人教版數(shù)學六年級上冊教材分析

人教版數(shù)學六年級上冊教材分析

第一單元分數(shù)乘法

一、教學內(nèi)容

1.分數(shù)乘法的意義。

2.分數(shù)乘法的計算。

3.利用分數(shù)乘法解決相關(guān)實際問題。

二、教學目標

1.使學生理解分數(shù)乘法的意義是整數(shù)乘法意義的擴展；理解和掌握分數(shù)乘法

的計算方法，會計算分數(shù)乘整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)；能運用乘法運算定律進行一些簡

便計算。

2.使學生經(jīng)歷分數(shù)乘法計算方法的探索過程，經(jīng)歷應(yīng)用分數(shù)乘法解決簡單實

際問題的過程，進一步培養(yǎng)分析、比較、抽象、概括、歸納、類推的能力，發(fā)展

初步的合情推理和演繹推理的能力。

3.使學生感受知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高自主探索與合作交流學習的能力，

建立學好數(shù)學的信心。

三、主要變化與具體編排

(-)主要變化

1.進一步厘清分數(shù)乘法的意義。

分數(shù)乘法的意義是整數(shù)乘法意義的擴展，二者在本質(zhì)上完全一致，只是在表

述方式上有所區(qū)別。例如，如果脫離情境，在抽象的層面上討論“5X3”，它既

可以表示5個3相加，用“倍”的語言來描述就是“3的5倍”；也可以表示3

個5相加，同樣可以說成“5的3倍”。類似地，如果以這樣的方式來討論“3

X”，它既可以表示3個相加，即“的3倍”；也可以表示“3的”。從表面上

看，“一個數(shù)的幾分之幾”是一種全新的表述，但實際上，它只是省略了“3的

倍”中的“倍”字，把“一個數(shù)的幾倍”擴展到“一個數(shù)的幾分之幾”。從另一

個角度看，“3的"和''個3”表示的意思完全相同，例如，一根繩子長3m,

“它的長多少米"和‘'根繩子長多少米”說的是一個意思。因此，不管是整數(shù)乘

法還是分數(shù)乘法，其意義都可以歸結(jié)為“幾個幾”，只不過，這里的兩個“幾”

都既可以是整數(shù)，也可以是分數(shù)。

根據(jù)這樣的思路，教材編排了三道例題來教學分數(shù)乘法的意義和計算。例1,

讓學生計算3個m是多少，學生可以直接利用整數(shù)乘法的意義，轉(zhuǎn)化成連加進

行計算。例2,是例3的鋪墊，讓學生根據(jù)整數(shù)乘法中的數(shù)量關(guān)系“單位量義數(shù)

