專升本高數(shù)公式大全

高等數(shù)學(xué)公式

導(dǎo)數(shù)公式:

(次Xy=sec2X(arcsiπ%)'=-[.

√l-x2

(CZgX)'=-CSC?X

(V1

(secx)r=secx√gx(arccosx)=——/

√l-x2

(CSCXy=-esc犬?c次X

(arctgx)=------F

(優(yōu))'=4'l∏Q1+x

1z、，1

(Iog〃％),={arcctgx)=-------r

XIna1+x

基本積分表:

^tgxdx=-In∣cosx∣÷CdX「27C

--------=sec-xax=tgxΛ-C

cos~xJ

^ctgxdx=ln∣siιιx?+C

——=fcsc2xdx=-ctgx-vC

JsecxtZr=In∣secx+∕gx∣+CsinxJ

JCSCXdX=InICSCX-豳X+CSeCX?tgxdx=SeCX+C

esex?ctgxdx=-esex+C

?47λ

x

adx=-+C

Ina

ShXdX=ChX+C

ChXdX=Shx+C

=In(X+JX2±4,)+C

ππ

~2~2〃]

=?sin"xdx-∫cos,zxdx--------

JVx2+^z2dx=-yjx2+(72+—ln(x+Vx2+^2)+C

??/^2-x1dx=?y∣a2-x2+?aresin-+C

三角函數(shù)的有理式積分：

.2w1—X2du

smx=-------,cos%=------rdx=

l+w2l+w2"町'l+w2

一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:

..sinx

雙曲正弦:s/?X=Iim------=11

2XfoX

雙曲余弦："x=e"+eJCIim(l+?=e=2.718281828459045...

2x→∞X

WJqXpX—p~x

雙曲正切:左X="=j?

chxe+e

arshx=In(x+Λ∣X2+1)

archx-±ln(x+√x2-1)

11÷x

arth1x=—1In------

21-x

三角函數(shù)公式:

?誘導(dǎo)公式：

數(shù)

角二、sincostgctg

-α-sinacosa-tga-ctga

90。七cosasinactgatgɑ

900+acosa-sina-ctga-tga

180?！秙ina-cosa-tga■ctga

1800+a-sina-cosatgactga

270?！?cosa-sinactgaIga

2700+a-cosasina-ctga-tga

360o-a-sinacosa-tga■ctga

3600+asinacosatgactga

?和差角公式:?和差化積公式:

sinα÷s^=2sin^cos^

sin(ɑ±￡)=SinaCOs/?±cos0sinβ

COS(ɑ±β)=cos6zcosβμsinasin/?

a+β.cc—β

tga±tgβSina—Sinβ=2cos------sin------

tg(a±β)=22

??ιtga-tgβa+/3a-B

CoSa+cosA=2cos------cos------

ctga?ctgβμ1

ctg{a±β)22

ctgβ±ctgaa+β.oc—β

COSa-COSβ=2sin------sin.......-

22

?倍角公式:

sin2a=2SinaCoSa

cos2ez=2COS26Z-1=l-2sin26T=cos2a-sin2asin30=3sina-4sin'0

1cos30=4cos%-3cosa

.?ctga-?

ctg2a=--------

2ctga3tga-tgya

tg3a=

,2tgal-3tg2a

-F

?半角公式:

,l+cosσ1+COS6ZSIna

c%a=±k京

SinaI-COSa

ahc

?正弦定理："-二=—^—=27??余弦定理：c2=a2÷?2-2abcosC

sinAsinBsinC

一一一Ttπ

?反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=-----arccosxarctgx=--arcctgx

2

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲(LeibniZ)公式:

QV嚴(yán)=力C”i)W)

Λ=0

小+〃…+券〃fM+f『+D…+A+〃網(wǎng)

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:

拉格朗日中值定理：∕S)-/(α)=∕'R)S-a)

柯西中值定理:m-f(a)f?ξ)

F(b)-F⑷F?ξ)

當(dāng)F(X)=X時(shí)，柯西中值定理就鄴格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds=?l+y'2√x,其中y'=∕gα

平均曲率汞=A￡.Aa:從M點(diǎn)到M'點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；As：弧長(zhǎng)。

?5

M點(diǎn)的曲率：=Iim—=—=∣?v∣.

