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2024屆吉林省吉化第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿足,則其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如圖,分別為棱長為的正方體的棱的中點,點分別為面對角線和棱上的動點,則下列關(guān)于四面體的體積正確的是()A.該四面體體積有最大值,也有最小值 B.該四面體體積為定值C.該四面體體積只有最小值 D.該四面體體積只有最大值3.若復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位,)為純虛數(shù),則等于()A. B. C. D.4.已知,則()A. B. C. D.5.已知函數(shù),則=()A. B. C. D.6.在一組樣本數(shù)據(jù)不全相等的散點圖中,若所有樣本點都在直線上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A.3 B.0 C. D.17.已知復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點所在象限是()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知函數(shù),當(dāng)時,在內(nèi)的極值點的個數(shù)為()A. B. C. D.9.在的展開式中,二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為()A. B. C. D.10.曲線對稱的曲線的極坐標(biāo)方程是()A. B. C. D.11.箱子中有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小、形狀完全相同的6個球,從箱子中一次摸出兩個球,記下號碼并放回,如果兩球號碼之積是4的倍數(shù),則獲獎.若有4人參與摸獎,則恰好有3人獲獎的概率為()A.16625 B.96625 C.62412.已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上,平面,,,,則球的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知一組數(shù)據(jù)1,3,2,5,4,那么這組數(shù)據(jù)的方差為____.14.將10個志愿者名額分配給4個學(xué)校,要求每校至少有一個名額,則不同的名額分配方法共有______種.用數(shù)字作答15.已知直線的極坐標(biāo)方程為,為極點,點在直線上,線段上的點滿足,則點的軌跡的極坐標(biāo)方程為_______________.16.直角三角形中,兩直角邊分別為,則外接圓面積為.類比上述結(jié)論,若在三棱錐中,、、兩兩互相垂直且長度分別為,則其外接球的表面積為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)中央政府為了應(yīng)對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題,擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們]對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度,責(zé)成人社部進行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15∽65歲的人群中隨機調(diào)查100人,調(diào)査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如下:年齡支持“延遲退休”的人數(shù)155152817(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異;45歲以下45歲以上總計支持不支持總計(2)若以45歲為分界點,從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動.現(xiàn)從這8人中隨機抽2人①抽到1人是45歲以下時,求抽到的另一人是45歲以上的概率.②記抽到45歲以上的人數(shù)為,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828,其中18.(12分)已知:在中,,,分別是角,,所對的邊長,是和的等差中項.(Ⅰ)求角;(Ⅱ)若的面積,且,求的周長.19.(12分)已知函數(shù),集合.(1)當(dāng)時,解不等式;(2)若,且,求實數(shù)的取值范圍;(3)當(dāng)時,若函數(shù)的定義域為,求函數(shù)的值域.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)為極點,軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程,并指出曲線是什么曲線;(2)若直線與曲線相交于兩點,,求的值.21.(12分)已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點,雙曲線.(1)過雙曲線的右焦點作x軸的垂線,交于A、B兩點,求線段AB的長;(2)設(shè)M為的右頂點,P為右支上任意一點,已知點T的坐標(biāo)為,當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r,求t的取值范圍;(3)設(shè)直線與的右支交于A,B兩點,若雙曲線右支上存在點C使得,求實數(shù)m的值和點C的坐標(biāo).22.(10分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函數(shù)的極大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析:先求出z,然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義結(jié)合復(fù)數(shù)坐標(biāo)寫法即可.詳解:由題可知:,所以所對應(yīng)的坐標(biāo)為(-1,1),故在第二象限,選B.點睛:考查復(fù)數(shù)的除法運算,復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】