量=總量”列出“1桶水12L,桶是多少升”的算式是12X,然后結(jié)合直觀圖和

分數(shù)的意義，發(fā)現(xiàn)12X在這兒表示的就是12L的，進而得出“一個數(shù)乘幾分之

幾可以表示求這個數(shù)的幾分之幾是多少”的結(jié)論。在這一過程中，把“桶水”變

成“1桶水的”，實現(xiàn)了從“量”到“率”的有效轉(zhuǎn)換。有了例2的基礎(chǔ)，例3

中求“公頃的”，算式列成義就“有據(jù)可依”了。

這樣編排，有幾個好處。一是在單元之始就把分數(shù)乘法意義的兩種不同表述

方式都呈現(xiàn)出來，使學生對分數(shù)乘法的意義有比較全面、完整的認識。二是編排

邏輯更加清晰，先讓學生理解分數(shù)乘法的意義，解決“如何列式”，再解決“如

何計算”。三是突破了過去教材中到“問題解決”部分才去解決“求一個數(shù)的幾

分之幾是多少”的限制，大大拓寬了本單元其他內(nèi)容的素材選擇范圍。例如，既

可以出現(xiàn)“蜂鳥的飛行速度是千米/分，分鐘飛行多少千米”的題材（分數(shù)是一

種具體量，帶單位），也可以出現(xiàn)‘'一頭鯨長28m,一個人身高是鯨體長的。

這個人身高是多少米”的練習題（分數(shù)是一種“率”，不帶單位）。

2.增加分、小數(shù)相乘的內(nèi)容。

學生在未來的學習中會遇到許多分、小數(shù)相乘的情況，例如，解決“按1：

5的比配制一杯1.2L的稀釋液，需要多少升濃縮液”的問題時，需要計算形

如1.2X的算式。如果學生不會直接約分，計算的繁瑣程度和出錯概率就會大大

增加。因此，教材新編了例5,讓學生分別計算2.IX和2.4X,讓學生根據(jù)數(shù)

據(jù)的特點靈活選擇計算方法，能直接約分的盡量直接約分。教學時，要使學生通

過2.4義=24X0.IX=義0.IX=0.6X的推導過程理解“為什么能直接約分”的原

理。

3.調(diào)整了用分數(shù)乘法解決實際問題的類型。

如前所述，學生已經(jīng)在“分數(shù)乘法的意義和計算”中解決了“求一個數(shù)的幾

分之幾是多少”的基本問題。這一基本數(shù)量關(guān)系的掌握對于解決更復雜的分數(shù)乘

法問題至關(guān)重要。

此次修訂增加了“連續(xù)求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的問題。這一類問題是

“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的延續(xù)，已知量和所求的量之間的關(guān)系沒有直接

給出，而是通過一個“中間量”搭建起二者之間的“橋梁”。在解決這一類問題

時，需要學生把復雜的問題化歸為基本的“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”，并抓

住這一基本數(shù)量關(guān)系中的幾個關(guān)鍵要素：單位“1”是誰？所求的量是誰？二者

之間是幾分之幾的關(guān)系？尤其要注意單位“1”與幾分之幾之間的對應(yīng)關(guān)系。

對于“求比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”這類問題，與實驗教材

相比，修訂后的教材減輕了例題的份量，在例題中只出現(xiàn)不同量的情況（嬰兒每

分鐘心跳的次數(shù)比青少年多），對于同一量的情況（嗓音降低），則放在“做一

做”中讓學生鞏固掌握。

4.把“倒數(shù)”的內(nèi)容移至“分數(shù)除法”單元。

倒數(shù)是聯(lián)結(jié)分數(shù)乘法和分數(shù)除法的紐帶。在進行分數(shù)除法計算時，要用到“除

以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)”這一結(jié)論，因此，把“倒數(shù)”安排在“分數(shù)

除法”單元，更能體現(xiàn)出學習倒數(shù)的必要性。

（二）具體編排

1.例lo

直接利用整數(shù)乘法的意義來引入分數(shù)乘法，使學生理解幾個相同分數(shù)相加和

幾個相同整數(shù)相加都可以用乘法計算。并通過將分數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為分數(shù)加法來探究

分數(shù)乘法的算理，掌握計算方法。

從吃蛋糕的實際問題引入，借助圓形直觀圖幫助學生理解題意，探究計算方

法。這一直觀圖延續(xù)了三年級學習簡單的分數(shù)加法時所用的直觀圖，有助于學生

利用己學的知識自主探索。此例中的分數(shù)帶單位，是一個“量”，學生對于求幾

個相同量之和的數(shù)量關(guān)系非常熟悉。先呈現(xiàn)加法計算，然后直接根據(jù)整數(shù)乘法的

意義列出兩個乘法算式，說明在這種情況下整數(shù)乘法的意義同樣適用。

計算時，先將分數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為幾個相同分數(shù)相加，使學生明白分母不變、分

