2024屆安徽省阜陽市潁州區(qū)阜陽三中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆安徽省阜陽市潁州區(qū)阜陽三中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，若q＝2，且a2與2a4的等差中項為18，則S5＝()A．－62 B．62 C．32 D．－322．如圖，在三棱錐中，面，是上兩個三等分點，記二面角的平面角為，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值3．若(3x-1x)A．-5B．5C．-405D．4054．已知命題“，使得”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，命題：總存在，有；命題：若函數(shù)在區(qū)間上有，則是的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要6．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則對任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．7．已知隨機(jī)變量的概率分布如下表，則（）A． B． C． D．8．已知集合，，，則圖中陰影部分表示的集合為A．1， B． C． D．9．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是（）．A． B． C． D．11．設(shè)全集為R，集合，，則A． B． C． D．12．若正項等比數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項和是()A． B．25 C． D．150二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的弦的中點的橫坐標(biāo)為2，則的最大值為__________．14．已知向量滿足，，，若對每一確定的，最大值和最小值分別為，則對任意，的最小值是_____.15．某種飲料每箱裝6聽，若其中有2聽不合格，質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽出2聽，則含有不合格品的概率為________.16．已知，則展開式中的系數(shù)為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生細(xì)心程度的關(guān)系，在本校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明：在數(shù)學(xué)成績及格的60名學(xué)生中有45人比較細(xì)心，另外15人比較粗心；在數(shù)學(xué)成績不及格的40名學(xué)生中有10人比較細(xì)心，另外30人比較粗心.（I）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表：（II）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與細(xì)心程度有關(guān)系？0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中.18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+2a，且不等式f（x）≤4的解集為{x|﹣1≤x≤3}．（1）求實數(shù)a的值．（2）若存在實數(shù)x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，求實數(shù)m的取值范圍．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，）(1)求曲線和直線的普通方程；

(2)設(shè)直線和曲線交于兩點，求的值.20．（12分）已知數(shù)列，其前項和為；（1）計算；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.21．（12分）已知函數(shù)，（其中,為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若分別是的極大值點和極小值點，且，求證：.22．（10分）盒中裝有7個零件，其中2個是使用過的，另外5個未經(jīng)使用.（1）從盒中每次隨機(jī)抽取1個零件，每次觀察后都將零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率；（2）從盒中隨機(jī)抽取2個零件，使用后放回盒中，記此時盒中使用過的零件個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先根據(jù)a2與2a4的等差中項為18求出，再利用等比數(shù)列的前n項和求S5.【題目詳解】因為a2與2a4的等差中項為18，所以，所以.故答案為：B【題目點撥】(1)本題主要考查等比數(shù)列的通項和前n項和，考查等差中項，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)等比數(shù)列的前項和公式：.2、B【解題分析】

將三棱錐放入長方體中，設(shè)，，，計算，，則，得到答案.【題目詳解】將三棱錐放入長方體中，設(shè)，，，如圖所示：過作平面與，與，連接，則為二面角的平面角，設(shè)為，則，，故.同理可得：設(shè)二面角的平面角為，.，當(dāng)，即時等號成立.故選：.【題目點撥】本題考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力.3、C【解題分析】由題設(shè)可得2n=32?n=5，則通項公式Tr+1=C5r4、C【解題分析】

利用二次函數(shù)與二次不等式的關(guān)系，可得函數(shù)的判別式，從而得到.【題目詳解】由題意知，二次函數(shù)的圖象恒在軸上方，所以，解得：，故選C.【題目點撥】本題考查利用全稱命題為真命題，求參數(shù)的取值范圍，注意利用函數(shù)思想求解不等式.5、C【解題分析】

利用充分、必要條件的定義及零點存在性定理即可作出判斷.【題目詳解】命題推不出命題q，所以充分性不具備；比如：，區(qū)間為，滿足命題p，但，根據(jù)零點存在性定理可知，命題能推出命題p，所以必要性具備；故選：C【題目點撥】本題考查充分必要條件，考查零點存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

，可得在上是偶函數(shù).函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：，在上是偶函數(shù).函數(shù)，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，.故選：A.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性，不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.7、C【解題分析】由分布列的性質(zhì)可得：，故選C.8、B【解題分析】

圖中陰影部分表示的集合為，解出集合，再進(jìn)行集合運算即可【題目詳解】圖中陰影部分表示的集合為故選【題目點撥】本題主要考查了圖表達(dá)集合的關(guān)系及交、并、補(bǔ)的運算，注意集合的限制條件．9、A【解題分析】令g(x)=t,則方程f(t)=λ的解有3個，由圖象可得，0<λ<1.且三個解分別為，則，，均有兩個不相等的實根，則△1>0,且△2>0,且△3>0，即16?4(2+5λ)>0且16?4(2+3λ)>0,解得，當(dāng)0<λ<時,△3=16?4(1+4λ?)>0即3?4λ+>0恒成立，故λ的取值范圍為(0,).故選D.點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解．本題中在結(jié)合函數(shù)圖象分析得基礎(chǔ)上還用到了方程根的分布的有關(guān)知識．10、C【解題分析】

