數(shù)學(xué)提高題復(fù)習(xí)平行四邊形練習(xí)題含答案

數(shù)學(xué)提高題專題復(fù)習(xí)平行四邊形練習(xí)題含答案

一、選擇題

1.如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，且AB=CD.結(jié)論：①EG_LFH；

②四邊形EFGH是矩形；③HF平分NEHG；?EG=-BC；⑤四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于

2

2AB.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

2.在菱形ABCD中，NADC=60°,點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于OE對(duì)稱,

連接￡>P、BP、CP,下列結(jié)論：①DP=CD；@AP2+BP2=CD2；

③“CP=75。；@ZCPA=\50°,其中正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

3.如圖，△ABC中，ZBAC=60°,NB=45。，AB=2,點(diǎn)D是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于

AB,AC的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)E,F,四邊形A￡GF是平行四邊形，則四邊形AEGF面積的最小

值是（）

A.1B.—C.72D.73

2

4.如圖，正方形ABCD中，AB=4,E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE交BD于F,過(guò)F作

FH_LAE于F,過(guò)H作HG_LBD于G.則下列結(jié)論：①AF=FH；②NHAE=45°；③BD=

2FG；④ACEH的周長(zhǎng)為8.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.如圖，在菱形A8CD中，AB=5cm,ZADC=120°,點(diǎn)E、F同時(shí)由A、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別

沿AB.CB方向向點(diǎn)8勻速移動(dòng)（到點(diǎn)8為止），點(diǎn)E的速度為lcm/s,點(diǎn)F的速度為

2cm/s,經(jīng)過(guò)t秒4DEF為等邊三角形，則t的值為（）

6.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，B.C.E三點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)。在CG

上.BC=1,CE=3,連接是AR的中點(diǎn)，連接CH,那么C”的長(zhǎng)是（）

D.4a

7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,順次連接正方形ABC。四邊的中點(diǎn)得到第一個(gè)正方

形A⑸GR，又順次連接正方形44GA四邊中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形

，以此類推，則第六個(gè)正方形。的面積是（）

A2B2C2D2,……466c66

D\C^/C<

D

8.如圖，在平行四邊形ABCD中，NC=120°,4）=4,AB=2,點(diǎn)E是折線

BC-CD-ZM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、8重合）.則八48七的面積的最大值是（）

D

B，-------------------EC

A.B.1C.3亞D.2G

9.如圖，分別以HfAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形

ABDE，連結(jié)CE、BG、GE.給出下列結(jié)論：

①CE=BG；

②EC工BG

③尸G?+B尸=2Bb+B°2

④8。2+6爐=2AC2+2A4其中正確的是（）

A.②③④B.①②③C.①②④D.①②③④

10.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，且BC=EC,CF_LBE交AB

于點(diǎn)F,P是EB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，下列結(jié)論：①BE平分/CBF；②CF平分/DCB；③BC=

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.如圖，正方形A8C￡＞的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E為CO邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊向外作正

方形ECFG,連結(jié)8G,點(diǎn)〃為BG中點(diǎn)，連結(jié)E“，則E”的最小值為

12.如圖，某景區(qū)湖中有一段“九曲橋"連接湖岸A,B兩點(diǎn)，"九曲橋"的每一段與AC平行

或BD平行，若AB=100m,/A=/B=60。，則此“九曲橋"的總長(zhǎng)度為.

D

Z6Q。60%

A100加5

13.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形4BCD中,

他=3,AC=2,則3。的長(zhǎng)為.

14.如圖，正方形ABCD中，ND4c的平分線交DC于點(diǎn)E,若P,Q分別是AD和AE上

的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ能取得最小值4時(shí)，此正方形的邊長(zhǎng)為.

15.在ABCO中，AD=5,/班。的平分線交CD于點(diǎn)E,/ABC的平分線交CD于點(diǎn)

F,若線段EF=2,則AB的長(zhǎng)為.

16.如圖，在矩形ABCD中，A5=16,8C=18,點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F是邊BC上不

與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△￡?尸沿EF折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)8,處.若AE=3,當(dāng)

CDB'是以DB'為腰的等腰三角形時(shí)，線段DB'的長(zhǎng)為.

17.如圖，在矩形紙片A8CD中，A8=6,BC=10,點(diǎn)E在CD上，將△8CE沿8E折疊，點(diǎn)

C恰落在邊上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在AF上，將AASG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的

3

點(diǎn)H處,有下列結(jié)論：①NEBG=45°；②SAABG=5SAFGH;?ADEF^AABG；

④AG+DF=FG.其中正確的是.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）

B

18.如圖，四邊形ABCP是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在邊CP上，PE=1；作EF〃BC,分別

交AC、AB于點(diǎn)G、F,M、N分別是AG、BE的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)是

19.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中AB=2,8c=4,正方形AEFG的邊長(zhǎng)為1.正方形AEFG繞點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線段CF的長(zhǎng)的最小值為.

