甘肅省慶陽(yáng)市寧縣中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

甘肅省慶陽(yáng)市寧縣中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在菱形ABCD中，，線段AD，BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，K，連接EF，F(xiàn)K．現(xiàn)將繞對(duì)角線BD旋轉(zhuǎn)，令二面角A－BD－C的平面角為，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中有（）A． B． C． D．2．根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門決定派出五位相關(guān)專家對(duì)三個(gè)貧困地區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)地區(qū)至少派遣一位專家，其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū)，則不同的派遣方案種數(shù)為A．18 B．24 C．28 D．363．已知，則（）A． B． C． D．4．設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為28，則（）A.1B.4C.7D.1或75．過(guò)拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，且A、C位于x軸同側(cè)，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則（）A． B． C． D．7．復(fù)數(shù)的模為()A． B． C． D．8．已知點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離是，則的值是（）A． B． C． D．9．魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作九章算術(shù)注中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為：若正方體的棱長(zhǎng)為2，則“牟合方蓋”的體積為A．16 B． C． D．10．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)11．函數(shù)圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．12．已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿足則正三棱錐的體積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上的一點(diǎn)滿足，則拋物線C的方程為________.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，平行軸的直線與圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），與交于點(diǎn)，則周長(zhǎng)的取值范圍是____________15．已知滿足約束條件，則的最大值為__16．二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)=[]．（1）若曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．18．（12分）某研究機(jī)構(gòu)為了調(diào)研當(dāng)代中國(guó)高中生的平均年齡，從各地多所高中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行年齡統(tǒng)計(jì)，得到結(jié)果如下表所示：年齡（歲）數(shù)量6101284(Ⅰ)若同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，試估計(jì)這批學(xué)生的平均年齡；(Ⅱ)若在本次抽出的學(xué)生中隨機(jī)挑選2人，記年齡在間的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了月日至月日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期月日月日月日月日月日溫差發(fā)芽數(shù)（顆）該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這組數(shù)據(jù)中選取組，用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).（1）求選取的組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率；（2）若選取的是月日與月日的數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)月日至月日的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)顆.則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的.試問(wèn)（2）中所得到的線性回歸方程是可靠的嗎？附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.20．（12分）設(shè)相互垂直的直線，分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，，且與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、.（1）當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）問(wèn)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.22．（10分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．（Ⅰ）求證：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求直線AB與平面A1BC所成角的正切值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的幾何體，表示和，轉(zhuǎn)化為在兩個(gè)有公共底邊的等腰三角形比較頂角的問(wèn)題，還需考慮和兩種特殊情況.【題目詳解】如圖，繞旋轉(zhuǎn)形成以圓為底面的兩個(gè)圓錐，(為圓心，為半徑，為的中點(diǎn))，，，當(dāng)且時(shí)，與等腰中，為公共邊，，,.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,綜上，。C.D選項(xiàng)比較與的大小關(guān)系，如圖即比較與的大小關(guān)系，根據(jù)特殊值驗(yàn)證：又當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，都不正確.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二面角的相關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力，難度較大，本題的難點(diǎn)是在動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如何轉(zhuǎn)化和，從而達(dá)到比較的目的，或考查和兩種特殊情況，可快速排除選項(xiàng).2、D【解題分析】分析：按甲乙兩人所派地區(qū)的人數(shù)分類，再對(duì)其他人派遣。詳解：類型1：設(shè)甲、乙兩位專家需要派遣的地區(qū)有甲乙兩人則有，另外3人派往2個(gè)地區(qū)，共有18種。類型2：設(shè)甲、乙兩位專家需要派遣的地區(qū)有甲乙丙三人則有，另外2人派往2個(gè)地區(qū)，共有18種。綜上一共有36種，故選D點(diǎn)睛：有限制條件的分派問(wèn)題，從有限制條件的入手，一般采用分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理，先分類后分步。3、D【解題分析】

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可求值得解．【題目詳解】∵cosθ?tanθ＝sinθ，∴sin（）＝cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】試題分析：，所以，因?yàn)檫f減數(shù)列，所以，解得。考點(diǎn)：等差數(shù)列5、C【解題分析】

