上海期中解答題50題（基礎版）-2021-2022學年九年級數(shù)學期中考試滿分全攻略（滬教版）教師版

上海期中解答題精選50題（基礎版）

一、解答題

1.（2020?上海市川沙中學南校九年級期中）如圖：ADPEGPBC,EG分別交AB、DB、

4c于點E、F、G,已知A￡>=6,8c=10,AE=3,AB=5,求EG、FC的長.

【答案】EG=6,FG=—

【分析】在AABC中，根據(jù)平行線分線段成比例求出EG,在ABAD中，根據(jù)平行線分線段成比

例求出EF,再根據(jù)FG=EG-EF即可求解.

【詳解】解：?在AABC中，EG//BC,

.EGAE

/BC=10,AE=3,AB=5,

.EG_3

?而一

??EG=6.

??在△84。中，EF//AD,

.EFBE

*

?FO=6,AE=3,AB=5,

.EF5-3

_----------

65,

FG=EG-EF=—.

5

【點睛】本題考查平行線分線段成比例，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延

長線），所得的對應線段成比例.

2.（2017?上海浦東新?九年級期中）如圖，已知AB〃EF〃CD,AD與交于點0.

(1)如果蛋3,EBADF%求力嫡長；

(2)如果8。0E-.EC=2：4：3,45=3,求功的長.

21

【答案】⑴8：(2)—

試題分析：(1)根據(jù)平行線分線段成比例、比例的基本性質求得AF=6,則AD=AF+FD=8；

(2)由60：0E-.EO2-.4：3,可得BO：C0=2：7,根據(jù)AB〃CD得△ABOs/\DCO,則可得出AB:CD=BO:CO,

求出CD的值.

FR

解.：(1)AB//EF//CD.

ECFD

OA/7

又「上3,EB4DF尢,得AF=6,

???AD=AF+FD=8.

(2)?:BSOExEO2：4：3,ABO：C0=2：7,

VAB//CD,AAABO^ADCO,

,A8BO2

又AB=3,

2

3.(2020?上海民辦華二浦東實驗學校)計算：—--2sin600cos450+3tan300sin450.

tan30°

【答案】2有

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而代入求出答案.

2

【詳解】-------2sin60°cos450+3tan300sin45°

tan30°

2不叵q73貶

近2232

T

=26一遠+遠

22

=2石

【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵.

ccf45。

4.（2017?上海浦東新?九年級期中）計算：4sin45°-2tan30°cos300+——

cos60°

【答案】2&+1

試題分析：將特殊二角函數(shù)的值代入，利用實數(shù)的混合運算計算即可.

解：原式=4X也-2X3X避+T

2325

=2>/2-1+2

=272+1.

5.（2019?上海浦東新?九年級期中）計算：一（430。二8145“

tan60+2sin45°

【答案】26-2應

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代值計算即可.

4網(wǎng)I

【詳解】解：原式=（2J,

舟2吟

2

=2人-2技

【點睛】本題考查了特殊角的二角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的函數(shù)值是解題關鍵.

6.（2019?上海浦東新?九年級期中）如圖，在RfAABC中，/C=90。，點〃是比邊上的

32

一點，8=6,cosZ.ADC=-,tanB=—.

53

（1）求4>口［酹］長；

（2）求sin/flAO的值.

【答案】（1）4加：（2）

65

CD

試題分析：（1）在Rt^ACD中，利用8$/4短。=F；，CD二6求出AD的長，再求出AC的長,再在

AD

2

RtZ\ABC中，利用1皿3=二"=；求出BC的長，再求出AB的長；（2）過點D作DIUAB了點H,利

BC3

用SAM=；AB?D11=；BD?AC,其中AB、BD、AC都可知，則可求出Dll,再在RtA'DII中利用正弦

三角形函數(shù)定義求解.

CD3

解：(1):在Rt△［的，cosZ/lZ^=—CD=6,

AD5

,\AD=10,

.?.在RtzMCD中，AOAD2-CD2=8.

AC?

又；在RtZ\ABC中，tanB=—=-,

BC3

.,.BC=12,

；?4代JAC2+BC。=4岳.

(2)過點D作DH_LAB于點H,

.?.SAABD=！AB?DH=gBD?AC,

22

其中AB=4713,BD=BC-CD=6,AC=8,

：.DH二處乙0叵

AB13

...在sinABAD---^-.