易證,從而可推出面積為定值,則只需研究點到平面的距離的取值范圍即可得到四面體體積的取值范圍【題目詳解】分別為棱長為的正方體的棱的中點,所以,又,故點到的距離為定值,則面積為定值,當(dāng)點與點重合時,為平面構(gòu)不成四面體,故只能無限接近點,當(dāng)點與點重合時,有最大值,體積有最值,所以四面體體積有最大值,無最小值故選D【題目點撥】本題主要考查了四面體體積的判斷,運動中的定量與變量的分析,空間想象與轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題3、D【解題分析】
先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)表示為一般形式,結(jié)合題中條件求出的值,再利用復(fù)數(shù)求模公式求出.【題目詳解】,由于復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,,得,,因此,,故選D.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)求模,解決復(fù)數(shù)問題,要通過復(fù)數(shù)的四則運算將復(fù)數(shù)表示為一般形式,結(jié)合復(fù)數(shù)相關(guān)知識求解,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】
由題意首先求得的值,然后利用二倍角公式整理計算即可求得最終結(jié)果.【題目詳解】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得:,則.本題選擇B選項.【題目點撥】本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5、C【解題分析】
由積分運算、微積分基本定理、積分的幾何意義分別求出,從而求得.【題目詳解】因為由微積分基本定理得:,由積分的幾何意義得:所以,故選C.【題目點撥】本題考查積分的運算法則及積分的幾何意義的運用,考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力.6、D【解題分析】
根據(jù)回歸直線方程可得相關(guān)系數(shù).【題目詳解】根據(jù)回歸直線方程是可得這兩個變量是正相關(guān),故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為正值,且所有樣本點(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線上,則有|r|=1,∴相關(guān)系數(shù)r=1.故選:D.【題目點撥】本題考查了由回歸直線方程求相關(guān)系數(shù),熟練掌握回歸直線方程的回歸系數(shù)的含義是解題的關(guān)鍵.7、D【解題分析】,對應(yīng)的點為,在第四象限,選D.8、C【解題分析】
求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)等于0,得出,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù),,,的交點問題,畫出圖象即可判斷.【題目詳解】令得出令函數(shù),,,它們的圖象如下圖所示由圖可知,函數(shù),,,有兩個不同的交點,則在內(nèi)的極值點的個數(shù)為2個故選:C【題目點撥】本題主要考查了求函數(shù)零點或方程的根的個數(shù),屬于中檔題.9、B【解題分析】
根據(jù)展開式中二項式系數(shù)最大的項是,由此求出它的系數(shù).【題目詳解】的展開式中,二項式系數(shù)最大的項是其系數(shù)為-1.
故選B..【題目點撥】本題考查了二項式展開式系數(shù)的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】
先把兩曲線極坐標(biāo)方程化為普通方程,求得對稱曲線,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程?!绢}目詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程可知曲線為,曲線為,所以對稱直線為,化為極坐標(biāo)方程為,選A.【題目點撥】由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式,利用這個公式可以實現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化。11、B【解題分析】獲獎的概率為p=6C62=25,記獲獎的人數(shù)為ξ,ξ~B(4,12、B【解題分析】
根據(jù)所給關(guān)系可證明,即可將三棱錐可補形成長方體,即可求得長方體的外接球半徑,即為三棱錐的外接球半徑,即可得球的體積.【題目詳解】因為平面BCD,所以,又AB=4,,所以,又,所以,則.由此可得三棱錐可補形成長方體如下圖所示:設(shè)長方體的外接球半徑為,則,所以球的體積為,故選:B.【題目點撥】本題考查了三棱錐外接球體積的求法,將三棱錐補全為棱柱是常用方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2;【解題分析】
先求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再代入方差公式,求方差.【題目詳解】因為,方差.【題目點撥】本題考查平均數(shù)與方差公式的簡單應(yīng)用,考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.14、84【解題分析】
根據(jù)題意,用隔板法分析:先將將10個名額排成一列,在空位中插入3個隔板,由組合數(shù)公式計算即可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意,將10個名額排成一列,排好后,除去2端,有9個空位,在9個空位中插入3個隔板,可將10個名額分成4組,依次對應(yīng)4個學(xué)校,則有種分配方法,故答案為:84.【題目點撥】本題考查組合數(shù)公式的應(yīng)用,注意10個名額之間是相同的,運用隔板法求解,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】
