押浙江杭州卷第23題（二）（四邊形與幾何綜合問題與三角形相似三角函數(shù)相結(jié)合）-2023年中考臨考題號押題

備戰(zhàn)2023年中考臨考題號押題【浙江杭州專用】

押浙江杭州卷第23題（二）

（四邊形與幾何綜合問題：與三角形、相似、三角函數(shù)相結(jié)合）

從杭州近幾年中考來看，試卷的第23題比較難，屬于壓軸題，主要以幾何探究為主要考查內(nèi)容，考查

的主要載體是圓和正方形，近五年杭州中考數(shù)學，正方形與幾何壓軸在2020年和2018年兩次考到.

2020年的幾何壓軸問題以正方形為載體，考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性

質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)；

2018年的幾何壓軸題第23題是正方形與相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，銳角三角函數(shù)，比例的性質(zhì)

幾何壓軸綜合題的解答過程，要注意以下幾個方面：

1.注意圖形的直觀提示，注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補全或

構(gòu)造基本圖形；

2.注意分析挖掘題目的隱含條件、發(fā)展條件，為解題創(chuàng)造條件打好基礎(chǔ)，要由已知聯(lián)想經(jīng)驗，由未知聯(lián)想需

要，不斷轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論來探求思路，找到解決問題的突破點；

3.要運用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題，運用方程的思想解決幾何計算問題，還要靈活運用數(shù)學思想方法如

數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、方程等思想來解決問題。

1.（2022?杭州）在正方形ABC。中，點M是邊A8的中點，點E在線段AM上（不與點A重合），點F在

邊BC上，且AE=28F,連接E凡以E尸為邊在正方形A8C力內(nèi)作正方形EFGH.

（1）如圖1,若48=4,當點E與點M重合時，求正方形EFGH的面積.

（2）如圖2,已知直線HG分別與邊A￡>,交于點/,J,射線E”與射線交于點K.

①求證：EK=2EH；

②設(shè)/AEK=a,AFG1/和四邊形AEH/的面積分別為S2.求證：—=4sin2a-1.

Si

【答案】（1）5；

（2）①見解答過程；

②見解答過程.

【分析】（1）由點M是邊A8的中點，若48=4,當點E與點M重合，得出AE=8E=2,由凡

得出8尸=1,由勾股定理得出E產(chǎn)=5,即可求出正方形EFGH的面積；

EKAEEK2.BF

（2）①由“一線三直角”證明得出——=——，由AE=2BF,得出一=—=2,進

EFBFEFBF

而證明EK=2EH；

②先證明△AT〃絲△FGJ,得出S&KHI=SAFG尸S\，再證明△KAEs^KHI,得出受歿=（二了=

S&KHIKH

（i一-）2=4（—）2,由正弦的定義得出sina=髭，進而得出sin2a=（解產(chǎn)得出-［「=4sin2a,即可證

2**1

明言=4sin2a-1.

【解答】（1）解：如圖1,

?.?點M是邊A8的中點，若48=4,當點E與點M重合，

：.AE=BE=2,

,:AE=2BF,

：.BF=\,

在RtZiEBF中，EF2=EB2+BF2=22+12=5,

,正方形EFGH的面積=后產(chǎn)=5；

（2）如圖2,

①證明：

；四邊形A8C。是正方形，

AZA=ZB=90°,

:.NK+NAEK=9Q°,

,/四邊形EFGH是正方形，

：.ZKEF=90°,EH=EF,

：.ZAEK+ZBEF=9Q°,

/.ZAKE=NBEF,

：.XAKEsMBEF,

EKAE

??=~~~,

EFBF

VAE=2BF,

EK2BF

???——____——乙n,

EFBF

:.EK=2EF,

：.EK=2EH；

②證明：???四邊形ABC。是正方形，

J.AD//BC,

：.ZKIH=ZGJF,

V四邊形EFGH是正方形，

AZIHK=ZEHG=ZHGF=ZFGJ=90°,EH=FG,

■:KE=2EH,

:.EH=KH,

：.KH=FG,

在AKHI和中,

NK1H=ZF]G

上KHI=LFGJ'

KH=FG

./\KH1^/\FGJ(AAS),

?SAKH尸SMGJ=S\>

*NK=NK,NA=N/4K=90°,

.AKAES^KHI,

S^K4E_涔仆2KA,KA7

S〉KH1~(加=賓=4喘)‘

2

??KA

sina=在，

?sin2a=提了

Si+S2

-----=4sin-a,

Si

S?2

'?一=4sin-a-1.

