2024屆湖南省永州市第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2024屆湖南省永州市第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣2．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個(gè)數(shù)，則P(X2)等于A． B．C． D．13．若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的連線的斜率之積為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡一定不可能是（）A．除兩點(diǎn)外的圓 B．除兩點(diǎn)外的橢圓C．除兩點(diǎn)外的雙曲線 D．除兩點(diǎn)外的拋物線4．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程是，且的導(dǎo)函數(shù)為，那么等于A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)等于()A． B． C． D．i6．已知復(fù)數(shù),則的共軛復(fù)數(shù)()A． B． C． D．7．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，，，則（）A．2 B． C． D．48．在下面的四個(gè)圖象中，其中一個(gè)圖象是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則等于（）A． B． C．或 D．9．與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線方程是（）A． B． C． D．10．展開式中的所有項(xiàng)系數(shù)和是（）A．0 B．1 C．256 D．51211．過點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程為（）A． B． C． D．12．5人站成一列，甲、乙兩人相鄰的不同站法的種數(shù)為（）A．18 B．24 C．36 D．48二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線l過點(diǎn)（1,0）且垂直于??軸，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_________.14．已知雙曲線的焦距為，則其離心率為__________．15．在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值為__________16．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的N*，都有.（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的N*都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，若，且，，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)（）.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）設(shè)函數(shù)若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22．（10分）如圖是某市年月日至日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，某人隨機(jī)選擇年月日至月日中的某一天到達(dá)該市，并停留天.（1）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量指數(shù)大于的概率；（2）設(shè)是此人停留期間空氣質(zhì)量指數(shù)小于的天數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.考點(diǎn)：分層抽樣．2、C【解題分析】

根據(jù)超幾何分布的概率公式計(jì)算各種可能的概率，得出結(jié)果【題目詳解】由題意，知X取0，1，2，X服從超幾何分布，它取每個(gè)值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了運(yùn)用超幾何分布求概率，分別求出滿足題意的情況，然后相加，屬于中檔題．3、D【解題分析】

根據(jù)題意可分別表示出動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的連線的斜率,根據(jù)其之積為常數(shù)，求得和的關(guān)系式，對(duì)的范圍進(jìn)行分類討論，分別討論且和時(shí)，可推斷出點(diǎn)的軌跡.【題目詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的連線的斜率之積為常數(shù)，所以，整理得，當(dāng)時(shí)，方程的軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，且方程的軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，或的指數(shù)必有一個(gè)是1,故點(diǎn)的軌跡一定不可能是拋物線，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直接法求軌跡方程、點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法①求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的.4、D【解題分析】

求出切線的斜率即可【題目詳解】由題意切線方程是x+y﹣8＝0，即y＝8﹣x，f'（5）就是切線的斜率，f′（5）＝﹣1，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了某點(diǎn)處的切線斜率的求法，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

把給出的等式通過復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)后,直接利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可得解.【題目詳解】,,.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查共扼復(fù)數(shù),是基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后得到，再求出共軛復(fù)數(shù).【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以的共軛?fù)數(shù)故選A項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于簡(jiǎn)單題.7、C【解題分析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【題目詳解】所以【題目點(diǎn)撥】本題考查正余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

先求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定導(dǎo)函數(shù)圖像，再求解.【題目詳解】因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)，所以導(dǎo)函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，所以導(dǎo)函數(shù)圖像是從左至右第三個(gè)，所以，又，即，所以，所以.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)及二次函數(shù)的性質(zhì).9、A【解題分析】由橢圓方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)與其共焦點(diǎn)的雙曲線方程為：，雙曲線過點(diǎn)，則：，整理可得：，結(jié)合可得：，則雙曲線方程為：.本題選擇A選項(xiàng).10、B【解題分析】

令，可求出展開式中的所有項(xiàng)系數(shù)和.【題目詳解】令，則，即展開式中的所有項(xiàng)系數(shù)和是1，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了展開式的系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

求出直線的斜率，根據(jù)兩直線平行斜率的性質(zhì)，可以求出所求直線的斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，最后化為一般方程.【題目詳解】因?yàn)榈男甭蕿?，所以所求直線的方程的斜率也為2，因此所求直線方程為，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了求過一點(diǎn)與已知直線平行的直線的方程.本題也可以這樣求解：與直線平行的直線可設(shè)為，過代入方程中，，所以直線方程為，一般來說，與直線平行的直線可設(shè)為；與直線垂直的直線可設(shè)為.12、D【解題分析】

