2024屆江蘇省南京市附中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆江蘇省南京市附中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A． B． C． D．2．函數(shù)是周期為4的偶函數(shù),當(dāng)時(shí)，,則不等式在上的解集是()A． B． C． D．3．對(duì)于橢圓，若點(diǎn)滿足，則稱該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A在過點(diǎn)的任意橢圓內(nèi)或橢圓上，則滿足條件的點(diǎn)A構(gòu)成的圖形為（）A．三角形及其內(nèi)部 B．矩形及其內(nèi)部 C．圓及其內(nèi)部 D．橢圓及其內(nèi)部4．已知命題，命題，則（）A．命題是假命題 B．命題是真命題C．命題是真命題 D．命題是假命題5．已知，，，則下列三個(gè)數(shù)，，（）A．都大于 B．至少有一個(gè)不大于C．都小于 D．至少有一個(gè)不小于6．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，，，則（）A．2 B． C． D．47．一牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則Dξ等于A．0.2B．0.8C．0.196D．0.8048．在空間直角坐標(biāo)中，點(diǎn)到平面的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．9．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（）A． B．C． D．10．已知集合，集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．411．在公差為的等差數(shù)列中，“”是“是遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知函數(shù)f(x)=13x3-12A．(0,1) B．(3,+∞) C．(0,2) D．(1,+∞)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙兩地都位于北緯45°，它們的經(jīng)度相差90°，設(shè)地球半徑為，則甲、乙兩地的球面距離為________.14．已知棱長為的正方體中，，分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為________________．15．如圖所示，在三棱錐中，若，，是的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是_______(填序號(hào))．①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面；④平面平面，且平面平面.16．在正四面體P-ABC，已知M為AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求：①展開式中的中間一項(xiàng)；②展開式中常數(shù)項(xiàng)的值；（2）若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大，求展開式中含項(xiàng)的系數(shù).18．（12分）設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢園C：x22t2+y2t2=1(t>0)的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到F2(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)F1N?(3)當(dāng)|F2N19．（12分）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，（1）求．（2）在復(fù)平面內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，若是直角，求實(shí)數(shù)的值．20．（12分）已知圓圓心為，定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；若點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，且，求的面積．21．（12分）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直．EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE;22．（10分）在六條棱長分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中，最大的體積是多少？證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】本題考察函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性由函數(shù)的奇偶性定義易得，，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，單調(diào)區(qū)間為時(shí)，變形為，由于2>1,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，變形為，可看成的復(fù)合，易知為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)故選擇A2、C【解題分析】若，則此時(shí)是偶函數(shù)，即若，則∵函數(shù)的周期是4，

即，作出函數(shù)在上圖象如圖，

若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)

若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)，

綜上不等式在上的解集為故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和周期性求出對(duì)應(yīng)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．3、B【解題分析】

由在橢圓上，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，則關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在橢圓上，即可得結(jié)論．【題目詳解】設(shè)在過的任意橢圓內(nèi)或橢圓上，則，，即，由橢圓對(duì)稱性知，都在任意橢圓上，∴滿足條件的點(diǎn)在矩形上及其內(nèi)部，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到橢圓的位置關(guān)系．考查橢圓的對(duì)稱性．由點(diǎn)在橢圓上，則也在橢圓上，這樣過點(diǎn)的所有橢圓的公共部分就是矩形及其內(nèi)部．4、C【解題分析】試題分析：先判斷出命題p與q的真假，再由復(fù)合命題真假性的判斷法則，即可得到正確結(jié)論．解：由于x=10時(shí)，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命題p為真命題，令x=0，則x2=0，故命題q為假命題，依據(jù)復(fù)合命題真假性的判斷法則，得到命題p∨q是真命題，命題p∧q是假命題，￢q是真命題，進(jìn)而得到命題p∧（￢q）是真命題，命題p∨（￢q）是真命題．故答案為C．考點(diǎn)：全稱命題；復(fù)合命題的真假．5、D【解題分析】分析：利用基本不等式可證明，假設(shè)三個(gè)數(shù)都小于，則不可能，從而可得結(jié)果.詳解：，假設(shè)三個(gè)數(shù)都小于，則，所以假設(shè)不成立，所以至少有一個(gè)不小于，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，正難則反的思想，屬于一道基礎(chǔ)題.反證法的適用范圍：（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少．6、C【解題分析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【題目詳解】所以【題目點(diǎn)撥】本題考查正余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】試題分析：由題意可知發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ~B(10,0.02)，所以D(ξ)=10×0.02×(1-0.02)=0.196；故選C．考點(diǎn)：二項(xiàng)分布的期望與方差．8、B【解題分析】

利用空間坐標(biāo)的定義，即可求出點(diǎn)到平面的距離.【題目詳解】點(diǎn),由空間坐標(biāo)的定義.點(diǎn)到平面的距離為2.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查空間距離的求法，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】由條件知：是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；是偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；所以在內(nèi)是增函數(shù)；在內(nèi)是減函數(shù)；所以時(shí)，故選B10、D【解題分析】