Si

2.（2018?杭州）如圖，在正方形ABC。中，點G在邊8c上（不與點B,C重合），連接AG,作。E_LAG

BG

于點E,3FL4G于點R設(shè)二7=左.

BC

(1)求證：AE=BF.

(2)連接BE,DF,設(shè)/E￡>尸=a,NEBF=0.求證：tana="an。.

（3）設(shè)線段AG與對角線BD交于點H,/\AHD和四邊形CDHG的面積分別為Si和S2,求蘭?的最大值.

S1

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）利用同角的余角相等判斷出/8AG=ND4E,進而得出即可得出結(jié)論;

4E

（2）先判斷出進而得出法=k,再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論;

（3）方法1、先判斷出與=3-SMHG，再判斷出S2=k+4k2sMg即可得出結(jié)論.

k2k2

方法2、先表示出S2=±BCXC￡>-Y><〃=A翔，.汩匆取仁如即可得出結(jié)論.

方法3,先判斷出SL=S,，、ADH=SACHD，進而得出SACHG=-胃SABHG，再判斷出S,、BHG=0AHD=DS\，

進而得出S2=Si-/（%-1）Si=-（必-k-I）Si，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）?.?四邊形A8CQ是正方形,

：.AD=AB,ZBAD=90°,

AZBAG+ZDAG=90°,

VDE±AG,8凡LAG,

AZAED=ZBFA=90°,

AZADE+ZDAG=90°,

：.ZBAG=ZADEf

：./\ADE^ABAF(A4S),

:?AE=BF,

(2)由(1)知，NBAG=NEDA,

???NABG=/DEA,

：.AABG^ADEA,

.ABBG

??—>

DEAE

.AEBGBG

??=~==k

DEABBC

在RtzMJEb中，EF=DE?tana,

在中，EF=BF*tanp,

*.DE*tana=8戶tan0,

BFAE

tana=詆?tanS=^?tanp=tanp；

(3)方法1、如圖，

?四邊形ABC。是正方形,

.BC//AD,AD=BC,

*：AD//BC,

：.△ADHs^GBH,

?S]S^ADH/40、21

??-='z=~n,

S△BHGS&BHGBGk2

?*-51=\?S&BHG，

設(shè)△3”G的邊BG上的高為近△AD”的邊AO上的高為人

??AADHsRGBH

hBG

??一=一=k,

hrAD

\h=kh\

.SHBHGlBGhBGkh!kk2

?---------=T---------------=----X----------=kx-r^-T=7—7,

S^BCD-BC^h+hf)BCkhr+hfk+1%+l

k+1

:?S&BCD=—蘆4BHG，

kL

k+l—k2

?\S2=SABCD-S&BHG=S&BHG，

k+l-H

—=-T-=-F+Z+l=-(Jt-b2=-2+2?

s】表224

：，k=劣時，/的最大值為:，

z

S14

方法2、如圖1,

設(shè)正方形的邊長為1,

連接8。交AG于H,過〃作MN_LBC交AO于M,BC于N,

設(shè)HN=h,HM=h',

h+h'=\,

BG

*/—=k,

BC

hBG

:?BG=k,—=k,

hfAD

1111

S2=1BCXCD-款X6尹勤,

S\=^ADXh'=^h',

.包_id竺

?&一如

1kh

=『彳

_h+hrkh

=~h'--而

hh

二元+「1

=-a-1)2+i

時，等的最大值為J.

/Si4

方法3、如圖，連接C4,

???8。是正方形的對角線，

?*?51=S/\ADH=S4CHD，

**-S1=S四邊形CDHG=SdCHD+S&CHG=S1+S&CHG，

..S^BHG_￡￡_____

S〉CHGCGk—11—k

：S\CHG=---FSABHG，

「?S2=S1+—Kr—S/\BHG

'：△ADHS^BHG,

.?.也%=(―)2=k2

S&AHDA。

：?S/\BHG=I^SAAHD=FS\,

，S2=S1-ka-1)S1=-(必-%-1)S1，

.?.包=一(必-%-1)=-(*-J)2+1,

S]24

:，k=義時，等的最大值為

NSi4

解答題(共20小題)

1.(2023?臨安區(qū)一模)如圖，正方形ABCD,對角線4c與80交于點O,E是線段OC上一點，以BE為

邊在8。的右下方作等邊三角形BEF,連結(jié)。E,DF.

(1)求證：/\ABE^/\ADE.

(2)NBZ)/的度數(shù)改變嗎？若不變，請求出這個角的值.

(3)若AB=2五,求尸。的最小值.

【答案】(1)證明見解析部分；

(2)30°；

(3)2V3.

