2024屆甘肅省鎮(zhèn)原縣鎮(zhèn)原中學高二數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆甘肅省鎮(zhèn)原縣鎮(zhèn)原中學高二數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線x2A．23 B．2 C．3 D．2．如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A．是函數(shù)的極小值點B．當或時,函數(shù)的值為0C．函數(shù)關(guān)于點對稱D．函數(shù)在上是增函數(shù)3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A． B． C． D．4．在極坐標系中，圓的圓心的極坐標為（）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度6．雙曲線的焦點坐標是A． B． C． D．7．函數(shù)fx=aexx，x∈1,2，且?x1A．-∞,4e2 B．4e8．已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．9．已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，.若存在實數(shù)，使得，且，則實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．110．某班某天上午有五節(jié)課，需安排的科目有語文，數(shù)學，英語，物理，化學，其中語文和英語必須連續(xù)安排，數(shù)學和物理不得連續(xù)安排，則不同的排課方法數(shù)為（）A．60 B．48 C．36 D．2411．已知隨機變量，，則（）A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.6812．某校從6名學生干部（其中女生4人，男生2人）中選3人參加學校的匯演活動，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，是的前項和，若是方程的兩個根，則__________．14．如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱的中點，則四棱錐的體積為__________.15．在的二項展開式中，若只有的系數(shù)最大，則__________．16．已知為數(shù)列的前項和，若且，設(shè)，則的值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）時，求在點處的函數(shù)切線方程；（2）時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點．18．（12分）在某項體能測試中，規(guī)定每名運動員必需參加且最多兩次，一旦第一次測試通過則不再參加第二次測試，否則將參加第二次測試.已知甲每次通過的概率為23，乙每次通過的概率為1(Ⅰ)求甲乙至少有一人通過體能測試的概率；(Ⅱ)記X為甲乙兩人參加體能測試的次數(shù)和，求X的分布列和期望.19．（12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在正實數(shù)使得，若存在求出，否則說明理由；20．（12分）在一次數(shù)學測驗后，班級學委對選答題的選題情況進行統(tǒng)計，如下表：幾何證明選講極坐標與參數(shù)方程不等式選講合計男同學124622女同學081220合計12121842（1）在統(tǒng)計結(jié)果中，如果把幾何證明選講和極坐標與參數(shù)方程稱為“幾何類”，把不等式選講稱為“代數(shù)類”，我們可以得到如下2×2列聯(lián)表.幾何類代數(shù)類合計男同學16622女同學81220合計241842能否認為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān)，若有關(guān)，你有多大的把握？（2）在原始統(tǒng)計結(jié)果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從選做不同選答題的同學中隨機選出7名同學進行座談．已知這名學委和2名數(shù)學課代表都在選做“不等式選講”的同學中．①求在這名學委被選中的條件下，2名數(shù)學課代表也被選中的概率；②記抽取到數(shù)學課代表的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．下面臨界值表僅供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.（1）若，求證：；（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．首屆中國國際進口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)可以抽象為空間圖形陽馬．如圖所示，在陽馬中，底面．（1）若，斜梁與底面所成角為，求立柱的長（精確到）；（2）證明：四面體為鱉臑；（3）若，，，為線段上一個動點，求面積的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：雙曲線焦點到漸近線的距離為b，所以距離為b=23考點：雙曲線與漸近線．2、D【解題分析】

由導函數(shù)的圖象得到原函數(shù)的增減區(qū)間及極值點，然后逐一分析四個命題即可得到答案．【題目詳解】由函數(shù)f(x)的導函數(shù)圖象可知，當x∈(?∞,?a),(?a，b)時,f′(x)<0，原函數(shù)為減函數(shù)；當x∈(b,+∞)時,f′(x)＞0，原函數(shù)為增函數(shù).故不是函數(shù)的極值點，故A錯誤；當或時,導函數(shù)的值為0，函數(shù)的值未知，故B錯誤；由圖可知，導函數(shù)關(guān)于點對稱，但函數(shù)在(?∞,b)遞減,在(b,+∞)遞增,顯然不關(guān)于點對稱，故C錯誤；函數(shù)在上是增函數(shù)，故D正確；故答案為：D.【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，屬于導函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想和分析能力，屬于中等題.3、B【解題分析】

