河北省遵化市堡子店中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

河北省遵化市堡子店中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的敘述：①常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；②獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)小概率原理；③樣本不同，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論可能有差異；④對分類變量與的隨機(jī)變量的觀測值來說，越小，與有關(guān)系的把握程度就越大.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，粗線表示一正方體被某平面截得的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．2 B．4 C．6 D．83．某市交通部門為了提高某個(gè)十字路口通行效率，在此路口增加禁止調(diào)頭標(biāo)識(shí)（即車輛只能左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)、直行），則該十字路口的行車路線共有（）A．24種 B．16種 C．12種 D．10種4．已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的解析式不可能是()A． B． C． D．5．已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為

A． B． C． D．6．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．7．從甲、乙、丙、丁四人中選取兩人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則甲、乙兩人有且僅有一人入選的概率為（）A． B． C． D．8．下列命題錯(cuò)誤的是A．若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與平行B．若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與異面C．若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與垂直D．若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與相交9．一個(gè)三位數(shù)的百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)稱為“凹數(shù)”，若，從這些三位數(shù)中任取一個(gè)，則它為“凹數(shù)”的概率是A． B． C． D．10．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．11．“若，則，都有成立”的逆否命題是（）A．有成立，則 B．有成立，則C．有成立，則 D．有成立，則12．在某次體檢中，學(xué)號為（）的四位同學(xué)的體重是集合中的元素，并滿足，則這四位同學(xué)的體重所有可能的情況有（）A．55種 B．60種 C．65種 D．70種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種飲料每箱裝6聽，若其中有2聽不合格，質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽出2聽，則含有不合格品的概率為________.14．在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,兩曲線與在區(qū)間上交點(diǎn)為.若兩曲線在點(diǎn)處的切線與軸分別相交于兩點(diǎn),則線段的為____________.15．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)=______.16．由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中偶數(shù)共有__________個(gè)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若時(shí)，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.（3）已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，求證：（其中）.18．（12分）如圖四棱錐中，底面是正方形，，，且，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）求函數(shù)的最大值.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，），曲線（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：，記曲線與的交點(diǎn)為.（Ⅰ）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)曲線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與相較于兩點(diǎn)，求的值.21．（12分）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)是棱上的一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率都存在．（1）若直線過原點(diǎn)，求證：為定值；（2）若直線不過原點(diǎn)，且，試探究是否為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義及思想，可得結(jié)論．詳解：①常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；正確；②獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)小概率原理；正確；③樣本不同，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論可能有差異；正確；④對分類變量與的隨機(jī)變量的觀測值來說，越大，與有關(guān)系的把握程度就越大.故④錯(cuò)誤.故選C.點(diǎn)睛：本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

由題意，直觀圖如圖所示，由圖可知該幾何體的體積為為正方體的一半．【題目詳解】由題意，直觀圖如圖所示，由圖可知該幾何體的體積為為正方體的一半，即為2×2×2＝1．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖求體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定幾何體的形狀是關(guān)鍵．3、C【解題分析】

根據(jù)每個(gè)路口有種行車路線，一個(gè)十字路口有個(gè)路口，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【題目詳解】每個(gè)路口有種行車路線，一個(gè)十字路口有個(gè)路口，故該十字路口行車路線共有（種）故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了分布乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

根據(jù)奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱求得的值.在根據(jù)單調(diào)性判斷出正確選項(xiàng).【題目詳解】由于函數(shù)為偶函數(shù)，故其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，即，故函數(shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)在上遞增，故在上遞減.對于A選項(xiàng)，，符合題意.對于B選項(xiàng)，符合題意.對于C選項(xiàng)，符合題意.對于D選項(xiàng)，，在上遞減，不符合題意，故本小題選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查含有絕對值函數(shù)的理解，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】由題意，，其中，，且，所以.令，則，為增函數(shù).令，得.所以.時(shí)，時(shí),所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時(shí),.故選B.點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是將要求的量用一個(gè)變量來表示，進(jìn)而利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性求最值，本題中有以下幾個(gè)難點(diǎn)：（1）多元問題一元化，本題中涉及的變量較多，設(shè)法將多個(gè)變量建立等量關(guān)系，進(jìn)而得一元函數(shù)式；（2）含絕對值的最值問題，先研究絕對值內(nèi)的式子的范圍，最后再加絕對值處理.6、A【解題分析】因，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，應(yīng)選答案A。7、B【解題分析】

算出總的個(gè)數(shù)和滿足所求事件的個(gè)數(shù)即可【題目詳解】從甲、乙、丙、丁四人中選取兩人參加某項(xiàng)活動(dòng)，總共有種情況其中滿足甲乙兩人僅有一人入選的有種情況所以甲、乙兩人有且僅有一人入選的概率為故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概型的求法，組合問題的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8、D【解題分析】分析：利用空間中線線、線面間的位置關(guān)系求解．詳解：A.若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與平行，正確；B.若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與異面，正確；C.若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與垂直，正確，可能異面垂直；D.若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與相交，錯(cuò)誤，平行于平面，與平面沒有公共點(diǎn).故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查命題的真假判斷，涉及線面平行的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

