2024屆貴州省銅仁市德江一中高二數學第二學期期末教學質量檢測試題含解析

2024屆貴州省銅仁市德江一中高二數學第二學期期末教學質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數在上單調遞減，且為奇函數，若，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若圓錐的高等于底面直徑，側面積為,則該圓錐的體積為A． B． C． D．3．若集合,則實數的取值范圍是()A． B．C． D．4．從5種主料中選2種，8種輔料中選3種來烹飪一道菜，烹飪方式有5種，那么最多可以烹飪出不同的菜的種數為A．18 B．200 C．2800 D．336005．設函數是奇函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．6．設集合，集合，則（）A． B． C． D．7．已知實數滿足則的最大值是()A．-2 B．-1 C．1 D．28．已知命題；命題若，則．則下列命題為真命題的是A． B．C． D．9．某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（）A． B． C． D．10．設，復數，則在復平面內的對應點一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．若向區(qū)域內投點，則該點落在由直線與曲線圍成區(qū)域內的概率為（）A． B． C． D．12．曲線在點處的切線與直線垂直，則點的坐標為（）A． B．或 C． D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數是偶函數，則實數的值為______.14．若，且，則稱集合是“兄弟集合”，在集合中的所有非空子集中任選一個集合，則該集合是“兄弟集合”的概率是__________15．已知一組數據為2，3，4，5，6，則這組數據的方差為______.16．中，，則邊上中線的長為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，，求數列的前項和.18．（12分）某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答.（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對理科題的概率均為，答對文科題的概率均為，若每題答對得10分，否則得零分.現該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分的分布列與數學期望.19．（12分）已知函數.（Ⅰ）當時，恒成立，試求實數的取值范圍；（Ⅱ）若的解集包含，求實數的取值范圍.20．（12分）在中國北京世界園藝博覽會期間，某工廠生產、、三種紀念品，每一種紀念品均有精品型和普通型兩種，某一天產量如下表：（單位：個）紀念品紀念品紀念品精品型普通型現采用分層抽樣的方法在這一天生產的紀念品中抽取個，其中種紀念品有個．（1）求的值；（2）從種精品型紀念品中抽取個，其某種指標的數據分別如下：、、、、，把這個數據看作一個總體，其均值為，方差為，求的值；（3）用分層抽樣的方法在種紀念品中抽取一個容量為的樣木，從樣本中任取個紀念品，求至少有個精品型紀念品的概率．21．（12分）已知函數，且曲線在點處的切線與直線垂直.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）求的解集.22．（10分）汽車尾氣中含有一氧化碳，碳氫化合物等污染物，是環(huán)境污染的主要因素之一，汽車在使用若干年之后排放的尾氣之中的污染物會出現遞增的現象，所以國家根據機動車使用和安全技術、排放檢驗狀況，對達到報廢標準的機動車實施強制報廢，某環(huán)境組織為了解公眾對機動車強制報廢標準的了解情況，隨機調查了人，所得數據制成如下列聯表：（1）若從這人中任選人，選到了解強制報廢標準的人的概率為，問是否在犯錯的概率不超過5﹪的前提下認為“機動車強制報廢標準是否了解與性別有關”？（2）該環(huán)保組織從相關部門獲得某型號汽車的使用年限與排放的尾氣中濃度的數據，并制成如圖所示的折線圖，若該型號汽車的使用年限不超過年，可近似認為排放的尾氣中濃度﹪與使用年限線性相關，確定與的回歸方程，并預測該型號的汽車使用年排放尾氣中的濃度是使用年的多少倍.附：，0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先由函數是奇函數求出，化原不等式為，再由函數的單調性，即可得出結果.【題目詳解】因為為奇函數，若，則，所以不等式可化為，又在上單調遞減，所以，解得.故選C【題目點撥】本題主要考查由函數的單調性與奇偶性解不等式，熟記函數基本性質即可，屬于?？碱}型.2、B【解題分析】

