山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題含解析

山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)（）A． B． C．0 D．22．已知函數(shù)g（x）=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)M，若冪函數(shù)f（x）=xα的圖象過點(diǎn)M，則α的值等于（）A．﹣1 B．12 C．2 D．3．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．4．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，從集合A到B的映射滿足：①；②的象有且只有2個，求適合條件的映射的個數(shù)為()A．10 B．20 C．30 D．405．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為（）A． B．C． D．6．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)（在軸上方），延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若,，則拋物線的方程為（）A． B． C． D．8．二項式的展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大，且展開式中的第項的系數(shù)是第項的系數(shù)的倍，則的值為（）A． B． C． D．9．若直線經(jīng)過點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離為，則直線的方程為A． B．C．或 D．或10．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．11．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．12．由曲線與直線，所圍成的封閉圖形面積為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為______.14．當(dāng)時，有，則__________.15．若，，，則_____.16．已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，且，若存在滿足等式，，且函數(shù)至多有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．18．（12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己6人.（以下問題用數(shù)字作答）（1）邀請這6人去參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的安排方法？（2）將這6人作為輔導(dǎo)員全部安排到3項不同的活動中，求每項活動至少安排1名輔導(dǎo)員的方法總數(shù)是多少？19．（12分）為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，現(xiàn)從某校學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行體能測試，測試的分?jǐn)?shù)（百分制）如莖葉圖所示，根據(jù)有關(guān)國家標(biāo)準(zhǔn)成績不低于79分的為優(yōu)秀，將頻率視為概率.（1）另從我校學(xué)生中任取3人進(jìn)行測試，求至少有1人成績是“優(yōu)秀”的概率；（Ⅱ）從抽取的這10人（成績見莖葉圖）中隨機(jī)選取3人，記X表示測試成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）2017年5月14日，第一屆“一帶一路”國際高峰論壇在北京舉行，為了解不同年齡的人對“一帶一路”關(guān)注程度，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計“青少年”與“中老年”的人數(shù)之比為．關(guān)注不關(guān)注合計青少年15中老年合計5050100（1）根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為關(guān)注“一帶一路”是否和年齡段有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的青少年中采用分層抽樣的辦法選取9人進(jìn)行問卷調(diào)查．在這9人中再選取3人進(jìn)行面對面詢問，記選取的3人中關(guān)注“一帶一路”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附:參考公式，其中．臨界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82821．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．（1）證明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．22．（10分）已知曲線在平面直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，有曲線.（1）將的方程化為普通方程，并求出的平面直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線和兩交點(diǎn)之間的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【題目詳解】由題,,故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到點(diǎn)M（4，2）在冪函數(shù)f（x）=xα的圖象上，由此先求出冪函數(shù)f（x），從而能求出α的值．【題目詳解】∵y=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的圖象過定點(diǎn)M，∴M（4，2），∵點(diǎn)M（4，2）也在冪函數(shù)f（x）=xα的圖象上，∴f（4）=4α=2，解得α=12故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．3、A【解題分析】，令，得：，∴單調(diào)遞減區(qū)間為故選Ａ4、D【解題分析】分析：將元素按從小到大的順序排列，然后按照元素在中的象有且只有兩個進(jìn)行討論.詳解：將元素按從小到大的順序排列，因恰有兩個象，將元素分成兩組，從小到大排列，有一組；一組；一組；一組，中選兩個元素作象，共有種選法，中每組第一個對應(yīng)集合中的較小者，適合條件的映射共有個，故選D.點(diǎn)睛：本題考查映射問題并不常見，解決此類問題要注意：（）分清象與原象的概念；（）明確對應(yīng)關(guān)系.5、D【解題分析】

試題分析：由圖象可知又，又，.，又，所以，由，得，則的對稱中心坐標(biāo)為.考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的性質(zhì)；2.三角函數(shù)圖像的性質(zhì).【方法點(diǎn)睛】根據(jù)，的圖象求解析式的步驟：1．首先確定振幅和周期，從而得到與；2．求的值時最好選用最值點(diǎn)求，峰點(diǎn)：，；谷點(diǎn)：，，也可用零點(diǎn)求，但要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn)，升零點(diǎn)(圖象上升時與軸的交點(diǎn))：，；降零點(diǎn)(圖象下降時與軸的交點(diǎn))：，．6、C【解題分析】解：令導(dǎo)數(shù)y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；令導(dǎo)數(shù)y′=-x2+81＜0，解得x＞9，所以函數(shù)y=-x3+81x-234在區(qū)間（0，9）上是增函數(shù)，在區(qū)間（9，+∞）上是減函數(shù)，所以在x=9處取極大值，也是最大值，故選C．7、C【解題分析】分析：先求得直線直線AB的傾斜角為，再聯(lián)立直線AB的方程和拋物線的方程求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到AC||x軸，得到，即得P的值和拋物線的方程.詳解：設(shè)=3a,設(shè)直線AB的傾斜角為，所以直線的斜率為.所以直線AB的方程為.聯(lián)立所以，所以直線OB方程為，令x=-所以故答案為：C.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系和拋物線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答圓錐曲線題目時，看到曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離（焦半徑），要馬上聯(lián)想到利用圓錐曲線的定義解答.8、B【解題分析】二項式的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則，二項式展開式的通項公式為：，由題意有：，整理可得：.本題選擇D選項.點(diǎn)睛：二項式系數(shù)與展開式項的系數(shù)的異同一是在Tr＋1＝an－rbr中，是該項的二項式系數(shù)，與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只與n和r有關(guān)，恒為正，后者還與a，b有關(guān)，可正可負(fù)．二是二項式系數(shù)的最值與增減性與指數(shù)n的奇偶性有關(guān)，當(dāng)n為偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值．9、D【解題分析】

