浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知曲線和曲線圍成一個(gè)葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．2．如圖是計(jì)算的值的程序框圖，則圖中①②處應(yīng)填寫的語句分別是（）A．, B．,C．, D．,3．已知空間向量OA向量OP=xOA+yOB+zOCA．12 B．1 C．324．設(shè)，則（）A． B． C． D．5．己知三邊，，的長都是整數(shù)，，如果，則符合條件的三角形的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．6．若函數(shù)在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．≥3 B．=3 C．≤3 D．0<<37．函數(shù)在上取得最小值時(shí)，的值為（）．A．0 B． C． D．8．從甲、乙等10個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng)，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有()（Ａ）種（Ｂ）種（Ｃ）種（Ｄ）種9．若圓錐的高等于底面直徑，側(cè)面積為,則該圓錐的體積為A． B． C． D．10．若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．11．復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B．－1 C． D．12．設(shè)函數(shù)，集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知兩不共線的非零向量滿足,,則向量與夾角的最大值是__________.14．若，且，則______.15．已知定點(diǎn)和曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為________16．已知是等差數(shù)列，公差不為零．若，，成等比數(shù)列，且，則，．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的極坐標(biāo)方程為，,分別為在直角坐標(biāo)系中與軸，軸的交點(diǎn)．曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），為,的中點(diǎn)．（1）將，化為普通方程；（2）求直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）被曲線所截得弦長．18．（12分）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性并予以證明；(2)求不等式的解集.19．（12分）已知，函數(shù).（1）若，求的值；（2）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為.已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）若點(diǎn)在曲線位于第一象限的圖象上運(yùn)動(dòng)，求四邊形的面積的最大值.21．（12分）在某?？破罩R競賽前的模擬測試中，得到甲、乙兩名學(xué)生的6次模擬測試成績(百分制)的莖葉圖.(I)若從甲、乙兩名學(xué)生中選擇一人參加該知識競賽，你會選哪位？請運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識說明理由；(II)若從甲的6次模擬測試成績中隨機(jī)選擇2個(gè)，記選出的成績中超過87分的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和均值.22．（10分）已知函數(shù)的最小值為.（1）若，求證：；（2）若，，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數(shù)的圖像如圖所示，聯(lián)立得交點(diǎn)（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、A【解題分析】該程序是求數(shù)列的前16項(xiàng)和，①處變量每次增加2，②處是循環(huán)控制條件，循環(huán)體共執(zhí)行了16次，故時(shí)，退出循環(huán)，選A.3、A【解題分析】

由題求得OP的坐標(biāo)，求得OP，結(jié)合4x+2y+z=4可得答案.【題目詳解】=x+y,y,z，OP利用柯西不等式可得42∴OP故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算及空間向量向量模的求法，屬基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

利用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【題目詳解】因?yàn)?，，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，由三角形的三邊關(guān)系，有，對分情況討論，分析可得可取的情況，即可得這種情況下符合條件的三角形的個(gè)數(shù)，由分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜26，則＝25，有1種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜27，則＝25、26，有2種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜28，則＝25、26、27，有3種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜29，則＝25、26、27、28，有4種情況，

…

當(dāng)時(shí)，有有25≤＜50，則＝25、26、27、28…49，有25種情況，

則符合條件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝；

故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，涉及三角形三邊的關(guān)系，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)變化時(shí)，符合條件的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．6、A【解題分析】

由題可得：在恒成立.整理得：在恒成立.求得：，即可得：，問題得解．【題目詳解】由題可得：在恒成立.即：在恒成立．又，所以.所以故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，還考查了恒成立問題解決方法，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．7、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性分析求解即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí),.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng),即時(shí),取得最小值.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的最值問題,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】∵從10個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng)有種不同挑選方法；從甲、乙之外的8個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng)有種不同挑選方法；∴甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有種不同挑選方法故選C；【考點(diǎn)】此題重點(diǎn)考察組合的意義和組合數(shù)公式；【突破】從參加“某項(xiàng)”切入，選中的無區(qū)別，從而為組合問題；由“至少”從反面排除易于解決；9、B【解題分析】

先設(shè)底面半徑，然后根據(jù)側(cè)面積計(jì)算出半徑，即可求解圓錐體積.【題目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長；又側(cè)面積，所以，所以，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐的側(cè)面積公式應(yīng)用以及體積的求解，難度一般.圓錐的側(cè)面積公式：，其中是底面圓的半徑，是圓錐的母線長.10、D【解題分析】分析：首先研究函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)圖象考查臨界情況即可求得最終結(jié)果.詳解：令，，原問題等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，繪制函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)表示過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，考查臨界情況，即函數(shù)與函數(shù)相切的情況，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)形結(jié)合可知：的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、C【解題分析】

由已知條件計(jì)算出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，得到虛部【題目詳解】由題意可得則則復(fù)數(shù)的虛部是故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，按照除法法則求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式即可得到結(jié)果，較為簡單12、C【解題分析】