【分析】(1)根據(jù)SAS證明三角形全等即可；

(2)證明點E是△8DF的外心，可得結(jié)論；

(3)由/8。尸=30°,點E在線段OC上運動，觀察圖象可知當點E與O重合時，A尸的長最小，此時

BFLDF,

【解答】(1)證明：?.?四邊形48CZ)是正方形，

.../E4O=/E4B=45°,

在△A8E和△AOE中，

AB=AD

Z.EAB=/.EAD,

AE=AE

:.AABE冬AADE(SAS)；

⑵解：?.?△A8Eg△AOE,

：.EB=ED,

「△BEF是等邊三角形，

：.EB=EF,N8E尸=60°,

：.EB=EF=ED,

...點E是△BDF是外心，

1

:.NBDF=^/BEF=30。；

（3）解：?..四邊形A8CD是正方形，

:.AB=BC=CD=AD=2a,/BCD=90°,

:.BD=V2BC=4,

尸=30°,點E在線段OC11運動，

，觀察圖象可知當點E與。重合時，A尸的長最小，此時8尸，。兄

二￡＞尸=8O?cos30°=4x寸=2我.

/的最小值為2V1

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，

解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

2.（2022?富陽區(qū)二模）如圖1,在矩形ABCO中，AC與BD交于點O,E為4。上一點，CE與BD交于點、

F.

（1）若AE=CE,BDLCE,

①求tanZDEC.

②如圖2,連接A凡當8c=3時，求Af的值.

DES

（2）設(shè)不=Z（0VZV1）,記△C5/7的面積為S],四邊形A8RE的面積為S2，求二7■的最大值.

ADS1

【答案】（1）①百；

【分析】（I）①由等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)證出NOEC=NEC8=6（T,則可得出答案；

②過點尸作FHA.AD于點H,由直角三角形的性質(zhì)求出FH=1DF=4，HD=y[3HF=p山勾股定理可

得出答案；

（2）設(shè)證明△DEFsacFB,由相似三角形的性質(zhì)得出紅2型=（空犬=后則51=芻

SACFBBC，k2

證明△FQ//S/\BD4,由相似三角形的性質(zhì)得出廠=—=----，求出S2=SADAB-S^DE尸（"1孑）”,

ABBDk+1k

則可得出包關(guān)于k的函數(shù)表達式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出答案.

Si

【解答】解：（1）?'：AE=CE,

：.ZEAC^ZECA,

*：AD//BC,

：.ZEAC=NAC8,

，：OB=OC,

：.ZACB=ZDBCf

即ZACB=/DBC=ZECA,

?；BD_LCE,

：.ZBFC=90°,

AZECA+ZACB+ZDBC=90°,

AZECA=ZACB=ZDBC=30Q,

；.NDEC=/ECB=60°,

tanZ￡）EC=V3；

②過點尸作FHLAD于點H,

在RtZ\3CD中，ZDBC=30°,BC=3,

:?BD=25

在RtZ\BFC中，ZFBC=30Q,BC=3,

ABF=|V3,

F5

：.DF=BD-BF=號，

在RtZW/F中，/FDH=NDBC=30°,

：.FH=抄=奈

o

：.HD=遮HF=5，

q

：.AH=AD-DH=3-1=

.?"=山1H2+HF2=J（32+造2=亨;

（2）isS^DEF=Xf

9：AD//BC,

:./XDEFs/xcFB,

...SADEF=（竺）2=卜2,

S〉CFB8c

??O1——,

kL

DFDEDE

,?,—_—_—_lxu,,

BFBCAD

.DF___k

9，BD-k+1

?：FH1AD,

；?NFHD=90°,

：?/FHD=NBAD,

又?：/FDH=/BDA,

:ZDHs[\BDA,

.FHDFk

AB~BD~k+1

.S&DEF_扣EFH_DEFHk2

'S^DAB^AD-ABADABk+1

?o_or.(k+l—k)x

.?32—3Z\DA8_S^DEF=-------7-----，

???,S?=k+1-/o=_(k_J17+75

.,.當仁,時，當?的最大值為9.

NSi4

【點評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰

三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?下城區(qū)校級二模)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC,相交于點0,點E,尸分別在A。，

DC1.(不與A,D,C重合)，連接BE,AF,BE與AF交于點G,與AC交于點H.已知AF=BE,AF

平分ND4c.

(1)求證：AF±BE.

St

(2)若△840的面積為Si,△BOE的面積為$2,求下的值.

【答案】(1)見解析；

V2

(2)—.

