廣東廣州越秀區(qū)執(zhí)信中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

廣東廣州越秀區(qū)執(zhí)信中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個正方體的展開如圖所示，點，，為原正方體的頂點，點為原正方體一條棱的中點，那么在原來的正方體中，直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，對任意實數(shù)都有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象向右平移個單位后所得的圖象關(guān)于原點對稱，則可以是（）A． B． C． D．4．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．設(shè)，，則A． B．， C． D．，6．袋中裝有標號為1,2,3的三個小球，從中任取一個，記下它的號碼，放回袋中，這樣連續(xù)做三次，若抽到各球的機會均等，事件“三次抽到的號碼之和為6”，事件“三次抽到的號碼都是2”，則（）A． B． C． D．7．某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布，且滿足，零件的尺寸與10的誤差不超過1即合格，從這批產(chǎn)品中抽取n件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，則n的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．48．已知關(guān)于的方程為（其中），則此方程實根的個數(shù)為（）A．2 B．2或3 C．3 D．3或49．曲線與直線圍成的平面圖形的面積為（）A． B． C． D．10．為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點（）A．橫坐標縮短到原來的倍B．橫坐標伸長到原來的倍C．橫坐標縮短到原來的倍，再向右平移個單位D．橫坐標伸長到原來的倍，再向右平移個單位11．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，、分別是雙曲線左、右兩支上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且直線的斜率為.、分別為、的中點，若原點在以線段為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．在中，，，，則的面積為（）A．15 B． C．40 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù),若對任意,存在,，則實數(shù)的取值范圍為_____.14．行列式的第2行第3列元素的代數(shù)余子式的值為________.15．某單位在周一到周六的六天中安排人值夜班，每人至少值一天，至多值兩天，值兩天的必須是相鄰的兩天，則不同的值班安排種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）16．已知復(fù)數(shù)z=1+mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且（3+i）為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）則＝_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為，并求使得取得最大值的序號的值.18．（12分）為了研究玉米品種對產(chǎn)量的，某農(nóng)科院對一塊試驗田種植的一批玉米共10000株的生長情況進行研究，現(xiàn)采用分層抽樣方法抽取50株作為樣本，統(tǒng)計結(jié)果如下：高莖矮莖總計圓粒111930皺粒13720總計242650（1）現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該樣本所含的圓粒玉米中取出6株玉米，再從這6株玉米中隨機選出2株，求這2株之中既有高莖玉米又有矮莖玉米的概率；（2）根據(jù)玉米生長情況作出統(tǒng)計，是否有95%的把握認為玉米的圓粒與玉米的高莖有關(guān)？附：0.050.013.8416.63519．（12分）如圖，已知四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且求證：平面BDEF；求二面角的余弦值．20．（12分）已知曲線的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，且取相等的單位長度，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），設(shè)點．(Ⅰ)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，將直線的參數(shù)方程化為普通方程；(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點，求的值．21．（12分）某理科考生參加自主招生面試，從道題中（道甲組題和道乙組題）不放回地依次任取道作答.（1）求該考生在第一次抽到甲組題的條件下，第二次和第三次均抽到乙組題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答道甲組題和道乙組題，該考生答對甲組題的概率均為，答對乙組題的概率均為，若每題答對得，否則得零分.現(xiàn)該生已抽到道題（道甲組題和道乙組題），求其所得總分的分布列與數(shù)學期望.22．（10分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若直線是函數(shù)圖象的一條切線，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：先還原正方體，將對應(yīng)的字母標出，與所成角等于與所成角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.詳解：還原正方體，如圖所示，設(shè)，則，與所成角等于與所成角，余弦值為，故選D.點睛：本題主要考查異面直線所成的角以及空間想象能力，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到，異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對值.2、B【解題分析】令,,所以函數(shù)是減函數(shù)，又，所以不等式的解集為本題選擇B選項.3、B【解題分析】

