廣東省中山市2024屆高二數(shù)學第二學期期末檢測試題含解析

廣東省中山市2024屆高二數(shù)學第二學期期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，，，，點滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．72．已知函數(shù)，若方程有三個實數(shù)根，且，則的取值范圍為（）A． B．C． D．3．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，粗線表示一正方體被某平面截得的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．2 B．4 C．6 D．84．數(shù)列滿足是數(shù)列為等比數(shù)列的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．用數(shù)學歸納法證明時，由時的假設(shè)到證明時，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A． B．C． D．6．已知是周期為4的偶函數(shù)，當時，則（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.38．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，若，是的導函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，是復數(shù)的共軛復數(shù)，則下列關(guān)于復數(shù)的說法正確的是（）A． B．C． D．復數(shù)在復平面內(nèi)表示的點在第四象限10．已知橢圓（為參數(shù)）與軸正半軸，軸正半軸的交點分別為，動點是橢圓上任一點，則面積的最大值為（）A． B． C． D．11．給出定義：若函數(shù)在D上可導，即存在，且導函數(shù)在D上也可導，則稱在D上存在二階導函數(shù)，記，若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．12．設(shè)，則z的共軛復數(shù)為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用0，1，3，5，7這五個數(shù)字可以組成______個無重復數(shù)字的五位數(shù).14．在等比數(shù)列中，已知，且與的等差中項為，則________15．若某學校要從5名男同學和2名女同學中選出3人參加社會考察活動，則選出的同學中男女生均不少于1名的概率是_____.16．在的展開式中的系數(shù)與常數(shù)項相等，則正數(shù)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.18．（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，(1)若B1C=1，求直線AB(2)在(1)的條件下，求二面角A1(3)若B1C=2，CG⊥平面A1ABB1，G為垂足，令CG=pCA+qCB+rCB19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)為函數(shù)的兩個零點，求證：.20．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足．求證：為等腰直角三角形21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）求三棱柱的體積；（2）若點M是棱AC的中點，求直線與平面ABC所成的角的大小.22．（10分）已知的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為128.（1）求展開式中的有理項；（2）求展開后所有項的系數(shù)的絕對值之和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【題目詳解】在中，，，，點滿足，可得則==【題目點撥】本題考查了向量的數(shù)量積運算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量．2、B【解題分析】

先將方程有三個實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為與的圖象交點問題，得到的范圍，再用表示，令，利用導數(shù)法求的取值范圍即可.【題目詳解】已知函數(shù)，其圖象如圖所示：因為方程有三個實數(shù)根，所以，令，得，令，所以，所以，令，所以，令，得，當時，，當時，，所以當時，取得極小值.又，所以的取值范圍是：.即的取值范圍為.故選：B【題目點撥】本題主要考查函數(shù)與方程，導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于難題.3、B【解題分析】

由題意，直觀圖如圖所示，由圖可知該幾何體的體積為為正方體的一半．【題目詳解】由題意，直觀圖如圖所示，由圖可知該幾何體的體積為為正方體的一半，即為2×2×2＝1．故選B．【題目點撥】本題考查由三視圖求體積，考查學生的計算能力，確定幾何體的形狀是關(guān)鍵．4、B【解題分析】分析：由反例得充分性不成立，再根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)證必要性成立.詳解：因為滿足，所以充分性不成立若數(shù)列為等比數(shù)列，則，即必要性成立.選B.點睛：充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．5、B【解題分析】因為當時，等式的左邊是，所以當時，等式的左邊是，多增加了，應(yīng)選答案B．點睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚當時，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式，當時，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式是，最終確定添加的項是什么，使得問題獲解．6、D【解題分析】

利用函數(shù)的周期性，化簡所求函數(shù)值的自變量為已知函數(shù)的定義域中，代入求解即可．【題目詳解】f（x）是周期為4的偶函數(shù)，當x∈[0，2]時f（x）=，則f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=log22+1+12=1．故選：D．【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的周期性以及函數(shù)值的求法，考查計算能力．7、C【解題分析】因，故由正態(tài)分布的對稱性可知，應(yīng)選答案C。8、A【解題分析】