將甲、乙兩人捆綁在一起，再利用排列公式得到答案.【題目詳解】將甲、乙兩人捆綁在一起，不同站法的種數(shù)為：故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合中的捆綁法，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)題干描述畫出相應(yīng)圖形，分析可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入可求參數(shù)的值，進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).詳細(xì)：由題意可得，點(diǎn)在拋物線上，將代入中，解得：，，由拋物線方程可得：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：此題考查拋物線的相關(guān)知識(shí)，屬于易得分題，關(guān)鍵在于能夠結(jié)合拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，得到拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，再者熟練準(zhǔn)確記憶拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式也是保證本題能夠得分的關(guān)鍵.14、【解題分析】分析：已知雙曲線的焦距為，故c=，然后根據(jù)焦點(diǎn)位置的不同由建立等式關(guān)系即可得出m，再求離心率即可.詳解：由題可知：當(dāng)m<2時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，，此時(shí)或者當(dāng)m>3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸，，此時(shí)，故綜合得離心率為點(diǎn)睛：考查雙曲線基本性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.15、15【解題分析】

寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，通過得到，從而求得常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為：當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、或【解題分析】

當(dāng)時(shí)，取，滿足，考慮的情況，討論，，，四種情況，分別計(jì)算得到答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，取，滿足，成立；現(xiàn)在考慮的情況：當(dāng)，即時(shí)，，只需滿足恒成立，；當(dāng)，即時(shí)，，只需滿足恒成立，或恒成立，無解；當(dāng)，即時(shí)，，只需滿足恒成立，無解；當(dāng)，即時(shí)，，只需滿足恒成立，；綜上所述：或.故答案為：或.【題目點(diǎn)撥】本題考查了恒成立問題，意在考查學(xué)生的分類討論的能力，計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解題分析】

1通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；2原問題等價(jià)于，成立，可得，可得，即，設(shè)，，可得在單調(diào)遞增，且，即可得不等式的解集即可．【題目詳解】1函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．2對(duì)任意，，有成立，，，成立，，時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，，設(shè)，，．在遞增，，可得，，即，設(shè)，，在恒成立．在單調(diào)遞增，且，不等式的解集為．實(shí)數(shù)b的取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力，屬于壓軸題．18、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）可變形為，故是等比數(shù)列.利用累加法可以求出的通項(xiàng).（Ⅱ）由（Ⅰ）知，用裂項(xiàng)相消法可求，求出的最小值后可得的取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ）由可得．又，，所以，故.所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以.所以.（Ⅱ）因?yàn)?所以.又因?yàn)閷?duì)任意的都有，所以恒成立，即,即當(dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】給定數(shù)列的遞推關(guān)系，我們常需要對(duì)其做變形構(gòu)建新數(shù)列（新數(shù)列的通項(xiàng)容易求得），而數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.19、(1)當(dāng)a≤0，在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）遞減；當(dāng)，在（0，2）和上單調(diào)遞增，在（2，）遞減；當(dāng)a=，在（0，+∞）遞增；當(dāng)a＞，在（0，）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（，2）遞減；(2).【解題分析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，可證明，有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，得，可證明，當(dāng)時(shí)與當(dāng)且時(shí)，至多一個(gè)零點(diǎn)，綜合討論結(jié)果可得結(jié)論.【題目詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減.（ii）當(dāng)時(shí)，由得，（舍去），①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，或，恒成立，在上單調(diào)遞增；時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減.③當(dāng)，即時(shí)，或時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增，時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，令，則在成立，故單調(diào)遞增，，，有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，得，，當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)極值，，記，，令，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，時(shí)，，故，又，由（1）知，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值、零點(diǎn)等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.20、（1），（2）【解題分析】

（1）分別根據(jù)，和成等差數(shù)列，分別表示為和的方程組，求出首項(xiàng)，即得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可求得，并且求出,利用裂項(xiàng)相消法求和，轉(zhuǎn)化為，恒成立，轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最值.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以①，又因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，得②，由①②得，．所以，.（2），...令，則，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以的最小值為.又恒成立，所以，．【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法，和求數(shù)列的前項(xiàng)和的方法，以及和函數(shù)結(jié)合考查數(shù)列的最值，尤其在考查數(shù)列最值時(shí)，需先判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷的正負(fù)，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值.21、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為無減區(qū)間；（3）.【解題分析】

（1）先由題意，得到，對(duì)其求導(dǎo)，得到對(duì)應(yīng)的切線斜率，進(jìn)而可得出所求切線方程；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別討論，和，解對(duì)應(yīng)的不等式，即可得出結(jié)果；（3）先根據(jù)題意，得到在上恒成立，滿足不等式，只需在上恒成立，令，，對(duì)其求導(dǎo)，求出的最大值，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）若，則（），，又（），所以，在處切線方程為.（2）令，即，解出或.當(dāng)（即時(shí)），由得或，由得，增區(qū)間為，，減區(qū)間為.當(dāng)，即