模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化即可得到答案.【題目詳解】由題意，輸入值，，第一次執(zhí)行，，，不成立；第二次執(zhí)行，，，不成立；第三次執(zhí)行，，，不成立；第四次執(zhí)行，，，不成立；第五次執(zhí)行，，，成立，輸出.故選：B【題目點撥】本題主要考查循環(huán)框圖的應(yīng)用，按照框圖的程序運行即可得出正確答案，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

先將圓的極坐標方程化為直角坐標方程，找到此時的圓心再化為極坐標.【題目詳解】可化簡為：根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式可得：化簡可得：即：圓心為：故圓心的極坐標為：故選：A.【題目點撥】本題主要考查了極坐標和直角坐標的互化和圓的極坐標方程，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

先根據(jù)圖象確定A的值，進而根據(jù)三角函數(shù)結(jié)果的點求出求與的值，確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)誘導公式將函數(shù)化為余弦函數(shù)，再平移即可得到結(jié)果．【題目詳解】由題意，函數(shù)的部分圖象，可得，即，所以，再根據(jù)五點法作圖，可得，求得，故．函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象，則只要將的圖象向右平移個單位長度可得的圖象，故選：D．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】分析：由題意求出，則，可得焦點坐標詳解：由雙曲線，可得，故雙曲線的焦點坐標是選C.點睛：本題考查雙曲線的焦點坐標的求法，屬基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)Fx=fx-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到F'x≤0在1,2【題目詳解】不妨設(shè)x1<x2，令Fx=fx-x，則Fx在1,2F'x當x=1時，a∈R，當x∈1,2時，a≤x2所以gx在1,2單調(diào)遞減，是gxmin【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)Fx=f8、B【解題分析】分析：首先，由的幾何意義，得到直線的斜率，然后，得到函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，從而得到f′（x）=＞1在（1，2）內(nèi)恒成立．分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化成a＞2x2+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．從而求解得到a的取值范圍．詳解：∵的幾何意義為：表示點（p+1，f（p+1））與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，∵實數(shù)p，q在區(qū)間（0，1）內(nèi)，故p+1和q+1在區(qū)間（1，2）內(nèi)．不等式＞1恒成立，∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，故函數(shù)的導數(shù)大于1在（1，2）內(nèi)恒成立．由函數(shù)的定義域知，x＞﹣1，∴f′（x）=＞1在（1，2）內(nèi)恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．由于二次函數(shù)y=2x2+3x+1在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，故x=2時，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值為15，∴a≥15∴a∈[15，+∞）．故選A．點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.9、C【解題分析】

解方程求得，結(jié)合求得的取值范圍.將轉(zhuǎn)化為直線和在區(qū)間上有交點的問題來求得的最大值.【題目詳解】由得，注意到在上為增函數(shù)且，所以.由于的定義域為，所以由得.所以由得，畫出和的圖像如下圖所示，其中由圖可知的最大值即為.故選C.【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)零點問題，考查指數(shù)方程和對數(shù)方程的解法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.10、D【解題分析】

由排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題得：不同的排課方法數(shù)為，得解．【題目詳解】先將語文和英語捆綁在一起，作為一個新元素處理，再將此新元素與化學全排，再在3個空中選2個空將數(shù)學和物理插入即可，即不同的排課方法數(shù)為，故選：D．【題目點撥】本題考查了排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題，屬中檔題．11、D【解題分析】

先由對稱性求出，再利用即得解.【題目詳解】由于隨機變量，關(guān)于對稱，故故選：D【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布在給定區(qū)間的概率，考查了學生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】

先求出女生甲被選中的情況下的基本事件總數(shù)，再求出在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個數(shù)為，結(jié)合條件概率的計算方法，可得.【題目詳解】女生甲被選中的情況下，基本事件總數(shù)，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個數(shù)為，則在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為.故選B.【題目點撥】本題考查了條件概率的求法，考查了學生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題可知，于是可知，從而利用求和公式得到答案.【題目詳解】∵是方程的兩根，且，∴，，則公比，因此.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的基本量的相關(guān)計算，難度很小.14、【解題分析】

由題意可得，再利用三棱錐的體積公式進行計算即可．【題目詳解】由已知得，，，四邊形是菱形，所以.【題目點撥】本題考查幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是把四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為兩個三棱錐的體積，屬于基礎(chǔ)題．15、10【解題分析】

