2024屆北京市東城區(qū)北京第六十六中學數(shù)學高二下期末考試試題含解析

2024屆北京市東城區(qū)北京第六十六中學數(shù)學高二下期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為()A． B．C． D．2．已知直線l過點P(1,0,－1)，平行于向量，平面過直線l與點M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)3．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．4．已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為A．34B．C．74D．5．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（）A． B． C． D．6．不等式無實數(shù)解，則的取值范圍是()A． B．C． D．7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．8．將本不同的書全部分給甲乙丙三人，每人至少一本，則不同的分法總數(shù)為（）A． B． C． D．9．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則A． B． C． D．10．已知向量，，若與垂直，則（）A．2 B．3 C． D．11．若集合，，則()A． B．C． D．12．函數(shù)f(x)=ln(A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若f(x)=13x3-f'14．命題的否定是__________．15．已知直線過點，且它的一個方向向量為，則原點到直線的距離為______．16．在直角坐標系中，若直線（為參數(shù)）過橢圓（為參數(shù)）的左頂點，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若恒成立，求實數(shù)的值；（3）設(shè)有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍，并證明.18．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若方程恰有兩個實數(shù)根，求a的值.19．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點．(1)求圓C的直角坐標方程及弦AB的長；(2)動點P在圓C上(不與A，B重合)，試求△ABP的面積的最大值．20．（12分）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.（1）求的取值范圍；（2）試比較與的大小，并說明理由；（3）設(shè)的兩個極值點為，證明.21．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，的極坐標方程為．（Ⅰ）寫出的直角坐標方程；（Ⅱ）為直線上一動點，當?shù)綀A心的距離最小時，求的直角坐標．22．（10分）在二項式的展開式中.（1）若展開式后三項的二項式系數(shù)的和等于67，求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）若為滿足的整數(shù)，且展開式中有常數(shù)項，試求的值和常數(shù)項.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用代入法，即可得到伸縮變換的曲線方程．【題目詳解】∵伸縮變換，∴xx′，yy′，代入曲線y＝sin2x可得y′＝3sinx′故選：A．【題目點撥】本題考查代入法求軌跡方程，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．2、D【解題分析】試題分析：由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），選項A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0滿足垂直，故正確；選項B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0滿足垂直，故正確；選項C，（2，1，1）（-，1，?）=0，（0，2，4）（-，1，?）=0滿足垂直，故正確；選項D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故錯誤．考點：平面的法向量3、D【解題分析】

利用函數(shù)解析式求得,結(jié)合選項中的函數(shù)圖象，利用排除法即可得結(jié)果.【題目詳解】因為函數(shù)，所以，選項中的函數(shù)圖象都不符合，可排除選項，故選D.【題目點撥】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.4、D【解題分析】略視頻5、C【解題分析】

根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進而得解.【題目詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為90-80+60=10，則其與該校學生人數(shù)之比為10÷100=0.1．故選C．【題目點撥】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．6、C【解題分析】

利用絕對值不等式的性質(zhì)，因此得出的范圍，再根據(jù)無實數(shù)解得出的范圍?！绢}目詳解】解：由絕對值不等式的性質(zhì)可得，，即.因為無實數(shù)解所以，故選C。【題目點撥】本題考查了絕對值不等式的性質(zhì)，利用絕對值不等式的性質(zhì)解出變量的范圍是解決問題的關(guān)鍵。7、C【解題分析】

根據(jù)圖像最低點求得，根據(jù)函數(shù)圖像上兩個特殊點求得的值，由此求得函數(shù)解析式，進而求得的值.【題目詳解】根據(jù)圖像可知，函數(shù)圖像最低點為，故，所以，將點代入解析式得，解得，故，所以，故選C.【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，并求三角函數(shù)值，屬于中檔題.8、C【解題分析】分析：分兩種情況：一人得本，另兩個人各得本；一人得本，另兩個人各得本，分別求出不同的分法即可得結(jié)果.詳解：分兩種情況：一人得本，另兩個人各得本，有種分法，一人得本，另兩個人各得本，有種分法，共有種分法，故選C.點睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.9、D【解題分析】

利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值.【題目詳解】由題得，故答案為：D【題目點撥】(1)本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)奇函數(shù)f(-x)=-f(x).10、B【解題分析】分析：先求出的坐標，然后根據(jù)向量垂直的結(jié)論列出等式求出x，再求即可.詳解：由題可得：故選B.點睛：考查向量的坐標運算，向量垂直關(guān)系和模長計算，正確求解x是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】分析：求出及，即可得到.詳解：則.故選C.點睛：本題考查集合的綜合運算，屬基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=lnx-22x-23，所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于點（2,0）對稱，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2x-3y+1=0【解題分析】

先計算f'(1)=23【題目詳解】f(x)=1f(x)=切線方程為：y=2故答案為：2x-3y+1=0【題目點撥】本題考查了曲線的切線問題，確定切點是解題的關(guān)鍵.14、【解題分析】分析：特稱命題的否定是全稱命題，即的否定為.詳解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題的否定是.點睛：對全稱(存在性)命題進行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進行否定；②對原命題的結(jié)論進行否定.的否定為，的否定為.15、【解題分析】