AD65

7.(2020?上海市曹楊二中附屬江橋實驗中學九年級期中)用配方法把二次函數(shù)y=gx?-4x+5

化為y=a(x+m)2+k的形式，再指出該函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

【答案】拋物線的開口向上，對稱軸是直線x=4,頂點坐標是(4,-3).

【分析】用配方法把一般式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質解答即可.

【詳解】解：「尸gV—4x+5=g(x—4尸一3,

???拋物線的開口向上，對稱軸是直線x=4,頂點坐標是(4,-3).

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式，正確利用配方法把一般式化為頂點式是解題的

關鍵.

8.(2020?上海市民辦文綺中學)如圖，在梯形ABCC中，AB//CD,AB=2CD,岫=益

—>—>

BC=h-

(1)￡D(用含：、％的式子表示).

(2)在圖中求作向量八分別在幾、北方向上的分向量(不要求寫作法，但要指出圖中表

示結論的向量)

【答案】（1）y+b-（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)向量加法法則計算；

（2）根據(jù)平行四邊形法則即可表示.

【詳解】（1）AD=AB+BC+CD=AB+BC--AB=-AB+BC=-a+b；

222

（2）如圖，取AB的中點

則礪，而即為向量而分別在布、團方向上的分向量.

【點睛】本題考查了向量的平行四邊形法則，及一個向量在另一向量方向的分量的定理，熟

練掌握基本定理及靈活運算是解題關鍵.

9.（2020?上海第二工業(yè)大學附屬龔路中學九年級期中）如圖，AB〃CD,AD與BC相交于點E,

過點E作EF〃CD交BD于點F,如果AB：CD=2：3,EF=6,求CD的長.

【答案】15

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理可證△ABEs^DCE,列出比例式即可求出B器F=：2,然后

根據(jù)相似三角形的判定定理可證△BEFS/\BCD,列出比例式即可求出結論.

【詳解】W：-AB//CD

AAABE^ADCE

.BEAB

*,EC-CD-3

.BE_2

,~BC~~5

?：EFHCD

AABEF^ABCD

.EFBE2

,CD-BC-5

,:EF=6

，CD=15.

【點睛】相似三角形的判定和性質是本題的考點，熟練掌握并運用平行線的性質是解題的關

鍵.

10.（2020?上海市川沙中學南校九年級期中）已知：如圖，△ABC中，點D是AC邊上一點,

且AD：DC=2：1.

⑴設證=ZBC=b,先化簡，再求作：（3a+b）-（2a+-b）（直接作在圖中）；

11

（2）用M+皿（X、y為實數(shù)）的形式表示前.

一1一___1_2一

【答案】（1）a+-b,作圖見解析；（2）BD=-a+-b.

【分析】（1）根據(jù)平面向量加減混合計算的順序和法則，先化簡，再作圖；

（2）首先求出衣，再根據(jù)AD：CD=2：1,求出而，根據(jù)麗=麗+亞比算即可解決問題

【詳解】解：（1）（3a+h'）-（2a+^h'）=3a+h-2a-^h=a+^h；

如圖，延長CB到點F,使BF=：BC,連接FA,而即為所求.

D

(2)VACBC+BA=b-aAD=-(b-0),AD：DC=2：1,

/.AD=-AC,

3

AD=|(5-a),

BD=BA+AD<

BD=a+—(b—d]=—d+—b.

3V733

【點睛】本題考查平面向量，平面向量的加法法則，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學

知識解決問題.

11.(2020?上海炫學培訓學校有限公司九年級期中)如圖，點E是平行四邊形ABCD中邊AD上

的點，且AE=2DE,延長CE到點F,使EF=CE,已知函=￡,配=坂，求而

【答案】AF=a+U

【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質得出麗=而=￡,而=而=加，然后求出玄，而，再通

過三角形法則計算即可.

【詳解】二?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.BA=CD=a,AD=BC=b.

VAE=2DE,

__2__2__|__i

,.AE=-Ab=-b,Eb=-Ab=-b

3333f

CE=CD+DE=ci—b.

3

VEF=CE,

,EF=CE=a--b,

3

—.—.—

AF=AE+EF=-h+a一一h=a+-h.

333

【點睛】本題主要考查向量的運算，掌握二角形法則是解題的關鍵.