20.李剛和常明兩人在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上進(jìn)行折紙創(chuàng)編活動(dòng).李剛拿起一張準(zhǔn)備好的長(zhǎng)方形紙片

對(duì)常明說(shuō):“我現(xiàn)在折疊紙片（圖①），使點(diǎn)D落在AB邊的點(diǎn)F處，得折痕AE,再折疊，

使點(diǎn)C落在AE邊的點(diǎn)G處，此時(shí)折痕恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,如果AD=",那么AB長(zhǎng)是多少？"常

明說(shuō)；"簡(jiǎn)單，我會(huì).AB應(yīng)該是

常明回答完，又對(duì)李剛說(shuō)："你看我的創(chuàng)編（圖②），與你一樣折疊，可是第二次折疊時(shí)，

折痕不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,而是經(jīng)過(guò)了AB邊上的M點(diǎn)，如果AD=a,測(cè)得EC=3BM,那么AB長(zhǎng)是

多少？”李剛思考了一會(huì)，有點(diǎn)為難，聰明的你，你能幫忙解答嗎？AB=.

三、解答題

21.如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC,AB=AD，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、0，

AC平分?。，過(guò)點(diǎn)C作CELAB交A6的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若AE=5,0E=3,求線段的長(zhǎng).

22.如圖，在平行四邊形A8CO中，44。的平分線交8。于點(diǎn)E，交。。的延長(zhǎng)線于

F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形EC尸G.

(1)求證：四邊形ECFG是菱形；

(2)連結(jié)30、CG,若NA3C=120°,則AB0G是等邊三角形嗎？為什么？

(3)若NABC=90。，AB=10,AD=24，M是EF的中點(diǎn)，求。M的長(zhǎng).

23.如圖，點(diǎn)A、F、C、。在同一直線上，點(diǎn)8和點(diǎn)E分別在直線A。的兩側(cè)，且AB=DE,

ZA=ZD,AF二DC.

(1)求證：四邊形8CEF是平行四邊形：

(2)若NDEF=90°,DE=8,EF=6,當(dāng)AF為時(shí)，四邊形8CEF是菱形.

24.如圖，在矩形ABCD中，N8AD的平分線交BC于點(diǎn)E,AE=AD,作DF_LAE于點(diǎn)F.

(1)求證：AB—AF；

(2)連BF并延長(zhǎng)交DE于G.

①EG=DG；

②若EG=1,求矩形4BCD的面積.

25.類比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)等邊四邊

形”.

(1)已知：如圖1,在“準(zhǔn)等邊四邊形”A8CD中，BC^AB,BDJ.CD,AB=3,8。=4,求8c

的長(zhǎng)；

(2)在探究性質(zhì)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：對(duì)角線互相垂直的“準(zhǔn)等邊四邊形”是菱形.請(qǐng)

你判斷此結(jié)論是否正確，若正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)舉出反例；

(3)如圖2,在△ABC中，AB=AC=y/2<N847=90。.在AB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)

P,使得以A,B,C,P為頂點(diǎn)的四邊形為“準(zhǔn)等邊四邊形”.若存在，請(qǐng)求出該“準(zhǔn)等邊

四邊形”的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

26.感知：如圖①，在正方形ABC。中，E是A3一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

DF=BE，求證：CE=CF；

拓展：在圖①中，若G在AD，且NGC￡=45°,則GE=BE+G￡>成立嗎？為什么？

運(yùn)用：如圖②在四邊形ABC。中，AD//BC(BOAD),NA=NB=90。，

AB=BC=\6,E是AB上一點(diǎn)，且N￡>CE=45°,BE=,求。E的長(zhǎng).

圖①圖②

27.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一6,6),軸，垂足為3,AC_Ly軸，垂足為C,點(diǎn)

2E分別是射線3。、上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)。不與點(diǎn)3、。重合，ZDAE=45°.

(ffii)02)

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段8。上時(shí)，求ADOE的周長(zhǎng)；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段8。的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AADE的面積為耳，ADOE的面積為

S1,請(qǐng)猜想5與，之間的等量關(guān)系，并證明你的猜想.

28.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，點(diǎn)E在邊AD所在的直線上，連接CE,以

CE為邊，作正方形CEFG（點(diǎn)C、E、F、G按逆時(shí)針排列），連接BF.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，BF的長(zhǎng)為；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，若AE=1,求BF的長(zhǎng)；（提示：過(guò)點(diǎn)F作BC的垂

線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.）

（3）當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí)，若AE=4,請(qǐng)直接寫出BF的長(zhǎng).

