2024屆江蘇省馬壩中學數學高二第二學期期末檢測試題含解析

2024屆江蘇省馬壩中學數學高二第二學期期末檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數A． B． C． D．2．中國古代數學的瑰寶——《九章算術》中涉及到一種非常獨特的幾何體——鱉擩，它是指四面皆為直角三角形的四面體.現有四面體為一個鱉擩，已知平面，，若該鱉擩的每個頂點都在球的表面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．3．如圖，已知電路中4個開關閉合的概率都是，且是互相獨立的，燈亮的概率為（）A． B． C． D．4．在區(qū)間上任取兩個實數a，b，則函數無零點的概率為（）A． B． C． D．5．已知，，，若、、三向量共面，則實數等于（）A． B． C． D．6．某軍工企業(yè)為某種型號的新式步槍生產了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態(tài)分布，從已經生產出的槍管中隨機取出一只，則其口徑誤差在區(qū)間內的概率為（）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，）A． B． C． D．7．兩個線性相關變量x與y的統(tǒng)計數據如表：x99.51010.511y1110865其回歸直線方程是，則相對應于點（11，5）的殘差為（）A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.28．設是偶函數的導函數，當時，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．9．在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．10．設，則=A．2 B． C． D．111．“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知空間三條直線若與異面,且與異面,則（）A．與異面. B．與相交.C．與平行. D．與異面、相交、平行均有可能.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將10個志愿者名額分配給4個學校，要求每校至少有一個名額，則不同的名額分配方法共有______種.用數字作答14．已知函數且，則____．15．對于實數、，“若，則或”為________命題（填“真”、“假”）16．正四棱柱的底面邊長為2，若與底面ABCD所成角為60°，則和底面ABCD的距離是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，．（1）令，當時，求實數的取值范圍；（2）令的值域為，求實數的取值范圍；（3）已知函數在，數集上都有定義，對任意的，當時或成立，則稱是數集上的限制函數；令函數，求其在上的限制函數的解析式，并求在上的單調區(qū)間．18．（12分）對某班50名學生的數學成績和對數學的興趣進行了調查，統(tǒng)計數據如下表所示：對數學感興趣對數學不感興趣合計數學成績好17825數學成績一般52025合計222850（1）試運用獨立性檢驗的思想方法分析：學生學習數學的興趣與數學成績是否有關系，并說明理由．（2）從數學成績好的同學中抽取4人繼續(xù)調查，設對數學感興趣的人數為，求的分布列和數學期望．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828．19．（12分）已知橢圓C：與圓M：的一個公共點為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點M的直線l與橢圓C交于A、B兩點，且A是線段MB的中點，求的面積．20．（12分）已知函數．（1）求的單調區(qū)間和極值；（2）若直線是函數圖象的一條切線，求的值．21．（12分）若展開式中第二、三、四項的二項式系數成等差數列.（1）求的值及展開式中二項式系數最大的項；（2）此展開式中是否有常數項，為什么？22．（10分）如果，求實數的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】，故選D.2、B【解題分析】分析：把此四面體放入長方體中，BC，CD，AB剛好是長方體的長、寬、高，算出長方體體對角線即可.詳解：把此四面體放入長方體中，BC，CD，AB剛好是長方體的長、寬、高，則，，故.故選：B.點睛：本題主要考查了轉化與化歸思想的運用.3、C【解題分析】

燈泡不亮包括四個開關都開，或下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件是相互獨立的，根據概率公式得到結果．【題目詳解】由題意知，本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，燈泡不亮包括四個開關都開，或下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件是相互獨立的，燈泡不亮的概率是，燈亮和燈不亮是兩個對立事件，燈亮的概率是，故選：．【題目點撥】本題結合物理的電路考查了有關概率的知識，考查對立事件的概率和項和對立事件的概率，本題解題的關鍵是看出事件之間的關系，燈亮的情況比較多，需要從反面來考慮，屬于中檔題．4、D【解題分析】