12.（2017?上海浦東新?九年級期中）如圖，已知平行四邊形A3CD,點M、N是邊。。、

3C的中點，設通=入AD=b；

（1）求向量（用向量5表示）；

（2）在圖中求作向量麗在麗、而方向上的分向量.（不要求寫作法，但要指出所作圖中

表示結論的向量）

【答案】（1）MN=^a-^b-（2）見解析

【分析】（1）連接BD,根據(jù)點M、N是邊DC、BC的中點得出如〃DB,MN=；DB,在平

行四邊形A8C。中表示出麗，即可求出而；

（2）先平移麗，使點M和點A重合，然后利用平行四邊形法則，即可求得答案.

【詳解】解：（1）連接BD,

?.?四邊形A8CD為平行四邊形，

，DM=CM,BN=CN,

?:點、M、N是邊DC、BC的中點,

2

/.DB=DA-^AB=-b+a=a-b>

--1—.1一1一

?.MN=-DB=-a——h；

222

（2）先平移麗，使點M和點A重合，然后利用平行四邊形法則作圖:

，女、藐分別是向量MV在而、而方向上的分向量.

【點睛】本題考查了平面向量的知識、平行四邊形的性質以及三角形的中位線的性質，熟練

掌握平行四邊形法則與三角形法則的應用是解此題的關鍵.

13.（2019?上海嘉定?九年級期中）如圖，在AABC中，點BDLAC于點D,DE_LAB于點E,BD2

=BC?BE.

(1)求證：ABCD^ABDE；

(2)如果BC=10,AD=6,求AE的值.

【答案】（1）見解析；（2）AE=3.6

【分析】（1）由BD2=BOBE得到能=受，則根據(jù)直角三角形相似的判定方法可得到結論;

BDBE

（2）利用射影定理得到BD?=BE?BA,再根據(jù)BD"=BC?BE,則有BA=BC=10,再利用射影定理

得至l」AD"=AE?AB,于是可求出AE的長.

【詳解】（1）證明：??,點BDLAC于點D,DELAB于點E,

AZBDC=90°,ZBED=90°,

VBD2=BC-BE,

.BCBD

??茄一正’

AABCD^ABDE；

(2)解：VBD2=BE*BA,BD2=BC*BE,

ABA=BC=10,

VAD2=AE*AB,

r2

r.AE=—=3.6.

10

【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及射影定理，掌握直角三角形的判定方法和射影定

理是解決此題的關鍵.

14.(2019?上海嘉定?九年級期中)如圖，在aABC中，點D,E分別在邊AB、AC上，DC與BE

相交于點0,且D0=2,B0=DC=6,0E=3.

(1)求證：DE〃BC；

(2)如果四邊形BCED的面積比4ADE的面積大12,求aABC的面積.

【答案】(1)見解析；(2)S△妝=24.

【分析】(1)證明△D0Es/\C0B即可解決問題.

(2)由DE〃BC,推出△ADES^ABC,段=空=：,推出#=；,設aADE的面積為x,

BCOC28c4

則aABC的面積為4x,構建方程即可解決問題.

【詳解】解：(1)V0D=2,DC=6,0E=3,

ODOE

???0C=4,—=-

OCOB-2

.ODOE

■*OC-OBJ

VZD0E=ZB0C,

AADOE^ACOB,

AZ0DE=Z0CB,

???DE〃BC.

(2)VDE/7BC,

/.△ADE^AABC,

.DE=OD1

**BCOC2

...*=，，設AADE的面積為X,則4ABC的面積為4x,

S.ABC4

???四邊形BCED的面積為3x,

由題意3x-x=2x=12,

，x=6,

**?SAABC=4X=24.

【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質、平行線的判定，掌握相似三角形的判定和

相似三角形的面積比等于相似比的平方是解決此題的關鍵.

15.（2019?上海市天山初級中學九年級期中）如圖，直線《4/分別交直線乙于點A8,C,交

直線4于點。，及尸且4M憶,已知EF：DF=5:8,AC=24.

（1）求48的長；

（2）當AO=4,BE=1時，求CF的長.

【答案】（1）AB=9；（2）CF=4

【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例可得比例式求解；

（2）根據(jù)平行線分線段成比例，先求OB,在利用比例關系求CF.

【詳解】UkHk，EF:DF=5:S,AC=24.

