空間點線面位置關系

高考文數(shù)

(課標Ⅲ專用)§8.2空間點、線、面的位置關系考點一空間點、線、面的位置關系五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標卷題組1.(2019課標全國Ⅲ,8,5分)如圖,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平

面ABCD,M是線段ED的中點,則

()

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線答案

B本題考查了兩直線的位置關系,通過面面垂直考查了空間想象能力和數(shù)學運算能

力,體現(xiàn)的核心素養(yǎng)為直觀想象.過E作EQ⊥CD于Q,連接BD,QN,BE,易知點N在BD上,∵平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,∴EQ⊥平面ABCD,∴EQ⊥QN,同理可知BC⊥CE,設CD=2,則EN=

=

=2,BE=

=

=2

,又在正方形ABCD中,BD=

=2

=BE,∴△EBD是等腰三角形,故在等腰△EBD中,M為DE的中點,∴BM=

=

=

,∴BM=

>2=EN,即BM≠EN.又∵點M、N、B、E均在平面BED內(nèi),∴BM,EN在平面BED內(nèi),又BM與EN不平行,∴BM,EN是相交直線,故選B.

難點突破過點E作CD的垂線,構(gòu)造直角三角形是求BM的關鍵,也是解本題的突破口.2.(2019課標全國Ⅲ,19,12分)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,

其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.

解析本題考查了線面、面面垂直問題,通過翻折、平面與平面垂直的證明考查了空間想象

能力和推理論證能力,考查了直觀想象的核心素養(yǎng).(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因為AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中點M,連接EM,DM.

因為AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四邊形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=

,故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.思路分析(1)翻折問題一定要注意翻折前后位置的變化,特別是平行、垂直的變化.由矩形、

直角三角形中的垂直關系,利用線面垂直、面面垂直的判定定理可證兩平面垂直;而由平行公

理和平面的基本性質(zhì)不難證明四點共面.(2)根據(jù)菱形的特征結(jié)合(1)的結(jié)論找到菱形BCGE的

邊CG上的高求解.解題關鍵抓住翻折前后的垂直關系,靈活轉(zhuǎn)化線線垂直、線面垂直和面面垂直,題中構(gòu)造側(cè)

棱的特殊“直截面”△DEM,是本題求解的關鍵和難點.3.(2015課標全國Ⅱ,19,12分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在

A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.

(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:

(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因為四邊形EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=

=6,AH=10,HB=6.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱,所以所求體積的比值為

.1.(2018課標全國Ⅱ,9,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點,則異面直線AE與CD

所成角的正切值為

()A.

B.

C.

D.

考點二異面直線所成的角答案

C本題主要考查異面直線所成的角.因為CD∥AB,所以∠BAE或其補角即為異面直線AE與CD所成的角.設正方體的棱長為2,則BE=

.因為AB⊥平面BB1C1C,所以AB⊥BE.在Rt△ABE中,tan∠BAE=

=

.故選C.解題關鍵找到異面直線所成的角(或其補角)是求解關鍵.2.(2016課標全國Ⅰ,11,5分)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面

ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為

()A.

B.

C.

D.

答案

A設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.將正方體ABCD-A1B1C1D1補成棱長為2a的正方

體,如圖所示.

正六邊形EFGPQR所在的平面即為平面α.點A為這個大正方體的中心,直線GR為m,直線EP為n.

顯然m與n所成的角為60°.所以m,n所成角的正弦值為

.故選A.評析本題考查了直線與平面的平行的判定和性質(zhì),考查了空間想象能力.通過補體,利用正方

體的性質(zhì)找到直線m和n是求解的關鍵.考點一空間點、線、面的位置關系B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2016山東,6,5分)已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平

面α和平面β相交”的

()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

A因為直線a和直線b相交,所以直線a與直線b有一個公共點,而直線a,b分別在平面α,β

內(nèi),所以平面α與β必有公共點,從而平面α與β相交;反之,若平面α與β相交,則直線a與直線b可能

相交、平行或異面.故選A.2.(2015廣東,6,5分)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,

則下列命題正確的是

()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交答案

D解法一:如圖1,l1與l2是異面直線,l1與l平行,l2與l相交,故A,B不正確;如圖2,l1與l2是異

面直線,l1,l2都與l相交,故C不正確,選D.