根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可直接得出答案.【題目詳解】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，由于只有第項的二項式系數(shù)最大，故答案為10.【題目點撥】本題主要考查了二項式系數(shù)的性質(zhì)，解決二項式系數(shù)的最值問題常利用結(jié)論：二項展開式中中間項的二項式系數(shù)最大，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)是等比數(shù)列得出，利用數(shù)列項與和的關(guān)系，求得，從而得出，利用裂項相消法求出答案.【題目詳解】由可知，數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以.時，..時,.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等比數(shù)列通項公式，數(shù)列項與和的關(guān)系，裂項相消法求和，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）的減區(qū)間是和，增區(qū)間是；為的極小值點，為的極大值點【解題分析】

(1)根據(jù)函數(shù)求導法則求出得切線的斜率，得切線的方程；(2）對函數(shù)求導研究導函數(shù)的正負，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【題目詳解】解：（1）∵時，,∴，∴，，∴在點處的切線：，即：.（未化成一般式扣1分）（2）∵時，，∴，∴其，由解得，，當或時，當時，∴在和上單減，在上單增，為的極小值點，為的極大值點.綜上，的減區(qū)間是和，增區(qū)間是；為的極小值點，為的極大值點.【題目點撥】本題考查導函數(shù)的幾何意義求切線方程，求導得單調(diào)性及極值，屬于中檔題.18、(Ⅰ)3536X的分布列為；X234P111EX=2×【解題分析】

(Ⅰ)先求出甲未能通過體能測試的概率，然后再求出乙未能通過體能測試的概率，這樣就能求出甲、乙都未能通過體能測試的概率，根據(jù)對立事件的概率公式可以求出甲乙至少有一人通過體能測試的概率；(Ⅱ)由題意可知X=2,3,4，分別求出P(X=2)、【題目詳解】解:(Ⅰ)甲未能通過體能測試的概率為P1乙未能通過體能測試的概率為P2∴甲乙至少有一人通過體能測試的概率為P=1-P(Ⅱ)X=2,3,4P(X=2)=23×12∴X的分布列為X234P111∴EX=2×【題目點撥】本題考查了相互獨立事件的概率、對立事件的概率公式、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，考查了數(shù)學運算能力.19、（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）不存在，證明見解析．【解題分析】分析：（1）先求一階導函數(shù)的根，求解或的解集，寫出單調(diào)區(qū)間．（2）函數(shù)在上的單調(diào)性，和函數(shù)的對稱性說明不存在詳解：（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）不存在正實數(shù)使得成立，事實上，由（1）知函數(shù)在上遞增，而當，有，在上遞減，有，因此，若存在正實數(shù)使得，必有．令，令，因為，所以，所以為上的增函數(shù)，所以，即，故不存在正實數(shù)使得成立．點睛：方程的根、函數(shù)的零點、兩個函數(shù)圖像的交點三種思想的轉(zhuǎn)化，為解題思路提供了靈活性，導數(shù)作為研究函數(shù)的一個基本工具在使用．20、（1）答案見解析；（2）①.；②.答案見解析.【解題分析】分析：(1)由題意知K2的觀測值k≈4.582>3.841，則有95%的把握認為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān)．（2）①由題意結(jié)合條件概率計算公式可知在學委被選中的條件下，2名數(shù)學課代表也被選中的概率為;②由題意知X的可能取值為0，1，2.由超幾何分布計算相應(yīng)的概率值可得其分布列，然后計算其數(shù)學期望為E(X)＝.詳解：(1)由題意知K2的觀測值k＝≈4.582>3.841，所以有95%的把握認為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān)．（2）①由題可知在選做“不等式選講”的18名學生中，要選取3名同學，令事件A為“這名學委被選中”，事件B為“兩名數(shù)學課代表被選中”，則，，②由題意知X的可能取值為0，1，2.依題意P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝，則其分布列為：所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.點睛：本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，獨立性檢驗的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.21、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

(1)根據(jù)三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中點，連接DM,通過線面垂直證明平面，可推出，又，可證(2)通過作圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，先通過幾何法求出長度，分別表示出線面角各點對應(yīng)的坐標，再用向量公式算出直線與平面所成角的正弦值【題目詳解】證明：（1）取中點，連接，，有，因為，所以，又因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面，又因為平面平面，所以平面，又因為平面