29.問(wèn)題背景

若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個(gè)等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為頂

針點(diǎn)；若再滿足兩個(gè)頂角的和是180。，則稱這兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點(diǎn).

如圖1,四邊形A8CO中，8C是一條對(duì)角線，A/B=AC，DB=DC，則點(diǎn)A與點(diǎn)。

關(guān)于8c互為頂針點(diǎn)；若再滿足NA+NO=180。，則點(diǎn)A與點(diǎn)。關(guān)于BC互為勾股頂針

點(diǎn).

圖4

備用圖”

初步思考

⑴如圖2,在ABC中，AB=AC,ZABC=30°,。、E為ABC外兩點(diǎn)，

EB=EC，ZEBC=45。,△OBC為等邊三角形.

①點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于8c互為頂針點(diǎn)；

②點(diǎn)。與點(diǎn)關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

實(shí)踐操作

(2)在長(zhǎng)方形ABC。中，AB=8,AO=10.

①如圖3,點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)尸在AO邊上，請(qǐng)用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作出點(diǎn)E、F.

使得點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn).(不寫作法，保留作圖痕跡)

思維探究

②如圖4,點(diǎn)E是直線A8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于BP互為勾股

頂針點(diǎn)，直線CP與直線AO交于點(diǎn)尸.在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段BE與線段AE的長(zhǎng)度

是否會(huì)相等？若相等，請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由.

30.如圖，在平行四邊形ABCD中，N84￡＞的平分線交于點(diǎn)E,交。。的延長(zhǎng)線于

F,以EC、C戶為鄰邊作平行四邊形ECEG。

(1)證明平行四邊形ECFG是菱形；

(2)若NABC=120°，連結(jié)3G、CG、DG,①求證：DG8BGE；②求NBDG

的度數(shù)；

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.C

解析：C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半與AB=CD可得四邊形EFGH是菱

形，然后根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且平分每一組對(duì)角的性質(zhì)對(duì)各小題進(jìn)行判斷

即可得答案.

【詳解】

：E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，

1111

；.EF=—CD,FG=-AB,GH=-CD,HE=-AB,

2222

VAB=CD,

?\EF=FG=GH=HE,

二四邊形EFGH是菱形，故②錯(cuò)誤，

.\EG±FH,HF平分NEHG；故①③正確，

二四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EF=FG=GH=HE=2AB,故⑤正確，

沒(méi)有條件可證明EG=』BC,故④錯(cuò)誤，

2

,正確的結(jié)論有：①③⑤，共3個(gè)，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形中位線定理與菱形的判定與菱形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的中位線定理與

AB=CD判定四邊形EFGH是菱形并熟練掌握菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

2.C

解析：C

【分析】

如圖，設(shè)DE交AP于0,根據(jù)菱形的性質(zhì)、翻折不變性-判斷即可解決問(wèn)題；

【詳解】

解：如圖，設(shè)DE交AP于O.

???四邊形ABCD是菱形

/.DA=DC=AB

???A.P關(guān)于DE對(duì)稱，

ADE1AP,OA=OP

ADA=DP

???DP=CD,故①正確

VAE=EB,AO=OP

AOE//PB,

???PB_LPA

.\ZAPB=90°

PA1+PB2=AB2=CD2,故②正確

若NDCP=75°，則NCDP=30°

VLADC=60°

；.DP平分NADC,顯然不符合題意，故③錯(cuò)誤：

VZADC=60°,DA=DP=DC

/DAP=/DPA,NDCP=NDPC,NCPA=(360°-60°)=150°,故④正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，

屬于中考常考題型.

3.D

解析：D

【解析】

【分析】

由對(duì)稱的性質(zhì)和菱形的定義證出四邊形AEGF是菱形，得出NEAF=2NBAC=120。，當(dāng)

ADJ_BC最小時(shí)，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面積最小，求出AD=0,

即可得出四邊形AEGF的面積的最小值.