4

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD,ZBAE=ZADF=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到N

ABE=/D4F,根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到N3AC=/D4F=45°,根據(jù)角平分線定義得到/D4F=NC”=$x45°

=°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到A8E=ND4尸=°,NAEB=NAFD=°,過，作〃Q_1_A8于。，設(shè)

AQ=HQ=x,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到0〃=Q”=x,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：?.?四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,NBAE=NADF=90°,

在RtABAE和RtAADF中，

(AF=BE

lAB=AD

：.Rt/\BAE^Rt/\ADF(HL),

：.ZABE=ZDAFf

VZDAF+ZBAF=90°,

AZABE+ZBAF=90°,

AZAGB=90°,

：.BE.LAF；

(2)解：???四邊形ABC。是正方形，

：.ZBAC=ZDAF=45°,

???AF平分ND4C,

1

AZDAF=ZCAF=5x45°=°

AZAFD=°,

VRtA^AE^RtAADF,

AZABE=ZDAF=°,ZAEB=ZAFD=°

：.ZAHE=°,ZDAE=ZABE=°,

???/AHE=NAEH,

：.AH=AE,

過“作HQ_L4B于。，

???/XAQH是等腰直角三角形，

：.AQ=HQ,

設(shè)AQ="Q=x,

：.AH=AE=V2x,

VZBQH=ZBOH=90°,ZABH=ZOBH,BH=BH,

：./\BQH^/\BOH(AAS),

/.OH=QH=x,

OB—BQ=x~^~yf2,x9

?\AB=&0B=A/2X+2X,

/.SI=^OH9OB=^*X*(1+V2)x=(1+，)”,

S2=S^ABD-S^ABE=(V2+2)x*(V2+2)x—(V2+2)x*yf2x=(V2+2)x,

(1+0%

?包______2______2_

"s2一(V2+2)X-4'

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?上城區(qū)校級二模）如圖，在菱形A8CD中，ZBAD=60°,連結(jié)E,F分別是3￡>,AB上的

點，且DE=BF,連接AE,OF交于點P.

（1）求證：AADE^ADBF；

（2）連結(jié)AC交8￡>于。點，設(shè)NEAO=a,ZDFA=^,求證：tana?tan0=l.

【答案】（1）證明過程見解答；

（2）證明過程見解答.

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用SAS可以證明結(jié)論成立；

（2）根據(jù)（D中的結(jié)論和銳角三角函數(shù)，可以證明結(jié)論成立.

【解答】證明：（1）???四邊形ABCO是菱形，

：.AD=AB,

'：ZBAD=60°,

...△AB。是等邊三角形，

：.AD=DB,NADE=NDBF,

在△AOE和△DBF中，

AD=DB

Z.ADE=乙DBF,

DE=BF

:.AADE@Z\DBF（SAS）；

（2）由（1）知，AADE注ADBF,

：.ZAED=ZDFB,

VZAED+ZAEO^180°,ZDFB+p=180°,

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.AC±BD,垂足為O,

.OE…門A0

..tana=而,tanZAEO=瓦;,

,AO

??tanQp=瓦;，

OEA。

.?.tana-tanp=7U?-=1.

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，

解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

5.（2022?余杭區(qū)一模）如圖1,在正方形48CO中，點G在射線BC上，從左往右移動（不與點8,C重

BG

合），連結(jié)AG,作。E_LAG于點七，8尸，AG于點尺設(shè)一=k.

（1）求證：AE=BF；

(2)連結(jié)BE,DF,設(shè)NE￡>F=a,NEBF=B，求證：點G在射線BC上運動時，始終滿足tana=han0；

(3)如圖2,設(shè)線段AG與對角線8。交于點H,△ALW和以點C,D,H,G為頂點的四邊形的面積分

別為Si和S2，當點G在BC的延長線上運動時，求繪(用含k的代數(shù)式表

(2)證明見解析:

(3)—=必.

Si

【分析】(I)利用同角的余角相等判斷出由AAS證得即可得出結(jié)論；

tanaBFBFBGkBC

(2)先由銳角三角函數(shù)的定義得出一-=—,再證△BGFS/\A￡)E,得出丁=—=-即可

tanpDEDEADBC

得出結(jié)論；

(3)過點H作HEICD于E,證△ADHgACDH(SAS),得S&ADH=S&CDH，則1=1+器，再證△4。“

s/XBGH,得DH=魯,然后證是等腰直角三角形，得HE=4汨=備即可解決問題.

L~rKZ1~vK

【解答】(1)證明：???四邊形A3C。是正方形，

：.AD=AB,NR4O=90°,

：.ZBAF+ZDAG=90°,

VDEIAG,8b_LAG,

/.ZAED=ZBFA=90°,

；?NADE+NDAG=90°,

:.ZADE=ZBAFf

在△4EO和43雨中，

fZAED=ZBFA

Z.ADE=NBA尸，

/O=AB

A(AAS),

；.AE=BF；

(2)證明：在Rt/\DE/中，EF=DE?tana,

在Rt/XBE/中，EF=BF?tanB，

DE*tana=BF*tanP，

.tanaBF

tanpDE'

???四邊形A8CO是正方形，

:.AD=BC,AD//BE,

:./BGF=/ADE,

u：ZBFG=ZDEA=90°,

：.4BGFs叢ADE,

BFBGkBC_

?t.='==k,

DEADBC

tana

------=k,

tanp

/.tana=Zlanp,

點在G射線BC上運動時，始終滿足tana=Han0；

(3)解：過點〃作HE，C￡＞于E,如圖2所示：

?.?四邊形A8CD是正方形，

：.AD//BG,AD^CD,NADH=NCDH=45°,

又,：DH=DH,

:.△\Dg/\CDH(SAS),

?'?S^ADH=S^CDH1

II

：.S2=^CD(HE+CG),S\=S&CDH=^D*HE,

1

.包_鄴絲竺2_CG

"Si--CDHE_十HE，

2

設(shè)正方形ABCD的邊長為a,則BD=g,

?：AD〃BG,

：.△ADHsABGH,

?DHADBC1

?'BH~BG~BG~kf

.DH1

^V2a-DH-k'

?DH—"a

..DH-1+/c，

VZBDC=45°,

???/\DEH是等腰直角三角形，

??,HE與H=&

a+CG

/.-------=k,

a

：.CG=(4-1)a,

.-A=1+^k~^a=i+(F-i)=必.

SiT+k

解法2：過點、H作HELCD于E,如圖2所示：

:四邊形ABC。是正方形，

J.AD//BG,AD=CD,ZADH=ZCDH=45°,

又,：DH=DH,

：./\ADH^/\CDH(SAS),

^?S^ADH=S^CDH^

：.S2=|CD(HE+CG),Si=SACDH=|CD?HE,

.包_濁竺竺史

飛一^CDHE-HE'

2

設(shè)正方形ABCD的邊長為1,則BD=VL

,:AD〃BG,

：.△ADHs^BGH,

#PHADBC1

??BH~BG~BG~k

?DH_1

^y/2-DH-k'

:」)H=招,

VZBDC=45°,

???4DEH是等腰直角三角形，

‘HE=號DH=備’

BG

:—=k,

BC

?1+CG

??=k,

1

：.CG=k-1,

：.—=l+-^i=l+(必-1)=必.

Si1+k

【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定

與性質(zhì)、等腰宜角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義以及三角形面積等知識，本題綜合性強，證

明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

6.(2023春?西湖區(qū)校級期中)如圖，在團ABCQ中，ZBAC=90°,NABC=45°,AD=Scm,點尸從點A

開始以lcm/s的速度勻速向D點運動，點F從點C開始以3cmls的速度勻速沿射線CB運動.連接PF,

記AP=x.

(1)①BF=8-3x或3x-8(用含x的式子表示)；

②若P凡LBC,求x的值.

(2)若以A,B,F,P為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出x的值.

(3)當點P關(guān)于直線AF對稱的點恰好落在直線AB上，請求出x的值.

【答案】(1)x的值是1;

(2)x的值是2或4；

(3)X的值是8-―4V一2或8—+4V—2.

33

【分析】(1)①設(shè)運動的時間為fs,則4P=x=fc，"，CF—3tcm,可知CP=3AP=3x,由平行四邊形的

性質(zhì)得BC=AD=Scm,當點尸在邊CB上，則BF=8-3x；當點F在邊CB的延長線上，則BF=3x-8,

于是得到問題的答案；

②取8c的中點°,連接A。，則B0=C0=4a”，可證明NAC8=NA8C=45°,貝ijA8=AC,所以AQ

J_BC,當PFJ_BC時，則四邊形APFQ是矩形，所以AP=FQ,則x=4-3x,解得x=l；

(2)當平行四邊形ABFP以A8為一邊，則點尸在線段8c上，且4P=8凡所以x=8-3x,解得x=2；

當平行四邊形AF8P以AB為對角線，則點F在線段CB的延長線上，且AP=BF,所以x=3x-8,解得

x—4；

(3)先根據(jù)勾股定理求得AB=4&c〃i,設(shè)點P關(guān)于直線AF的對稱點為點G,當點G落在線段4B上，

連接PG,則A尸垂直平分PG,所以AG=AP,可推導出則尸8=48,所以8-3》=4位；

當點G落在線段8A的延長線上，連接PG交布的延長線于點由AF垂直平分PG,得AG=AP,可

推導出N84尸=/8朋，則尸8=48,所以3x-8=4企，解方程求出相應(yīng)的x的值即可.