先分類討論求出所有的三位數(shù)，再求其中的凹數(shù)的個(gè)數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求解.【題目詳解】先求所有的三位數(shù)，個(gè)位有4種排法，十位有4種排法，百位有4種排法，所以共有個(gè)三位數(shù).再求其中的凹數(shù)，第一類：凹數(shù)中有三個(gè)不同的數(shù)，把最小的放在中間，共有種，第二類，凹數(shù)中有兩個(gè)不同的數(shù)，將小的放在中間即可，共有種方法，所以共有凹數(shù)8+6=14個(gè)，由古典概型的概率公式得P=.故答案為：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查排列組合的運(yùn)用，考查古典概型的概率，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.10、D【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對選項(xiàng)中的函數(shù)逐一驗(yàn)證判斷即可.詳解：四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)都是偶函數(shù)，在上三個(gè)函數(shù)在上都遞減，不符合題意，在上遞增的只有，而故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.11、D【解題分析】

根據(jù)逆否命題定義以及全稱命題否定求結(jié)果.【題目詳解】“若，則，都有成立”的逆否命題是:有成立，則,選D.【題目點(diǎn)撥】對全稱(存在性)命題進(jìn)行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進(jìn)行否定；②對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.12、D【解題分析】

根據(jù)中等號所取個(gè)數(shù)分類討論，利用組合知識(shí)求出即可.【題目詳解】解：當(dāng)中全部取等號時(shí)，情況有種；當(dāng)中有兩個(gè)取等號，一個(gè)不取等號時(shí)，情況有種；當(dāng)中有一個(gè)取等號，兩個(gè)不取等號時(shí)，情況有種；當(dāng)中都不取等號時(shí)，情況有種；共種.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類討論研究組合問題，關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

含有不合格品分為兩類：一件不合格和兩件不合格，分別利用組合公式即可得到答案.【題目詳解】質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽出2聽共有種可能，而其中含有不合格品共有種可能，于是概率為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查超幾何分布的相關(guān)計(jì)算，難度不大.14、【解題分析】分析：求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后分別求出和在A處切線方程，即可求出兩點(diǎn)坐標(biāo)詳解：由可得，所以又因?yàn)樗运栽贏點(diǎn)處切線方程為：令解得，所以又因?yàn)樗运栽贏點(diǎn)處切線方程為：令解得，所以所以線段BC的長度為點(diǎn)睛：熟練記憶導(dǎo)函數(shù)公式是解導(dǎo)數(shù)題的前提條件，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在曲線上某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就等于該點(diǎn)處切線斜率，是解決曲線切線的關(guān)鍵，要靈活掌握.15、【解題分析】分析：純虛數(shù)的表現(xiàn)形式是中，且，根據(jù)這個(gè)條件，列出關(guān)于的方程組，從而可得結(jié)果.詳解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，且，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查純虛數(shù)的定義，意在考查對基本概念掌握的熟練程度，屬于簡單題.16、312【解題分析】

考慮個(gè)位是0和個(gè)位不是0兩種情況，分別計(jì)算相加得到答案.【題目詳解】當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，共有種情況；當(dāng)個(gè)位不是時(shí)，共有種情況.綜上所述：共有個(gè)偶數(shù).故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列的應(yīng)用，將情況分為個(gè)位是0和個(gè)位不是0兩種類別是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）；（3）證明見解析【解題分析】

（1）求出，然后分和兩種情況討論（2）由（1）中的結(jié)論，要使恰有1個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)的最小值為0（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即，然后可得，由此可證明，然后兩邊同時(shí)取對數(shù)即可【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使恰有1個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)的最小值為0，即，解得（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即令，得則，，，…，，即兩邊取以為底的對數(shù)得：【題目點(diǎn)撥】本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)及證明不等式，屬于較難題.18、(1)證明見解析；(2).【解題分析】

（1）推導(dǎo)出，，從而平面，進(jìn)而．求出，由此能證明平面．（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【題目詳解】（1）∵底面為正方形，∴，又，，∴平面，∴.同理，，∴平面.（2）建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長為2.則，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，又，，，令，，得同理是平面的一個(gè)法向量，則.∴二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．19、（1）；（2）3【解題分析】

（1）利用零點(diǎn)分類討論法解不等式.(2)先化成分段函數(shù)，再結(jié)合分段函數(shù)的圖像即得其最大值.【題目詳解】⑴①當(dāng)x＜-1時(shí)，；②當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，，；③當(dāng)時(shí)，，；綜上，不等式的解集為；⑵，由其圖知，.【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查零點(diǎn)討論法解絕對值不等式，考查分段函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.(2)分類討論是高中數(shù)學(xué)的一種重要思想，要注意小分類求交，大綜合求并.20、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解題分析】

試題分析：（1）將轉(zhuǎn)化為普通方程，解方程組可得的坐標(biāo)；（2）為圓，當(dāng)有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可求得參數(shù)的值，聯(lián)立的普通方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得的值．解：（Ⅰ）由曲線可得普通方程.由曲線可得直角坐標(biāo)方程：.由得，（Ⅱ）曲線（為參數(shù)，）消去參數(shù)可得普通方程：，圓的圓心半徑為，曲線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，，即，設(shè)聯(lián)立得4x1x2﹣4（x1+x2）+4＝2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣44＝1．.21、（1）;（2）.【解題分析】

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系（1）由可得異面直線與所成角的余弦值．（2）當(dāng)平面時(shí)，設(shè)，要使平面，只需即可．即可得即為的中點(diǎn)，即，由即可求得直線與平面所成角的正弦值．【題目詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.（1），．則異面直線與所成角的余弦值為．（2）當(dāng)平面時(shí)，設(shè).，，，面．要使平面，只需即可．，．即為的中點(diǎn)，即,，平面的法向量為，則．直線與平面所成角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了異面直線所成角，考查了線面角.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是第二問中，錯(cuò)把當(dāng)成了線面角.22、（1）見解析（2），詳見解析【解題分析】

（1）設(shè)，，由橢圓對稱性得，把點(diǎn)，的