遼寧省重點(diǎn)協(xié)作校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

遼寧省重點(diǎn)協(xié)作校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，表示三個(gè)開(kāi)關(guān)，設(shè)在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率分別是0.9、0.8、0.7，那么該系統(tǒng)正常工作的概率是（）．A．0.994 B．0.686 C．0.504 D．0.4962．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．4．下面推理過(guò)程中使用了類(lèi)比推理方法，其中推理正確的是（）A．平面內(nèi)的三條直線(xiàn)a,b,c，若a⊥c,b⊥c，則a//b.類(lèi)比推出：空間中的三條直線(xiàn)a,b,c，若a⊥c,b⊥c，則a//bB．平面內(nèi)的三條直線(xiàn)a,b,c，若a//c,b//c，則a//b.類(lèi)比推出：空間中的三條向量a,b,cC．在平面內(nèi)，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為12，則它們的面積比為14.類(lèi)比推出：在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1D．若a,b,c,d∈R，則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d.類(lèi)比推理：“若a,b,c,d∈Q，則a+b25．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．6．已知為兩個(gè)不同平面，為直線(xiàn)且，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．把圓x2+(y-2)A．線(xiàn)段 B．等邊三角形C．直角三角形 D．四邊形8．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．9．設(shè)，則A． B． C． D．10．若函數(shù)，則（）A．1 B． C．27 D．11．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上（）A．增加一項(xiàng) B．增加項(xiàng)C．增加項(xiàng) D．增加項(xiàng)12．函數(shù)（，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一場(chǎng)晚會(huì)共有7個(gè)節(jié)目，要求第一個(gè)節(jié)目不能排，節(jié)目必須排在前4個(gè)，節(jié)目必須排在后3個(gè)，則有_______種不同的排法（用數(shù)字作答）.14．在長(zhǎng)方體中，若，，則異面直線(xiàn)與所成角的大小為_(kāi)_____.15．若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_____．16．若角滿(mǎn)足，則＝_____；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，,前n項(xiàng)和為．等比數(shù)列中，，且,．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求．18．（12分）已知平行四邊形中，，，，是邊上的點(diǎn)，且，若與交于點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求.19．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若對(duì)于一切，均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，已知橢圓與橢圓的離心率相同．（1）求的值；（2）過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)作直線(xiàn)，交橢圓于另一點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)在之間）．①求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；②設(shè)的中點(diǎn)為，橢圓的右頂點(diǎn)為，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，試探究點(diǎn)是否在某一條定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，若是，求出該直線(xiàn)方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（12分）設(shè)等差數(shù)列的公差為d、前n項(xiàng)和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．22．（10分）有6本不同的書(shū):(1)全部借給5人,每人至少1本,共有多少種不同的借法?(2)全部借給3人,每人至少1本,共有多少種不同的借法?

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由題中意思可知，當(dāng)、元件至少有一個(gè)在工作，且元件在工作時(shí)，該系統(tǒng)正常公式，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率．【題目詳解】由題意可知，該系統(tǒng)正常工作時(shí)，、元件至少有一個(gè)在工作，且元件在元件，當(dāng)、元件至少有一個(gè)在工作時(shí)，其概率為，由獨(dú)立事件的概率乘法公式可知，該系統(tǒng)正常工作的概率為，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式，解題時(shí)要弄清楚各事件之間的關(guān)系，在處理至少等問(wèn)題時(shí)，可利用對(duì)立事件的概率來(lái)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題．2、A【解題分析】

首先解這兩個(gè)不等式，然后判斷由題設(shè)能不能推出結(jié)論和由結(jié)論能不能推出題設(shè)，進(jìn)而可以判斷出正確的選項(xiàng).【題目詳解】，，顯然由題設(shè)能推出結(jié)論，但是由結(jié)論不能推出題設(shè)，因此“”是“”的充分不必要條件，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分條件、必要條件的判斷，解決本問(wèn)題的關(guān)鍵是正確求出不等式的解集.3、C【解題分析】

先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，由,利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)單調(diào)遞增，且,所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).4、D【解題分析】

