上海實驗學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

上海實驗學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．通過隨機詢問名性別不同的小學(xué)生是否愛吃零食，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好不愛好總計由算得參照附表，得到的正確結(jié)論（）A．我們有以上的把握，認為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”B．我們有以上的把握，認為“是否愛吃零食與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“是否愛吃零食與性別無關(guān)”2．由曲線，直線，和軸所圍成平面圖形的面積為（）A． B． C． D．3．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值是（）A． B． C．0 D．14．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．5．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則（）A．10 B．20 C．30 D．406．已知，命題“若，則.”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知，，，則（）．A． B． C． D．8．將甲桶中的升水緩慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線，假設(shè)過后甲桶和乙桶的水量相等，若再過甲桶中的水只有升，則的值為（）A．10 B．9 C．8 D．59．已知隨機變量服從二項分布，則（）．A． B． C． D．10．如圖所示為底面積為2的某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的側(cè)面積為（）A． B．C． D．11．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,且，則直線與直線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．12．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，給出以下結(jié)論：①曲線在點處的切線方程為；②在曲線上任一點處的切線中有且只有兩條與軸平行；③若方程恰有一個實數(shù)根，則；④若方程恰有兩個不同實數(shù)根，則或.其中所有正確結(jié)論的序號為__________．14．函數(shù)，對任意，恒有，則的最小值為________.15．已知是第四象限角，，則_______；16．若與的夾角為，，，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：18．（12分）已知過點且圓心在直線上的圓與軸相交于兩點，曲線上的任意一點與兩點連線的斜率之積為．（1）求曲線的方程；（2）過原點作射線，分別平行于，交曲線于兩點，求的取值范圍．19．（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，試用所學(xué)知識說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ，），則P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，，．20．（12分）如圖,在多面體中,平面,四邊形為正方形,四邊形為梯形,且,,,.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)線段上是否存在點,使得直線平面？若存在,求的值：若不存在,請說明理由.21．（12分）已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：對照臨界值表，由，從而可得結(jié)果.詳解：根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，，而，有以上的把握，認為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”，故選A.點睛：本題主要考查獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于中檔題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷.2、B【解題分析】

利用定積分表示面積，然后根據(jù)牛頓萊布尼茨公式計算，可得結(jié)果.【題目詳解】，故選：B【題目點撥】本題主要考查微積分基本定理，熟練掌握基礎(chǔ)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及牛頓萊布尼茨公式，屬基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，在可行解域內(nèi)，平行移動直線，直至當(dāng)直線在縱軸上的截距最大時，求出此時所經(jīng)過點的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中求出的最小值.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，如下圖：在可行解域內(nèi)，平行移動直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線在縱軸上的截距最大，點是直線和直線的交點，解得，，故本題選B.【題目點撥】本題考查了線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最小值問題，正確畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.4、A【解題分析】分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值．詳解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，∴A（1，0，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），B1（1，1，2），=（﹣1，0，2），=（1，1，2），設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為θ，則cosθ=∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．故答案為：A．點睛：（1）本題主要考查異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化能力.(2)異面直線所成的角的常見求法有兩種，方法一：（幾何法）找作（平移法、補形法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.5、B【解題分析】分析：由題意可知數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，得詳解：數(shù)列為調(diào)和數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式得，由等差數(shù)列的性質(zhì)故選B點睛：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，通過合理的轉(zhuǎn)化建立起已知條件和考點之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵.6、C【解題分析】

先寫出原命題的逆命題，否命題，再判斷真假即可,這里注意的取值,在判斷逆否命題的真假時，根據(jù)原命題和它的逆否命題具有相同的真假性判斷原命題的真假即可.【題目詳解】解：逆命題:設(shè)，若，則a＞b,由可得，能得到a＞b，所以該命題為真命題;否命題設(shè)，若a≤b，則,由及a≤b可以得到，所以該命題為真命是題；因為原命題和它的逆否命題具有相同的真假性，所以只需判斷原命題的真假即可，當(dāng)時，，所以由a＞b得到，所以原命題為假命題，即它的逆否命題為假命題;故為真命題的有2個.故選C.【題目點撥】本題主要考查四種命題真假性的判斷問題，由題意寫出原命題的逆命題，否命題并判斷命題的真假是解題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】試題分析：因為所以選C．考點：比較大小8、D【解題分析】由題設(shè)可得方程組，由，代入，聯(lián)立兩個等式可得，由此解得，應(yīng)選答案D。9、D【解題分析】表示做了次獨立實驗，每次試驗成功概率為，則．選．10、B【解題分析】