設(shè)的極坐標(biāo)為,的極坐標(biāo)為,將點的坐標(biāo)代入直線上得出,由,得,得,代入后化簡看得出答案?!绢}目詳解】設(shè)的極坐標(biāo)為,的極坐標(biāo)為.所以,,且.由得,即.故答案為:?!绢}目點撥】本題考查動點的極坐標(biāo)方程,考查相關(guān)點法求動點的軌跡方程,解本題的關(guān)鍵在于弄清楚主動點與從動點兩點之間極徑與極角之間的關(guān)系,并用這種相互關(guān)系進行替換,考查推理能力,屬于中等題。16、【解題分析】
直角三角形外接圓半徑為斜邊長的一半,由類比推理可知若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為,將三棱錐補成一個長方體,其外接球的半徑為長方體體對角線長的一半?!绢}目詳解】由類比推理可知:以兩兩垂直的三條側(cè)棱為棱,構(gòu)造棱長分別為的長方體,其體對角線就是該三棱錐的外接球直徑,則半徑.所以表面積【題目點撥】本題考查類比推理的思想以及割補思想的運用,考查類用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)能(2)①②見解析【解題分析】分析:(1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,計算觀測值,對照臨界值得出結(jié)論;
(2)①求抽到1人是45歲以下的概率,再求抽到1人是45歲以上的概率,
②根據(jù)題意知的可能取值,計算對應(yīng)的概率值,寫出隨機變量的分布列,計算數(shù)學(xué)期望值.詳解:(1)由頻率分布直方圖知45歲以下與45歲以上各50人,故填充列聯(lián)表如下:45歲以下45歲以上總計支持354580不支持15520總計5050100因為的觀測值,所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異.(2)①抽到1人是45歲以下的概率為,抽到1人是45歲以下且另一人是45歲以上的概率為,故所求概率.②從不支持“延遲退休”的人中抽取8人,則45歲以下的應(yīng)抽6人,45歲以上的應(yīng)抽2人.所以的可能取值為0,1,2.,,.故隨機變量的分布列為:012所以.點睛:本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題,也考查了古典概型的概率計算問題,是中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解題分析】
(Ⅰ)根據(jù)正弦定理得到,即,解得答案.(Ⅱ)根據(jù)面積公式得到,根據(jù)余弦定理得到,得到周長.【題目詳解】(Ⅰ)由已知得,由正弦定理得,即.∵,∴,∴.由于,∴.∵,∴.(Ⅱ)由得,,代入上式得.由余弦定理得,∴,∴,∴的周長為.【題目點撥】本題考查了正弦定理,余弦定理,面積公式,等差中項,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.19、(1);(2);(3)當(dāng)時,的值域為;當(dāng)時,的值域為;當(dāng)時,的值域為.【解題分析】分析:(1)先根據(jù)一元二次方程解得ex>3,再解對數(shù)不等式得解集,(2)解一元二次不等式得集合A,再根據(jù),得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解,利用變量分離法得a≥3ex-e2x在0≤x≤1上有解,即a≥[3ex-e2x]min.最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值得結(jié)果,(3)先轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù),再根據(jù)拐點與定義區(qū)間位置關(guān)系,分類討論,結(jié)合單調(diào)性確定函數(shù)值域.詳解:(1)當(dāng)a=-3時,由f(x)>1得ex-3e-x-1>1,所以e2x-2ex-3>0,即(ex-3)(ex+1)>0,所以ex>3,故x>ln3,所以不等式的解集為(ln3,+∞).(2)由x2-x≤0,得0≤x≤1,所以A={x|0≤x≤1}.因為A∩B≠,所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解,即f(x)≥2在0≤x≤1上有解,即ex+ae-x-3≥0在0≤x≤1上有解,所以a≥3ex-e2x在0≤x≤1上有解,即a≥[3ex-e2x]min.由0≤x≤1得1≤ex≤e,所以3ex-e2x=-(ex-)2+∈[3e-e2,],所以a≥3e-e2.(3)設(shè)t=ex,由(2)知1≤t≤e,記g(t)=t+-1(1≤t≤e,a>1),則,t(1,)(,+∞)g′(t)-0+g(t)↘極小值↗①當(dāng)≥e時,即a≥e2時,g(t)在1≤t≤e上遞減,所以g(e)≤g(t)≤g(1),即.所以f(x)的值域為.②當(dāng)1<<e時,即1<a<e2時,g(t)min=g()=2-1,g(t)max=max{g(1),g(e)}=max{a,}.1°若a,即e<a<e2時,g(t)max=g(1)=a;所以f(x)的值域為;2°若a,即1<a≤e時,g(t)max=g(e)=,所以f(x)的值域為.綜上所述,當(dāng)1<a≤e時,f(x)的值域為;當(dāng)e<a<e2時,f(x)的值域為;當(dāng)a≥e2時,f(x)的值域為.點睛:不等式有解是含參數(shù)的不等式存在性問題時,只要求存在滿足條件的即可;不等式的解集為R是指不等式的恒成立,而不等式的解集的對立面(如的解集是空集,則恒成立))也是不等式的恒成立問題,此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題,即恒成立?,恒成立?.20、(1)曲線的軌跡是以為圓心,3為半徑的圓.(2)【解題分析】
(1)由曲線的參數(shù)方程,消去參數(shù),即可得到曲線的普通方程,得出結(jié)論;(2)把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,再由點到直線的距離公式,列出方程,即可求解?!绢}目詳解】(1)由(為參數(shù)),消去參數(shù)得,故曲線的普通方程為.曲線的軌跡是以為圓心,3為半徑的圓.(2)由,展開得,的直角坐標(biāo)方程為.則圓心到直線的距離為,則,解得.【題目點撥】本題主要考查了參數(shù)
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