利用f（1）＝0得出a，b的關(guān)系，根據(jù)f′（x）＝0有兩解可知y＝2e2x與y＝2ax+a+1﹣e2的函數(shù)圖象在（0，1）上有兩個交點，做出兩函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷a的范圍．【題目詳解】解：∵f（1）＝0，∴e2﹣a+b﹣1＝0，∴b＝﹣e2+a+1，∴f（x）＝e2x﹣ax2+（﹣e2+a+1）x﹣1，∴f′（x）＝2e2x﹣2ax﹣e2+a+1，令f′（x）＝0得2e2x＝2ax﹣a﹣1+e2，∵函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個零點，∴y＝2e2x與y＝2ax﹣a﹣1+e2的函數(shù)圖象在（0，1）上有兩個交點，作出y＝2e2x與y＝2ax﹣a﹣1+e2＝a（2x﹣1）+e2﹣1函數(shù)圖象，如圖所示：若直線y＝2ax﹣a﹣1+e2經(jīng)過點（1，2e2），則a＝e2+1，若直線y＝2ax﹣a﹣1+e2經(jīng)過點（0，2），則a＝e2﹣3，∴e2﹣3＜a＜e2+1．故選：A．點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．9、B【解題分析】

由復數(shù)的乘法除法運算求出，進而得出答案【題目詳解】由題可得，在復平面內(nèi)表示的點為，位于第二象限，，故A,C,D錯誤；，，故B正確；【題目點撥】本題考查復數(shù)的基本運算與幾何意義，屬于簡單題．10、B【解題分析】分析：根據(jù)橢圓的方程算出A（4，1）、B（1，3），從而得到|AB|=5且直線AB：3x+4y﹣12=1．設(shè)點P（4cosθ，3sinθ），由點到直線的距離公式算出P到直線AB距離為d=|sin﹣1|，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)算出dmax=（），由此結(jié)合三角形面積公式，即可得到△PAB面積的最大值．詳解：由題得橢圓C方程為：，∴橢圓與x正半軸交于點A（4，1），與y正半軸的交于點B（1，3），∵P是橢圓上任一個動點，設(shè)點P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴點P到直線AB：3x+4y﹣12=1的距離為d==|sin﹣1|，由此可得：當θ=時，dmax=（）∴△PAB面積的最大值為S=|AB|×dmax=6（）.點睛：(1)本題主要考查橢圓的參數(shù)方程和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力計算能力.(2)對于|sin﹣1|，不是sin=1時，整個函數(shù)取最大值，而應(yīng)該是sin=-1，要看后面的“-1”.11、D【解題分析】

對A，B，C，D四個選項逐個進行二次求導，判斷其在上的符號即可得選項.【題目詳解】若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則.在上，恒有，故選D.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的求導公式，充分理解凸函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】試題分析：的共軛復數(shù)為，故選D．考點：1.復數(shù)的四則運算；2.共軛復數(shù)的概念．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、96【解題分析】

先排無重復數(shù)字的五位數(shù)的萬位數(shù)，再排其余四個數(shù)位，運算即可得解.【題目詳解】解：先排無重復數(shù)字的五位數(shù)的萬位數(shù)，有4種選擇，再排其余四位，有種選擇，故無重復數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)為，故答案為：.【題目點撥】本題考查了排列組合中的特殊位置優(yōu)先處理法，屬基礎(chǔ)題.14、31【解題分析】

根據(jù)，求出，又與的等差中項為，得到，所以可以求出，，即可求出【題目詳解】依題意，數(shù)列是等比數(shù)列，，即，所以，又與的等差中項為，所以，即，所以，所以，所以，故答案為：31【題目點撥】本題考查等比中項、等比數(shù)列的通項公式以及求和公式，需熟記公式。15、【解題分析】