因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可知集合的交集有2個(gè)元素，可知其子集共有個(gè).【題目詳解】由題意得，直線與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，故的子集有4個(gè).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，子集的概念，屬于中檔題.11、A【解題分析】試題分析：若，則，，所以，是遞增數(shù)列；若是遞增數(shù)列，則，，推不出，則“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件的判定.12、B【解題分析】

由三次函數(shù)的性質(zhì)，求出導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的極值，最后由極大值大于0，極小值小于0可得a的范圍．【題目詳解】f'(x)=x易知x<-a或x>1時(shí)f'(x)>0，當(dāng)-a<x<1時(shí)，f'(x)<0，∴f(x)極大值=f(-a)=∴16a3故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．求極值時(shí)要注意在極值點(diǎn)的兩側(cè)，f'(x)的符號(hào)要相反．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)兩地的經(jīng)度差得兩地緯度小圓上的弦長，再在這兩地與球心構(gòu)成的三角形中運(yùn)用余弦定理求出球心角，利用弧長公式求解.【題目詳解】由已知得，所以，所以，所以在中，，所以，所以甲、乙兩地的球面距離為.故得解.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩點(diǎn)的球面距離，關(guān)鍵在于運(yùn)用余弦定理求出球心角，屬于中檔題.14、1【解題分析】

以D點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，代入向量點(diǎn)到平面的距離公式，即可求解．【題目詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，設(shè)

是平面的法向量，則，即，令，可得，故，設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，連接，則是平面的斜線段，所以點(diǎn)到平面的距離．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應(yīng)用，對(duì)于利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對(duì)應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對(duì)值，即為點(diǎn)到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解．著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、③【解題分析】

由AB=BC，AD=CD，說明對(duì)棱垂直，推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE，即可得出結(jié)論．【題目詳解】因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，故答案為：③．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面與平面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】分析：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得即為與所成的角或其補(bǔ)角，利用余弦定理可得結(jié)果.詳解：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得，，故即為與所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)槭钦拿骟w，不妨設(shè)令其棱長為，則由正四面體的性質(zhì)可求得，故，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用以及異面直線所成角的求法，求異面直線所成的角的做題步驟分為三步，分別為：作角、證角、求角，尤其是第二步證明過程不可少，是本題易失點(diǎn)分，切記.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①；②；（2）.【解題分析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可求出特定的項(xiàng)以及常數(shù)項(xiàng)的值；（2）根據(jù)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大于求出的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中含項(xiàng)的系數(shù)．【題目詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，的展開式共有項(xiàng)，展開式中的中間一項(xiàng)為；②展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所求常數(shù)項(xiàng)的值為；（2）若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大于，而展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則，即，解得.所以，展開式通項(xiàng)為，令，解得，因此，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．18、（1）x28+【解題分析】

(1)根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)可得a-c=2t-t=22-2，求解(2)可設(shè)N(22cosθ,2sinθ)(3)向量F1M與向量F2N平行，不妨設(shè)λF1M=F2N，設(shè)M(【題目詳解】(1)點(diǎn)F1、F2分別是橢圓C：x22t∵橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F2的距離的最小值為22-2解得t=2，∴橢圓的方程為x2(2)由(1)可得F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0可設(shè)N(22∴F1N∵F1N解得cosθ=0，sinθ=1，∴△F1N(3)∵向量F1M與向量F2∵|F2N|-|F設(shè)M(x1,∴λ(x1+2)=x∵x22∴[λx∴4λ(λ+1)x1=(1-3λ)(λ+1)∴y12∴|F1M|=λ+12λ，∴(λ-1)?λ+12∴x1=1λ-3=-8∴kF1M=23-0-83∴直線F2N的方程為y-0=-(x-2)，即為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，向量的運(yùn)算，直線斜率，屬于難題．19、（1）z＝3+4i；（2）c＝8【解題分析】

（1）設(shè)，由，進(jìn)行計(jì)算化簡，得到關(guān)于的方程組，解得答案；（2）代入（1）中求出的，然后由∠AOB是直角，得到，得到關(guān)于的方程，求出的值.【題目詳解】（1）設(shè)，由，得，∴，解得．∴；（2）由題意，的坐標(biāo)分別為∴，，∵是直角，∴，即．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)模長的表示，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于簡單題.20、；.【解題分析】

由已知，故，即點(diǎn)軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)，，得出橢圓方程；由知，又因?yàn)?，得出，進(jìn)而求出，算出面積即可.【題目詳解】由已知，故點(diǎn)軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)其方程為則即，又，故．點(diǎn)的軌跡的方程為：．由知.又.有，．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓得方程求法，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.21、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解題分析】

(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G.因?yàn)镋F∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF∥EG.因?yàn)镋G?平面BDE,AF?平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)連接FG.因?yàn)镋F∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四邊形CEFG為菱形.所以CF⊥EG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以BD⊥AC.又因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩E