2024屆山東省安丘市、諸城市、五蓮縣、蘭山區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

2024屆山東省安丘市、諸城市、五蓮縣、蘭山區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一位母親根據(jù)兒子歲身高的數(shù)據(jù)建立了身高與年齡(歲)的回歸模型，用這個(gè)模型預(yù)測這個(gè)孩子歲時(shí)的身高，則正確的敘述是（）A．身高在左右 B．身高一定是C．身高在以上 D．身高在以下2．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若，（為原點(diǎn)），則（）A． B． C． D．3．若命題是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．4．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A． B． C． D．5．某國際會議結(jié)束后，中、美、俄等21國領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對其他國家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種6．已知，則等于()A．-4 B．-2 C．1 D．27．過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線,交雙曲線于,是另一焦點(diǎn),若,則雙曲線的離心率等于（）A． B． C． D．8．袋中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，不放回的依次摸出兩球，在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率是A． B． C． D．9．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到軸距離的倍，則（）A． B． C． D．10．在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．如圖所示的電路有a，b，c，d四個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)斷開與閉合的概率均為且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為（）A． B． C． D．12．已知的邊上有一點(diǎn)滿足，則可表示為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示是世界20個(gè)地區(qū)受教育程度的人口百分比與人均收入的散點(diǎn)圖，樣本點(diǎn)基本集中在一個(gè)條型區(qū)域，因此兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系．利用散點(diǎn)圖中的數(shù)據(jù)建立的回歸方程為，若受教育的人口百分比相差10%，則其人均收入相差_________．14．在處的導(dǎo)數(shù)值是___________.15．《九章算術(shù)》卷五《商功》中有如下敘述“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈“芻甍”指的是底面為矩形的對稱型屋脊?fàn)畹膸缀误w，“下廣三丈”是指底面矩形寬三丈，“袤四丈”是指底面矩形長四丈，“上袤二丈”是指脊長二丈，“無寬”是指脊無寬度，“高一丈”是指幾何體的高為一丈．現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，下廣三丈，袤四丈，上袤三丈，無廣，高二丈，則該芻甍的外接球的表面積為_______________平方丈．16．若（其中i是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已如變換對應(yīng)的變換矩陣是，變換對應(yīng)的變換矩陣是.（Ⅰ）若直線先經(jīng)過變換，再經(jīng)過變換后所得曲線為，求曲線的方程；（Ⅱ）求矩陣的特征值與特征向量.18．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程（化為標(biāo)準(zhǔn)方程）及曲線的普通方程；（2）若圓與曲線的公共弦長為，求的值.19．（12分）已知橢圓的焦距為2，左右焦點(diǎn)分別為，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn),若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；20．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)若函數(shù)在處取得極值，求的值；(Ⅱ)設(shè)，若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，求的最大整數(shù)值.21．（12分）已知．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱軸方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值．22．（10分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及的取值范圍；（2）求證直線與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由線性回歸方程的意義得解.【題目詳解】將代入線性回歸方程求得由線性回歸方程的意義可知是預(yù)測值，故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程的意義，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

計(jì)算出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入回歸直線方程可求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】由題意可得，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程得，解得，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用回歸直線方程求參數(shù)的值，解題時(shí)要熟悉“回歸直線過樣本中心點(diǎn)”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】因?yàn)槊}是真命題，即不等式對恒成立，即恒成立，當(dāng)a＋2＝0時(shí)，不符合題意，故有，即，解得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：B．4、B【解題分析】

根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【題目詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù),故,解得.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

先排美國人和俄國人，方法數(shù)有種，剩下人任意排有種，故共有種不同的站法.6、D【解題分析】

首先對f（x）求導(dǎo)，將1代入，求出f′（1）的值，化簡f′（x），最后將x＝3代入即可．【題目詳解】因?yàn)閒′（x）＝1x+1f′（1），令x＝1，可得f′（1）＝1+1f′（1），∴f′（1）＝﹣1，∴f′（x）＝1x+1f′（1）＝1x﹣4，當(dāng)x＝3，f′（3）＝1．故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求出f′（1）是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

根據(jù)對稱性知是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，可得，利用雙曲線的定義得出，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出雙曲線的離心率的值.【題目詳解】由雙曲線的對稱性可知，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，則，由雙曲線的定義可得，在中，，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的離心率的求解，要充分研究雙曲線的幾何性質(zhì)，在遇到焦點(diǎn)時(shí)，善于利用雙曲線的定義來求解，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于中等題．8、D【解題分析】

通過條件概率相關(guān)公式即可計(jì)算得到答案.【題目詳解】設(shè)“第一次摸到紅球”為事件A，“第二次摸到紅球”為事件B，而，，故，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查條件概率的相關(guān)計(jì)算，難度不大.9、D【解題分析】

利用拋物線的定義列等式可求出的值.【題目詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義知，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，，解得，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義，在求解拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，通常將其轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10、C【解題分析】分析：首先通過題中的條件，得到棱錐的三組對棱相等，從而利用補(bǔ)體，得到相應(yīng)的長方體，列式求得長方體的對角線長，從而求得外接球的半徑，利用球體的表面積公式求得結(jié)果.詳解：對棱相等的三棱錐可以補(bǔ)為長方體（各個(gè)對面的面對角線），設(shè)長方體的長、寬、高分別是，則有，三個(gè)式子相加整理可得，所以長方體的對角線長為，所以其外接球的半徑，所以其外接球的表面積，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的外接球的體積問題，在解題的過程中，注意根據(jù)題中所給的三棱錐的特征，三組對棱相等，從而將其補(bǔ)體為長方體，利用長方體的外接球的直徑就是該長方體的對角線，利用相應(yīng)的公式求得結(jié)果.11、C【解題分析】