對(duì)四個(gè)答案中類(lèi)比所得的結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案【題目詳解】對(duì)于A，空間中，三條直線(xiàn)a，b，c，若a⊥c，對(duì)于B，若b=0，則若a//b對(duì)于C，在平面上，正三角形的面積比是邊長(zhǎng)比的平方，類(lèi)比推出在空間中，正四面體的體積是棱長(zhǎng)比的立方，棱長(zhǎng)比為12，則它們的體積比為1對(duì)于D，在有理數(shù)Q中，由a+b2=c+d2可得，b=d，故正確綜上所述，故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類(lèi)比推理，解題的關(guān)鍵是逐一判斷命題的真假，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

因?yàn)?2為極值點(diǎn)且為極大值點(diǎn)，故在-2的左側(cè)附近>0，-2的右側(cè)<0,所以當(dāng)x>-2且在-2的右側(cè)附近時(shí)，排除BC，當(dāng)x<-2且在-2的左側(cè)附近時(shí)，，排除AC，故選D6、B【解題分析】

當(dāng)時(shí)，若，則推不出；反之可得，根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，判斷即可得到答案．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，若且，則推不出，故充分性不成立；當(dāng)時(shí)，可過(guò)直線(xiàn)作平面與平面交于，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得，又，所以，又，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，關(guān)鍵是掌握充分條件和必要條件的定義，判斷是的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件能否推得條件；二是由條件能否推得條件．7、B【解題分析】

通過(guò)聯(lián)立方程直接求得交點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷圖形形狀.【題目詳解】聯(lián)立x2+(y-2)2=1與x2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查圓與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，難度不大.8、A【解題分析】

繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，考查目標(biāo)函數(shù)，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，在點(diǎn)或點(diǎn)處取得最小值，即．題中的不等式即：，則：恒成立，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值，整理函數(shù)的解析式有：，令，則，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，據(jù)此可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則此時(shí)函數(shù)取得最小值，最小值為：．綜上可得，實(shí)數(shù)的最大值為．本題選擇A選項(xiàng)．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等．①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值．若等號(hào)不成立，則利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題．9、C【解題分析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后求解復(fù)數(shù)的模.詳解：，則，故選c.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.10、C【解題分析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得，從而得到，代入可求得結(jié)果.【題目詳解】，，解得：，，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確為實(shí)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為零.11、D【解題分析】

明確從變?yōu)闀r(shí)，等式左端的變化，利用末尾數(shù)字作差即可得到增加的項(xiàng)數(shù).【題目詳解】當(dāng)時(shí)，等式左端為：當(dāng)時(shí)，等式左端為：需增加項(xiàng)本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)知識(shí)，關(guān)鍵是明確等式左端的數(shù)字變化規(guī)律.12、A【解題分析】

函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，由，，可得函數(shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為，的單調(diào)，根據(jù)單調(diào)性得到與的大致圖象，從圖形上可得要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，則，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】解：函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于：函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，，，函數(shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為，又，且，，在上恒小于零，即在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)，可得函數(shù)與函數(shù)的大致圖象如圖：要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，則，，，，解得，又，實(shí)數(shù)的范圍為．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了零點(diǎn)問(wèn)題，以及函數(shù)單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是把唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)圖象進(jìn)行分析研究，屬于難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1224【解題分析】

從G排在前4個(gè)和后3個(gè)兩種情況來(lái)討論，當(dāng)排在前4個(gè)時(shí)，根據(jù)題的條件，求出有種排法，當(dāng)排在后三個(gè)時(shí)，根據(jù)條件，求得有種排法，再根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)排在前4個(gè)時(shí)，A也排在前四個(gè)，有種選擇，此時(shí)D排在后三個(gè)有種選擇，其余4人，共有種排法，此時(shí)共有種排法；當(dāng)排在后三個(gè)時(shí)，D也排在后三個(gè)，A也排在前四個(gè)，此時(shí)共有種排法，所以共有種排法，故答案是：1224.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用排列解決實(shí)際問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有排列數(shù)，分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，分步計(jì)數(shù)原理，屬于簡(jiǎn)單題目.14、【解題分析】