求出函數(shù)圖象平移后的函數(shù)解析式，再利用函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，即，求出，比較可得.【題目詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到.此函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以.所以.當時，．故選B.【題目點撥】由的圖象，利用圖象變換作函數(shù)的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象沿軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是個單位；而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是個單位.4、D【解題分析】由題意，令，所以，所以，因為，所以所以所以，故選D.5、A【解題分析】

利用一元二次不等式的解法以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出集合，，然后進行交集的運算即可。【題目詳解】，；，故選．【題目點撥】本題主要考查區(qū)間表示集合的定義，一元二次不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性，以及交集的運算．6、A【解題分析】

試題分析：由題意得，事件“三次抽到的號碼之和為”的概率為，事件同時發(fā)生的概率為，所以根據(jù)條件概率的計算公式.考點：條件概率的計算.7、D【解題分析】

計算，根據(jù)題意得到，設(shè)，判斷數(shù)列單調(diào)遞減，又，，得到答案.【題目詳解】因為，且，所以，即每個零件合格的概率為.合格零件不少于2件的對立事件是合格零件個數(shù)為零個或一個.合格零件個數(shù)為零個或一個的概率為，由，得①，令.因為，所以單調(diào)遞減，又因為，，所以不等式①的解集為.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布，概率的計算，數(shù)列的單調(diào)性，意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.8、C【解題分析】分析：將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)的問題，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果.詳解：很明顯不是方程的根，據(jù)此可將方程變形為：，原問題等價于考查函數(shù)與函數(shù)的交點的個數(shù)，令，則，列表考查函數(shù)的性質(zhì)如下：++-++單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在有意義的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性一致，且函數(shù)的極值繪制函數(shù)圖像如圖所示，觀察可得，與函數(shù)恒有3個交點，即題中方程實根的個數(shù)為3.本題選擇C選項.點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．9、D【解題分析】

先作出直線與曲線圍成的平面圖形的簡圖，聯(lián)立直線與曲線方程，求出交點橫坐標，根據(jù)定積分即可求出結(jié)果.【題目詳解】作出曲線與直線圍成的平面圖形如下：由解得：或，所以曲線與直線圍成的平面圖形的面積為.故選D【題目點撥】本題主要考查定積分的應(yīng)用，求圍成圖形的面積只需轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的定積分問題求解即可，屬于?？碱}型.10、A【解題分析】分析：先將三角函數(shù)化為同名函數(shù)然后根據(jù)三角函數(shù)伸縮規(guī)則即可.詳解：由題可得：，故只需橫坐標縮短到原來的倍即可得，故選A.點睛：考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，伸縮變換，對公式的正確運用是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.11、C【解題分析】

根據(jù)、分別為、的中點，故OM平行于,ON平行于，再由向量點積為0得到四邊形是矩形，通過幾何關(guān)系得到點A的坐標，代入雙曲線得到齊次式，求解離心率.【題目詳解】因為、分別為、的中點，故OM平行于,ON平行于，因為原點在以線段為直徑的圓上，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB兩點關(guān)于原點對稱得到，四邊形對角線互相平分，所以四邊形是矩形，設(shè)角,根據(jù)條件得到，將點A代入雙曲線方程得到：解得故答案為C.【題目點撥】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，對于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).12、B【解題分析】

先利用余弦定理求得，然后利用三角形面積公式求得三角形的面積.【題目詳解】由余弦定理得，解得，由三角形面積得，故選B.【題目點撥】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把對任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）轉(zhuǎn)化為g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．【題目詳解】解：由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1，當x∈（﹣1，0）時，f′（x）＜0，當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，∴f（x）min＝f（0）＝1．對任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，函數(shù)g（x）＝x2﹣bx+4的對稱軸為x＝．當≤3，即b≤6時，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；當≥4，即b≥2時，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞減，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥2；當3＜＜4，即6＜b＜2時，g（x）在（3，4）上先減后增，，由≤1，解得或b，∴6＜b＜2．綜上，實數(shù)b的取值范圍為[4，+∞）．故答案為：[4，+∞）．【題目點撥】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題．14、-11【解題分析】