根據(jù)集合的定義可知為定義域，為值域；根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域的要求可求得集合，結(jié)合對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域，即集合；根據(jù)圖可知陰影部分表示，利用集合交并補(bǔ)運(yùn)算可求得結(jié)果.【題目詳解】的定義域?yàn)椋?，即：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋簣D中陰影部分表示：又，本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合基本運(yùn)算中的交并補(bǔ)混合運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠明確兩個(gè)集合表示的含義分別為函數(shù)的定義域和值域，利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域要求和單調(diào)性可求得兩個(gè)集合；涉及到圖的讀取等知識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)向量夾角為，由余弦定理求得，再利用基本不等式求得取得最小值，即可求得的最大值，得到結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閮煞橇阆蛄繚M足,,設(shè)向量夾角為，由于非零向量以及構(gòu)成一個(gè)三角形，設(shè)，則由余弦定理可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最大值是，故答案是.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)向量夾角的大小問題，在解題的過程中，涉及到的知識點(diǎn)有余弦定理，基本不等式，注意當(dāng)什么情況下取得最值，再者就是需要明確角取最大值的時(shí)候其余弦值最小.14、5【解題分析】

由正態(tài)分布曲線的對稱性可得，正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對稱，即可得，再求解即可.【題目詳解】解：由，得，又，所以，即，故答案為：5.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

通過中點(diǎn)坐標(biāo)公式，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，整理可得點(diǎn)的軌跡方程?！绢}目詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以解得，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程可得，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，屬于中檔題。16、【解題分析】

根據(jù)題意列出關(guān)于、的方程組，即可解出這兩個(gè)量的值.【題目詳解】由題可得，，故有，又因?yàn)椋?，所?【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)題意列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)：；(2)【解題分析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程利用兩角差的余弦公式展開，利用將曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出直線的方程，再將直線的方程與曲線的普通方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)、的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可得出.【題目詳解】（1）的極坐標(biāo)方程為，即，∴化為普通方程是：；曲線的參數(shù)方程為消去參數(shù)t得：普通方程：．（2）因?yàn)?，，∴，所以直線．設(shè)直線與交于A，B兩點(diǎn)，直線與聯(lián)立得：，∴，，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，考查直線截二次曲線所得弦長的計(jì)算，可以利用直線參數(shù)方程的幾何意義，也可以利用弦長公式來計(jì)算，都是常考題型，考查計(jì)算能力，屬于中等題．18、(1)奇函數(shù)，證明見解析.(2).【解題分析】分析：(1)先求定義域，判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再研究與關(guān)系，根據(jù)奇偶性定義判斷，(2)先根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性化簡不等式，再解分式不等式得結(jié)果.詳解：（1）要使函數(shù)有意義．則，解得.故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?）知的定義域?yàn)椋O(shè)，則．且，故為奇函數(shù)．(2)因?yàn)樵诙x域內(nèi)是增函數(shù)，因?yàn)椋裕獾茫圆坏仁降慕饧牵c(diǎn)睛：判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．19、（1）；（2）【解題分析】

（1）由得，解出即可（2）用三角函數(shù)的和差公式和二倍角公式將化為，然后求出即可【題目詳解】（1）又，.（2），，，的單調(diào)遞增區(qū)間為【題目點(diǎn)撥】解決三角函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題時(shí)應(yīng)先將函數(shù)化為基本型.20、（1）（為參數(shù)）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的參數(shù)方程表示出曲線的參數(shù)方程；（2）根據(jù)曲線的參數(shù)方程設(shè)曲線上的點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)在第一象限得出，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和，并利用角的三角函數(shù)式表示，利用輔助角公式化簡，再利用三角函數(shù)基本性質(zhì)求出最大值?！绢}目詳解】（1）曲線的方程為，可化參數(shù)方程為(為參數(shù)).（2）設(shè)曲線上的點(diǎn)，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所?連接,則=.當(dāng)時(shí)，四邊形面積的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的參數(shù)方程，考查參數(shù)方程的應(yīng)用，一般而言，由圓或橢圓上的動(dòng)點(diǎn)引起的最值或取值范圍問題，可以將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)利用圓或橢圓的參數(shù)方程設(shè)為參數(shù)方程的形式，并借助三角恒等變換公式以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)求解。21、(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析.【解題分析】

(1)由題意考查兩人的平均值均為82，方差甲乙分別為，結(jié)合方差可知乙的方差小，即乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故可選擇學(xué)生乙參加知識競賽.(2)由題意可知：ξ的所有可能取值為0，1，2，結(jié)合超幾何分布概率公式求得概率值，得到分布列，然后計(jì)算可得均值為.【題目詳解】(I)學(xué)生甲的平均成績x甲＝＝82，學(xué)生乙的平均成績x乙＝＝82，又s＝×[(68-82)2＋(76-82)2＋(79-82)2＋(86-82)2＋(88-82)2＋(95-82)2]＝77，s＝×[(71-82)2＋(75-82)2＋(82-82)2＋(84-82)2＋(8