解法二:因為l分別與l1,l2共面,故l與l1,l2要么都不相交,要么至少與l1,l2中的一條相交.若l與l1,l2都

不相交,則l∥l1,l∥l2,從而l1∥l2,與l1,l2是異面直線矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交,選D.考點二異面直線所成的角(2018天津,17,13分)如圖,在四面體ABCD中,△ABC是等邊三角形,平面ABC⊥平面ABD,點M為

棱AB的中點,AB=2,AD=2

,∠BAD=90°.(1)求證:AD⊥BC;(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值;(3)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.

解析本題主要考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面垂直等基礎知

識.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.(1)證明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD

⊥BC.(2)取棱AC的中點N,連接MN,ND.

又因為M為棱AB的中點,故MN∥BC.所以∠DMN(或其補角)為異面直線BC與MD所成的角.在Rt△DAM中,AM=1,故DM=

=

.因為AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN=

=

.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=

=

.所以,異面直線BC與MD所成角的余弦值為

.(3)連接CM.因為△ABC為等邊三角形,M為邊AB的中點,故CM⊥AB,CM=

.又因為平面ABC⊥平面ABD,而CM?平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD=

=4.在Rt△CMD中,sin∠CDM=

=

.所以,直線CD與平面ABD所成角的正弦值為

.考點一空間點、線、面的位置關系三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點基礎題組1.(2019四川成都石室中學高三上月考,4)已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則

下列命題正確的是

()A.若α,β垂直于同一平面,則α與β平行B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行C.若α,β

,則在α內(nèi)

與β平行的直線D.若m,n

,則m與n

垂直于同一平面答案

D若α,β垂直于同一個平面γ,則α,β可以都過γ的同一條垂線,即α,β可以相交,故A錯.若

m,n平行于同一個平面,則m與n可能平行,也可能相交,還可能異面,故B錯.若α,β不平行,則α,β相

交,設α∩β=l,在α內(nèi)存在直線a,使a∥l,則a∥β,故C錯.D項,從原命題的逆否命題進行判斷,若m與

n垂直于同一個平面,則由線面垂直的性質(zhì)定理知m∥n,故D正確.2.(2019四川高三一診,10)已知直線l和平面α,若l∥α,P∈α,則過點P且平行于l的直線

()A.只有一條,不在平面α內(nèi)B.只有一條,且在平面α內(nèi)C.有無數(shù)條,一定在平面α內(nèi)D.有無數(shù)條,不一定在平面α內(nèi)答案

B過直線l和點P作一個平面β與α相交于m,∵l∥α,∴l(xiāng)∥m,又m?α,則m是過點P且平行

于l的直線,若n也是過點P且平行于l的直線,由平行公理得m∥n,這是不可能的,故過點P且平行

于l的直線只有一條,且在平面α內(nèi).故選B.

3.(2018廣西貴港聯(lián)考,6)下列四個命題中正確的是

()①若一個平面經(jīng)過另一平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直;②若一個平面內(nèi)的兩條直線都與另一個平面平行,那么這兩個平面相互平行;③垂直于同一平面的兩個平面相互平行;④若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.A.①③

B.①④

C.①②④

D.①③④答案

B若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直,這是面面垂直的判

定定理,故①正確.若一個平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個平面平行,那么這兩個平面相互平

行,②中缺少了相交的條件,故②不正確.垂直于同一平面的兩個平面也可以相交,故③不正確.