.EFBC5BC5

..——=——=-即14rl——=-

DFAC8248

:.BC=15

???AB=AC-BC=9

（2）\'IJ/l2//l3

.BEOB1

..-=一

ADOA4

?OBJ

**OB+94

:.OB=3

:.OC=BC-OB=12

.OB_BE_3

"OC_CF-i2

CF=4

【點睛】本題考查平行線分線段成比例，根據(jù)平行得出比例關系是解題的關鍵.

An2

16.（2019?上海九年級期中）如圖，已知在AABC中，。石〃8C,—=三

DB5

A

(1)如果6c=21,求DE的長

(2)如果S四邊形DSCE=45,求S&ADE的值

【答案】⑴6；(2)4

【分析】(1)根據(jù)DE〃8C,可得黑=當，將繪=:與8c=21代入即可求出DE的長度.

BCABDB5

AH2

(2)\hDEHBC,可得AAQESAABC，因為可以求出兩個三角形的相似比，根據(jù)

DD5

S4

相似二角形面積比等于相似比的平方，可得出嚴=R，設%DE=4X,5MSC=49X,根據(jù)

S四邊形D6CE=45口J列出方程，即口,得IIIS&\DE的值

【詳解】(1)-DE//BC

DEAD

BCAB

AD2

DB5

AD2

AB7

???BC=21

DE2

217

/.DE—6.

（2）-DE//BC

.-.AADE^AABC

...^1^=（歿）2=（2）2=汽

SyAB749

設：^AADE=4x,貝|JSMBC=49x

,S四邊形DBCE=45,.*.49x—4x=45

：.x=l

\DE4

【點睛】本題考查平行線分線段成比例以及相似三角形性質的應用，在做題時需注意平行線

分線段成比例是哪幾條線段成比例，在應用面積比的時候要先得出相似比，相似比最好用線

段比的形式寫出來，以防出錯.

17.（2019?上海九年級期中）如圖，點。和點E分別在48、AC邊上，BE平分

ZABC,ZABE=ZACD.

求證：EC2=EFEB

【分析1根據(jù)角平分線可得ZABE=NE5C,已知ZABE=NACD,根據(jù)NFEC是公共角，所以

可得△FECs/\CEB,根據(jù)相似三角形的性質可得蕓=鋰整理可得出EC2=EFEB.

ECEB

【詳解】〈BF平分NABC,

:.ZABE=ZEBC,

-ZABE=ZACDf

,\ZEBC=ZECD,

??,NFEC是公共角，

:.AFECsACEB,

EFEC

,~EC~~EB'

EC2=EF-EB.

【點睛】本題考查相似三角形的判定及性質，可以根據(jù)結論中要證明的線段所在的三角形，

然后去找題中與這兩個三角形相關的條件證明相似，一般是找到相等的角度即可證明.

18.（2019?上海市閔行區(qū)七寶第二中學）如圖，已知兩個不平行的向量2、b,先化簡，再

求作：倒+可（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量）

【答案】2&一；三,圖見解析.

【分析】首先招原式去括號化簡，再根據(jù)向量的意義畫圖即可.

【詳解】原式=》7-+人-聲3--州3-

7-3--3-

222

=2a--b

2

圖示如下：

2

【點睛】此題主要考查了向量的知識，去括號法則.熟悉平面向量的意義，向量加法的三角

形法則，去括號法則是解決此題的關鍵.

19.（2017?上海浦東新?九年級期中）己知：如圖，在式中，點。、￡分別在邊4?、ACk,

旦NABE=NACD,BE、6Z次于點G.

（1）求證：XAEMXABC；

（2）如果比平分NA3C,求證：DE=CE.

試題分析：（1）先證△/儂s△/5，得出大=二大，再利用//是公共角，即可求證；（2）

ADAC

在BC上截取BF=BD,連接EF,先證△BDEgaBFE,得出DE=FE,ZBDE=ZBFE,再證EF=EC即可.

解：（1）?:NABE=NACD,且N4是公共角，

/XABE^/XACD.

.AEABAEAD

..——=——，a即n——=——，

ADACABAC

又是公共角，

（2）在BC上截取BF=BD,連接EF,

在4BDE與aBFE中，BD=BF,ZDBE=ZFBE,BE=BE,

.?.△BDE^ABFE,

ADE=FE,ZBDE=ZBFE,AZADE=ZEFC,

F△AEMXABC,：.ZADE=ZACB,

AZEFC=ZACB,

AEF=EC,

:?D芹CE.