畫(huà)出長(zhǎng)方體,再將異面直線(xiàn)與利用平行線(xiàn)轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形內(nèi)求解角度即可.【題目詳解】畫(huà)出長(zhǎng)方體可得異面直線(xiàn)與所成角為與之間的夾角,連接.則因?yàn)?則,又,故,又,故為等腰直角三角形,故,即異面直線(xiàn)與所成角的大小為故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查立體幾何中異面直線(xiàn)的角度問(wèn)題,一般的處理方法是將異面直線(xiàn)經(jīng)過(guò)平行線(xiàn)的轉(zhuǎn)換構(gòu)成三角形求角度,屬于基礎(chǔ)題型.15、9【解題分析】

根據(jù)，展開(kāi)后利用基本不等式求最值.【題目詳解】等號(hào)成立的條件是，即，，解得：的最小值是9.【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式求最值的問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題型.基本不等式求最值，需滿(mǎn)足“一正，二定，三相等”，這三個(gè)要素缺一不可.16、【解題分析】

由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化簡(jiǎn)后，把tanα的值代入即可．【題目詳解】∵sina+2cosa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝．故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）【解題分析】

（1）由題意,要求數(shù)列與的通項(xiàng)公式,只需求公差，公比,因此可將公差,公比分別設(shè)為d，q,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,代入,,求出d，q即可寫(xiě)出數(shù)列與的通項(xiàng)公式．（2）由（1）可得,即,而要求,故結(jié)合的特征可變形為,代入化簡(jiǎn)即可．【題目詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，d＞1，的等比為q則,,依題意有，解得或（舍去）故,（2）由（1）可得∴∴=．【題目點(diǎn)撥】本題第一問(wèn)主要考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式,較簡(jiǎn)單,只要能寫(xiě)出的表達(dá)式,然后代入題中的條件正確計(jì)算即可得解,但要注意d＞1．第二問(wèn)考查了求數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵是要分析數(shù)列通項(xiàng)的特征,將等價(jià)變形為,然后代入計(jì)算，這也是求數(shù)列前n項(xiàng)和的一種常用方法--裂項(xiàng)相消法！18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用求得點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算、，求出數(shù)量積。【題目詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，由，所以，設(shè)，則,所以，解得，所以（2）根據(jù)題意可知，所以,所以，從而，。【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題。19、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）直接解一元二次不等式即可；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)，借助基本不等式得到的取值范圍.詳解：（1）∵，∴，∴，∴的解集為；（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，∴，∴對(duì)一切均有成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題考查了一元二次不等式的解法，以及將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)，基本不等式的應(yīng)用.20、（1）；（2）①；②點(diǎn)在定直線(xiàn)上【解題分析】

（1）利用兩個(gè)橢圓離心率相同可構(gòu)造出方程，解方程求得結(jié)果；（2）①當(dāng)與軸重合時(shí)，可知不符合題意，則可設(shè)直線(xiàn)的方程：且；設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程可求得，則可將所求面積表示為：，利用換元的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的求解，從而求得所求的最大值；②利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，則可得直線(xiàn)的方程；聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，從而可求解出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程，與直線(xiàn)聯(lián)立解得坐標(biāo)，從而可得定直線(xiàn).【題目詳解】(1)由橢圓方程知：，離心率：又橢圓中，，，又，解得：（2）①當(dāng)直線(xiàn)與軸重合時(shí)，三點(diǎn)共線(xiàn)，不符合題意故設(shè)直線(xiàn)的方程為：且設(shè)，由（1）知橢圓的方程為：聯(lián)立方程消去得：即：解得：，，又令，此時(shí)面積的最大值為：②由①知：直線(xiàn)的斜率：則直線(xiàn)的方程為：聯(lián)立方程消去得：，解得：則直線(xiàn)的方程為：聯(lián)立直線(xiàn)和的方程，解得：點(diǎn)在定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的三角形