由題意可知：|AC|＝2|AF|，則∠ACD，利用三角形相似關(guān)系可知丨AF丨＝丨AD丨，直線AB的切斜角，設(shè)直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及拋物線弦長(zhǎng)公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【題目詳解】拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程l：x＝﹣1，準(zhǔn)線l與x軸交于H點(diǎn)，過(guò)A和B做AD⊥l，BE⊥l，由拋物線的定義可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，則∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，∴，則丨AF丨＝丨AD丨，設(shè)直線AB的方程y（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+3＝0，則x1+x2，由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨＝x1+x2+p，∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查相似三角形的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．6、C【解題分析】

二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，可得，使其通項(xiàng)公式為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，求得，從而得到關(guān)于的方程.【題目詳解】展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，，得，，當(dāng)時(shí)，，解得：.【題目點(diǎn)撥】求二項(xiàng)式定理展開式中各項(xiàng)系數(shù)和是用賦值法，令字母都為1；而展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和固定為.7、A【解題分析】分析：首先根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算公式，將復(fù)數(shù)z化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算求得復(fù)數(shù)z的模.詳解：因，所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，在求解的過(guò)程中，需要保證公式的正確性，屬于簡(jiǎn)單題目.8、B【解題分析】

利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和兩點(diǎn)間的距離公式，求解即可得出的值.【題目詳解】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是5.所以解得.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，還結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解.9、C【解題分析】

由已知求出正方體內(nèi)切球的體積，再由已知體積比求得“牟合方蓋”的體積．【題目詳解】正方體的棱長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切球的半徑，正方體的內(nèi)切球的體積，又由已知，．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查球的體積的求法，理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

易知函數(shù)是上的增函數(shù),,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可判斷出函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間.【題目詳解】函數(shù)是上的增函數(shù),是上的增函數(shù),故函數(shù)是上的增函數(shù).,,則時(shí),;時(shí),,因?yàn)?所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn).故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間,利用函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

利用奇偶性可排除A、C；再由的正負(fù)可排除D.【題目詳解】，，故為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A、C；又，排除D，選B.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)解析式選擇圖象問(wèn)題，在做這類題時(shí)，一般要結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性以及特殊點(diǎn)函數(shù)值來(lái)判斷，是一道基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

根據(jù)判斷出為等邊三角形的中心，由此求得正三棱錐的底面積和高，進(jìn)而求得正三棱錐的體積.【題目詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心.由可知，為等邊三角形的中心，由于正三棱錐的外接球的半徑為，故由正弦定理得，且正三棱錐的高為球的半徑，故正三棱錐的體積為.所以本小題選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正三棱錐的幾何性質(zhì)，考查向量加法運(yùn)算，考查幾何體外接球有關(guān)問(wèn)題的求解，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由在拋物線C上,結(jié)合拋物線的定義,即可求拋物線C的方程.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,解得,則拋物線C的方程為:;當(dāng)時(shí),,解得,則拋物線C的方程為:;故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用拋物線的定義求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,難度較易.14、【解題分析】