【詳解】

由對(duì)稱的性質(zhì)得：AE=AD=AF,

?.?四邊形AEGF是平行四邊形，

四邊形AEGF是菱形，

AZEAF=2ZBAC=120",

當(dāng)ADJ_BC最小時(shí)，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面積最小，

；/ABC=45°,AB=2,

.,.AD=V2，

四邊形AEGF的面積的最小值=gx(及JxQ.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、對(duì)稱的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的

性質(zhì)，證明四邊形是菱形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.D

解析：D

【分析】

①作輔助線，延長(zhǎng)HF交AD于點(diǎn)L,連接CF,通過(guò)證明4ADF絲ZXCDF,可得：AF=CF,故

需證明FC=FH,可證：AF=FH；

②由FH±AE,AF=FH,可得：ZHAE=45°；

③作輔助線，連接AC交BD于點(diǎn)。，證BD=2FG,只需證OA=GF即可，根據(jù)

△AOF^AFGH,可證。A=GF,故可證BD=2FG；

④作輔助線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M,使AD=DM,過(guò)點(diǎn)C作a〃HL,則IL=HC,可證AL=HE,再

根據(jù)ZiMEC也△MIC,可證：CE=IM,故ACEH的周長(zhǎng)為邊AM的長(zhǎng).

【詳解】

??,BD為正方形ABCD的對(duì)角線，

AZADB=ZCDF=45°.

VAD=CD,DF=DF,

AAADF^ACDF.

AFC=AF,ZECF=ZDAF.

VZALH+ZLAF=90°,

AZLHC+ZDAF=90°.

VZECF=ZDAF,

AZFHC=ZFCH,

AFH=FC.

AFH=AF.

②?.?FH_LAE,FH=AF,

.?.ZHAE=45°.

③連接AC交BD于點(diǎn)O,可知：BD=2OA,

?.,NAFO+NGFH=NGHF+NGFH,

/.ZAFO=ZGHF.

VAF=HF,ZAOF=ZFGH=90°,

AAAGF^AFGH.

AOA=GF.

VBD=2OA,

ABD=2FG.

④連接EM,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M,使AD=DM,過(guò)點(diǎn)C作CI〃HL,貝lj：LI=HC,

VHL1AE,CI〃HL,

AAElCI,

AZDIC+ZEAD=90",

：/EAD+/AED=90°,

.??ZDIC=ZAED,

VED1AM,AD=DM,

EA=EM,

AZAED=ZMED,

AZDIC=ZDEM,

AZCIM=ZCEM,

VCM=MC,ZECM=ZCMI=45°,

.?.△MEC絲△CIM,可得:CE=IM,

同理，可得:AL=HE,

，HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

...△CEH的周長(zhǎng)為8,為定值.

故①②③④結(jié)論都正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】

解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，在解題過(guò)程中要多次利用三角形全等.

5.D

解析：D

【分析】

由題意知道AE=t,CF=2t,連接BD,證明△DEBgADFC,得到EB=FC=2t,進(jìn)而

AB=AE+EB=3t=5,進(jìn)而求出t的值.

【詳解】

解：連接DB,如下圖所示，

:四邊形ABCD為菱形，且NADC=120。，

/CDB=60°

.'△CDB為等邊三角形，；.DB=DC

又「△DEF為等邊三角形，.,.ZEDF=60°,DE=DF

.,.ZCDB=ZEDF

ZCDB-ZBDF=ZEDF-ZBDF

，NCDF=/BDE

在4EDB和4FDC中：

DE=DF

<^EDB=Z.FDC,.,.△EDB^AFDC(SAS)

DB=DC

：.FC=BE=2t

；.AB=AE+EB=t+2t=3t=5

5

，t=-.

3

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等、菱形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是能想到連接BD后證明三角形全

等，本題是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，將線段長(zhǎng)用t的代數(shù)式表示，化動(dòng)為靜.

6.A

解析：A

【分析】

如下圖，根據(jù)點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)和HM〃FE,可得HP是4ANF的中位線，四邊形MPNE是

矩形，再根據(jù)中位線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，可推導(dǎo)求得HM、CM的長(zhǎng)，在Rt^HCM中求CH

即可

【詳解】

如下圖，過(guò)點(diǎn)H作BE的垂線，交BE于點(diǎn)M,延長(zhǎng)AD交FE于點(diǎn)N,交HM于點(diǎn)P

,四邊形ABCD、CEFG是正方形，AADlEF,ZE=90°

VHM1BE

/.四邊形PMEN是矩形

VBC=1,CE=3

；.NE=1,.,.FN=2.PM=1

VHM±BE,FE_LBE,點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)

；.HM是AANF的中位線

.".HP=-EF=1,AP=PN=2

2

.?.在RtZXCHM中，CH=75

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)和三角形中位線定理，解題關(guān)鍵是將梯形ABEF分割成矩形和三角

形的形式，然后才可利用三角形中位線定理.

7.A

解析：A

【分析】

計(jì)算前三個(gè)正方形的面積從而得出一般規(guī)律求解.

【詳解】

順次連接正方形A3CD四邊的中點(diǎn)得到第一個(gè)正方形

則正方形AUGA的面積為1x1=1

正方形A/ZGA的面積為

1

正方形AAGA的面積為8-

正方形A,B“C”D”的面積為(；)"=+

根據(jù)規(guī)律可得，第六個(gè)正方形4B6c的面積為(-)6=^=—

2264

【點(diǎn)睛】

本題考查了特殊正方形中的面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解.