根據(jù)代數(shù)余子式列式，再求行列式得結(jié)果【題目詳解】故答案為：-11【題目點撥】本題考查代數(shù)余子式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

依題意，先求出相鄰2天的所有種數(shù)，再選2名值相鄰的2天，剩下2人各值1天利用分步乘法計數(shù)原理即可求得答案．【題目詳解】單位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值兩天，值兩天的必須是相鄰的兩天．故相鄰的有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56和1，23，45，6和1，23，4，56和1，2，34，56，共6種情形，選2名值相鄰的2天，剩下2人各值1天，故有種，故答案為：144.【題目點撥】本題主要考查了求事件的排列數(shù)，解題關(guān)鍵是理解題意結(jié)合排列數(shù)公式進行求解，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.16、【解題分析】

先求出的表達式，再由純虛數(shù)的定義，可求出的值，進而可求出.【題目詳解】由題意，，，則為純虛數(shù)，故，解得.故，.【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，考查了共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或時，取得最大值.【解題分析】試題分析：（1）在等差數(shù)列中，由，即可求得首項和公差，從而得通項公式；（2）由等差數(shù)列求和公式可得，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可求最值.試題解析：（1）在等差數(shù)列中，由，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1），因為，所以或時，取得最大值.18、（1）；（2）有的把握認為玉米的圓粒與玉米的高莖有關(guān)．【解題分析】

（1）采用分層抽樣的方式，從樣本中取出的6株玉米隨機選出2株中包含高桿的2株，矮桿的4株，故可求這2株之中既有高桿玉米又有矮桿玉米的概率；（2）帶入公式計算值，和臨界值表對比后即可得答案．【題目詳解】（1）依題意，取出的6株圓粒玉米中含高莖2株，記為，；矮莖4株，記為，，，；從中隨機選取2株的情況有如下15種：，，，，，，，，，，，，，，．其中滿足題意的共有，，，，，，，，共8種，則所求概率為．（2）根據(jù)已知列聯(lián)表：高莖矮莖合計圓粒111930皺粒13720合計242650得，又，有的把握認為玉米的圓粒與玉米的高莖有關(guān)．【題目點撥】本題主要考查古典概型的概率和獨立性檢驗，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力．19、（1）見證明；（2）.【解題分析】

設(shè)AC、BD交于點O，連結(jié)OF、DF，推導(dǎo)出，，，由此能證明平面BDEF．以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【題目詳解】設(shè)AC、BD交于點O，連結(jié)OF、DF，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且，，，，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，，平面BDEF．，，平面ABCD，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則0，，0，，1，，0，，，1，，，設(shè)平面ABF的法向量y，，則，取，得，設(shè)平面BCF的法向量y，，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角則．二面角的余弦值為．【題目點撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．20、（Ⅰ）曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為：，直線的參數(shù)方程化為普通方程為：（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用兩角和的余弦公式化簡曲線的極坐標方程，然后兩邊乘以轉(zhuǎn)化為直角坐標方程.利用加減消元法消掉參數(shù)，求得直線的普通方程.(Ⅱ)寫出直線標準的參數(shù)方程，代入曲線的直角坐標方程，化簡后根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，求得的值.【題目詳解】解：(Ⅰ)曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為：，即；直線的參數(shù)方程化為普通方程為：．(Ⅱ)直線的參數(shù)方程化為標準形式為，①將①式代入，得：，②由題意得方程②有兩個不同的根，設(shè)是方程②的兩個根，由直線參數(shù)方程的幾何意義知：．【題目點撥】本小題主要考查極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，考查直線標準參數(shù)方程的求法，考查直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題.21、（1）；（2）見解析.【解題分析】分析：（1）利用條件概率公式，即可求得該考生在第一次抽到甲組題的條件下，第二次和第三次均抽到乙組題的概率；（2）先明確X的可能取值，求出相應(yīng)的概率值，得到的分布列，進而得到數(shù)學期望詳解：（1）記“該考生在第一次抽到甲組題”為事件A，“該考生第二次和第三次均抽到乙組題”為事件B，則所以該考生在第一次抽到甲組題