在區(qū)間上任取兩個實數a，b，其對應的數對構成的區(qū)域為正方形，所求事件構成的區(qū)域為梯形區(qū)域，利用面積比求得概率.【題目詳解】因為函數無零點，所以，因為，所以，則事件函數無零點構成的區(qū)域為梯形，在區(qū)間上任取兩個實數a，b所對應的點構成的區(qū)域為正方形，所以函數無零點的概率.【題目點撥】本題考查幾何概型計算概率，考查利用面積比求概率，注意所有基本事件構成的區(qū)域和事件所含基本事件構成的區(qū)域.5、C【解題分析】

由題知，、、三個向量共面,則存在常數，使得，由此能求出結果.【題目詳解】因為，，，且、、三個向量共面,所以存在使得.所以，所以，解得.故選:C.【題目點撥】本題主要考查空間向量共面定理求參數，還運用到向量的坐標運算.6、C【解題分析】

根據已知可得，結合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.【題目詳解】.故選：C【題目點撥】本題考查正態(tài)分布中兩個量和的應用，以及正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題.7、B【解題分析】

求出樣本中心，代入回歸直線的方程，求得，得出回歸直線的方程，令，解得，進而求解相應點的殘差，得到答案.【題目詳解】由題意，根據表中的數據，可得，把樣本中心代入回歸方程，即，解得，即回歸直線的方程為，令，解得，所以相應點的殘差為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解及應用，其中解答中正確求解回歸直線的方程，利用回歸直線的方程得出預測值是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.8、B【解題分析】

設，計算，變換得到，根據函數的單調性和奇偶性得到，解得答案.【題目詳解】由題意，得，進而得到，令，則，，.由，得，即.當時，，在上是增函數.函數是偶函數，也是偶函數，且在上是減函數，，解得，又，即，.故選：.【題目點撥】本題考查了利用函數的奇偶性和單調性解不等式，構造函數，確定其單調性和奇偶性是解題的關鍵.9、D【解題分析】

取的中點為，由二面角平面角的定義可知；根據球的性質可知若和中心分別為，則平面，平面，根據已知的長度關系可求得，在直角三角形中利用勾股定理可求得球的半徑，代入球的表面積公式可得結果.【題目詳解】取的中點為由和都是正三角形，得，則是二面角的平面角，即設球心為，和中心分別為由球的性質可知：平面，平面又，，外接球半徑：外接球的表面積為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，關鍵是能夠利用球的性質確定球心的大致位置，從而可利用勾股定理求解出球的半徑.10、C【解題分析】

先由復數的除法運算（分母實數化），求得，再求．【題目詳解】因為，所以，所以，故選C．【題目點撥】本題主要考查復數的乘法運算，復數模的計算．本題也可以運用復數模的運算性質直接求解．11、B【解題分析】

根據不等式的性質結合充分條件和必要條件的定義即可得到結論．【題目詳解】由可得或，所以若可得，反之不成立，是的必要不充分條件故選B【題目點撥】命題：若則是真命題，則是的充分條件，是的必要條件12、D【解題分析】解：∵空間三條直線l、m、n．若l與m異面，且l與n異面，∵m與n可能異面（如圖3），也可能平行（圖1），也可能相交（圖2），故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、84【解題分析】

根據題意，用隔板法分析：先將將10個名額排成一列，在空位中插入3個隔板，由組合數公式計算即可得答案.【題目詳解】根據題意，將10個名額排成一列，排好后，除去2端，有9個空位，在9個空位中插入3個隔板，可將10個名額分成4組，依次對應4個學校，則有種分配方法，故答案為：84.【題目點撥】本題考查組合數公式的應用，注意10個名額之間是相同的，運用隔板法求解，屬于基礎題.14、【解題分析】

分別令和代入函數解析式，對比后求得的值.【題目詳解】依題意①，②，由①得，代入②得.故填-2【題目點撥】本小題主要考查函數求值，考查對數運算，考查分子有理化，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、真【解題分析】