過(guò)點(diǎn)作垂直與拋物線的準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義得，從而得出的周長(zhǎng)為，考查直線與圓相切和過(guò)圓心，得出、、不共線時(shí)的范圍，進(jìn)而得出周長(zhǎng)的取值范圍?！绢}目詳解】如下圖所示：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義得，圓的圓心為點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，則點(diǎn)、重合，此時(shí)，；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，則。由于、、不能共線，則，所以，，即，因此，的周長(zhǎng)的取值范圍是，故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義，考查三角形周長(zhǎng)的取值范圍，在處理直線與拋物線的綜合問(wèn)題時(shí)，若問(wèn)題中出現(xiàn)焦點(diǎn)，一般要將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離利用定義轉(zhuǎn)化，利用共線求最值，有時(shí)也要注意利用臨界位置得出取值范圍，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題。15、【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【題目詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可得，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線在軸上的截距最大，所以有最大值為．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】分析：先根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求得的系數(shù)，進(jìn)而得到的值，然后再根據(jù)微積分基本定理求解即可．詳解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，可得的系數(shù)為，由題意得，解得．∴．點(diǎn)睛：解答有關(guān)二項(xiàng)式問(wèn)題的關(guān)鍵是正確得到展開式的通項(xiàng)，然后根據(jù)題目要求求解．定積分計(jì)算的關(guān)鍵是確定被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)微積分基本定理求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)1(2)（，）【解題分析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進(jìn)行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)?[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=2，即(1–a)e=2，解得a=1．此時(shí)f(1)=3e≠2．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當(dāng)x∈(，2)時(shí)，f′(x)<2；當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，f′(x)>2．所以f(x)<2在x=2處取得極小值．若a≤，則當(dāng)x∈(2，2)時(shí)，x–2<2，ax–1≤x–1<2，所以f′(x)>2．所以2不是f(x)的極小值點(diǎn)．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解.18、（1）估計(jì)這批學(xué)生的平均年齡為歲；（2）見解析.【解題分析】分析：(1)根據(jù)組中值與對(duì)應(yīng)區(qū)間概率乘積的和計(jì)算平均數(shù)，(2)先判斷隨機(jī)變量服從“超幾何分布”，再根據(jù)“超幾何分布”分布列公式以及數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.詳解：(Ⅰ)由表中的數(shù)據(jù)可以估算這批學(xué)生的平均年齡為.所以估計(jì)這批學(xué)生的平均年齡為（歲）.(Ⅱ)由表中數(shù)據(jù)知，“本次抽出的學(xué)生中”挑選2人，服從“超幾何分布”，則,,.故的分布列為012故的數(shù)學(xué)期望為.點(diǎn)睛：對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布，超幾何分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.19、（1）；（2）；（3）見解析【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意列舉出從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況都是可能出現(xiàn)的，滿足條件的事件包括的基本事件有6種．根據(jù)等可能事件的概率做出結(jié)果．

（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，先求出，，即求出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．

（3）根據(jù)估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆，就認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，根據(jù)求得的結(jié)果和所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得到所求的方程是可靠的．詳解：(1)設(shè)“選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天的數(shù)據(jù)”為事件A.從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中數(shù)據(jù)為12月份的日期數(shù)．每種情況都是等可能出現(xiàn)的，事件A包括的基本事件有6種．∴.∴選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率是.(2)由數(shù)據(jù)可得，.∴，.∴y關(guān)于x的線性回歸方程為.(3)當(dāng)x＝10時(shí)，，|22－23|<2；同理，當(dāng)x＝8時(shí)，，|17－16|<2.∴(2)中所得到的線性回歸方程是可靠的．點(diǎn)睛：本題考查等可能事件的概率，考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，考查估計(jì)驗(yàn)算所求的方程是否是可靠的，屬中檔題.．20、（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，詳見解析【解題分析】

（1）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，于此得出圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程；（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，分別計(jì)算出和，可計(jì)算出的值，在直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式以及韋達(dá)定理計(jì)算出，同理計(jì)算出，代入題中等式計(jì)算出的值，從而說(shuō)明實(shí)數(shù)存在．【題目詳解】（1）由題意可設(shè)的方程為，代入可得．所以，的中點(diǎn)坐標(biāo)為．又，所以，以為直徑的圓的方程為．（2）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立．①當(dāng)與軸垂直或與軸垂直時(shí)，；②設(shè)直線的方程為，則直線的方程為．將的方程代入得：．由韋達(dá)定理得：，，所以．同理可得．所以．因此，存在，使得恒成立．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與橢圓的綜合問(wèn)題，考查弦長(zhǎng)公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，計(jì)算量大，解題的易錯(cuò)點(diǎn)就是計(jì)算，計(jì)算時(shí)可充分利用因式分解等一些常規(guī)步驟來(lái)操作，另外在設(shè)直線方程時(shí)也可以掌握一些技巧，降低運(yùn)算量．21、（1）