20.（2019?上海市民辦新北郊初級中學）如圖，在△ABC中，點。是邊A8的中點，AB=&C,

BC=4.

(1)求8的長；

(2)設而=￡,AC=b,求向量前(用向量￡、B表示).

【答案】⑴2夜(2)-a-b

【分析】(1)利用兩邊及夾角的方法判定△ADCS/XACB,再根據(jù)相似三角形的性質即可求解;

(2)表示出而，繼而根據(jù)麗=而-正，即可求解.

【詳解】(1)???點D是邊AB的中點，AB=^2AC

.?.AD=；AB=^AC

22

.ADaAC1VI

??---=------,------=—f==------

AC2AB^22

.ADAC

"AC-AB

又二NA二NA,

AAADC^AACB

.CDACCQy[2

??一,IAJ---=-------

BCAB42

???CD=2&

(2),??點D是邊AB的中點，

=-AB=-a

22

_,1--

CD^ADAC^-a-b

【點睛】此題主要考查相似三角形與向量，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定與性質及向

量的性質.

21.（2019?上海浦東新?九年級期中）如圖，在中，ZACB=90°,BC=6,47=

8.點腹櫥上一點，過點加乍應1〃及7,交邊/行反過點。乍）〃4?,交龍的延長線于點

F.

（1）如果當=［求線段用的長;

AB3

（2）求/夕花的正弦值.

4

【答案】（1）4；（2）sinZCFE=-.

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質得到4?=1f=1-求得DE=2,推出四邊形BCFD是平

行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質得到DF=BC=6,于是得到結論；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質得到NB-/F,根據(jù)勾股定理得A8=K）,根據(jù)三角函數(shù)的定義即

可得到結論.

【詳解】解：⑴：DE//BC,：.鬟=蕓=巳

ABBC3

又：BC=6,：.龐=2.

DF//BC,CFHAB,：.四邊形8（7①是平行四邊形.

小=8C=6.，EF=DF-DE=4.

（2）；四邊形切叨是平行四邊形，N8=N廠.

在RtZX4比中，NACB=90°,BC=6,AC=8,

利用勾股定理，得AB=jBC2+4C2=用+8?=10.

.._AC_8_4..-4

??sinon==—=—.??sinNCFE=—.

AB1055

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，勾股定理，熟練掌握相

似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

22.（2018?上海松江區(qū)?九年級期中）己知：如圖，兩個不平行的向量3和E.

求作：（l）2A+6；（2）a-b

（不要求寫作法，但要指出圖中表示結論的向量）

【分析】（1）如圖1中，利用三角形法則，作電=2心配」6,則配即為所求;

（2）如圖2中，利用三角形法則，Z作由=9，DF=b.則而即為所求.

【詳解】（1）如圖1中，/即為所求；

（2）如圖2中，而即為所求；

【點睛】本題考查作圖，平面向量、三角形法則等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，

屬于中考?？碱}型.

23.（2019?上海浦東新區(qū)?九年級期中）己知：如圖，兩個不平行的向量2和人先化簡，再

求作：3+6）-2（5-ga）.

（不要求寫作法，但要指出圖中表示結論的向量）

【分析】先去括號，化簡后根據(jù)向量的意義作圖即可.

【詳解】原式=。+5-25+62

=2a-b.

【點睛】本題考查了向量的加減法計算，已知向量而、血，再作向量死，則向量蔗叫做

AB，赳的和，記作通+配，即有：AB^BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法

則，簡記為：首尾相連、指向終點.AB-AC-CB,這種計算法則叫做向量減法的三角形法則，

簡記為：共起點、指被減.

24.（2019?上海浦東新?九年級期中）如圖，在舛，點小吩別在邊4?、AC±.,DE//BC,

ADNBD,已知麗=6，BC=b.

（1）用向量￡、5分別表示向量82、AE;

（2）作出向量配分別在反、命方向上的分向量（寫出結論，不要求寫作法）.

A

0__7__0

【分析】（1）由平行線分線段成比例的性質可知DE=；BC,則詼=；冊=；6,由于

BD=：BA=R,他=豺5=-不，根據(jù)向量加法的三角形法則即可求出向量而、AE;

（2）作DF〃BE交AC于F,由平行線分線段成比例的性質可知向量覺分別在比、BE方向上

的分向量.

r）rAno9

【詳解】解：（1）,：DE//BC,A廬2BD,：.七；=不=：,：.DEyBC,

￡>CAB33

__2__?

:詼馬及方向相同，，詼=§葩=1石，

1一1_____1_2-

'/=-BA=-a,BE=BD+DE=—a+—b.