利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為4求得．【題目詳解】解：對于，對于10﹣3r＝4，∴r＝2，則x4的項的系數(shù)是C52（﹣1）2＝10故選．點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應(yīng)用.11、B【解題分析】分析：由題意首先求得，然后進(jìn)行交集運算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補(bǔ)集的運算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12、C【解題分析】

設(shè)正項等比數(shù)列的首項為,公比為,由已知列式求得首項與公比,可得數(shù)列的通項公式，代入求得數(shù)列的通項公式,可得數(shù)列是以2為首項,以為公差的等差數(shù)列,再由等差數(shù)列的前項和公式求解．【題目詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的首項為,公比為,由,,得:,解得,則數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列,則.故選:C.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式,考查等差數(shù)列的求和公式,難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】利用拋物線的定義可知，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由圖可知|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤1，當(dāng)AB過焦點F時取最大值為1．14、【解題分析】

分別令、、，根據(jù)已知條件判斷出A、B、C三點的位置關(guān)系，及的幾何意義，進(jìn)而得到答案.【題目詳解】因為，所以令（為坐標(biāo)原點），則點必在單位圓上因為，所以令，則點必在線段的中垂線上令，因為，所以點在以線段為直徑的圓上所以可得就是圓的直徑顯然，當(dāng)點在線段的中點時，取最小值故答案為：【題目點撥】本題考查的是平面向量的運算及圓中的最值問題，屬于較難題，解題的關(guān)鍵是找出每個式子的幾何意義.15、【解題分析】

含有不合格品分為兩類：一件不合格和兩件不合格，分別利用組合公式即可得到答案.【題目詳解】質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽出2聽共有種可能，而其中含有不合格品共有種可能，于是概率為：.【題目點撥】本題主要考查超幾何分布的相關(guān)計算，難度不大.16、448.【解題分析】由題意可得：,則展開式的通項公式為：，令可得：,則的系數(shù)為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）列聯(lián)表見解析；（II）能.【解題分析】

（I）根據(jù)題意填寫2×2列聯(lián)表即可；（II）根據(jù)2×2列聯(lián)表求得K2的觀測值，對照臨界值表即可得出結(jié)論．【題目詳解】（I）填寫的列聯(lián)表如下：（II）根據(jù)列聯(lián)表可以求得的觀測值，所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與細(xì)心程度有關(guān)系.【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．18、（1）a＝1（2）（﹣∞，]∪[1，+∞）【解題分析】

（1）解不等式f（x）≤4，根據(jù)其解集，得到的值；（2）將所求不等式轉(zhuǎn)化為5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min，得到f（x）+f（﹣x）的最小值，從而得到關(guān)于的不等式，解出的取值范圍.【題目詳解】（1）由f（x）＝|x﹣a|+2a≤4，得2a﹣4≤x﹣a≤﹣2a+4，∴3a﹣4≤x≤﹣a+4，∵不等式f（x）≤4的解集為{x|﹣1≤x≤3}，∴，∴a＝1；（2）由（1）知f（x）＝|x﹣1|+2，∵存在實數(shù)x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，∴只需5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min∵f（x）+f（﹣x）＝|x﹣1|+|x+1|+4≥|（x﹣1）﹣（x+1）|+4＝6，當(dāng)且僅當(dāng)（x﹣1）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤1時取等號，∴5m2+m≥6，∴或m≥1，∴m的取值范圍為（﹣∞，]∪[1，+∞）．【題目點撥】本題考查解絕對值不等式，絕對值不等式的恒成立問題，屬于中檔題.19、（1），（2）【解題分析】【試題分析】（1）先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，運用消參法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）由于曲線是圓心，半徑是，先求圓心到直線的距離是，再運用弦心距、半徑、弦長之間的關(guān)系求出．解：（1）曲線的極坐標(biāo)方程可以化為：，所以曲線的普通方程是：即，直線的普通方程是，即；（2）圓心到直線的距離是，所以．20、（1）；（2），證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)已知條件，計算出的值；（2）由（1）猜想，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明方法，對猜想進(jìn)行證明.【題目詳解】（1）計算，，，（2）猜想.證明：①當(dāng)時，左邊，右邊，猜想成立.②假設(shè)猜想成立.即成立，那么當(dāng)時，，而，故當(dāng)時，猜想也成立.由①②可知，對于，猜想都成立.【題目點撥】本小題主要考查合情推理，考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明和數(shù)列有關(guān)問題，屬于中檔題.21、(1)見解析；(2)證明見解析【解題分析】

（1）討論，和三種情況，分別計算得到答案.（2）根據(jù)題意知等價于，設(shè)，計算得到使，計算得到得到證明.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；時，，①時，由解得或；由解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是②時，由解得；由解得或，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；綜上所述：時，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；時，單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；時，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；（2）由已知和（1）得，當(dāng)時滿足題意，此時，，令，則.令則恒成立，在上單調(diào)遞增，使，即從而當(dāng)時，