8.D

解析：D

【分析】

分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，高一定，底邊BE最大時(shí)面積最大；②當(dāng)E在CD

上時(shí)，4ABE的面積不變；③當(dāng)E在AD上時(shí)，E與D重合時(shí)，^ABE的面積最大，根據(jù)三

角形的面積公式可得結(jié)論.

【詳解】

解：分三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，E與C重合時(shí)，4ABE的面積最大，如圖1,

過(guò)A作AF_LBC于F,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,

AZC+ZB=180°,

VZC=120°,

AZB=60°,

Rtz^ABF中，ZBAF=30°,

.?.BF=；AB=1,AF=5

此時(shí)^ABE的最大面積為：；X4X6=2JL

②當(dāng)E在CD上時(shí)，如圖2,此時(shí)，Z\ABE的面積=LS,ABCD=LX4X6=2JL

22

③當(dāng)E在AD上時(shí)，E與D重合時(shí)，^ABE的面積最大，此時(shí)，4ABE的面積=26，

綜上，4ABE的面積的最大值是2百；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，并運(yùn)用分類討論的思想解決問(wèn)題.

9.C

解析：c

【分析】

利用SAS證明△AGBg^ACE,即可判斷①；證明/BNM=/MAE=90。，即可判斷②；假設(shè)

③成立，利用勾股定理對(duì)等式變形證得AC=8C,而AC與8。不一定相等，即可判斷

③；利用勾股定理證得BC2+EG2=BE2+CG2.從而證得結(jié)論④成立.

【詳解】

V四邊形ACFG和四邊形ABOE都是正方形，

；.AC=AG,AB=AE,

VZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

SAAGB和AACE中，

AG=AC

?/JNGAB=NCAE,

AB=AE

.,.△AGB^AACE(SAS),

，GB=CE,故①正確；

G

VAAGB^AACE,

.".ZGBA=ZCEA,

又：NBMN=/EMA,

/.ZBNM=ZMAE=90°,

：.EC±BG,故②正確；

設(shè)正方形ACFG和正方形ABDE的邊長(zhǎng)分別為。和b,

VAC8為直角三角形，且AB為斜邊，

???AB2-AC2=b2-a2=BC2>

假設(shè)FG2+BF2=2BD2+BC2成立，

則有/+（“+3。）2=2〃+8。2,

整理得：2aBC=2（b2-a2y即。BC=BC?，

a=BC,即AC—BC>

與BC不一定相等，

假設(shè)不成立，故③不正確；

連接CG,BE,設(shè)BG、CE相交于N,

G

ECLBG,

???BC2+EG2=BN2+NC2+EN2+NG2=BN2+EN2+NC2+NG2=BE2+CG2，

?.?四邊形ACHG和四邊形ABOE都是正方形，

二BE2=2AB2，CG2=2AC2.

BC2+EG2=2AB2+2AC2，故④正確；

綜上，①②④正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定

義、勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

10.D

解析：D

【分析】

分別利用平行線的性質(zhì)結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)分別判斷得出答

案.

【詳解】

BC=EC,

.\ZCEB=ZCBE,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

，DC〃AB,

NCEB=NEBF,

?\NCBE=NEBF,

...①BE平分NCBF,正確；

：BC=EC,CF1BE,

NECF=NBCF,

...②CF平分NDCB,正確；

：DC〃AB,

.\ZDCF=ZCFB,

：NECF=NBCF,

NCFB=NBCF,

，BF=BC,

...③正確；

：FB=BC,CF±BE,

，B點(diǎn)一定在FC的垂直平分線上，即PB垂直平分FC,

APF=PC,故④正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知

識(shí)，正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二、填空題

11.V2

【分析】

過(guò)B點(diǎn)作HE的平行線交AC于。點(diǎn)，延長(zhǎng)EG交AB于I點(diǎn)，得到B0=2HE,其中0點(diǎn)在線

段AC上運(yùn)動(dòng)，再由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短求出B0的長(zhǎng)即可求解.