3333

__2__.9___._____.2_2_

VAD=-AB=一一a,：.AE=AD+DE=一一a+-b.

3333

（2）作出的圖形中，正在前方向上的分向量，

FC=AB+BC--AE=a+b--\--a+-b\=-a+-b,

33（33J99'

一八

麗方向上的分向量_。_尸=32B2E（1§2外=24--

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的性質和向量加法的三角形法則及作圖，熟練掌握

相關知識是解題的關鍵。

25.（2019?上海浦東新?九年級期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點F、E在邊AC上，

AF_AE_2

且DF〃BE,

~FE~~CE~1>

求：器I）F的值?

L>C

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.

【詳解】解：???DF〃BE,

——AF=——AD,

FEDB

*/-A-F=-A-E-,

FECE

ADAE

,茄一法’

.-.DE\\BC,

.DEAD

AE2

*/=—,

CE3

AE2

——=-,

AC5

:.DE=—2.,

BC5

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應線段是解題的關

鍵.

26.（2020?上海市曹楊二中附屬江橋實驗中學九年級期中）計算：

4sin30->/2cos45+痣tan60

【答案】1+3應

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.

【詳解】解：原式=4△一而立+日不

22

=2-1+30

=1+3應

【點睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值.

27.（2020?上海浦東新?九年級期中）如圖，A,曬地之間有一座山，汽車原來從4地到8

地須經(jīng)△也沿折線C-由亍駛，全長68km,現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線/山亍駛.已知//

=30°,N2=45。，則隧道開通后，汽車從4地到碘比原來少走多少千米？（結果精確到

0.ikin'）（參考數(shù)據(jù)：拒亡1.4,73^1.7）

【答案】14.0千米

【分析】首先過點。乍以心垂足為。，設⑦=x,即可表示出4C,比的長，進而求出x的值,

再利用銳角三角函數(shù)關系得出力〃，劭的長，即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點。乍垂足為〃，邀CD=x,

CDCD

在Rt△力紗3sinZJ=——,AC=---------=2x,

ACsin30°

CDCD

在Rt△為W,sinZZ/=—,BC=--------=垃x,

BCsin45°

AC+BC=2x+^2-￥=68,

?6868

.?>=------r==---------=20,

2+y/22+1.4

在Rt△力冰，tanZ^=—,AD=----------=20出，

ACtan30°

CDCD

在RtZX^m，tanZ5=—,BD=---------=20,

BDtan45°

205/3+20^54,

AC^BC-AB=^-54=14.0（km）.

答：隧道開通后，汽車從心也到碘比原來少走14.0千米.

c

D

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，準確分析計算是解題的關鍵.

28.（2019.上海浦東新.九年級期中）計算：COt30

2XZCX）-°;

【答案】2

【分析】首先代入特殊角的三角函數(shù)值，然后進行二次根式的運算即可.

cot450+tan60°

【詳解】解:-cot30°

2(sin600-cos600)

=2+遙-6

=2

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確進行二次根式的運算是關鍵.

29.（2020?上海市青浦區(qū)第一中學九年級期中）計算：

222

、-------2J（1-COS300）+COS60°+sin60°

2sin45°-1-7

【答案】V2+73

【分析】把三角函數(shù)值代入，再進行實數(shù)的運算.

1

【詳解】原式二6

2x^-1

2

=5/2+1-2+,\/3+1

=6+百

【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，正確代入三角函數(shù)值是解題的關鍵.

30.（2020?上海市位育初級中學九年級期中）計算:

（1）2sin300+3cos60O-4tan45°

cos*123*30°

(2)+tan260°

1+sin30。

37

【答案】（1）;（2）—

【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別計算各項，再作加減法:

（2）根據(jù)特殊角的二角函數(shù)值分別計算各項，再相加即可.

1133

【詳解】解：⑴JM^=2xl+3xl-4x]=l+|-4=-|；

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算和特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵掌握運算法則.

31.（2020?上海市位育初級中學九年級期中）在RtaABC中，NC=90°,a=6,b=6^.解

這個三角形.

【答案】c=12,NA=30°,ZB=60°.

【分析】先用勾股定理求出c,再根據(jù)邊的比得到角的度數(shù).

