2024屆天津市寶坻區(qū)高中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆天津市寶坻區(qū)高中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知一列數(shù)按如下規(guī)律排列：,則第9個數(shù)是()A．-50 B．50 C．42 D．—422．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A． B． C． D．3．唐代詩人杜牧的七絕唐詩中的兩句詩為“今來海上升高望，不到蓬萊不成仙?！逼渲泻笠痪洹俺上伞笔恰暗脚钊R”的（）A．充分非必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．已知三棱錐的體積為，，，，，且平面平面PBC，那么三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線E：上的四點A，B，C，D滿足，若直線AD的斜率與直線AB的斜率之積為2，則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．6．若角為三角形的一個內(nèi)角，并且，則（）A． B． C． D．7．已知隨機變量X的分布列表如下表，且隨機變量，則Y的期望是（）X-101mA． B． C． D．8．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設(shè)集合，，則A． B． C． D．10．設(shè)為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則11．設(shè)，，，則的值分別為（）A．18， B．36, C．36， D．18，12．有本相同的數(shù)學(xué)書和本相同的語文書，要將它們排在同一層書架上,并且語文書不能放在一起，則不同的放法數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點在直線（為參數(shù)）上，點為曲線（為參數(shù)）上的動點，則的最小值為________________.14．在直角坐標系中，若直線（為參數(shù)）過橢圓（為參數(shù)）的左頂點，則__________．15．已知函數(shù)，，當(dāng)時，這兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)為____個．（參考數(shù)值：）16．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，則數(shù)列{an}的前9項和等于________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（）當(dāng)時，證明：為偶函數(shù)；（）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（）若，求實數(shù)的取值范圍，使在上恒成立．18．（12分）已知復(fù)數(shù).（1）若是純虛數(shù)，求；（2）若，求.19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，，（Ⅰ）當(dāng)時，解不等式：；（Ⅱ）若，且當(dāng)時，，求的取值范圍．20．（12分）在長方體中，底面是邊長為2的正方形，是的中點，是的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.21．（12分）已知等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．22．（10分）（本小題滿分12分）已知，函數(shù)．（I）當(dāng)為何值時，取得最大值？證明你的結(jié)論；（II）設(shè)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（III）設(shè)，當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：根據(jù)規(guī)律從第3個數(shù)起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)之差，確定第9個數(shù).詳解：因為從第3個數(shù)起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)之差，所以第9個數(shù)是，選A.點睛：由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法為：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.2、A【解題分析】

求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．【題目詳解】函數(shù)，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選：A．【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)值的運算，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

根據(jù)命題的“真、假”，條件與結(jié)論的關(guān)系即可得出選項。【題目詳解】不到蓬萊不成仙，成仙到蓬萊，“成仙”是到“到蓬萊”的充分條件，但“到蓬萊”是否“成仙”不確定，因此“成仙”是“到蓬萊”的充分非必要條件。故選：A【題目點撥】充分、必要條件有三種判斷方法：1、定義法：直接判斷“若則”和“若則”的真假。2、等假法：利用原命題與逆否命題的關(guān)系判斷。3、若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若,則A是B的充要條件。4、D【解題分析】試題分析：取中點，連接，由知，則，又平面平面，所以平面，設(shè)，則，又，則，，，，顯然是其外接球球心，因此．故選D．考點：棱錐與外接球，體積．5、A【解題分析】很明顯，A，B，C，D四點組成平行四邊形ABDC，如圖所示，設(shè)，則：，點A在雙曲線上，則：，據(jù)此可得：，結(jié)合可得雙曲線的離心率為.本題選擇A選項.點睛：求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法：一種是直接建立e的關(guān)系式求e或e的范圍；另一種是建立a，b，c的齊次關(guān)系式，將b用a，e表示，令兩邊同除以a或a2化為e的關(guān)系式，進而求解．6、A【解題分析】分析：利用同角關(guān)系，由正切值得到正弦值與余弦值，進而利用二倍角余弦公式得到結(jié)果.詳解：∵角為三角形的一個內(nèi)角，且，∴∴故選：A點睛：本題考查了同角基本關(guān)系式，考查了二倍角余弦公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

由隨機變量X的分布列求出m，求出，由，得，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】由隨機變量X的分布列得：，解得，，，．故選：A．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】分析：求出導(dǎo)函數(shù)，求得極值點，函數(shù)在含有極值點的區(qū)間內(nèi)不單調(diào)．詳解：，此函數(shù)在上是增函數(shù)，又，因此是的極值點，它在含有的區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，此區(qū)間為B．故選B．點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)在不含極值點的區(qū)間內(nèi)一定是單調(diào)函數(shù)，因此此只要求出極值點，含有極值點的區(qū)間就是正確的選項．9、C【解題分析】由，得：∴；∵，∴∴故選C10、C【解題分析】

通過作圖的方法，可以逐一排除錯誤選項.【題目詳解】如圖，相交，故A錯誤如圖，相交，故B錯誤D.如圖，相交，故D錯誤故選C.【題目點撥】本題考查直線和平面之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

