2024屆浙江省杭州地區(qū)七校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆浙江省杭州地區(qū)七校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則的值為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線：與雙曲線：，給出下列說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的是（）A．它們的焦距相等 B．它們的焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上C．它們的漸近線方程相同 D．它們的離心率相等3．有一散點(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)數(shù)據(jù)中去掉（3，10）后，下列說(shuō)法正確的是（）A．殘差平方和變小 B．方差變大C．相關(guān)指數(shù)變小 D．解釋變量與預(yù)報(bào)變量的相關(guān)性變?nèi)?．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則

=A． B． C． D．5．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足，則下列一定成立的為A． B．C． D．6．8名學(xué)生和2位教師站成一排合影，2位教師不相鄰的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．7．已知正實(shí)數(shù)、、滿足，，，則、、的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．“”是“”的充分不必要條件C．若命題存在，使得，則:對(duì)任意，都有D．若且為假命題，則均為假命題9．下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①命題：“已知，“”是“”的充分不必要條件”；②命題：“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件；③命題：已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），則f（4）的值等于；④命題：若，則．A．1 B．2 C．3 D．410．已知隨機(jī)變量，，則（）A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.6811．的展開(kāi)式的中間項(xiàng)為（）A．24 B．-8 C． D．12．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時(shí)）第二步證明中從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，當(dāng)取得最小值時(shí)，__________．14．已知直線，，若與平行，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．15．已知棱長(zhǎng)為1的正四面體，的中點(diǎn)為D，動(dòng)點(diǎn)E在線段上，則直線與平面所成角的取值范圍為_(kāi)___________；16．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，求；（3）若存在，使得成立，求出實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）如圖（1）是一個(gè)仿古的首飾盒，其左視圖是由一個(gè)半徑為分米的半圓和矩形組成，其中長(zhǎng)為分米，如圖（2）.為了美觀，要求.已知該首飾盒的長(zhǎng)為分米，容積為4立方分米（不計(jì)厚度），假設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用只與其表面積有關(guān)，下半部分的制作費(fèi)用為每平方分米2百元，上半部制作費(fèi)用為每平方分米4百元，設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用為百元.（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，該首飾盒的制作費(fèi)用最低？19．（12分）某企業(yè)甲,乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品,乙組研發(fā)新產(chǎn)品.設(shè)甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨(dú)立的.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得萬(wàn)元,若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤(rùn)萬(wàn)元,求該企業(yè)可獲得利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）證明下列不等式：（1）用分析法證明：；（2）已知是正實(shí)數(shù)，且.求證：.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求.22．（10分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)條件可得，與聯(lián)立便可解出和，從而得到的值?！绢}目詳解】①；；又函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)；，；②；聯(lián)立①②，解得所以；故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過(guò)建立關(guān)于與的方程組求出和的解析式，屬于中檔題。2、D【解題分析】由題知．則兩雙曲線的焦距相等且，焦點(diǎn)都在圓的圓上，其實(shí)為圓與坐標(biāo)軸交點(diǎn)．漸近線方程都為，由于實(shí)軸長(zhǎng)度不同故離心率不同．故本題答案選，3、A【解題分析】

由散點(diǎn)圖可知，去掉后，與的線性相關(guān)性加強(qiáng)，由相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)及殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系得出選項(xiàng).【題目詳解】由散點(diǎn)圖可知，去掉后，與的線性相關(guān)性加強(qiáng)，且為正相關(guān)，所以變大，變大，殘差平方和變小，故選A.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)線性相關(guān)性強(qiáng)弱的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)，以及殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題目.4、B【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)分布圖像可知，故它們中點(diǎn)即為對(duì)稱軸.詳解：由題可得：，故對(duì)稱軸為故選B.點(diǎn)睛：考查正態(tài)分布的基本量和圖像性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】易知在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.6、A【解題分析】

本題選用“插空法”，先讓8名學(xué)生排列，再2位教師教師再8名學(xué)生之間的9個(gè)位置排列.【題目詳解】先將8名學(xué)生排成一排的排法有種，再把2位教師插入8名學(xué)生之間的9個(gè)位置（包含頭尾的位置），共有種排法，故2位教師不相鄰的排法種數(shù)為種.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合和計(jì)數(shù)原理，此題也可用間接法.特殊排列組合常用的方法有：1、插空法，2、捆綁法.7、A【解題分析】

計(jì)算出的值，然后考慮的大小.【題目詳解】因?yàn)?，所以，則，故選：A.【題目點(diǎn)撥】指對(duì)式的比較大小，可以從正負(fù)的角度來(lái)分析，也可以從同指數(shù)的角度來(lái)分析大小.8、D【解題分析】

根據(jù)逆否命題定義、命題否定的定義分別判斷出正確；解方程得到解集和的包含關(guān)系，結(jié)合充要條件的判定可知正確；根據(jù)復(fù)合命題的真假性可知錯(cuò)誤，由此可得結(jié)果.【題目詳解】選項(xiàng)：根據(jù)逆否命題的定義可知：原命題的逆否命題為“若，則”，可知正確；選項(xiàng)：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正確；選項(xiàng)：根據(jù)命題的否定可知對(duì)任意，都有，可知正確；選項(xiàng)：由且為假命題，則至少有一個(gè)為假命題，因此不正確.本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

命題①單位圓x2+y2＝1上或圓外任取一點(diǎn)P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足“a2+b2≥1”，從而判斷命題的真假性；命題②先由“p且q為真”推出p、q的真假，然后判斷“p或q”的真假，反之再加以判斷；命題③直接把點(diǎn)的坐標(biāo)代入冪函數(shù)求出α，然后把x＝4代入求值即可；命題④構(gòu)造函數(shù)f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷命題的真假性；【題目詳解】命題①如圖在單位圓x2+y2＝1上或圓外任取一點(diǎn)P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要條件，故命題①正確；命題②“p且q為真”，則命題p、q均為真，所以“p或q為真”．反之“p或q為真”，則p、q都為真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q為真”.所以命題“p且q為真”是“p或q為真”的充分不必要條件，故命題②不正確；命題③由冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），所以2α＝，所以α＝﹣，所以冪函數(shù)為f（x）＝，所以f（4）＝，所以命題③正確；命題④若x+lnx＞1，則x﹣1+lnx＞0，設(shè)f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，∴＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）＝0，∴f（x）＞0時(shí)x＞1，即x+lnx＞1時(shí)x＞1，所以命題④正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假判斷，充分不必要條件，冪函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．10、D【解題分析】

先由對(duì)稱性求出，再利用即得解.【題目詳解】由于隨機(jī)變量，關(guān)于對(duì)稱，故故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布在給定區(qū)間的概率，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

由二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式，再由展開(kāi)式的中間項(xiàng)為展開(kāi)式的第3項(xiàng)，代入求解即可.【題目詳解】解：的展開(kāi)式的中間項(xiàng)為展開(kāi)式的第3項(xiàng)，即，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)考查了展開(kāi)式的中間項(xiàng)，屬基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

分別寫(xiě)出當(dāng)，和時(shí)，左邊的式子，分別得到其項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，左邊，共有項(xiàng)；所以從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng).故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，熟記數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)均值不等式知，，即，再由即可求解，注意等號(hào)成立的條件.【題目詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立），（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立），（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立），.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了均值不等式，不等式等號(hào)成立的條件，屬于中檔題.14、【解題分析】

根據(jù)兩直線平行，列出有關(guān)的等式和不等式，即可求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】由于與平行，則，即，解得.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，解題時(shí)要熟悉兩直線平行的等價(jià)條件，并根據(jù)條件列式求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、；【解題分析】

當(dāng)與重合時(shí)，直線與平面所成角為0最小，當(dāng)從向移動(dòng)時(shí)，直線與平面所成角逐漸增大，到達(dá)點(diǎn)時(shí)角最大．【題目詳解】如圖，是在底面上的射影，是在底面上的射影，由于是中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，正四面體棱長(zhǎng)為1，則，，，，，∴，，∴．．∴所求角的范圍是．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面所成的角，解題時(shí)首先要作出直線與平面所成的角，同時(shí)要證明所作角就是要求的角，最后再計(jì)算，即一作二證三計(jì)算．16、【解題分析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出的值，再由計(jì)算出的值.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，化簡(jiǎn)得，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列求和，對(duì)于等比數(shù)列，一般要建立首項(xiàng)和公比的方程組，利用方程思想求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)與之間關(guān)系，由題中條件，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意，得到，再由（1）的結(jié)果，根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法，即可求出結(jié)果；（3）先由題意，得到存在，使得成立，求出的最小值，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合上式，；（2），.（3）存在，使得成立，存在，使得成立，即有解，，而，當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和問(wèn)題，以及數(shù)列不等式能成立的問(wèn)題，熟記與之間關(guān)系，以及裂項(xiàng)求和的方法求數(shù)列的和即可，屬于常考題型.18、（1）；（2）當(dāng)分米時(shí)，該首飾盒制作費(fèi)用最低.【解題分析】分析：該幾何體下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，上面是半個(gè)圓柱，由體積求得，然后分別求出上半部分和下半部分的面積，從而可得關(guān)于的解析式，注意要由可求得的取值范圍．（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得的最小值．詳解：（1）由題知，∴.又因，得，∴.（2）令，∴，令則，∵，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).∴時(shí)，最小.答：當(dāng)分米時(shí)，該首飾盒制作費(fèi)用最低.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．解題關(guān)鍵是求出費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)解析式，解題中要注意求出的取值范圍．然后就可由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得最小值．19、(1)(2)詳見(jiàn)解析【解題分析】試題分析:(1)首先設(shè)出至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功為事件A,包含情況較多,所以要求該事件的概率,考慮求其對(duì)立事件,即沒(méi)有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功,根據(jù)獨(dú)立試驗(yàn)同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算方法即可求的對(duì)立事件的概率,再利用互為對(duì)立事件概率之間的關(guān)系,即和為,即可求的相應(yīng)的概率.(2)根據(jù)題意,研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果分為四種情況,利用獨(dú)立試驗(yàn)同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算方法分別得到每種情況的概率,再根據(jù)題意算出此時(shí)的利潤(rùn),即可得到關(guān)于利潤(rùn)的分布列,再利用概率與對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)成績(jī)之和即可得到數(shù)學(xué)期望.(1)解:設(shè)至少有一組研發(fā)成功的事件為事件且事件為事件的對(duì)立事件,則事件為新產(chǎn)品都沒(méi)有成功,因?yàn)榧?乙成功的概率分別為,則,再根據(jù)對(duì)立事件概率之間的概率公式可得,所以至少一種產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為.(2)由題可得設(shè)該企業(yè)可獲得利潤(rùn)為,則的取值有,,,,即,由獨(dú)立試驗(yàn)同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式可得:;;;;所以的分布列如下:

則數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)：分布列數(shù)學(xué)期望概率20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】分析：⑴兩邊同時(shí)平方即可證明不等式⑵構(gòu)造同理得