【詳解】在RtaABC中，NC=90°,a=6,b=6g，

c=yja2+b2=小6。+（6石『=12>

....a61,b6-J3

.sinA=—=—=—,sinBn=—=-----=—,

c122c122

/.ZA=30°,ZB=60°.

【點睛】此題考查解直角三角形，即求出三角形未知的邊和角，用三角函數(shù)求角度時能熟記

各角的三角函數(shù)值是解題的關鍵.

sin260-cos245

32.（2019?上海九年級期中）計算：cot60.cos30+

石tan6()

【答案】看7

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，代入再化簡即可得出答案.

【詳解】原式=鳳有+凈乙+捐=一

,i+~r12

【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記并區(qū)分這些特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵.

33.（2019?上海浦東新區(qū)?九年級期中）計算：tan45-3cot60+2cos30+2sin30.

【答案】2

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可.

【詳解】原式=l-3x走+2X3+2X」=1-6+Q+1=2.

322

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，以及二次根式的加減，熟練掌握特殊角的三角函

數(shù)值是解答本題的關鍵.

34.（2018?上海楊浦?九年級期中）計算：洶6°°-8$45：一9]_團30）2

sin3O、

【答案】1-42.

[分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入求出答案.

【詳解】解：原式=212-曲1）=6-反有+i=i一技

2

【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵.

35.（2018?上海松江區(qū)?九年級期中）計算：3sin60°-2cos300+tan60°?cot45°

【答案】巫.

2

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案.

【詳解】原式=3X立2X正+6義1=3叵.

222

【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵.

36.（2019?上海浦東新區(qū)?九年級期中）計算：3tan30°-cos245°+—-2sin60°.

cos600

【答案】|3

【分析】先將各特殊角的三角函數(shù)值代入，然后按照實數(shù)的運算法則計算即可.

rs^=3x—-（―）2+v-2x—3

【詳斛】原式3212=;?

2

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和二次根式的運算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值

是解答本題的關鍵.

37.（2020?上海交大附中九年級期中）已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=5,聯(lián)結BD,sinZ

ABD=*.點P是射線BC上的一個動點（點P不與點B重合），聯(lián)結AP,與對角線BD相交于點E,

聯(lián)結EC.

（1）求證：AE=CE；

（2）當點P在線段BC上時，設BP=x,APEC的面積為y,求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的

定義域；

（3）當點P在線段BC的延長線上時，若aPEC是直角三角形，求線段BP的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）y=10x-2r（0<x<5）；（3）胃或15.

5+x3

試題分析：（1）由菱形的性質得出BA=BC,ZABD=ZCBD.由SAS證明△ABEgZXCBE,即可得

出結論.

（2）聯(lián)結AC,交BD于點0,過點A作A1UBC于H,過點E作EFJ_BC于F,由菱形的性質得出AC,

BD.由三角函數(shù)求出A0=0C=正，B0=0D=2方.由菱形面積得出AH=4,BH=3.由相似三角形的

性質得出蕓=黑，求II腳的長，即可得出答案；；.尸=八仁”

EPBPEPBP

（3）因為點P在線段BC的延長線上，所以NEPC不可能為直角.分情況討論：

①當/ECP=90°時，②當/CEP=90°時，由全等三角形的性質和相似三角形的性質即可得出

答案.

試題解析：（1）I?四邊形ABCD是菱形，...BA=BC,ZABE=ZCBE.

在AABE和ACBE中，VBA=BC,ZABE=ZCBE,BE=BE.又：BE=BE,AAABE^ACBE,AAE=CE.

（2）連接AC,交BD于點0,過點A作AHLBC,過點E作EFLBC,如圖1所示：

垂足分別為點H、F.

?.?四邊形ABCD是菱形，.,.AC1BD.

；AB=5,sinNABD=?,：.A0=0C=褥，B0=0D=2>/5.

/.AIM,BI1=3.

..f….AEAD.AE+EPAD+BP.AP5+x,EPx

?AD//BC，??~~~——---,??—--.

EPBPEPBPEPxAP5+x

FFPF4x?14Y

；EF〃血二加=9，；?EF:百，...yUPC?EF=5（5T）?0,

l°x-2f（o<x<

5+x

5）.

（3）因為點P在線段BC的延長線上，所以NEPC不可能為直角.如圖2所示：

①當ZECP=90°時

VAABE^ACBE,AZBAE=ZBCE=90°,VcosZABP=—=—,,，BP=§.