先設底面半徑，然后根據側面積計算出半徑，即可求解圓錐體積.【題目詳解】設圓錐的底面半徑為，則高為，母線長；又側面積，所以，所以，故選：B.【題目點撥】本題考查圓錐的側面積公式應用以及體積的求解，難度一般.圓錐的側面積公式：，其中是底面圓的半徑，是圓錐的母線長.3、D【解題分析】

本題需要考慮兩種情況，，通過二次函數性質以及即集合性質來確定實數的取值范圍?！绢}目詳解】設當時，，滿足題意當時，時二次函數因為所以恒大于0，即所以，解得?！绢}目點撥】本題考察的是集合和帶有未知數的函數的綜合題，需要對未知數進行分類討論。4、C【解題分析】

根據組合定義以及分布計數原理列式求解.【題目詳解】從5種主料中選2種，有種方法,從8種輔料中選3種，有種方法,根據分布計數原理得烹飪出不同的菜的種數為，選C.【題目點撥】求解排列、組合問題常用的解題方法：分布計數原理與分類計數原理，具體問題可使用對應方法：如(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.5、A【解題分析】

構造函數，首先判斷函數的奇偶性，利用可判斷時函數的單調性，結合函數圖象列不等式組可得結果.【題目詳解】設，則的導數為，因為時，，即成立，所以當時，恒大于零，當時，函數為增函數，又，函數為定義域上的偶函數，當時，函數為減函數，又函數的圖象性質類似如圖，數形結合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值范圍是故選：A.【題目點撥】本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，并由函數的奇偶性和單調性解不等式，屬于綜合題.聯系已知條件和結論，構造輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數.6、B【解題分析】

求解出集合，根據并集的定義求得結果.【題目詳解】本題正確選項：【題目點撥】本題考查集合運算中的并集運算，屬于基礎題.7、C【解題分析】作出可行域，如圖內部（含兩邊），作直線，向上平移直線，增加，當過點時，是最大值．故選C．8、B【解題分析】試題分析：顯然命題是真命題；命題若，則是假命題，所以是真命題，故為真命題.考點：命題的真假.9、B【解題分析】

解：根據題意，播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽即4次獨立重復事件恰好發(fā)生2次，由n次獨立重復事件恰好發(fā)生k次的概率的公式可得，故選B．10、C【解題分析】

在復平面內的對應點考查點橫縱坐標的正負,分情況討論即可.【題目詳解】由題得,在復平面內的對應點為.當,即時,二次函數取值范圍有正有負,故在復平面內的對應點可以在一二象限.當,即時,二次函數,故在復平面內的對應點可以在第四象限.故在復平面內的對應點一定不在第三象限.故選：C【題目點撥】本題主要考查了復平面的基本定義與根據參數范圍求解函數范圍的問題,屬于基礎題型.11、B【解題分析】區(qū)域是正方形，面積為，根據定積分定理可得直線與曲線圍成區(qū)域的面積為，根據幾何概型概率公式可得該點落在由直線與曲線圍成區(qū)域內的概率為，故選B．12、B【解題分析】試題分析：設，或，點的坐標為或考點：導數的幾何意義二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據偶函數的定義，先得到，化簡整理，得到，即可求出結果.【題目詳解】因為函數是偶函數，所以，即，即，整理得，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查由函數奇偶性求參數的問題，熟記偶函數的概念即可，屬于基礎題型.14、【解題分析】

首先確定非空子集的個數；根據“兄弟集合”的定義，可列舉出所有“兄弟集合”，根據古典概型概率公式求得結果.【題目詳解】集合的非空子集共有：個集合的非空子集中，為“兄弟集合”的有：，，，，，，，共個根據古典概型可知，所求概率本題正確結果：【題目點撥】本題考查古典概型概率問題的求解，關鍵是能夠根據“兄弟集合”的定義確定符合題意的集合個數.15、2【解題分析】分析：根據方差的計算公式，先算出數據的平均數，然后代入公式計算即可得到結果．詳解：平均數為：即答案為2.點睛：本題考查了方差的計算，解題的關鍵是方差的計算公式的識記．它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．16、【解題分析】