選出的男女同學均不少于1名有兩種情況：1名男生2名女生和2名男生1名女生，根據(jù)組合數(shù)公式求出數(shù)量，再用古典概型計算公式求解.【題目詳解】從5名男同學和2名女同學中選出3人，有種選法；選出的男女同學均不少于1名，有種選法；故選出的同學中男女生均不少于1名的概率：.【題目點撥】本題考查排列組合和古典概型.排列組合方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時；2、間接考慮，當直接考慮情況較多時，可以用此法.16、【解題分析】

根據(jù)二項展開式的通項公式，求出展開式中的系數(shù)、展開式中的常數(shù)項，再根據(jù)它們相等，求出的值.【題目詳解】解：因為的展開式的通項公式為，令，求得，故展開式中的系數(shù)為.令，求得，故展開式中的系數(shù)為，所以，因為為正數(shù)，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3；（2）見解析.【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用斜率求出實數(shù)的值即可；（2）求出函數(shù)的定義域以及導數(shù)，在定義域下，討論大于0、等于0、小于0情況下導數(shù)的正負，即可得到函數(shù)的單調(diào)性。【題目詳解】（1）因為，所以，即切線的斜率，又切線與直線平行，所以，即；（2）由（1）得

，的定義域為，若，則，此時函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若，則，此時函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若，則

當即時，，當即時，，此時函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)．綜上所述：當時，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當時，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù).【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分類討論的思想，屬于中檔題。18、（1）π6；（2）3π4；（3）q=49，【解題分析】

(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)平面A1ACC1的法向量為n=(x,y，z)，則n(2)在(1)的條件下，平面A1ACC1的法向量為n=(1,0，1)，取平面ABC的法向量m=(0,0，(3)作CM⊥AB，M為垂足.由B1C⊥平面ABC.可得B1C⊥AB，AB⊥平面MCB作CG⊥MB1，垂足為G，則CG⊥平面ABB1.利用三角形面積計算公式、勾股定理及其CG=pCA【題目詳解】解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，C(0,0，0)，B1(0,0，1)，A(0,-1,0)，CA=(0,-1,0)，CC1=(-1,0，設(shè)平面A1ACC1的法向量為n=(x,y∴-y=-x+z=0，取x=1，則n=(1,0，1)cos<∴直線AB1與平面A1(2)在(1)的條件下，平面A1ACC1的法向量為取平面ABC的法向量m=(0,0，1)則cos<由圖可知：二面角A1∴二面角A1-AC-B的平面角為(3)作CM⊥AB，M為垂足．由B1C⊥平面又B1∴AB⊥平面MCB∴平面B1CM⊥平面作CG⊥MB1，垂足為G，則CG⊥平面在Rt△MCB1，CM=AC×CBB1B1∴B可得CG=CBCG=pCA+qCB+rCB∴(49,-49∴q=49，p=4【題目點撥】本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積的運算性質(zhì)、向量相等，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．19、(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)見證明，【解題分析】

（1）利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟即可求出；（2）將零點問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)以及圖像的交點問題，通過構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可?！绢}目詳解】解：（1）∵，∴.當時，，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，，由，得，當時，；當時，，∴時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：由（1）知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，不妨設(shè)，由條件知即構(gòu)造函數(shù)，則，由，可得.而，∴.知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，可知，欲證，即證.考慮到在上遞增，只需證，由知，只需證.令，則.所以為增函數(shù).又，結(jié)合知，即成立，所以成立.【題目點撥】本題考查了導數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)零點的常用解法，涉及到分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸等基本數(shù)學思想，意在考查學生的邏輯推理、數(shù)學建模和運算能力。20、見解析【解題分析】

根據(jù)正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得結(jié)果.【題目詳解】證法一：由正弦定理及，得，，，，又，由余弦定理，得，即，為等腰直角三角形．證法二：由正弦定理及，得，，，，，由正弦定理及，得，，，，，，，，，為等腰直角三角形．【題目點撥】本題考查利用正弦定理、余弦定理的判斷三角形的形狀，關(guān)鍵在于邊角之間的轉(zhuǎn)化，屬基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解題分析】

（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝1，BC＝1．能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．（2）點M是棱AC的中點，B1M在平面ABC的射影為直線MB，則∠B1