陜西西安地區(qū)八校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

陜西西安地區(qū)八校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線過(guò)，兩點(diǎn)，點(diǎn)為該雙曲線上除點(diǎn)，外的任意一點(diǎn)，直線，斜率之積為，則雙曲線的方程是（）A． B． C． D．2．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于同一個(gè)常數(shù)．若第一個(gè)單音的頻率為f，第三個(gè)單音的頻率為，則第十個(gè)單音的頻率為（）A． B． C． D．3．設(shè)向量與向量垂直，且，，則下列向量與向量共線的是（）A． B． C． D．4．已知扇形的圓心角為弧度，半徑為，則扇形的面積是（）A． B． C． D．5．己知弧長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角為弧度，則這條弧所在的圓的半徑為（）A． B． C． D．6．已知，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件7．設(shè)隨機(jī)變量，且，，則（）A． B．C． D．8．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．9．一盒中裝有5張彩票，其中2張有獎(jiǎng)，3張無(wú)獎(jiǎng)，現(xiàn)從此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一張彩票．設(shè)第1次抽出的彩票有獎(jiǎng)的事件為A，第2次抽出的彩票有獎(jiǎng)的事件為B，則()A． B． C． D．10．若，均為單位向量，且，則與的夾角大小為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知集合,集合,則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是____14．在中，，，，則的面積等于__________.15．某棱錐的三視圖如圖所示（單位：），體積為______.16．在極坐標(biāo)系中，已知到直線：，的距離為2，則實(shí)數(shù)的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．18．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。19．（12分）已知極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸正半軸且單位長(zhǎng)度相同的極坐標(biāo)系中曲線，（為參數(shù)）.（1）求曲線上的點(diǎn)到曲線距離的最小值；（2）若把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，得到曲線，設(shè)，曲線與交于兩點(diǎn)，求.20．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足：，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.（I）求復(fù)數(shù)；（Ⅱ）設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值.21．（12分）用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字組成五位數(shù).（1）求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)的個(gè)數(shù).22．（10分）在四棱錐中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,平面ABCD,PA=AB,M,N分別為PB,AC的中點(diǎn),（１）求證:MN//平面PAD（２）求點(diǎn)B到平面AMN的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：根據(jù)兩條直線斜率之積為定值，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可確定解析式。詳解：因?yàn)橹本€，斜率之積為，即，設(shè)P（）則，化簡(jiǎn)得所以選D點(diǎn)睛：本題考查了圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用，根據(jù)斜率乘積為定值確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于簡(jiǎn)單題。2、B【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設(shè)其公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設(shè)其公比為q，（q＞0）則有a1＝f，a3，則q2，解可得q，第十個(gè)單音的頻率a10＝a1q9＝（）9ff，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是求出該等比數(shù)列的公比，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

先根據(jù)向量計(jì)算出的值，然后寫出的坐標(biāo)表示，最后判斷選項(xiàng)中的向量哪一個(gè)與其共線.【題目詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，所以，解得，所以，則向量與向量共線，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的垂直與共線問(wèn)題，難度較易.當(dāng)，若，則，若，則.4、D【解題分析】

利用扇形面積公式（為扇形的圓心角的弧度數(shù)，為扇形的半徑），可計(jì)算出扇形的面積.【題目詳解】由題意可知，扇形的面積為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形面積的計(jì)算，意在考查扇形公式的理解與應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

利用弧長(zhǎng)公式列出方程直接求解，即可得到答案．【題目詳解】由題意，弧長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角為2弧度，則，解得，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的半徑的求法，考查弧長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】a∈R，則“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要條件．故選A．【題目點(diǎn)撥】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．7、A【解題分析】

根據(jù)隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式得到關(guān)于，的方程組，注意兩個(gè)方程之間的關(guān)系，把一個(gè)代入另一個(gè)，以整體思想來(lái)解決，求出的值，再求出的值，得到結(jié)果．【題目詳解】解：隨機(jī)變量，，，，①②把①代入②得，，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，考查二項(xiàng)分布的期望和方差公式，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】分析：由題意，求得，得到，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解切線的方程；詳解：由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為，又，所以切線過(guò)點(diǎn)，所以切線的方程為，即，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程問(wèn)題，其中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．9、D【解題分析】

由題意，第1次抽出的彩票有獎(jiǎng)，剩下4張彩票，其中1張有獎(jiǎng)，3張無(wú)獎(jiǎng)，即可求出．【題目詳解】由題意，第1次抽出的彩票有獎(jiǎng)，剩下4張彩票，其中1張有獎(jiǎng)，3張無(wú)獎(jiǎng)，所以．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．10、C【解題分析】分析：由向量垂直得向量的數(shù)量積為0，從而求得，再由數(shù)量積的定義可求得夾角．詳解：∵，∴，∴，∴，∴．故選C．點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積的定義：，由此有，根據(jù)定義有性質(zhì)：．11、A【解題分析】