【詳解】

解：過(guò)B點(diǎn)作HE的平行線交AC于。點(diǎn)，延長(zhǎng)EG交AB于I點(diǎn)，如下圖所示：

VH是BG的中點(diǎn)，且BO與HE平行，

AHE為△BOG的中位線,且BO=2HE,

故要使得HE最短，只需要BO最短即可，

當(dāng)E點(diǎn)位于C點(diǎn)時(shí)，則。點(diǎn)與C點(diǎn)重合，

當(dāng)E點(diǎn)位于D點(diǎn)時(shí)，則。點(diǎn)與A點(diǎn)重合，

故E點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。點(diǎn)在AC上運(yùn)動(dòng)，

由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知，當(dāng)BO_LAC時(shí)，此時(shí)B0最短，

?.?四邊形ABCD是正方形，

??.△BOC為等腰直角三角形，且BC=4,、

80=半=，=2近，

V2V2

HE=-BO=yf2,

2

故答案為：yf2■

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離垂線段最短等知識(shí)

點(diǎn)，本題的關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)將要求的HE線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)移到線段B0上.

12.200m

【分析】

如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)HK交AE于F,延長(zhǎng)NJ交FH于M,則四邊形EDHF,

四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形，AABC是等邊三角形，由此即可解決問(wèn)題.

【詳解】

如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)HK交AE于F,延長(zhǎng)NJ交FH于M

E

由題意可知，四邊形EDHF,四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形

：/A=/B=60°

ZE=ISO一ZA—ZB=60

??.△ABC是等邊三角形

，ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

九曲橋"的總長(zhǎng)度是AE+EB=2AB=200m

故答案為：200m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行

四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解.

13.472

【分析】

首先由對(duì)邊分別平行可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC和BD,過(guò)A點(diǎn)分別作DC

和BC的垂線，垂足分別為F和E,通過(guò)證明4ADF空△ABC來(lái)證明四邊形ABCD為菱形，

從而得到AC與BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD長(zhǎng)度.

【詳解】

解：連接AC和BD,其交點(diǎn)為。，過(guò)A點(diǎn)分別作DC和BC的垂線，垂足分別為F和E,

1.,ABHCD,ADIIBC,

...四邊形ABCD為平行四邊形,

ZADF=ZABE,

???兩紙條寬度相同，

/.AF=AE,

ZADF=NABE

,.?<ZAFD=ZAEB=90°

AF^AE

：.△ADFM△ABE,

AD=AB,

四邊形ABCD為菱形,

???AC與BD相互垂直平分，

???BD二2y/AB2-AO2=472

故本題答案為：4后

【點(diǎn)睛】

本題考察了菱形的相關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用了三角形全等和勾股定理，注意輔助線的構(gòu)造一定

要從相關(guān)條件以及可運(yùn)用的證明工具入手，不要盲目作輔助線.

14.472

【分析】

作P點(diǎn)關(guān)于線段AE的對(duì)稱點(diǎn)P',根據(jù)軸對(duì)稱將DQ+PQ轉(zhuǎn)換成DP'，然后當(dāng)

OPLAC的時(shí)候OP是最小的，得到。P'長(zhǎng)，最后求出正方形邊長(zhǎng)DC.

【詳解】

?；AE是ZDAC的角平分線，

???P點(diǎn)關(guān)于線段AE的對(duì)稱點(diǎn)一定在線段AC上，記為P

由軸對(duì)稱可以得到PQ=P'Q,

DQ+PQ=DQ+P'Q=DP',

如圖，當(dāng)。P_LAC的時(shí)候。P'是最小的，也就是。Q+PQ取最小值4,

???。尸=4，

由正方形的性質(zhì)產(chǎn)'是AC的中點(diǎn)，且r)p'=p'c,

在mDCP中，DCZDP'PC?7『+不=?=4曰

故答案是：40.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是能夠分析出力Q+PQ取最小值的狀態(tài),

并將它轉(zhuǎn)換成QP去求解.

15.8或12

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC=AD=5,ZBAE=ZDEA,ZABF=ZBFC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)

得到DE=AD=5,CF=BC=5,即可求出答案.

【詳解】

在ABCD中，AB〃CD,BC=AD=5,

AZBAE=ZDEA,ZABF=ZBFC,

,//胡。的平分線交CD于點(diǎn)E,

.\ZBAE=ZDAE,

AZDAE=ZDEA,

；.DE=AD=5,

同理:CF=BC=5,

；.AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12,

故答案為：8或12.

【點(diǎn)睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的等角對(duì)等邊的判定，解題中

注意分類思想的運(yùn)用，避免漏解.

16.16或10

【分析】

等腰三角形一般分情況討論：(1)當(dāng)DB，=DC=16；(2)當(dāng)BD=B，C時(shí)，作輔助線，構(gòu)建平

行四邊形AGHD和直角三角形EGB',計(jì)算EG和B'G的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得B'D的長(zhǎng)；

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形,

DC=AB=16,AD=BC=18.

