各不等式組的解集，再求并集即可.（2）運用柯西不等式，直接可以證明不等式，注意考查等號成立的條件，.【題目詳解】（1）解：原不等式等價于或或即：或或故元不等式的解集為：（2）由柯西不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以【題目點撥】本題考查絕對值不等式得解法、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力.含絕對值不等式的解法：（1）定義法；即利用去掉絕對值再解（2）零點分段法：通常適用于含有兩個及兩個以上的絕對值符號的不等式；（3）平方法：通常適用于兩端均為非負實數(shù)時（比如）；（4）圖象法或數(shù)形結(jié)合法；21、（1）；（1）【解題分析】試題分析:(1)待定系數(shù)法求橢圓方程;(1)借助韋達定理表示的最大值,利用二次函數(shù)求最值.試題解析:（I），所以,又，解得．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（II）設(shè)，，，易知直線的斜率不為，則設(shè)．因為與圓相切，則，即；由消去，得，則，，，，即，，設(shè)，