由ξ～B（n，p），Eξ＝12，Dξ＝4，知np＝12，np（1﹣p）＝4，由此能求出n和p．【題目詳解】∵Eξ＝12，Dξ＝4，∴np＝12，np（1﹣p）＝4，∴n＝18，p．故選A．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的期望和方差，解題時要注意二項分布的性質(zhì)和應(yīng)用．12、A【解題分析】由題意，故選A．點睛：本題是不相鄰問題，解決方法是“插空法”，先把數(shù)學(xué)書排好（由于是相同的數(shù)學(xué)書，因此只有一種放法），再在數(shù)學(xué)書的6個間隔（含兩頭）中選3個放語文書（語文書也相同，只要選出位置即可），這樣可得放法數(shù)為，如果是5本不同的數(shù)學(xué)書和3本不同的語文書，則放法為．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求出直線的普通方程，再求出點到直線的距離，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出|MN|的最小值.【題目詳解】由題得直線方程為，由題意，點到直線的距離，∴.故答案為：【題目點撥】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查點到直線的距離的最值的求法和三角函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14、.【解題分析】分析：直接化參數(shù)方程為普通方程，得到直線和橢圓的普通方程，求出橢圓的左頂點，代入直線的方程，即可求得的值.詳解：由已知可得圓（為參數(shù)）化為普通方程，可得，故左頂點為，直線（為參數(shù)）化為普通方程，可得，又點在直線上，故，解得，故答案是.點睛：該題考查的是有關(guān)直線的參數(shù)方程與橢圓的參數(shù)方程的問題，在解題的過程中，需要將參數(shù)方程化為普通方程，所以就需要掌握參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化-----消參，之后要明確橢圓的左頂點的坐標，以及點在直線上的條件，從而求得參數(shù)的值.15、1．【解題分析】

原問題等價于函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx與函數(shù)y＝m，m∈（7，8）的交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象觀察即可得出答案．【題目詳解】函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的交點個數(shù)，即為﹣x2+8x＝6lnx+m的解的個數(shù)，亦即函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx與函數(shù)y＝m，m∈（7，8）的交點個數(shù)，，令y′＝0，解得x＝1或x＝1，故當(dāng)x∈（0，1）時，y′＜0，此時函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，1）時，y′＞0，此時函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時，y′＜0，此時函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx單調(diào)遞減，且y|x＝1＝7，y|x＝1＝15﹣6ln1＞8，作出函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx的草圖如下，由圖可知，函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx與函數(shù)y＝m，m∈（7，8）有1個交點．故答案為：1．【題目點撥】本題考查函數(shù)圖象的運用，考查函數(shù)交點個數(shù)的判斷，考查了運算能力及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．16、27【解題分析】數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項為1，公差為，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）證明見解析；（）；（）.【解題分析】試題分析：（1）當(dāng)時，的定義域關(guān)于原點對稱，而，說明為偶函數(shù)；（2）在上任取、，且，則恒成立，等價于恒成立，可求得的取值范圍；（3）先證明不等式恒成立，等價于，即恒成立，利用配方法求得的最大值，即可得結(jié)果.試題解析：（）當(dāng)時，，定義域關(guān)于原點對稱，而，說明為偶函數(shù)．（）在上任取、，且，則，因為，函數(shù)為增函數(shù)，得，，而在上調(diào)遞增，得，，于是必須恒成立，即對任意的恒成立，∴．（）由（）、（）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，其最小值，且，設(shè)，則，，于是不等式恒成立，等價于，即恒成立，而，僅當(dāng)，即時取最大值，故．18、（1）；（2）或1-2i.【解題分析】分析：（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義得到，解不等式組即得a的值.(2)由題得，解之得a的值，再求.詳解：（1）若是純虛數(shù)，則，所以（2）因為，所以，所以或.當(dāng)時，，當(dāng)時，.點睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本的運算能力.(2)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)不要把下面的b≠0漏掉了.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（I）當(dāng)=-2時，不等式＜化為，設(shè)函數(shù)=，=，其圖像如圖所示，從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，＜0，∴原不等式解集是.（Ⅱ）當(dāng)∈[，)時，=，不等式≤化為，∴對∈[，)都成立，故，即≤，∴的取值范圍為（-1，].考點：絕對值不等式解法，不等式恒成立問題．點評：中檔題，絕對值不等式解法，通常以“去絕對值符號”為出發(fā)點．有“平方法”，“分類討論法”，“幾何意義法”，不等式性質(zhì)法等等．不等式恒成立問題，通常利用“分離參數(shù)法”，建立不等式，確定參數(shù)的范圍．20、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）由于長方體中，因此只要證，這由中位線定理可得，從而可得線面平行；（2）以為軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面和平面的法向量，由法向量的夾角與二面角相等或互補可得．【題目詳解】（1）證明：連接，∵分別為的中點，∴∵長方體中，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：在長方體中，分別以為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，∴，，，設(shè)平面的一個法向量，則，取，則同樣可求出平面的一個法向量∴∴二面角的正弦值為.【題目點撥】本題考查線面平行的證明，考查用空間向量法求二面角．本題屬于基礎(chǔ)題型．21、（1）（2）【解題分析】

（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件求出公差，即可得出通項公式；（2）根據(jù)前項和公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，又，所以公差，所以．（2）由（1）知，，所以【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列，熟記等差數(shù)列的通項公式與前項和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.22、(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解題分析】試題分析：（I）求得f’(x)=[-x2+2(a-1）x+2a]ex，取得-x2+2(a-1)x+2a=0的根，即可得到數(shù)列的單調(diào)性，進而求解函數(shù)的最大值.（II）由（I）知，要使得在[-1,1]上單調(diào)函數(shù)，則：，即可求解a的取值范圍；（III)由，分類參數(shù)得，構(gòu)造新函數(shù)（x≥1)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)h(x)的單調(diào)性和最值，即得到a的取值范圍.試題解析：（I）∵，，∴，由得，則，∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時，且在上單調(diào)遞增，∴，∴有最大值，當(dāng)時取最大值．（II）由（I）知：，或，或；（I