分兩種情況討論：

(1)如圖2,當(dāng)DB'=DC=16時(shí),即△CDB'是以DB為腰的等腰三角形

B

圖2

(2)如圖3,當(dāng)B'D=B'C時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作GHIIAD,分別交AB與CD于點(diǎn)G、H.

圖3

四邊形ABCD是矩形，

ABIICD,ZA=90"

又GHIIAD,

四邊形AGHD是平行四邊形，又NA=90。，

四邊形AGHD是矩形，

AG=DH,ZGHD=90\即B'H_LCD,

又B'D=B'C,

DH=HC=-C￡>=8,AG=DH=8,

3

???AE=3,

/.BE=EB'=AB-AE=16-3=13,

EG=AG-AE=8-3=5,

在RtZkEGB'中，由勾股定理得：

GBZ=7132-52=12-

B'H=GHXGB'=18-12=6,

在RtAB'HD中，由勾股定理得：Q'D=762+82=10

綜上，DB'的長(zhǎng)為16或10.

故答案為：16或10

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形一般需要分類討論.

17.①②④.

【分析】

利用折疊性質(zhì)得NCBE=NFBE,ZABG=ZFBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,則可得到

/EBG=；NABC,于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；在Rt^ABF中利用勾股定理計(jì)算出AF=8,則

DF=AD-AF=2,設(shè)AG=x,則GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=4,利用勾股定理得到x?+42=(8-x)

2,解得x=3,所以AG=3,GF=5,于是可對(duì)②④進(jìn)行判斷；接著證明△ABFS/\DFE,利用

DFAF4AB6ABDF

相似比得到蕓=嚓=；,而——=?=2,所以——豐——，所以4DEF與4ABG不相

DFAB3AG3AGDF

似，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：?.?△BCE沿8E折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)尸處；點(diǎn)G在AF上，

將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，

:./CBE=NFBE,/A8G=NFBG,8F=8C=10,BH=BA=6,AG=GH,

，NEBG=NEBF+NFBG=gNCBF+；NABF=；/ABC=45°,所以①正確;

在RtAABF中，AF=yjBF2-AB-=7102-62=8，

Z.DF=AD-AF=W-8=2,

設(shè)AG=x,貝I」GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=W-6=4,

在RtAGFH中，

'：GH2+HF2^GF2,

：.x2+42=(8-x)2,解得x=3,

：.GF=5,

.：AG+DF=FG=5,所以④正確；

「△BCE沿8E折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處，

AZBf￡=ZC=90°,

：.ZEFD+ZAFB=90°,

而NAFB+NABF=90°,

NABF=NEFD,

：./XABF^/XDFE,

,AB_AF

"DF-DE)

?DE_AF_8_4

"DF-AB-6-1)

=AB6

而——=一=2,

AG3

ABDE

------w-------,

AGDF

.'△DEF與AABG不相似；所以③錯(cuò)誤.

11

「SAABG=-X6X3=9,SAGHF=—X3X4=6,

22

3_

??SAABG——SAFGH>所以②正確.

故答案是：①②④.

GD

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有

的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；在利用相似三角形的性質(zhì)

時(shí)，主要利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng).也考查了折疊和矩形的性質(zhì).

18.5

【分析】

先判斷四邊形BCEF的形狀，再連接RW、FC,利用正方形的性質(zhì)得出AFG是等腰直

角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì)得出MN=1EC即可.

2

【詳解】

四邊形ABCP是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF//BC,

二四邊形3CEE是矩形，

?；PE=1，

/.CE=3,

連接fM、FC,如圖所示：

?.?四邊形ABCP是正方形，

AZBAC=45，AEG是等腰直角三角形，

是AG的中點(diǎn)，即有AM=MG,

AFM1AG,是直角三角形，

又TN是FC中點(diǎn)，MN=-FC,

2

FC=^BF2+BC2=5

:.MN=25,

故答案為：2.5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在

于合理作出輔助線，通過(guò)直角三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解.

19.2^/5-V2

【分析】

連接A凡CF,AC,利用勾股定理求出AC、AF,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到當(dāng)點(diǎn)A,

F,C在同一直線上時(shí)，CF的長(zhǎng)最小，最小值為2石-V2.

【詳解】

解：如圖，連接AF,CF,AC,

:長(zhǎng)方形A8CD中AB=2,BC=4,正方形AEFG的邊長(zhǎng)為1,

：.AC=2y/5,AF=6，

"：AF+CF>AC,

：.CF>AC-AF,

.??當(dāng)點(diǎn)A,F,C在同一直線上時(shí)，CF的長(zhǎng)最小，最小值為26-0,

故答案為：26-V2.

G

【點(diǎn)睛】

此題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系.