由三視圖可以看出有多個直角，將該三棱錐放入正方體中，依次求各面面積即可【題目詳解】由三視圖可知該幾何體是三棱錐（放在棱長為2的正方體中），則側(cè)面是邊長為的等邊三角形，面積為；側(cè)面和都是直角三角形，面積均為，因此，此幾何體的側(cè)面積為，故選B【題目點撥】本題考查三視圖、幾何體側(cè)面積，將棱錐放入棱柱中分析是解題的關(guān)鍵.11、A【解題分析】

設(shè)CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝12、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)除法運算，化簡為的形式，由此求得對應(yīng)的點的坐標(biāo).【題目詳解】依題意，對應(yīng)的點為，故選A.【題目點撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解題分析】分析：對函數(shù)進行求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)從而得到答案．詳解：，①則曲線在點處的切線方程為即，故①不正確；②令或，即在曲線上任一點處的切線中有且只有兩條與軸平行；正確；③由②知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)函數(shù)的極小值極大值故若方程恰有一個實數(shù)根，則或，③不正確；④若方程恰有兩個不同實數(shù)根，則或.正確點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．14、【解題分析】∵，∴，∴當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增?！喈?dāng)時，有最大值，且。又，∴。由題意得等價于?！嗟淖钚≈禐?。答案：15、【解題分析】

：由同角三角關(guān)系求解【題目詳解】：，設(shè)，由同角三角關(guān)系可得?！绢}目點撥】：三角正余弦值的定義為，。16、【解題分析】

，由此求出結(jié)果.【題目詳解】解：與的夾角為，，，.故答案為：.【題目點撥】本題考查向量的模的求法，考查向量的數(shù)量積公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解題分析】

利用數(shù)學(xué)歸納法的證明標(biāo)準，驗證時成立，假設(shè)時成立，證明時等式也成立即可.【題目詳解】證明：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，

那么，當(dāng)時，左邊＝，

這就是說，當(dāng)時等式也成立.

根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何都成立.【題目點撥】本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，注意數(shù)學(xué)歸納法證明時，必須用上假設(shè)18、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）先求出圓C的方程，再利用直接法求曲線的方程.(2)設(shè)，射線的斜率為，則射線的斜率為,求出，再換元求其取值范圍.詳解：（1）∵圓過點，，∴圓心在直線上，又圓心在直線上，∴當(dāng)時，，即圓心為.又與的距離為，∴圓的方程為.令，得.不妨設(shè)，，由題意可得，，∴,∴曲線的方程為：()．（2）設(shè)，射線的斜率為，則射線的斜率為.解得，∴．同理，…9分∴．設(shè)，則，∴，又∵，∴.點睛：（1）本題主要考查圓的方程的求法，考查軌跡方程的求法，考查直線和曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點，其一是求出，其二是利用換元后利用函數(shù)求的取值范圍.19、（1）P（X≥1）=0.0408，E（X）=0.0416（2）上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的，詳見解析【解題分析】

（1）通過可求出，利用二項分布的期望公式計算可得結(jié)果．（2）由（1）知落在（μ-3σ，μ+3σ）之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過程方法合理．【題目詳解】解：（1）由題可知尺寸落在（μ-3σ，μ+3σ）之內(nèi)的概率為0.9974，則落在（μ-3σ，μ+3σ）之外的概率為1-0.9974=0.0026，因為，所以P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408，又因為X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種狀況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．【題目點撥】本題考查對正態(tài)分布的理解以及二項分布的期望公式，是一道一般難度的概率綜合體．20、(1)；(2).【解題分析】

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(1)求出平面的法向量,利用空間向量夾角公式可以求出直線與平面所成角的正弦值；(2)求出平面的法向量,結(jié)合線面平行的性質(zhì),空間向量共線的性質(zhì),如果求出的值,也就證明出存在線段上是否存在點,使得直線平面,反之就不存在.【題目詳解】以為空間直角坐標(biāo)系的原點,向量所在的直線為軸.如下所示：.(1)平面的法向量為,..直線與平面所成角為,所以有;(2)假設(shè)線段上是存在點,使得直線平面.設(shè),因此,所以的坐標(biāo)為：..設(shè)平面的法向量為,,,因為直線平面,所以有,即.【題目點撥】本題考查了線面角的求法以及線面平行的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運算能力.21、（1）（2）【解題分析】

（1）先進行化簡，結(jié)合復(fù)數(shù)為實數(shù)的等價條件建立方程進行求解即可．（2）結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義建立不等式關(guān)系進行求解即可．【題目詳解】解：（1）由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算