若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直,故④正

確.綜上,①和④正確,故選B.4.(2017云南曲靖統(tǒng)測,4)已知m,n為不同的直線,α,β為不同的平面,則下列說法正確的是

(

)A.m?α,n∥m?n∥αB.m?α,n⊥m?n⊥αC.m?α,n?β,n∥m?α∥βD.n?β,n⊥α?α⊥β答案

D本題考查空間直線與平面的位置關系.若m?α,n∥m,則n?α或n∥α,排除A;若m?α,

n⊥m,則n,α可能平行、相交或n?α,排除B;若m?α,n?β,n∥m,則α,β可能相交或平行,排除C;由

面面垂直的判定定理可知D正確,故選D.考點二異面直線所成的角1.(2019廣西柳州高中、南寧二中二聯(lián),10)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,則直

線A1B與AC1所成角的大小為

()A.30°

B.60°

C.90°

D.120°答案

B直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,連接A1C,設A1C∩AC1=O,取

BC的中點H,連接OH,則直線A1B與AC1所成的角就是∠AOH(或其補角),設AB=AC=AA1=1,則BC

=

,A1B=AC1=

,易得AO=AH=OH=

,則△AOH是正三角形,所以∠AOH=60°,即直線A1B與AC1所成角的大小為60°.故選B.方法總結(jié)本題主要考查異面直線所成角的問題,難度一般.求異面直線所成角(或其補角)的

步驟:①平移,將兩條異面直線平移成相交直線.②定角,根據(jù)異面直線所成角的定義找出所成

角.③求角,在三角形中用余弦定理、正弦定理或三角函數(shù)求角.④結(jié)論.2.(2019四川成都一診,9)在各棱長均相等的四面體A-BCD中,已知M是棱AD的中點,則異面直線

BM與AC所成角的余弦值為

()A.

B.

C.

D.

答案

C設四面體A-BCD的棱長為2,取CD的中點N,連接MN,BN,∵M是棱AD的中點,∴MN∥

AC,∴∠BMN(或其補角)是異面直線BM與AC所成的角,BM=BN=

=

,MN=

AC=1,∴在△BMN中,cos∠BMN=

=

=

,∴異面直線BM與AC所成角的余弦值為

.

3.(2018四川成都模擬,2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線A1B與CC1所成角的大小為

(

)A.30°

B.45°

C.60°

D.90°答案

B∵CC1∥B1B,∴∠A1BB1(或其補角)即為直線A1B與CC1所成的角,∵在正方體ABCD-

A1B1C1D1中,∠A1BB1=45°,∴異面直線A1B與CC1所成角的大小為45°.4.(2017云南統(tǒng)一檢測,8)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,BB1=1,P是AB的中點,則

異面直線BC1與PD所成的角等于

()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°答案

C取A1B1的中點E,連接D1E,AD1,AE,則∠AD1E(或其補角)即為直線BC1與PD所成的角.

因為AB=2,所以A1E=1,又因為BC=BB1=1,所以D1E=AD1=AE=

,所以△AD1E為正三角形,所以∠AD1E=60°,故選C.B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時間:25分鐘分值:45分一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2019四川成都二診,8)已知a,b是兩條異面直線,直線c與a,b都垂直,則下列說法正確的是

()A.若c?平面α,則a⊥αB.若c⊥平面α,則a∥α,b∥αC.存在平面α,使得c⊥α,a?α,b∥αD.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α答案

C由a,b是兩條異面直線,直線c與a,b都垂直,知在A中,若c?平面α,則a與α相交或a?α,

故A錯誤;在B中,若c⊥平面α,則a,b與平面α平行或a,b中有一條直線在平面α內(nèi),另一條與平面α

平行,故B錯誤;在D中,若存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α,則a∥b,與已知a,b是兩條異面直線矛

盾,故D錯誤.故選C.2.(2019貴州遵義四中高三上月考,9)已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l

⊥n,l?α,l?β,則

()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α與β相交,且交線垂直于lD.α與β相交,且交線平行于l答案