通過余弦定理可以求出的長，而，用余弦定理求出的表達式，代入上式可以直接求出的長．【題目詳解】由余弦定理可知：,設，由余弦定理可知：而，即解得，故邊上中線的長為．【題目點撥】本題考查了利用余弦定理求三角形中線長的問題．本題也可以應用中點三角形來求解，過程如下：延長至，使得,易證出,,由余弦定理可得：.．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：(1)由題意求得首項和公比，據此可得數列的通項公式為；(2)錯位相減可得數列的前項和.試題解析：（1）設數列的公比為，∵，，∴，∵，∴，∴，∴或，∵，∴，，∴；（2），，，，∴，∴.18、（1）；（2）的分布列為

【解題分析】試題解析:（1）記“該考生在第一次抽到理科題”為事件，“該考生第二次和第三次均抽到文科題”為事件，則所以該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率為（2）的可能取值為0，10，20，30，則所以的分布列為0102030所以，的數學期望19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）轉化條件得，根據恒成立問題的解決方法即可得解；（Ⅱ）轉化條件得對恒成立，根據的取值范圍分類討論去絕對值即可得解.【題目詳解】（Ⅰ）當時，，當且僅當時等號成立，.（Ⅱ）時，恒成立，對恒成立.當時，，解得：，當時，，解得：，綜上：.【題目點撥】本題考查了絕對值不等式的解法和絕對值三角不等式的應用，考查了恒成立問題的解決方法和分類討論思想，屬于中檔題.20、（1）；（2）；（3）．【解題分析】

（1）根據分層抽樣的原理建立關于的方程，解出即可；（2）先根據平均數建立關系式，然后根據方差建立關于、的等量關系，然后將用前面的關系式表示，即可求出的值；（3）設所抽樣本中有個精品型紀念品，則，求出，然后利用古典概型的概率公式求出事件“至少有個精品型紀念品”的概率.【題目詳解】（1）由題意可知，該工廠一天所生產的紀念品數為.現采用分層抽樣的方法在這一天生產的紀念品中抽取個，其中種紀念品有個，則，解得；（2）由題意可得，得.由于總體的方差為，則，可得，所以，；（3）設所抽取的樣本中有個精品型紀念品，則，解得，所以，容量為的樣本中，有個精品型紀念品，個普通型紀念品.因此，至少有個精品型紀念品的概率為.【題目點撥】本題考查分層抽樣、平均數與方差的計算，同時也考查了古典概型概率的計算，考查計算能力，屬于中等題.21、（1）在為增函數；（2）【解題分析】

（1）首先求出的導數，并且求出時的斜率，根據點處的切線與直線垂直即可求出，再對求二階導數即可判斷的單調區(qū)間。（2）根據（1）的結果轉化成求的問題，利用單調性求解即可?！绢}目詳解】（1）曲線在點處的切線與直線垂直.令當時為增函數，當時為減函數。所以所以，所以在為增函數（2）令，因為在為增函數，所以在為增函數因為，所以不等式的解集為【題目點撥】本題主要考查了根據導數判斷函數的單調性以及兩條直角垂直時斜率的關系。在解決導數問題時通常需要取一些特殊值進行判斷。屬于難題。22、（1）可以在犯錯的概率不超過5﹪的前提下認為“機動車強制報廢標準是否了解與性別有關”（2）；預測該型號的汽車使用12年排放尾氣中的濃度是使用4年的4.2倍.【解題分析】

（1）根據題意計算，再利用，計算出，對照臨界值得出結論；（2）由公式計算出，可得y關于t的回歸方程，把t=12代入回歸方程中，可預測該型號的汽車使用12年排放尾氣中的濃度，即得?！绢}目詳解】（