求出直線的方程，然后利用點到直線的距離公式可求出原點到直線的距離.【題目詳解】由于直線的一個方向向量為，則直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，因此，原點到直線的距離為.故答案為：.【題目點撥】本題考查點到直線距離的計算，同時也考查了直線方向向量的應用，解題時要根據(jù)題中條件得出直線的斜率，并寫出直線的方程，考查計算能力，屬于中等題.16、.【解題分析】分析：直接化參數(shù)方程為普通方程，得到直線和橢圓的普通方程，求出橢圓的左頂點，代入直線的方程，即可求得的值.詳解：由已知可得圓（為參數(shù)）化為普通方程，可得，故左頂點為，直線（為參數(shù)）化為普通方程，可得，又點在直線上，故，解得，故答案是.點睛：該題考查的是有關(guān)直線的參數(shù)方程與橢圓的參數(shù)方程的問題，在解題的過程中，需要將參數(shù)方程化為普通方程，所以就需要掌握參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化-----消參，之后要明確橢圓的左頂點的坐標，以及點在直線上的條件，從而求得參數(shù)的值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0；（2）1；（2），證明見解析.【解題分析】

（1）先求的定義域，然后對求導，令尋找極值點，從而求出極值與最值；（2）構(gòu)造函數(shù)，又，則只需恒成立，再證在處取到最小值即可；（3）有兩個極值點等價于方程在上有兩個不等的正根，由此可得的取值范圍，，由根與系數(shù)可知及范圍為，代入上式得，利用導函數(shù)求的最小值即可.【題目詳解】（1），，令G′(x)>0,解得x>1,此時函數(shù)G(x)單調(diào)遞增，令G′(x)<0,解得0<x<1,此時函數(shù)G(x)單調(diào)遞減，又G′(1)=0,∴x=1是函數(shù)G(x)的極小值點,也是最小值，且G(1)=0.當時，的最小值為0.（2）令，則.所以即恒成立的必要條件是，又，由得：.當時，，知，故，即恒成立.（3）由，得.有兩個極值點、等價于方程在上有兩個不等的正根，即：，解得.由，得，其中.所以.設(shè)，得，所以，即.【題目點撥】本題考查導數(shù)的應用,包括利用導數(shù)求函數(shù)的最值、利用導數(shù)求參數(shù)取值范圍，不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決.屬于難題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)已知求得，可求得曲線在處的切線方程;（2）由方程恰有兩個實數(shù)根，進行參變分離得，構(gòu)造函數(shù)，對所構(gòu)造的函數(shù)求導,分析出其導函數(shù)的正負,得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和圖象趨勢,極值,從而可得出a的值.【題目詳解】（1）函數(shù)，，，曲線在處的切線方程為，即.（2）方程恰有兩個實數(shù)根，即恰有兩個實數(shù)根，∵，所以可得，顯然時，上式不成立；設(shè)，則，當或時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；，，又當時，，當時，，，得.【題目點撥】本題考查求在函數(shù)上的一點的切線方程,和根據(jù)方程的根的情況求參數(shù)的值,解決的關(guān)鍵在于進行參變分離,構(gòu)造合適的函數(shù),并對所構(gòu)造的函數(shù)求導,分析其導函數(shù)的正負,得所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和圖象趨勢和極值,屬于?？碱},難度題.19、（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.【解題分析】

（1）圓C的極坐標方程化為直角坐標方程，直線l的參數(shù)方程代入圓C的的直角坐標方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義，即可求解；（2）要求△ABP的面積的最大值，只需求出點P到直線l距離的最大值，將點P坐標設(shè)為圓方程的參數(shù)形式，利用點到直線的距離公式以及三角函數(shù)的有界性，即可求解.【題目詳解】(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2－4x＝0，所以圓C的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4.設(shè)A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2.將直線l的參數(shù)方程代入圓C：(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋t＝0，解得t1＝0，t2＝－.所以直線l被圓C截得的弦AB的長為|t1－t2|＝.(2)由題意得，直線l的普通方程為x－y－4＝0.圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，可設(shè)圓C上的動點P(2＋2cosθ，2sinθ)，則點P到直線l的距離d＝，當＝－1時，d取得最大值，且d的最大值為2＋.所以S△ABP＝××(2＋)＝2＋，即△ABP的面積的最大值為2＋.【題目點撥】本題考查極坐標方程與直角坐標方程互化，考查直線參數(shù)方程幾何意義的應用，以及利用圓的參數(shù)方程求最值，屬于中檔題.20、(1)；（2）；理由見解析；（3）證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同極值點可知方程有兩個不等正根，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個不同交點；利用過一點曲線的切線的求解方法可求出過原點與相切的直線的斜率，從而可得，解不等式求得結(jié)果；（2）令，求導后可知在上單調(diào)遞減，從而可得，化簡可得；（3）易知是方程的兩根，令，可整理得到，從而將所證不等式化為，采用換元的方式可知只需證，恒成立；構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)可知在上單調(diào)遞增，可得，進而證得結(jié)論.【題目詳解】（1）由題意得：定義域為；在上有兩個不同極值點等價于方程有兩個不等正根即：與在有兩個不同的交點設(shè)過的的切線與相切于點則切線斜率，解得：過的的切線的斜率為：，解得：即的取值范圍為：（2）令，則時，；時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，即：即：（3）由（1）知，是方程的兩根即：，設(shè)，則