由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算．把組成一個(gè)事整體，先計(jì)算它通路的概率．【題目詳解】記通路為事件，則，所以燈泡亮的概率為．故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可．12、D【解題分析】

由，結(jié)合題中條件即可得解.【題目詳解】由題意可知.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量的基本定理，熟練掌握向量的加減法及數(shù)乘運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、31.93美元【解題分析】

設(shè)所受教育百分比分別為，且，利用回歸方程計(jì)算即可．【題目詳解】設(shè)所受教育百分比分別為，且根據(jù)回歸方程為，收入相差大約為：

，

即受教育的人口百分比相差，則其人均收入相差約美元．

故答案為：31.93美元．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，屬于中檔題．14、【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)的公式求出導(dǎo)函數(shù)，再令導(dǎo)函數(shù)中的，即可求出導(dǎo)數(shù)值．【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)所以所以在處的導(dǎo)數(shù)值是，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于簡單題.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值時(shí)，先根據(jù)函數(shù)的形式選擇合適的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)公式，再求導(dǎo)數(shù)值．15、【解題分析】

連結(jié)，交于，可得，即可確定點(diǎn)為芻甍的外接球的球心，利用球的表面積公式即可得到答案．【題目詳解】如圖，連結(jié)，，連結(jié)，交于，可得，由已知可得，所以點(diǎn)為芻甍的外接球的球心，該球的半徑為，所以該芻甍的外接球的表面積為．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查多面體外接球表面積的求法，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．16、【解題分析】

由可知，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，及復(fù)數(shù)相等的概念即可求解.【題目詳解】因?yàn)樗运浴绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的概念，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）先求出變換矩陣，然后設(shè)曲線上一點(diǎn)，列出方程即可得到方程；（Ⅱ）先利用多項(xiàng)式求出特征根，然后求出特征向量.【題目詳解】解：（Ⅰ），在曲線上任取一點(diǎn)，在變換的作用下得到點(diǎn)，則即，整理得，則即代入中得.（Ⅱ）矩陣的特征多項(xiàng)式為，令得或，①當(dāng)時(shí)，由，得即令，則.所以矩陣的一個(gè)特征向量為；②當(dāng)時(shí)，由，得，即令，則.所以矩陣的一個(gè)特征向量.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查矩陣變換，特征值和特征向量的相關(guān)運(yùn)算.意在考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力，難度中等.18、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的普通方程為;(2).【解題分析】分析：（1）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可得圓的直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)即可得曲線的普通方程；（2）聯(lián)立圓C與曲線，因?yàn)閳A的直徑為，且圓與曲線的公共弦長為，即公共弦直線經(jīng)過圓的圓心，即可得到答案.詳解：(1）由，得，所以，即，故曲線的直角坐標(biāo)方程為.曲線的普通方程為（2）聯(lián)立，得因?yàn)閳A的直徑為，且圓與曲線的公共弦長為，所以直線經(jīng)過圓的圓心，則，又所以點(diǎn)睛：求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問題的主要方法(1)直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用；(2)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解．使用后一種方法時(shí)，應(yīng)注意若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)．19、（1）（2）線恒過定點(diǎn)，詳見解析【解題分析】

（1）根據(jù)焦距得到，根據(jù)圓心到直線的距離得到，由得到，從而得到橢圓方程；（2）直線，聯(lián)立得到，然后表示，代入韋達(dá)定理，得到和的關(guān)系，從而得到直線過的定點(diǎn).【題目詳解】(1)由題意可得，即，由直線與圓相切，可得，解得，即有橢圓的方程為；(2)證明：設(shè)，將直線代入橢圓，可得，即有，，由，即有，代入韋達(dá)定理，可得，化簡可得，則直線的方程為，即，故直線恒過定點(diǎn)；【題目點(diǎn)撥】本題考查求橢圓方程，直線與橢圓的關(guān)系，橢圓中的定點(diǎn)問題，屬于中檔題.20、(1);(2)的最大整數(shù)值為2.【解題分析】分析：(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)根據(jù)極值定義得0，解得的值,最后列表驗(yàn)證.(2)先轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用結(jié)論（需證明），得，可得當(dāng)時(shí)，恒成立；最后舉反例說明當(dāng)時(shí)，，即不恒成立.詳解：(Ⅰ)，若函數(shù)在處取得極值，則，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極值.綜上，.(Ⅱ)由題意知，，.若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立.先證明.設(shè)，則.則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即.同理，可證，所以，所以.當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，即不恒成立.綜上所述，的最大整數(shù)值為2.點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號是否變號或怎樣變號問題，即轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的問題（有解，恒成立，無解等），而不等式有解或恒成立問題，又可通過適當(dāng)?shù)淖兞糠蛛x轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題.21、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．對稱軸方程為，其中k∈Z．（2）f（x）的最大值為2，最小值為–1．【解題分析】（1）因?yàn)?，由，求得，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．由，求得，k∈Z．故f（x）的對稱軸方程為，其中k∈Z．（2）因?yàn)椋?，故有，故?dāng)即x=0時(shí)，f（x）的最小值為–1，當(dāng)即時(shí)，f（x）的最大值為2．22、（1）（2）見解析.【解題分析】（1）設(shè)橢圓方程為則∴橢圓方程∵直線l平行于OM，且在軸上的截距為m又