MTOAsdsJ(l+y'2)3

直線：K=O;

半徑為α的圓：K=L

定積分的近似計(jì)算:

ZtRinZ、十rb-a

矩形法：J/(χ)≈—(γ0+y1+Λ+Z,_.)

a

?A一∩1

梯形法：∫∕(x)≈-------[不("+兄)+乃+A+%_1]

a〃2

b?_

拋物線法：]/(X)ɑ<q(X)+κ)+2(%+N4+A+%_2)+4(必+%+A+γn.1)]

J3/7

定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

功：W=F?s

水壓力：F=p?A

引力：F=k瞥,k為引力系數(shù)

r

_1h

函數(shù)的平均值沙=??f{x}dx

a

均方根Jb二J/"")"

空間解析幾何和向量代數(shù)：

222

空間2點(diǎn)的距離：d^?M,M^√(x2-x,)+(γ2-γ1)+(z2-z1)

向量在軸上的投影：Pr/“9=?cosp,8是方與〃軸的夾角。

Pr.成+記)=PrJM+Pr威

as?b=|明#CoS6=α也+ciyby+α也,是一個(gè)數(shù)量，

兩向量之間的夾角:eosd=%b*+a,b+凡團(tuán)

7√+^2÷^2√√+√÷^2

iJk

5515

c=a×b-axav4_用=用WSina例：線速度：v=w×r.

b,byb2

axaya2

向量的混合積：|^篇=浮x6)?f="byb?=的前同COSe,α為銳角時(shí)",

CXCyCZ

代表平行六面體的體積。

平面的方程：

1、點(diǎn)法式:N(X-x0)+5(y-%)+C(Z-ZO)=0,其中鏟={4∕C},M)(XO

2、一般方程：∕x+8y+Cz+Q=0

3、截距世方程：土+上+三=1

abc

平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：4=國(guó)產(chǎn)+%+0

^JA2+B2+c2

X=XQ+mt

空間直線的方程:土玉=匕取==其中??={嘰〃,p};參數(shù)方程:y=為+加

mnp

[z=z0+pt

二次曲面：

222

1、ffiW?+?+?=ι

abc

2、拋物面:二+片=Z,(p,q同號(hào))

2p2q

3、雙曲面：

單葉雙曲面?-彳=1

ahc

雙葉雙曲面工—4+4=1(馬鞍面)

a'b'c

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

AW八J/」?Z,,?U,?U,?U,

全微分：Ctz=—ax+—ayau=—ax+——ay+—az

?x?yer?y?z

全微分的近似計(jì)算：MXdZ=f,(x,y)?x+∕l.(x,y)?y

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：

包

&詈

dz“ez

一-

Z=加⑺,W)]與=+

初

也7&ev

包

吟

ez‰辦

瓦ev

z=f[u(x,y),v(x,y)]-‰-

當(dāng)"="(x,y),V=V(X,y)時(shí),

dv=如dx+曳dy

?x?y

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:

包一.，也=A(-?A(-?.生

隱函數(shù)∕7(x,y)=O,="+

2

dxFydx?xFv?yFydx

?z_F?z_F

隱函數(shù)xy

F(X,%z)=0,,

?xFz?yFz

竺

竺

沏

隱函數(shù)方程組嚴(yán)°d(F,G)加F.F

竺

絲v

沏

G(x,y,",v)=O?(u,v)加G11Gv

‰I

-1d(F,G)--d(EG)

‰δ-v_J

J?(x,v)δx?(u,x)

包δvI

--1iS(EG)----O(EG)