D由m⊥平面α,直線l滿足l⊥m,且l?α,知l∥α,又n⊥平面β,l⊥n,l?β,所以l∥β.由直線

m,n為異面直線,且m⊥平面α,n⊥平面β,知α與β相交,且交線平行于l.故選D.3.(2019廣西百色高三調(diào)研,9)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段BC1上運動,則下列判

斷中正確的是

()

①平面PB1D⊥平面ACD1;②A1P∥平面ACD1;③異面直線A1P與AD1所成角的取值范圍是

;④三棱錐D1-APC的體積不變.A.①②

B.①②④

C.③④

D.①④答案

B在正方體ABCD-A1B1C1D1中,易知DB1⊥平面ACD1,又DB1?平面PB1D,所以平面PB1D

⊥平面ACD1,①正確;連接A1B,A1C1,易證平面BA1C1∥平面ACD1,因為A1P?平面BA1C1,所以A1P

∥平面ACD1,②正確;

=

,因為C到平面AD1P的距離不變,且△AD1P面積不變,所以三棱錐D1-APC的體積不變,④正確;當P與線段BC1的端點重合時,A1P與AD1所成角取得最小值

,當P與線段BC1的中點重合時,A1P與AD1所成角取得最大值

,故異面直線A1P與AD1所成角的取值范圍是

,③錯誤.故選B.4.(2018廣西柳州摸底聯(lián)考,10)空間中,設m,n表示不同的直線,α,β,γ表示不同的平面,則下列命

題正確的是

()A.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥βB.若m⊥α,m⊥β,則α∥βC.若m⊥β,α⊥β,則m∥αD.若n⊥m,n⊥α,則m∥α答案

B

A項,若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β或α與β相交,故A項錯誤;B項,若m⊥α,m⊥β,根據(jù)垂直于同

一條直線的兩個平面平行,知α∥β,故B項正確;C項,若m⊥β,α⊥β,則m?α或m∥α,故C項錯誤;D

項,若n⊥m,n⊥α,則m∥α或m?α,故D項錯誤.故選B.5.(2018四川南充檢測,9)如圖,E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一點(不與端點重合),BD1∥平面B1CE,則

()A.BD1∥CE

B.AC1⊥BD1

C.D1E=2EC1

D.D1E=EC1

答案

D連接BC1,設B1C∩BC1=O,連接OE,如圖,∵BD1∥平面B1CE,平面BC1D1∩平面B1CE=

OE,∴BD1∥OE,∵O為BC1的中點,∴E為C1D1的中點,∴D正確,C錯誤.由異面直線的定義知BD1,

CE是異面直線,故A錯誤.連接AD1,在矩形ABC1D1中,AC1與BD1不垂直,故B錯誤,故選D.

6.(2017廣西柳州聯(lián)考,4)設α,β,γ是三個不重合的平面,l是直線,給出下列四個命題:①若α⊥β,l⊥

β,則l∥α;②若l⊥α,l∥β,則α⊥β;③若l上有兩點到α的距離相等,則l∥α;④若α⊥β,α∥γ,則γ⊥β.其中正確命題的序號是

()A.①②

B.①④

C.②④

D.③④答案

C①若α⊥β,l⊥β,則l∥α或l?α,故①不正確,②若l∥β,則過l作一平面γ,使平面β與γ相交,交線設為l',那么l∥l',∵l⊥α,∴l(xiāng)'⊥α,又l'?β,∴α⊥β,

故②正確,③不正確,l與平面α也有可能相交,④正確.評析本題考查線線,線面,面面的基本關系,考查學生的空間思維能力.7.(2017四川成都二診,7)已知m,n是空間中兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且m?α,n?

β,有下列命題:①若α∥β,則m∥n;②若α∥β,則m∥β;③若α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,則α⊥β;④若α∩β=

l,且m⊥l,m⊥n,則α⊥β.其中真命題的個數(shù)是

()A.0

B.1

C.2

D.3答案

B

綜上所述,只有1個真命題,故選B.