先將函數(shù)有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程有實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合圖像，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由得，令，則，設(shè)，則，由得；由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以；又當(dāng)時(shí)，，，作出函數(shù)圖像如下：因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以與有兩不同交點(diǎn)，由圖像可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，通常需要將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)來(lái)處理，通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性、最值等，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想求解，屬于?？碱}型.12、D【解題分析】，，則，選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后求出復(fù)數(shù)的虛部.詳解：由，可得,，可得，所以，的虛部是，故答案為點(diǎn)睛：本題主要考查乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的概念，意在考查對(duì)復(fù)數(shù)基本概念與基本運(yùn)算掌握的熟練程度.14、【解題分析】

通過(guò)余弦定理求出AB的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式求解即可．【題目詳解】設(shè)AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣1=0，又c＞0，∴c=1．S△ABC=AB?BCsinB=BC?h，可知S△ABC=×1×2×=．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的面積求法，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．15、【解題分析】

通過(guò)三視圖可知：該幾何體是底面為邊長(zhǎng)為2正方形,高為2的四棱錐,利用棱錐的體積公式可以求出該棱錐的體積.【題目詳解】通過(guò)三視圖可知：該幾何體是底面為邊長(zhǎng)為2正方形,高為2的四棱錐,所以該棱錐的體積為：.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了通過(guò)三視圖還原空間幾何體,考查了棱錐的體積公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.16、1【解題分析】分析：可化為，利用點(diǎn)到直線：，的距離為2，求出m的值.詳解：可化為，點(diǎn)到直線：，的距離為2，，又，.故答案為：1.點(diǎn)睛：求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問(wèn)題的主要方法(1)直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用；(2)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解．使用后一種方法時(shí)，應(yīng)注意若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），，；（2），證明見解析【解題分析】

（1）先求得的值，利用求得的表達(dá)式，由此求得的值.（2）根據(jù)（1）猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的體積公式為.【題目詳解】（1）且于是從而可以得到，猜想通項(xiàng)公式（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)公式；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即由（1）知即證當(dāng)時(shí)命題成立；由①②可證成立.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查已知求，考查數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列的通項(xiàng)公式.18、（1）單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間或；（2）.【解題分析】

(1)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性.(2)設(shè)轉(zhuǎn)換為二次方程，確定二次方程有兩個(gè)不同解，根據(jù)方程的兩個(gè)解與極值關(guān)系得到范圍.【題目詳解】解：(1)令，得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為或（2）令因?yàn)殛P(guān)于的方程至多有兩個(gè)實(shí)根，①當(dāng)顯然無(wú)零點(diǎn)，此時(shí)不滿足題意；②當(dāng)有且只有一個(gè)實(shí)根，結(jié)合函數(shù)的圖像，可得此時(shí)至多上零點(diǎn)也不滿足題意③當(dāng)，此時(shí)有兩個(gè)不等實(shí)根設(shè)若要有四個(gè)零點(diǎn)則而，所以解得又故【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性大，計(jì)算較難，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合靈活運(yùn)用和計(jì)算能力.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程和的參數(shù)方程都化為普通方程，求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，并利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出圓心到直線的距離，即可得出曲線上的點(diǎn)到曲線距離的最小值為；（2）利用伸縮變換求出曲線的普通方程，并將直線的參數(shù)方程與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出.【題目詳解】（1）由題意可知，曲線的普通方程為，圓心為，半徑長(zhǎng)為.在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，得，圓心到直線的距離為，因此，曲線上的點(diǎn)到曲線距離的最小值為；（2）在曲線上任取一點(diǎn)經(jīng)過(guò)伸縮變換得出曲線上一點(diǎn)，則伸縮變換為，得，代入圓的方程得，所以曲線的方程為，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，消去、得.設(shè)點(diǎn)、所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，則，所以，.【題目點(diǎn)撥】本題考查了極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查直線參數(shù)方程的幾何意義，熟練利用韋達(dá)定理求解是解本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（I）設(shè),利用復(fù)數(shù)相等的概念求出復(fù)數(shù)z;（Ⅱ）先計(jì)算出，再求a的值.【題目詳解】解；（Ⅰ）設(shè)，則，解得或（舍去）..（Ⅱ），，，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的求法和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）96（2）60【解題分析】分析：（1）首位有種選法，后四位所剩四個(gè)數(shù)任意排列有種方法根據(jù)分部乘法計(jì)數(shù)原理，可求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）由題意，分2類：末尾是0的五位偶數(shù)；末尾不是0的五位偶數(shù)，最后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，