甘肅省武威市涼州區(qū)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

甘肅省武威市涼州區(qū)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是25和12A．27 B．15 C．22．已知集合，，在集合內(nèi)隨機(jī)取一個元素，則這個元素屬于集合的概率為（）A． B． C． D．3．是單調(diào)函數(shù),對任意都有，則的值為（）A． B． C． D．4．若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．5．拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于、兩點，點為軸正半軸上任意一點，則（）A． B． C． D．6．已知兩個復(fù)數(shù),的實部和虛部都是正整數(shù),關(guān)于代數(shù)式有以下判斷:①最大值為2；②無最大值;③最小值為；④無最小值.其中正確判斷的序號是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③7．設(shè)是平面內(nèi)的兩條不同直線，是平面內(nèi)兩條相交直線，則的一個充分不必要條件是（）A．B．C．D．8．點的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為（）A． B． C． D．9．已知定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A． B． C． D．10．展開式中x2的系數(shù)為（）A．15 B．60 C．120 D．24011．若cos(α+π4)=1A．718 B．23 C．4-12．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，其中，是與無關(guān)的實數(shù)，且，的最小值為1.則的最小值______.14．已知集合A={}，集合B={}，則________．15．一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行4次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率是______．16．如圖,在平面四邊形中,是對角線的中點,且，.若,則的值為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點為F，過F的動直線l交于M、N兩點.（1）若l垂直于x軸，且線段MN的長為1，求的方程；（2）若，求線段MN的中點P的軌跡方程；（3）求的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）某學(xué)校高三年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制，各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級ABCD規(guī)定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級為了解該校高三年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計該校高一年級學(xué)生成績是合格等級的概率；根據(jù)頻率分布直方圖，求成績的中位數(shù)精確到；在選取的樣本中，從A，D兩個等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求至少有一名學(xué)生是A等級的概率．20．（12分）已知函數(shù)，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）己知函數(shù).（I）求的最小值；（II）若均為正實數(shù)，且滿足，求證：.22．（10分）設(shè)函數(shù)在時取得極值．（1）求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設(shè)事件A表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這個問題被解答”，則P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，求出P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.7【題目詳解】設(shè)事件A表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這個問題被解答”，則P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.2+0.3+0.2＝0.7∴在這個問題已被解答的條件下，甲乙兩位同學(xué)都能正確回答該問題的概率：P（AB|C）=P(AB)故選：A【題目點撥】本題考查條件概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率公式的合理運(yùn)用．2、D【解題分析】

利用線性規(guī)劃可得所在區(qū)域三角形的面積，求得圓與三角形的公共面積，利用幾何概型概率公式可得結(jié)果.【題目詳解】表示如圖所示的三角形，求得，，點到直線的距離為，所以，既在三角形內(nèi)又在圓內(nèi)的點的軌跡是如圖所示陰影部分的面積，其面積等于四分之三圓面積與等腰直角三角形的面積和，即為，所以在集合內(nèi)隨機(jī)取一個元素，則這個元素屬于集合的概率為，故選D.【題目點撥】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導(dǎo)致錯誤.3、A【解題分析】

令，根據(jù)對任意都有，對其求導(dǎo)，結(jié)合是單調(diào)函數(shù)，即可求得的解析式，從而可得答案.【題目詳解】令，則，.∴∵是單調(diào)函數(shù)∴∴，即.∴故選A.【題目點撥】本題考查的知識點是函數(shù)的值，函數(shù)解析式的求法，其中解答的關(guān)鍵是求出抽象函數(shù)解析式，要注意對已知條件及未知條件的湊配思想的應(yīng)用．4、B【解題分析】

恒成立等價于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)求其最大值，進(jìn)而得到答案。【題目詳解】恒成立等價于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為，，令，則，所以當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減且，所以在上單調(diào)遞增，在上的單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，，所以故選B【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)解答恒成立問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于一般題。5、B【解題分析】

分析：設(shè)，則，由利用韋達(dá)定理求解即可.詳解：設(shè)，的焦點，設(shè)過點的直線為，，，，，故選B.點睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積公式、平面向量的運(yùn)算、直線與拋物線的位置關(guān)系，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想以及計算能力，屬于中檔題.6、C【解題分析】

設(shè)兩個復(fù)數(shù),,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點,利用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量的數(shù)量積可以判斷出的最值情況.【題目詳解】設(shè)兩個復(fù)數(shù),,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點,因此有：因為,復(fù)數(shù),的實部和虛部都是正整數(shù),所以,(當(dāng)且僅當(dāng)),故,假設(shè)有最小值,則,顯然對于也成立,于是有這與相矛盾,故不存在最小值；對任意正整數(shù),,,,故沒有最大值,因此②④說法正確.故選：C【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的向量表示,考查了平面向量的數(shù)量積的計算,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、B【解題分析】試題分析：A．不能得出，所以本題條件是的不充分條件；B．，當(dāng)時，不一定有故本命題正確；C．不能得出，故不滿足充分條件；D．不能得出，故不滿足充分條件；故選B.考點：平面與平面垂直的方法.8、D【解題分析】

分別求得極徑和極角，即可將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo).【題目詳解】由點M的直角坐標(biāo)可得：，點M位于第二象限，且，故，則將點的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為.本題選擇D選項.【題目點撥】本題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.9、A【解題分析】