20.伍豆U

2

【分析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出，四邊形AFED為正方形，CE=GE=BF,

/AEB+/GBE=/ABE+/EBC,即ZAEB=/ABE，得出AB=AE,繼而可得

解；

（2）結(jié)合（1）可知，AE=AM=41a-因?yàn)镋C=3BM,所以有BM=，EW,求出

2

BM,繼而可得解.

【詳解】

解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，

CE=GE=BF,NAEB+/GBE=/ABE+/EBC,即/AFR=/AAF,,

/.AB=AE,

AE=也月、=\[2ci

???AB=缶?

（2）結(jié)合（1）可知，AE=AM="z，

FM=V2tz—a>

VEC=3BM,

BM=-FM

2

/.BM=

2

.AD仄^/la—a3>/2—1

??AB=72aH------------=----------a-

22

故答案為：!——―-a-

2

【點(diǎn)睛】

本題是一道關(guān)于折疊的綜合題目，主要考查折疊的性質(zhì)，弄清題意，結(jié)合圖形找出線段間

的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

21.(1)見解析；(2)VTT

【分析】

(1)根據(jù)題意先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由AB=AD可得平行四邊形ABCD是菱

形；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出0A的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得出OE=gAC,在

2

RfAACE應(yīng)用勾股定理即可解答.

【詳解】

(1)證明：；CD,

ZOAB=ZDCA,

?；AC為NDW的平分線，

ZOAB^ZDAC,

：.ZDCA^ZDAC,

CD=AD=AB,

?；AB//CD,

四邊形ABC。是平行四邊形，

,/AD^AB，

???ABC。是菱形；

(2)

?..四邊形ABC。是菱形

，AO=CO

CELAB

：.ZAEC=90°

AC=2OE=6

22

在MAACE中，CE=S!AC-AE=Vii

故答案為（2）Jfl.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定

理，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.（1）詳見解析；（2）是，詳見解析；（3）1372

【分析】

（1）平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃BC,AB〃CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明NCEF=NCFE,

根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=CF,再有條件四邊形ECFG是平行四邊形，可得四邊形ECFG為菱

形，即可解決問(wèn)題；

（2）先判斷出NBEGEZO啾NDCG,再判斷出AB=BE,進(jìn)而得出BE=CD,即可判斷出

△BEG^ADCG（SAS）,再判斷出NCGE=60。，進(jìn)而得出aBDG是等邊三角形，即可得出結(jié)

論；

（3）首先證明四邊形ECFG為正方形，再證明ABME四△DMC可得DM=BM,

ZDMC=ZBME,再根據(jù)NBMD=/BME+NEMD=/DMC+/EMD=90。可得到△BDM是等腰直

角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

（1）證明：

VAF平分/BAD,

；./BAF=/DAF,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,AB/7CD,

AZDAF=ZCEF,ZBAF=ZCFE,

.\ZCEF=ZCFE,

；.CE=CF,

又四邊形ECFG是平行四邊形，

.??四邊形ECFG為菱形；

（2）二?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃DC,AB=DC,AD〃BC,

?.*ZABC=120\

AZBCD=6O°,ZBCF=120°

由（1）知，四邊形CEGF是菱形，

1

；.CE=GE,/BCG=-/BCF=60°,

2

，CG=GE=CE,NDCG=12O°,

VEG/7DF,

AZBEG=12O°=ZDCG,

VAE是/BAD的平分線，

ZDAE=ZBAE,

；AD〃BC,

/.ZDAE=ZAEB,

.\ZBAE=ZAEB,

；.AB=BE,

；.BE=CD,

.".△BEG^ADCG(SAS),

；.BG=DG,NBGE=NDGC,

NBGD=NCGE,

VCG=GE=CE,

...△CEG是等邊三角形，

.\ZCGE=60\

/BGD=60°,

VBG=DG,

/.△BDG是等邊三角形；

(3)如圖2中，連接BM,MC,

VZABC=90°,四邊形ABCD是平行四邊形,

...四邊形ABCD是矩形，

又由(1)可知四邊形ECFG為菱形，

ZECF=90",

四邊形ECFG為正方形.

VZBAF=ZDAF,

；.BE=AB=DC,

VM為EF中點(diǎn)，

/.ZCEM=ZECM=45",

AZBEM=ZDCM=135",

在ABME和ADMC中，

BE=CD

?：lNBEM=ADCM,

EM=CM

.?.△BME絲△DMC(SAS),

；.MB=MD,

ZDMC=ZBME.

AZBMD=ZBME+ZEMD=ZDMC+ZEMD=90°,

.?.△BMD是等腰直角三角形.

VAB=10,AD=24,

?*-BD=y/AB2+AD2=V102+242=26，

/.DM=—=.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定

與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.

14

23.