經(jīng)典控制第三章-2

好學(xué)近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇。

——《中庸》2/4/20241《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析時(shí)域分析法的含義時(shí)域方法通過(guò)拉氏反變換求出系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。時(shí)域分析法的特點(diǎn)定量分析方法：直觀、精確，但比較煩瑣。在時(shí)域中研究問(wèn)題，重點(diǎn)討論過(guò)渡過(guò)程的響應(yīng)形式。線性定常系統(tǒng)的性能穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能2/4/20242《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析為什么要研究典型輸入（試驗(yàn)）信號(hào)？控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)是隨機(jī)和無(wú)法預(yù)知的，很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預(yù)先知道的，可以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機(jī)床自動(dòng)控制的例子。為了測(cè)試比較控制系統(tǒng)的性能，需要有一個(gè)共同的基礎(chǔ)，對(duì)各種控制系統(tǒng)性能進(jìn)行有效的評(píng)判和比較。系統(tǒng)對(duì)典型試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)特性，與系統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸入信號(hào)的響應(yīng)特性之間存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系；所以采用試驗(yàn)信號(hào)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能是合理的。而且，許多設(shè)計(jì)準(zhǔn)則就建立在這些信號(hào)的基礎(chǔ)上?？刹捎煤芙咏鼘?shí)際系統(tǒng)經(jīng)常遇到的輸入信號(hào)，并在數(shù)學(xué)描述上加以理想化后能用較為典型且簡(jiǎn)單的函數(shù)形式表達(dá)出來(lái)的信號(hào)。2/4/20243《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析線性系統(tǒng)響應(yīng)的分解系統(tǒng)響應(yīng)（全響應(yīng)）

=動(dòng)態(tài)響應(yīng)（暫態(tài)分量）+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)分量）=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

=自由響應(yīng)+強(qiáng)迫響應(yīng)2/4/20244《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析拉氏反變換求解微分方程（零初始條件）

用部分分式展開(kāi)式中，si

為傳遞函數(shù)的極點(diǎn);

sk為輸入項(xiàng)函數(shù)R(s)的極點(diǎn)2/4/20245《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析

如果si

和sk

都是互異極點(diǎn)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)（初始條件為零的響應(yīng)）為式中，Ai、Bk為待定常量，其值與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參量及輸入有關(guān)。如果r(t)=1(t)，系統(tǒng)的輸出即為單位階躍響應(yīng)2/4/20246《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析在典型輸入信號(hào)的作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都由動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程兩部分組成。動(dòng)態(tài)過(guò)程：系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從開(kāi)始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。穩(wěn)態(tài)過(guò)程：時(shí)間趨近于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)輸出狀態(tài)的表現(xiàn)形式。它表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息。動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程2/4/20247《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的性能指標(biāo)，通常由動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。值得注意的是，只有對(duì)穩(wěn)定控制系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析才有意義！！動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能2/4/20248《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析h(t)t時(shí)間tr上升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%h(t)t調(diào)節(jié)時(shí)間tsh(t)t時(shí)間tr上升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%調(diào)節(jié)時(shí)間ts動(dòng)態(tài)性能

一般由單位階躍響應(yīng)表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。2/4/20249《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)2/4/202410《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析一、

二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及其標(biāo)準(zhǔn)形式RLC電路、電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)2/4/202411《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析典型二階系統(tǒng)是一個(gè)前向通道為慣性環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的單位負(fù)反饋系統(tǒng)。令則二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為

其中ζ

稱為系統(tǒng)的阻尼比，τ為時(shí)間常數(shù)，ωn為自然振蕩角頻率（無(wú)阻尼自振角頻率）。2/4/202412《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析注意：在控制工程中，二階系統(tǒng)的典型應(yīng)用極為普遍；眾多高階系統(tǒng)在一定條件下可近似為二階系統(tǒng)?？刂乒こ讨?，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼ζ、快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間。2/4/202413《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析隨動(dòng)系統(tǒng)（AServoSystem，位置控制系統(tǒng)）如下圖所示。二階系統(tǒng)示例2/4/202414《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析該系統(tǒng)的任務(wù)：控制機(jī)械負(fù)載的位置，使其與參考位置相協(xié)調(diào)。工作原理：用一對(duì)（輸入、輸出）電位計(jì)作系統(tǒng)的誤差測(cè)量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號(hào)轉(zhuǎn)換為與位置成正比的電信號(hào)。輸入電位計(jì)電刷臂的角位置θr

由控制輸入信號(hào)確定。角位置θr

就是系統(tǒng)的參考輸入量，而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比。輸出電位計(jì)電刷臂的角位置θc

由輸出軸的位置確定。

2/4/202415《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析電位差e=Ks(er-ec)就是誤差信號(hào)。Ks為橋式電位器的傳遞函數(shù)，該信號(hào)被增益常數(shù)為KA的放大器放大（KA應(yīng)具有很高的輸入阻抗和很低的輸出阻抗）。放大器的輸出電壓作用到直流電動(dòng)機(jī)的電樞電路上。電動(dòng)機(jī)激磁繞組上加有固定電壓。如果出現(xiàn)誤差信號(hào)，電動(dòng)機(jī)就產(chǎn)生力矩以轉(zhuǎn)動(dòng)輸出負(fù)載，并使誤差信號(hào)減少到零。2/4/202416《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析當(dāng)激磁電流固定時(shí)，電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的力矩（電磁轉(zhuǎn)距）為：Cm電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)，ia為電樞電流對(duì)于電樞電路：La和Ra分別為電動(dòng)機(jī)電樞繞組的電感和電阻，Kb為電動(dòng)機(jī)的反電勢(shì)常數(shù)，θ為電動(dòng)機(jī)的軸的角位移。電動(dòng)機(jī)的力矩平衡方程為：J為電動(dòng)機(jī)負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到電動(dòng)機(jī)軸上的組合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；f

為電動(dòng)機(jī)負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)。**********2/4/202417《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析因?yàn)榉答伝芈穫鬟f函數(shù)為1，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)（即前向通路傳遞函數(shù)）如果略去電樞電感LaK1=KsKaCm/(iRa)為增益，F(xiàn)=f+CmKb/Ra

為阻尼系數(shù)，K=K1/F為開(kāi)環(huán)增益，Tm=J/F為機(jī)電時(shí)間常數(shù)。電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)Kb

的存在，增大了系統(tǒng)粘性摩擦。若不考慮負(fù)載力矩，隨動(dòng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函簡(jiǎn)化為：2/4/202418《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析

若不考慮負(fù)載力矩，隨動(dòng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函簡(jiǎn)化為：（相當(dāng)于積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)）相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：2/4/202419《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析二、二階系統(tǒng)的特征根（極點(diǎn)）分布

求解二階系統(tǒng)的特征方程，可得或兩個(gè)負(fù)實(shí)根兩個(gè)共軛虛根2/4/202420《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析2/4/202421《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析

(1).

欠阻尼0<ζ<1

是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根。

(2).

臨界阻尼ζ

=1

是兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根。

(3).

過(guò)阻尼ζ

>1

是兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根。

(4).

無(wú)阻尼ζ

=0

是一對(duì)共軛純虛數(shù)根。2/4/202422《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

對(duì)于單位階躍輸入于是由拉氏反變換可得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)下面按阻尼比分別討論。2/4/202423《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析過(guò)阻尼(ζ>1)

這種情況下，系統(tǒng)存在兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，則（留數(shù)）2/4/202424《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析

由拉氏反變換可得過(guò)阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)分量：1暫態(tài)分量：兩個(gè)指數(shù)函數(shù)之和，指數(shù)部分由系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)確定。2/4/202425《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析討論：過(guò)阻尼系統(tǒng)是兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。

分析表明，當(dāng)ζ?1時(shí)，兩個(gè)極點(diǎn)s1和s2與虛軸的距離相差很大，此時(shí)靠近虛軸的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間響應(yīng)與原二階系統(tǒng)非常接近，可以用該慣性環(huán)節(jié)來(lái)近似原來(lái)的二階系統(tǒng)。即有2/4/202426《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析近似原則：用其中一個(gè)慣性環(huán)節(jié)近似原二階系統(tǒng)，需要保證近似前后初值和終值相等，并且要用到待定系數(shù)法！2/4/202427《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析

過(guò)阻尼系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值和最終誤差過(guò)渡過(guò)程時(shí)間（按近似后的一階系統(tǒng)求出）2/4/202428《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析

過(guò)阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的變化率所以，在整個(gè)暫態(tài)過(guò)程中，階躍響應(yīng)都是單調(diào)增長(zhǎng)的。

2/4/202429《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析2.

臨界阻尼(ζ＝1)

此時(shí)，系統(tǒng)具有二重負(fù)實(shí)極點(diǎn)，則（留數(shù)）2/4/202430《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析

單位階躍響應(yīng)為表明臨界阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是單調(diào)上升的。單位階躍響應(yīng)的變化率為：

臨界阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的誤差及終值2/4/202431《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析2/4/202432《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析解得。整個(gè)暫態(tài)過(guò)程中，臨界阻尼系統(tǒng)階躍響應(yīng)都是單調(diào)增長(zhǎng)的沒(méi)有超調(diào)。如以達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%所經(jīng)歷的時(shí)間做為調(diào)整時(shí)間，則臨界阻尼二階系統(tǒng)多在記錄儀表中使用。

單位階躍響應(yīng)變化率最大的時(shí)刻：2/4/202433《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析3.

欠阻尼(0<

ζ

<1)

此時(shí)，系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則2/4/202434《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析二階欠阻尼系統(tǒng)極點(diǎn)的表示：

（1）直角坐標(biāo)法（2）極坐標(biāo)法2/4/202435《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析拉氏反變換，得欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為或?qū)憺?/4/202436《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析2/4/202437《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析討論:(1)欠阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是衰減的正弦振蕩曲線。衰減速度取決于特征根實(shí)部的絕對(duì)值ζωn

的大小，振蕩角頻率是特征根虛部的絕對(duì)值，即有阻尼自振角頻率ωd

，(2)振蕩周期為

(3)ζ越大，振幅衰減越快，振蕩周期越長(zhǎng)（頻率越低）。2/4/202438《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析(4)上升時(shí)間tr的計(jì)算：

或即因而2/4/202439《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析(5)峰值時(shí)間tp的計(jì)算：

出現(xiàn)峰值時(shí)，階躍響應(yīng)隨時(shí)間的變化率為0，即

則故到達(dá)峰值時(shí)到達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)應(yīng)有2/4/202440《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析(6)最大超調(diào)量的計(jì)算：

2/4/202441《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析(7)調(diào)整時(shí)間ts

的計(jì)算：

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線位于一對(duì)曲線

以內(nèi)，這對(duì)曲線稱為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線?？梢圆捎冒j(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)曲線估算調(diào)整時(shí)間，所得結(jié)果一般略偏大。2/4/202442《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析解得當(dāng)Δ＝5％時(shí)，當(dāng)Δ＝2％時(shí)，當(dāng)0<ζ

<0.8時(shí)，設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí)，常取ζ=0.707為最佳阻尼比。若允許誤差帶是±Δ（如±2％），可以認(rèn)為調(diào)整時(shí)間就是包絡(luò)線衰減到±Δ區(qū)域所需的時(shí)間，則有

2/4/202443《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析在較大的ζ

值范圍內(nèi)，近似有

0<ζ

<1時(shí)，亦可用*(8)

滯后時(shí)間td

的計(jì)算：考慮到可知2/4/202444《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí)，可先由超調(diào)量確定阻尼比ζ

，再由其他指標(biāo)（如調(diào)整時(shí)間）和已確定的阻尼比給出自然振蕩角頻率wn。欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo)計(jì)算公式2/4/202445《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析例3-2：設(shè)一個(gè)帶速度反饋的伺服系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖所示。要求系統(tǒng)的性能指標(biāo)為σp=20%,tp=1s。試確定系統(tǒng)的K和KA值，并計(jì)算性能指標(biāo)tr、ts

和N。

圖3-102/4/202446《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析2/4/202447《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析得2/4/202448《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析2/4/202449《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析例：系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和r(t)=1(t)時(shí)的響應(yīng)h(t)如下圖所示，求K1、K2和a。

2/4/202450《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析解：由題意可知

2/4/202451《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析由(1)(2)和(3)可得由(4)(5)和(2)得2/4/202452《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析系統(tǒng)極點(diǎn)分布2/4/202453《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試求

1）當(dāng)時(shí)K=10系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；

2）使系統(tǒng)阻尼比ζ=0.707時(shí)的值。2/4/202454《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析解：1)K=10時(shí)，

2/4/202455《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析(2)2/4/202456《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析4.無(wú)阻尼（ζ＝0）

無(wú)阻尼情況下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是等幅正（余）弦振蕩曲線，振蕩角頻率是

2/4/202457《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析

不同ζ

下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線圖0123456789101112

ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.02/4/202458《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析幾點(diǎn)結(jié)論:1）二階系統(tǒng)的阻尼比ζ

決定了其振蕩特性：ζ<0（負(fù)阻尼）時(shí)，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定ζ=0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩0<ζ<1時(shí)，有振蕩，ζ

愈小振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快ζ≥1時(shí)，無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)，但過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng)2/4/202459《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析2/4/202460《自動(dòng)控制原理》第三章時(shí)域分析2）ζ一定時(shí)，ωn越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，

系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。