當(dāng)直線斜率不存在時，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，假設(shè)直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式構(gòu)造方程解得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，方程為：，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：，即：原點(diǎn)到直線距離：，解得：直線為：，即：綜上所述：直線的方程為：或本題正確選項：【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，易錯點(diǎn)是忽略直線斜率不存在的情況，導(dǎo)致求解錯誤.10、D【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性排除選項，利用特殊值定義點(diǎn)的位置判斷選項即可．【題目詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項B，當(dāng)x=2時，f（2）=＜0，對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，排除A，C；故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力．11、D【解題分析】

由三視圖還原出原幾何體，然后計算其表面積．【題目詳解】由三視圖知原幾何體是一個圓錐里面挖去一個圓柱，尺寸見三視圖．圓錐的母線長為，．故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合體的表面積，解題關(guān)鍵是由三視圖還原出原幾何體，確定幾何體的結(jié)構(gòu)．12、D【解題分析】根據(jù)題意作出所圍成的圖形，如圖所示，圖中從左至右三個交點(diǎn)分別為，所以題中所求面積為，故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

畫出奇函數(shù)的圖像，將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和【題目詳解】由，得，則的零點(diǎn)就是的圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由已知，可畫出的圖象與直線（如下圖），根據(jù)的對稱性可知：，同理可得，則從而，即與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由，解得，即的所有零點(diǎn)之和為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)和問題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)問題，需要畫出函數(shù)的圖像并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)來解答，本題需要掌握解題方法，掌握數(shù)形結(jié)合思想解題14、1【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，復(fù)數(shù)相等的條件列式求解a值．【題目詳解】∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i，∴1﹣a=0，即a＝1．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的分類，是基礎(chǔ)題．15、0.15【解題分析】由題意可得：，則：，.點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.16、【解題分析】分析：首先確定的范圍，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由可得：，由于，故，由可知函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同：在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，很明顯是函數(shù)的一個零點(diǎn)，則滿足題意時應(yīng)有：，由韋達(dá)定理有：，其中，則：，整理可得：，由于，故，則.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，；（2），證明見解析【解題分析】

（1）先求得的值，利用求得的表達(dá)式，由此求得的值.（2）根據(jù)（1）猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的體積公式為.【題目詳解】（1）且于是從而可以得到，猜想通項公式（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時，滿足通項公式；②假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即由（1）知即證當(dāng)時命題成立；由①②可證成立.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查已知求，考查數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列的通項公式.18、（1）63種不同的去法（2）種【解題分析】

（1）邀請這6人去參加一項活動，必須有人去，去1，2，3，4，5，6個人，利用組合數(shù)求解即可．（2）第一類：6人中恰有4人分配到其中一項活動中，另外兩項活動各分一人，第二類：6人中恰有3人分配到其中一項活動中，第三類：6人平均分配到三項活動中，求出方法數(shù)，推出結(jié)果即可．【題目詳解】（1）由題意，從甲、乙、丙、丁、戊、己6人中，邀請這6人去參加一項活動，必須有人去，共有，故共有63種不同的去法．（2）該問題共分為三類：第一類：6人中恰有4人分配到其中一項活動中，另外兩項活動各分一人，共有種；第二類：6人中恰有3人分配到其中一項活動中，共有種；第三類：6人平均分配到三項活動中，共有種，所以每項活動至少安排1名輔導(dǎo)員的方法總數(shù)為：種．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分類計數(shù)原理，以及排列、組合的綜合應(yīng)用，其中正確理解題意，合理分類，正確使用排列、組合求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）（2）的分布列見解析,期望【解題分析】試題分析：(1)由題意結(jié)合對立事件的概率公式可得至少有1人成績是“優(yōu)秀”的概率是；(2)的取值可能為0,1,2,3，結(jié)合超幾何分布的概率公式可得函數(shù)的分布列，然后可求得X的數(shù)學(xué)期望為.試題解析：(1)由莖葉圖知,抽取的10人中成績是“優(yōu)秀”的有6人，頻率為，依題意,從我校學(xué)生中任選1人，成績是“優(yōu)秀”的概率為，記事件表示“在我校學(xué)生中任選3人，至少1人成績是優(yōu)良”,則(2)由題意可得，的取值可能為0,1,2,3,,,0123,∴的分布列為：期望點(diǎn)睛：(1)求解本題的關(guān)鍵在于：①從莖葉圖中準(zhǔn)確提取信息；②明確隨機(jī)變量X服從超幾何分布．(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．20、(1)有的把握認(rèn)為關(guān)注“一帶一路”和年齡段有關(guān)(2)【解題分析】試題分析：(1)依題意完成列聯(lián)表，計算，對照臨