BPABBP53

②當NCEP=90°時，?.?△ABE也ZXCBE,.?.NAEB=NCEB=45°,A0=0E=有，ED=g,BE=3有.

DE.51

VAD/7BP,.AD.*.BP=15.

"BP~BE''?而一訪

綜上所述，當AEPC是直角三角形時，線段BP的長為/或15.

考點：1.四邊形綜合題；2.分類討論.

38.（2016?上海浦東新?九年級期中）計算:

tan60°

+cot245°+(2011-cos60°)°

cos30°-sin30°

【答案】5+V3.

試題分析：先把各個銳角三角函數(shù)化成準確的數(shù)值，又因為非0的0指數(shù)幕是1,所以代入原式

計算即可.

試題解析：因為tan60°=百，cos30°=Y3,sin30°=，,cot45°=l,非0的。指數(shù)幕是1,所以

22

原式—-—+1+1^V3（V3+1）+2=3+>/3+2=5+V3.

V3]_

~T~2

考點：銳角三角函數(shù)計算.

39.（2013?上海黃浦?九年級期中）計算：8s30°+tan45°

cot45°-sin60°

【答案】7+4超

試題分析：將特殊的三角函數(shù)值代入，根據(jù)分數(shù)的基本性質化簡后，再進行分母有理化.

3+1

試題解析：解：COS300+tan450-2（8分）

cot45°-sin60°&

1----

2

=岳2（1分）

2-W

=7+4>療（1分）

考點：1.直角三角形銳角比。2.:次根式的化簡。

40.（2021?上海黃浦?九年級）將二次函數(shù)y=—+2x+3的圖像向右平移3個單位，求所得

圖像的函數(shù)解析式：請結合以上兩個函數(shù)圖像，指出當自變量X在什么取值范圍內時，上述兩

個函數(shù)中恰好其中一個的函數(shù)圖像是上升的，而另一個的函數(shù)圖像是下降的.

【答案】y=x2-4x+6,-l<x<2.

【分析】由：次函數(shù)的平移規(guī)律：左加右減，可得平移后的解析式，再畫出兩個函數(shù)的圖像,

利用圖像可得答案.

【詳解】解：把二次函數(shù)y=/+2元+3的圖像向右平移3個單位可得：

y=（x-3）-+2（x-3）+3,

/.y=x2-4x+6,

又y=+2x+3=（x+l）+2,

函數(shù)圖像的頂點坐標為：（-L2）,

而y=x2-4x+6=（x-2）"+2,

函數(shù)圖像的頂點坐標為：（2,2）,

函數(shù)y=x?+2x+3與y=x?-4x+6的圖像如圖示；

■-.由圖像可得：當時，函數(shù)y=V+2x+3的函數(shù)圖像是上升的，而函數(shù)y=/-4x+6

的函數(shù)圖像是下降的.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖像的平移，二次函數(shù)的增減性，掌握以上知識是解題的

關鍵.

41.（2021?上海松江?九年級）用配方法把二次函數(shù)y=3d-6x+5化為y=a（x+，4+&的

形式，并指出這個函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

【答案】化為y=3（x-l>+2,開口方向：向上；對稱軸：直線x=l；頂點坐標：P（l,2）

【分析】先利用配方法把一般式化成頂點式，再利用二次函數(shù)的性質得到圖像的開口方向、

對稱軸和頂點坐標.

【詳解】解：尸3/-6戶5=3(r-2了+1)+2=3(k1)2+2,...拋物線開口向上，對稱軸為直

線產(chǎn)1,頂點〃(1,2).

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)三種形式的轉化、二次函數(shù)的性質，掌握配方法、二次函數(shù)

的性質是解題的關鍵.

42.(2021?上海)在平面直角坐標系中，將拋物線G：y=*-2*向左平移2個單位，向下平

移3個單位得到新拋物線C.

(1)求新拋物線C的表達式；

(2)如圖，將△力的蚌由向左平移得到△?'A'8',點力(0,5)的對應點4落在平移后

的新拋物線C上，求點西其對應點夕的距離.

【答案】(1)產(chǎn)=(x+1)J4；⑵4個單位.

【分析】(1)根據(jù)平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解答；

(2)把尸5代入拋物線C求得相應的x的值，即可求得點/的