【解答】解：(1)①設(shè)運動的時間為則CF=3tcm,

：.CF=3AP=3x,

四邊形48CD是平行四邊形，

??B(J—AD=Scni1

當點尸在邊CB上，則8尸=8-3x；

當點F在邊CB的延長線上，則BF=3x-8,

故答案為：8-3犬或3廠8.

②如圖1,取BC的中點Q,連接AQ,則BQ=CQ=±BC=4a”，

VZBAC=9O0,N4BC=45°,

AZACB=ZABC=45°,

：.AB=AC,

：.AQ±BC,

*：AD//BC,

：.ZPAQ=ZAQB=90°,

VPF±BC,

AZPAQ=ZAQC=ZPFQ=90°,

???四邊形APF。是矩形，

：.AP=FQ,

Ax=4-3x,解得％=1,

???x的值是1.

(2)當平行四邊形AB尸產(chǎn)以AB為一邊，如圖2,則點尸在邊C8上，且AP=8F,

Ax=8-3x,解得x=2；

當平行四邊形AFBP以AB為對角線，如圖3,則點尸在邊C8的延長線上，且AP=8尸，

Ax=3x-8,解得x=4,

綜上所述，”的值是2或4.

(3)9：AB=AC,BC=8cm,ZBAC=90°,

222

???AB^AC=2AB2=BC=8f

.\AB=4yj2cm9

設(shè)點P關(guān)于直線AF的對稱點為點G,

當點G落在線段AB上，如圖4,連接尸G,則A尸垂直平分PG,

：.AG=APf

：.ZBAF=ZDAF,

ZDAF=ZBFA9

：.ZBAF=ZBFAf

：.FB=AB,

A8-3x=4V2,解得k&一y;

當點G落在線段區(qū)4的延長線上，如圖5,連接PG交項的延長線于點H,則AF垂直平分尸G,

：.AG=AP,

：.ZGAH=ZR\H9

???/G4H=N8AF,ZPAH=ZBEA,

；?NBAF=NBFA,

：.FB=AB,

，3x-8=4&,解得x=>"

綜上所述，》的值8是-47或2T8+45/」2.

【點評】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等腰三

角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，此題綜合性強，難

度較大，屬于考試壓軸題.

7.(2023春?上城區(qū)校級期中)如圖1,在△O4B中，NQ4B=90°,乙408=30°,AB=4.以O(shè)B為邊,

在△048外作等邊△OBC,。是0B的中點，連結(jié)AQ并延長，交0C于點E.

(1)求邊0A的長；

(2)求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

(3)將圖1中的四邊形ABC0折疊，折痕為FG,F在BC上，G在0C上：

①如圖2,若使點C與點A重合，求0G的長；

13

②若使點C與△048的一邊中點重合，直接寫出0G的長是4或或I.

【答案】(1)4V3；

(2)證明見解析部分；

(3)①1；

13

②4或一或1.

4

【分析】(1)利用直角三角形的30度角的性質(zhì)求出03,再利用勾股定理求解；(2)首先根據(jù)直角三角

形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得再根據(jù)等邊對等角可得ND4O=N/)O4=30°,進而

算出NAEO=60°,再證明BC〃A￡,CO//AB,進而證出四邊形ABC￡是平行四邊形；

(3)①設(shè)0G=x,由折疊可得：AG=GC=8-x,再利用三角函數(shù)可計算出A0,再利用勾股定理計算

出0G的長即可.②分三種情形：當點C與￡>重合時，當點C與A。的中點C'重合時，當點C與AB

的中點C'重合時，分別求解即可.

【解答】(1)解：在Rt/^408中，ZOAB=90°,NAOB=30°,AB=4,

：.OB=2AB=S,

：.OA=\IOB2-AB2="82-42=4百；

(2)證明：?.?RtZ^OAB中，。為08的中點，

：.AD=0D=BD=^0B,

：.DO=DA,

：.ZDAO=ZDOA=30°,ZEOA=90°,

.?./AEO=60°,

又???△08C為等邊三角形，

：.ZBCO=ZAEO=60°,

：.BC//AE,

???N3AO=NCOA=90°,

J.CO//AB.