根據(jù)是偶函數(shù)判出是函數(shù)的對稱軸，結(jié)合是奇函數(shù)可判斷出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，由此求得的值.【題目詳解】由于是偶函數(shù)，所以函數(shù)的一條對稱軸為，由于函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故，故選A.【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、考查函數(shù)的對稱性、考查函數(shù)的周期性，考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

∵展開式的通項為，令6-r=2得r=4，∴展開式中x2項為，所以其系數(shù)為60,故選B11、C【解題分析】分析：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin(π4+α)詳解：因為cos(則0<π4+α<則sin[(故選C.點睛：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及兩角差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，其中熟記三角恒等變換的公式是化簡求值的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.12、C【解題分析】

對進(jìn)行化簡，得到標(biāo)準(zhǔn)形式，在根據(jù)復(fù)數(shù)模長的公式，得到【題目詳解】對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡所以【題目點撥】考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模長，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

化簡，結(jié)合單調(diào)性及題意計算出，的表達(dá)式，由的最小值為1計算出結(jié)果【題目詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增，又關(guān)于的不等式在上恒成立，所以，，因為的最小為1，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，即的最小值為.【題目點撥】本題考查了計算最值問題，題目較為復(fù)雜，理清題意，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出最值，運(yùn)用基本不等式計算出結(jié)果，緊扣題意是解題關(guān)鍵，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化能力14、(1,2)【解題分析】分析：直接利用交集的定義求.詳解：由題得={}∩{}=（1,2），故答案為：（1,2）.點睛：本題主要考查交集的定義，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平.15、【解題分析】

設(shè)此射手每次射擊命中的概率為，由獨(dú)立事件的概率與對立事件的概率可得，射擊四次全都沒有命中的概率為，解方程可求出的值．【題目詳解】設(shè)此射手每次射擊命中的概率為，分析可得，至少命中一次的對立事件為射擊四次全都沒有命中，由題意可知一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地射擊四次全都沒有命中的概率為．則，可解得，故答案為．【題目點撥】本題主要考查獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式以及對立事件的概率公式，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題．16、36【解題分析】分析：利用極化恒等式可快速解決此題詳解：如圖，O為BC中點，(1)(2)把(1)式和(2)式兩邊平方相減得：該結(jié)論稱為極化恒等式所以在本題中運(yùn)用上述結(jié)論可輕松解題，所以所以點睛：極化恒等式是解決向量數(shù)量積問題的又一個方法，尤其在一些動點問題中運(yùn)用恰當(dāng)可對解題思路大大簡化，要注意應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）由題意，（，±）在拋物線上，代入可求出p，問題得一解決，（2）利用點差法和中點坐標(biāo)公式和點斜式方程即可求出，（3）拋物線Γ：y2＝2px（p＞0），設(shè)l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0根據(jù)根系數(shù)的關(guān)系和兩角和的正切公式，化簡整理即可求出．【題目詳解】解：（1）由題意，（，±）在拋物線上，代入可求出p，∴Γ的方程為y2＝x，（2）拋物線Γ：y2＝4x，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）∴，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1+x2），∴k，于是l為y﹣y0（x﹣x0），又l過點F（1，0），∴﹣y0（1﹣x0），即y02＝2（x0﹣1），故線段MN的中點P的軌跡方程為y2＝2（x﹣1）（3）拋物線Γ：y2＝2px（p＞0），設(shè)l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0，則y2﹣2my﹣p2＝0，∴y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，則tan∠MON＝tan（∠MOF+∠NOF），，，，，，故tan∠MON的取值范圍是（﹣∞，]【題目點撥】本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，然后利用參變量分離法得出，于是可得出實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)在上是增函數(shù)，設(shè)，并設(shè)，得知在區(qū)間上為減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用參變量分離法得到，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值可求出實數(shù)的取值范圍。【題目詳解】（Ⅰ）易知不是常值函數(shù)，∵在上是增函數(shù)，∴恒成立，所以，只需；（Ⅱ）因為，由（Ⅰ）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，可化為，設(shè)，則，所以為上的減函數(shù)，即在上恒成立，等價于在上恒成立，設(shè)，所以，因，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．所以．即的最小值為1．【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，對于函數(shù)雙變量不等式問題，應(yīng)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性問題，難點在于利用不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，考查分析能力，屬于難題。19、（1），；合格等級的概率為；（2）中位數(shù)為；（3）【解題分析】

由題意求出樣本容量，再計算x、y的值，用頻率估計概率值；根據(jù)頻率分布直方圖，計算成績的中位數(shù)即可；由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值．【題目詳解】由題意知，樣本容量，，；因為成績是合格等級人數(shù)為：人，抽取的50人中成績是合格等級的概率為，即估計該校高一年級學(xué)生成績是合格等級的概率為；根據(jù)頻率分布直方圖，計算成績的中位數(shù)為；由莖葉圖知，A等級的學(xué)生有3人，D等級的學(xué)生有人，記A等級的學(xué)生為A、B、C，D等級的學(xué)生為d、e、f、g、h，從這8人中隨機(jī)抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28個；至少有一名是A等級的基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18個；故所求的概率為．【題目點撥】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）分別在、、三種情況下去掉絕對值，得