JayJ

aye,(S(u,y)

微分法在幾何上的應(yīng)用：

χ=φ(t)

空間曲線y=〃⑺在點(diǎn)/(X。,外,Z。)處的切線方程:中=與，=泊

(八(p(to)W(to)d)(t)

z=ω(t)0

在點(diǎn)M處的法平面方程："伉)(x—%)+ψ?t.)(?-y0)+ω'(t0)(z-z0)=0

若空間曲線方程為：?Xj'?U，則切向量產(chǎn)={g；F；F

G(x,y,z)=0GyGlG2

曲面E(X,y,z)=O上一點(diǎn)Λ∕(Xo,%,Zo),貝∣J：

1'過(guò)此點(diǎn)的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程：Fx(xo,yo,zQ)(x-xo)+Fy(xo,yo,zQ)(y-yo)+F:(xo,yQ,zn)(z-zn)^O

3、過(guò)此點(diǎn)的法線方程:一口一=—匕為一=—三一

工(XO/。，ZO)%仆0，九*0)E(Xo，為，ZO)

方向?qū)?shù)與梯度：

函數(shù)Z=/(x,y)在一點(diǎn)P(X,y)沿任一方向/的方向?qū)?shù)為:更=又?COSQ+笠sin/

olox?y

其中夕為X軸到方向/的轉(zhuǎn)角。

函數(shù)Z=/、(")在一點(diǎn)MX,y)的梯度：^adf(x,y)^-Γ+-j5

?x?y

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是冬=gradf(x,y)者其中JI=COS夕y+Sin夕/為/方向上的

Ol

單位向量。

更是grad∕(x,y)在/上的投影。

Ol

多元函數(shù)的極值及其求法：

設(shè)A(XoJo)=Ev(XoJo)=O,令：匕(/J。)=4fxy(χ0,y0)=B,fyy(χ0,y0)=c

心爐＞0時(shí),尸＜06。）。）,y

A＞0,（X（）,%）為極小值

則:爐＜0時(shí)，無(wú)極值

ZC-爐=0時(shí)，不確定

重積分及其應(yīng)用：

^f(x,y')dxdy=j?/(reos^,rsinθ)rdrdθ

DD'

2

?z?z

曲面Z=/(Xj)的面積/=∫∫dxdy

?x砂

dσ

^xp{x,y}dσ_MV??yp^

平面薄片的重心：亍=必D

M^p(x,y)dσ'Mjjp(x,y)cfσ

DD

平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于X軸人=J∫∕ρ（X,y）dcr,對(duì)于y軸。=j∫χ2河χ,y）dcr

DD

平而薄片（位于XOJ/平面）對(duì)Z軸上質(zhì)點(diǎn)/（0,0,0,伍〉0）的引力：F^{Fx,Fy,Fz],其中:

F=/??P(x,y)xdσ

d(x2+y2+a2yD(x2+y2+a2yd(x2+y2+a2y

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：

x=rcosθ

j?[f(xy,z)dxdydz=?j?F(r,θ.z)rdrdθdz^

柱面坐標(biāo):<y=rsinθ99

Z=ZΩ

其中：F(T,8,Z)=f(rcosrsinθ9z)

X=VSineCOSe

球面坐標(biāo)，y=rsinesinθ,dv=rdφ?尸Sine?d。?dr=/sinφdrdcpdθ

Z=/CoSe

2ππr(φS)

j??/(?,y,z)dxdydz=^F{r,φ,θ)r2sinφdrdφdθ=^dθ^dφ∫F(r,?9,^)r2sinφdr

ΩΩ000

重心：*4型如歹=2型血24gzp九其中"=x=?j?pdv

Ω

22χ2wv

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：4=JJJt/+Z2)RMIy?∫∫∫(x+Z)∕X∕HL=∫∫∫(+∕)z

ΩΩΩ

曲線積分:

第一類曲線積分(對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分)：

ID(α“S則:

設(shè)/(x,y)在上上連續(xù)，I的參數(shù)方程為，

β__________________X=t

?f=∫∕[<p(z),^0)]√φ'^(Z)+ψ'^{t}dt(a<β)特殊情況，

La.y=夕(/)

第二類曲線積分(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)：

設(shè)L的參數(shù)方程為卜*1，則：

y=叭t)

β

JP(X,y)dx+Q(x,y)dy=J｛尸即(∕)”(∕)]p'(∕)+。[9(/),"(/)]”'(/)｝力

La

兩類曲線積分之間的關(guān)系JR∕x+=J(PCoSa+2cosβ｝ds,其中α和力分別為

LL

A上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。

格林公式：°(詈一■WX4=4尸。工+。加各林公式：0(第_看)辦方=^PdxQdy

當(dāng)—即警新2時(shí),得到。的面積A=^dxdy=—^xdy-ydx

DZL

?平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件：

1、G是一個(gè)單連通區(qū)域;

2、P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且挈=發(fā)。注意奇點(diǎn)，如(0,0),應(yīng)

oxoy

減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積：

在學(xué)=空時(shí)，PdX+。分才是二元函數(shù)“(x,y)的全微分，其中：

oxoy

(χ,y)

w(x,y)=Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常設(shè)XO=y0=Oo

(XoJO)

曲面積分:

對(duì)面積的曲面積分:^f?x.y.z)ds=∫∫∕[x,y,z(x9y)]φ+z(x,y)+z?(x,y)dxdy

∑%,

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分JjP(x,y,z)力dz+0(XJ,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy其中：

∑

^R(x,y,z)dxdy=±∫∫R[x,y9z(x,y)]dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)取正號(hào)；

∑Dxy

JJP(X,%z)√ydz=±JJP[x(y,Z)J,z]dydz,取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào)；

∑

?[Q(x,y,z)dzdx=±JJQ[x,y(z9x?z]dzdχ9取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào)。

∑%

兩類曲面積分之間的關(guān)系:?jR加?+0dzdx+Hdx4=JJ(Pcos二+0CoSβ+7?CoSy)ds

∑∑

高斯公式：

???(^++W^dV=(^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=耳(PCOSa+Qcosβ+RCoSy)原

高斯公式的物理意義——通量與散度：

散度：div/=鋁+尊+理,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若divr<0,則為消失…

?x?y?z

通量：JJz?ncis=口4,4=JJ(∕,cosa+QCoSβ+Rcosy)ds,

ΣΣΣ

因此，高斯公式又可寫成:j??div歌=由×∕?

CΣ

斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系：

ff57?AQ、」,,?POR、』,.?Q?P.,r,C-,

11(z----------)dydz+(----------)dzdX+(----------)xdXdy—dPndx+Qdy+RndZ

?y?z?z?x?x?y*一

dydzdzdxdxdyCoSacosβCOS/

上式左端又可寫成』￡?A_∣γd8e

辦?zJ?x?z

PQRPQR

?R_?Q?P?R?Q?P

空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件:

Sydzdzdxdx一Sy

?

旋度：rotA-

?x

P

向量場(chǎng)易&有向閉曲線「的環(huán)流量:扔√x+0fy+Rdz=^A-Tds

ΓΓ

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):

等比數(shù)歹∣hl+g+/+Λ+√"-'???

等差數(shù)列J+2+3+A+”=如業(yè)

2

調(diào)和級(jí)數(shù)：l+1+1+A+`??是發(fā)散的

23n

級(jí)數(shù)審斂法:

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法——根植審斂法(柯西判別法)：

「<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

設(shè)：P=Um瘋"，則<2>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

w→∞

P=I時(shí)，不確定

2、比值審斂法：

.<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂

TJ

設(shè)：P=Iim巴包，則夕>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

n→∞TJ

"夕=1時(shí)，不確定

3、定義法：

s“=%+%+A+”“；IimS“存在，則收斂；否則發(fā)散。

-M

交錯(cuò)級(jí)數(shù)〃]-%+%-%+?(或-%+M23+?，〃">0)的審斂法----萊布尼茲定理：

n2〃

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足Iin^?0,那么級(jí)數(shù)收斂且其和s≤∕,其余項(xiàng)的絕對(duì)值％∣≤",”

絕對(duì)收斂與條件收斂：

(l)wl+u2+Λ+un+Λ.,其中〃“為任意實(shí)數(shù);

(2)∣w1∣+∣i∕2∣+∣M3∣+Λ+∣wn∣+Λ

如果(2)收斂，則⑴肯定收斂，且稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù);

如果(2)發(fā)散，而⑴收斂，則稱⑴為條件收斂級(jí)數(shù)。

調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，而工阡收斂;

級(jí)數(shù)：2斗收斂;

n

P級(jí)數(shù)：￡十P<I時(shí)發(fā)散

P>1時(shí)收斂

塞級(jí)數(shù):

,3?∕w<ι時(shí)，收斂于」一

l+x+x^+x3+Λ+x+Λ(1-x

?∣x∣≥1時(shí)，發(fā)散

對(duì)于級(jí)數(shù)⑶％+。1%+。2》2+A+α,,x"+A,如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全

∕N<R時(shí)收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存在H,使(忖〉火時(shí)發(fā)散，其中H稱為收斂半徑。

?k∣=7?時(shí)不定

/夕聲O時(shí)，R=L

求收斂半徑的方法：設(shè)lim%i=Q其中凡，a”+1是(3)的系數(shù)，則(P=O時(shí)，R=+∞

w→∞a\

"\夕=+8時(shí)，R=O

函數(shù)展開(kāi)成基級(jí)數(shù)：

函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：/(x)=∕(Xo)(X—/)+￡祟(x-x0y+A+";。%—X。)"+A

余項(xiàng)：&=￡22④(χ-%)"MJ(X)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是：隔r=0

(〃+1)!λ→o°

,2n

XO=O時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)=/(0)+/(0)x+^≡x+Λ+∕！?x+Λ

2!〃！

一些函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)：

“、叫w(w-l)2Λw(w-l)Λ(7M-/7+1)??.,

(1+x)=1+WtX+--------%+Λ+-----------------------X+Λ(-l<x<l)

2!〃！

.X3X5

Sinx=X----------1----------Λ+(-l)w^1---------÷Λ(一8<x<+∞)

3!5!

歐拉公式：

Jx.-ix

e+e

COSX=----------------

2

e'x=cosx+zsinx或<

Jx-IX

.e—e

Sinx=----------------

I2

三角級(jí)數(shù)：

f")=4+￡4sin(，+1(凡cosnx+?,,sinnx)

n=?2rt=ι

其中，Qo=Q4，an=Ansinφn,bn=A11cos^7,(Ot=XO

正交性：1,SinX,cosx,sin2x,cos2xΛsinwx,coswxΛ任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在［-肛］］

上的積分=0。

傅立葉級(jí)數(shù):

/(x)=—+￡(%COSAIr+sinnx?周期=24

2〃=i

?)

an=—?/'(?)cosnxdx(H=0,1,2Λ)

其中?-”Λ?

bn=—J∕>(x)sin∕7x<?(〃=1,2,3A)

-π

11?π11r2

1+Λ=—7(相力口)

1+—Γ+F+A=—

325286

2

IllA萬(wàn)π

~~^∣—~^∣—τ+A=—+Λ=。(相減)

2242622412

正弦級(jí)數(shù)：

an=0,bn=—∫∕(x)sinnx√x"=1,2,3A/(x)=Zbl1sin"X是奇函數(shù)

π0

（）今+是偶函數(shù)

余弦級(jí)數(shù)：bn=0,αn=—∫∕(x)cosnxdxn—0,1,2Λ