...四邊形A8CE是平行四邊形；

(3)解：①設(shè)。G=x,由折疊可得：AG=GC=S-x,

在中，

?.?NOA3=90°,ZAOB=30°,BO=8,

???AO=3O?cos30°=8x孚=4右

在RCOAG中，OG2+OA2=AG2,

/+(4V3)2=(8-X)2,

解得：x=\,

：.OG=\；

②當點。與。重合時，OG=GC=4；

當點C與49的中點C'重合時，連接CG(如圖3-1中).

則有OG?+(2V3)2=(8-OG)2,

13

：.OG=~

當點C與43的中點C'重合時，連接GC',過點C'作C'JLOC于點J.

貝I」OJ^AC=2,04=C'J=4g,

(2-OG)2+(4V3)2=(8-OG)2,

；.OG=1.

13

綜上所述，滿足條件的0G的長為4或一或1.

4

【點評】此題屬于四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，圖形的

翻折變換，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理.

8.(2023春?蕭山區(qū)期中)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AC,4OLAC,點E是43的中點，

點F是AC延長線上一點.

(I)連結(jié)CE,求證：CE=

(2)若EDLEF.求證：ED=EF.

(3)在(2)的條件下，若。C的延長線與移交于點P,試判斷四邊形ACPE是否為平行四邊形.并證

明你的結(jié)論.(請補全圖形，再解答)

【答案】(I)見解析；(2)見解析；(3)四邊形ACPE為平行四邊形，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO=AC,ADLAC,連接CE,利用直角三角形斜邊上中線的

性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到等量代換得到AC=b,于是得到CP=/根據(jù)平

行四邊形的判定定理即可得到四邊形ACPE為平行四邊形.

【解答】（1）證明：在回ABCD中，ADLAC,

:.AC=BC,AC.LBC,

連接CE,如圖所示：

2E是A8的中點,

:.AE=EC=BE,CEA.AB,

：.CE=^AB；

（2）證明：由（1）知AE=EC=5E,CE1.AB,

：.ZCAE=ZBCE=45°,

AZECF=ZEAD=135°,

■:ED1EF,

：.ZCEF=ZAED=900-NCED,

在△CE/和△A￡。中，

（ZCEF=ZAED

\EC=AE，

l乙ECF=LEAD

：./\CEF^/\AED（ASA）,

：.ED=EF；

（3）解：四邊形ACPE為平行四邊形，理由如下：

由（1）知△CEF'g△4￡￡>,

:?CF=AD,

u

：AD=ACf

：.AC=CF,

\9DP//AB,

:?FP=PB,

：.CP=^AB=AE,

???四邊形ACPE為平行四邊形.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正

確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.（2023春?余杭區(qū)校級期中）邊長為〃的正方形A3CO中，點E是3。上一點，過點E作收，AE交射線

CB于點F,連接CE.

（1）若點尸在邊BC上（如圖）：

①求證：CE=EF；

②若BC=2BF,求QE的長.

（2）若點尸在CB延長線上，BC=2BF,請求。E的長.

【答案】（1）①矩形；

【分析】（1）①先利用正方形的對稱性可得到然后在證明又N8AE=NEFC,通過等量

代換可得到/BCE=/EFC；

②過點￡作MNJ_8C,交A力于M.依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到FN=CM從而可得到NC的長，然

后可得到MC的長，在RtZ\M￡>E中可求得即的長；

（2）先根據(jù)題意畫出圖形，然后再證明EF=EC,然后再按照（1）②中的思路進行證明即可.

【解答】（1）①證明：：正方形A8CQ關(guān)于對稱，

:.△ABE^^CBE,

：.ZBAE=/BCE.

又?.?/A8C=NAEF=90°,

二ZBAE=AEFC,

：.4BCE=4EFC,

:.CE=EF；

②解：過點E作MML8C,垂足為N,交于M.

'：CE=EF,

??.N是CF的中點.

YBC=2BF,

.CN1

??=一,

BC4

又;四邊形CDMN是矩形，△DME為等腰直角三角形，

:.CN=DM=ME,

：.ED=&DM=V2CN=

（2）解：如圖所示：過點后作根71_8（7,垂足為M交4。于例.

：正方形ABCD關(guān)于BD對稱，

二△AB/XCBE,

：.ZBAE^ZBCE.

又TNAB尸=NAEF=90°,

:./BAE=/EFC,

：.ZBCE=ZEFC,

：.CE=EF.

:?FN=CN.