按反證法證明.【題目詳解】假設命題的結論不正確，，那么結論的否定且正確，若且，則這與已知矛盾，原命題是真命題，即“若，則或”為真命題.故答案為：真【題目點撥】本題考查判斷命題的真假，意在考查推理與證明，屬于基礎題型.16、.【解題分析】分析：確定A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高，即可求得結論．詳解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∵A1C1?平面A1B1C1D1，∴A1C1∥平面ABCD∴A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為2，AC1與底面ABCD成60°角，∴A1A=2tan60°=故答案為．點睛：本題考查線面距離，確定A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高是解題的關鍵．如果直線和已知的平面是平行的，可以將直線和平面的距離，轉化為直線上一點到平面的距離.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）增區(qū)間為在【解題分析】

（1）由分段函數求值問題，討論落在哪一段中，再根據函數值即可得實數的取值范圍；（2）由分段函數值域問題，由函數的值域可得，再求出實數的取值范圍；（3）先閱讀題意，再由導數的幾何意義求得，再利用導數研究函數的單調性即可.【題目詳解】解:（1）由,且時，當時,有時,,與題設矛盾,當時,有時,,與題設相符,故實數的取值范圍為:;（2）當，，因為，所以，即，當，，因為，所以，即，又由題意有，所以，故實數的取值范圍為；（3）由的導函數為，由導數的幾何意義可得函數在任一點處的導數即為曲線在這一點處切線的斜率，由限制函數的定義可知，由，即函數在為增函數，故函數在為增函數.【題目點撥】本題考查了分段函數求值問題、分段函數值域問題及導數的幾何意義，重點考查了閱讀理解能力，屬中檔題.18、（1）有99.9%的把握認為有關系，理由詳見解析；（2）分布列詳見解析，數學期望為2.72【解題分析】

根據表中數據計算觀測值，對照臨界值得出結論；

由題意知隨機變量X的可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列和數學期望值．【題目詳解】（1）．因為，所以有99.9%的把握認為有關系．（2）由題意知，的取值為0，1，2，3，1．因為，．所以，分布列為01231所以，．【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列應用問題，是中檔題．19、(1)；(2)【解題分析】

（1）將公共點代入橢圓和圓方程可得a，b，進而得到所求橢圓方程；（2）設過點M（0，﹣2）的直線l的方程為y＝kx﹣2，聯(lián)立橢圓方程，運用韋達定理，以及三角形的面積公式可得所求值．【題目詳解】（1）由題意可得1，（b2﹣1）2，解得a2＝3，b2＝2，則橢圓方程為1；（2）設過點M（0，﹣2）的直線l的方程為y＝kx﹣2，聯(lián)立橢圓方程2x2+3y2＝6，可得（2+3k2）x2﹣12kx+6＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2，x1x2，A是線段MB的中點，可得x2＝2x1，解得k2，x12，可得△OAB的面積為?2?|x1﹣x2|＝|x1|．【題目點撥】本題考查了橢圓方程的求解，考查了直線與圓錐曲線位置關系，其中聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，運用韋達定理，是解題的常用方法．20、（1）極小值為，極大值為；（2）或【解題分析】

(1)直接利用導數求函數f(x)的單調區(qū)間和極值.(2)設切點為，再根據求得，再求b的值.【題目詳解】(1)因為令=0，得，解得=或=1．1-0+0-↘極小值↗極大值↘所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，極小值為，極大值為．（2）因為，直線是的切線，設切點為，則，解得，當時，，代入直線方程得，當時，，代入直線方程得．所以或.【題目點撥】(1)本題主要考查利用導數求函數的單調區(qū)間和極值，考查利用導數求曲線的切線方程，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與曲線的切線方程有關的問題，如果不知道切點，一般設切點坐標，再解答.21、（1）第四項為第五項為.（2）無常數項.【解題分析】分析:(1)先根據題意得到，解方程即得n=7.二項式系數最大的項為第四項和第五項，求第四項和第五項的二項式系數即得解.(2)假設展開式中有常數項，求出r的值，如果r有正整數解，則有，否則就