又,：BC=2BF,

3

：?FC=豺

3

:.CN=1a,

1

:.EN=BN=%,

?八二3/

??DE=-7-a.

4

【點評】本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等腰

直角三角形的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的方法是解題的關(guān)鍵.

10.(2023春?拱墅區(qū)期中)如圖1,Rt/XABC中，N4CB=90,BC=4,乙48c=60°,點P、。是邊AB,

8c上兩個動點，且8P=4C。，以BP,3Q為鄰邊作平行四邊形BPDQ,PD,。。分別交AC于點E,F,

設(shè)CQ=m.

(1)直接寫出80=4-m；CE=2V3m.(用含機的代數(shù)式表示)

(2)當平行四邊形BPDQ的面積為6g時，求m的值；

(3)求證：△OEFgZXQCF；

(4)如圖2,連接A。，PF,PQ,當4。與△PQF的一邊平行時，求△PQF的面積.

【答案】(1)4-m；2y/3m.

(2)，”的值為1；

(3)△PQF的面積為3學-y3或一16臺-y3.

【分析】(1)由CQ=m,8c=4,可得8Q=8C-CQ=4-MJ；過點尸作8c于點兒可證四邊形

CEP”是矩形，得出CE=P"，利用解直角三角形可得尸〃=CE=2V5m；

(2)根據(jù)平行四邊形面積可得S08PDQ=3Q?CE=2V^〃(4-,〃)=6百，再由點P、。在邊A8,BC上，

列不等式組求出m的范圍，即可求得答案；

(3)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得PD=BQ=4-"1,PD//BC,利用解直角三角形得出PE=AP'cosZAPE

=(8-4/M)?COS600=4-2m,DE=PD-PE=4-m-(4-2m)=m,BPDE=CQ,再利用ASA即可證

得△￡>￡7名△QCF；

(4)分兩種情況：當〃尸。時，當〃/T7時，分別求出，〃的值，再根據(jù)SAPQF=*SZWPQ=*SEIBPDQ=

{BQ-CE,即可求得答案.

—

【解答】(1)解：：CQ=機，BC=4,

：.BQ=BC-CQ^4-m；

過點P作PHVBC于點H,如圖1,

則/PHB=/PHC=90°,

V四邊形BPDQ是平行四邊形，

：.PD//BC,

：.NEPH=NPHB=9Q°=ZPHC=ZECH,

四邊形CEPH是矩形，

：.CE=PH,

在中，BP=4CQ=4m,NABC=60°,

PH=BP,sin/ABC=4機?sin60°=2嗎i,

CE=2^3m,

故答案為：4-m；2y/3m.

(2)解：*；S?BPDQ=BQ.CE=26m(4-m)=6百，

解得：，77=1或3,

R「A

在RtZ\ABC中，AB=—與w=屋。=8,

cos乙ABCcos600

?.?點P、。是邊AB,8C上兩個動點，

(m>0

,?|m<4，

V4m<8

解得：0VmW2,

:.m的值為1；

(3)證明：由(1)(2)知：CQ=m,8。=4-m，BP=4m,AB=8,

???四邊形BPDQ是平行四邊形，

：.PD=BQ=4-mfPD//BC,

：.ZAEP=ZACB=90°,ZAPE=ZABC=60°,

9

：AP=AB-BP=S-4m9

：.PE=AP-cosZAPE=(8-4m)?cos600=4-2"?,

:?DE=PD?PE=4-m-(4-2m)=m,

：.DE=CQ,

?:PD//BC,

：.ZFED=ZFCQ,ZFDE=ZFQC,

：./\DEF^/\QCF(ASA)；

(4)解：當AO〃尸。時，如圖2,

???四邊形BPDQ是平行四邊形，

J.BP//DQ,BP=DQ=4m,

???四邊形APQD是平行四邊形，

：.AP=DQ=4mf

，AB=AP+BP=4m+4m=Sm,

VAB=8,

***8加=8,

解得：m=l,

??.8Q=4-偌=4-1=3,CE=2V3w=2V3,

由(3)知：△DEF”XQCF,

:.DF=FQ,

S^PQF=；SAOPQ=；SMPDQ=：BQ?CE=]x3X2>/3=

當A力〃P尸時,如圖3,

???四邊形BPDQ是平行四邊形，

J.BP//DQ,

：.四邊形APFD是平行四邊形，

1

：.AP=DF=^DQ=2m,

：.AB=AP+BP=2m+4/n=6m,

6m=8,

解得：m=$

48r-8、/5

：.HQ=4-m=4-^=^,CE=2倔k詈，

?clclIRC.Mly8V8百16百

..3/\PQF=