子相乘的道理。在此基礎(chǔ)上總結(jié)分數(shù)乘整數(shù)的計算方法，并指出有時可以先約分

再相乘的簡便算法。

2.例20

讓學生利用己學的整數(shù)乘法的數(shù)量關(guān)系進行類推，列出分數(shù)乘法算式，結(jié)合

具體情境，使學生理解“一個數(shù)乘幾分之幾可以表示求這個數(shù)的幾分之幾”。這

是“求一個數(shù)的幾分之幾可以用這個數(shù)乘幾分之幾”的列式依據(jù)。

教材呈現(xiàn)了三幅圖，都是已知1桶水的體積，分別要求3桶水、桶水、桶水

的體積。在這里，列式所依據(jù)的數(shù)量關(guān)系都是“每桶水的體積X桶數(shù)=水的體積”，

只是桶數(shù)可以由整數(shù)擴展到分數(shù)。接下來，結(jié)合情境，說明求桶水、桶水的體積

就是求12L的和12L的分別是多少。在此基礎(chǔ)上，概括出“一個數(shù)乘幾分之幾,

可以表示這個數(shù)的幾分之幾是多少”。

3.例30

本例是在學生會利用“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計算”列式之后，

學習分數(shù)乘分數(shù)的計算方法。

教材利用兩個小題，由簡單到復雜，結(jié)合直觀操作，使學生在探索和理解分

數(shù)乘分數(shù)算理的基礎(chǔ)上，一步一步總結(jié)出分數(shù)乘分數(shù)的計算方法，滲透數(shù)形結(jié)合

的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。

要理解分數(shù)乘分數(shù)的算理，其根本在于分數(shù)意義的理解。在這里，有些分數(shù)

是帶單位的“量”，有些分數(shù)是不帶單位的“率”，事實上，“量”與“率”也

是可以互相轉(zhuǎn)化的。例如，公頃，實際上就是1公頃的；公頃的，就是1公頃的，

即公頃。

4.例4。

本例是學習分數(shù)乘法的簡便方法。學生在前面對于分數(shù)乘法的意義和算理有

了深刻的理解后，教學重點轉(zhuǎn)入尋求便捷的算法。

在設(shè)計情境時，教材特意把兩個小題設(shè)計成需要運用分數(shù)乘法意義的兩種不

同形式進行列式的情形，旨在進一步鞏固分數(shù)乘法的意義。其中，第（1）小題

是“求一個數(shù)的幾分之幾”，第（2）小題既可以根據(jù)“速度X時間=路程”列式，

也可以根據(jù)“幾個相同分數(shù)相加”列式。

在數(shù)據(jù)處理上，本例中既包含分數(shù)與分數(shù)相乘，又包含分數(shù)與整數(shù)相乘。學

生可以通過此例，進一步掌握分數(shù)乘法的一般性算法。

5.例5。

本例是教學分數(shù)與小數(shù)相乘的計算問題。分、小數(shù)混合運算是在日常生活中

以及未來的數(shù)學與其他學科的學習中經(jīng)常會遇到的情形，因此，根據(jù)分、小數(shù)的

數(shù)據(jù)特點靈活選擇計算策略，也是學生應(yīng)該具備的一項技能。為此，教材在修訂

時增加了這部分內(nèi)容。

分數(shù)和小數(shù)相乘，可把分數(shù)化成小數(shù)相乘（如果分數(shù)可以化成有限小數(shù)），

也可把小數(shù)化成分數(shù)相乘。不管哪種方法，都是學生已學的知識，可以讓學生自

行解決。而當小數(shù)與分數(shù)的分母存在某種倍數(shù)關(guān)系時，可以直接“約分”。這種

約分雖然與以前學過的約分形式不同，但實質(zhì)都是除以一個相同的數(shù)。

6.例6o

從“做一個長方形畫框需要多長的木條”的實際問題引入，利用長方形畫框

的周長計算引出分數(shù)混合運算。鼓勵學生用不同的方法（除了教材上的兩種方法，

還有可能用四條邊相加的）計算，很自然地呈現(xiàn)各種形式的算式，有兩級運算的，

有帶小括號的。教材直接說明分數(shù)混合運算的順序和整數(shù)混合運算順序相同，讓

學生自主解決。

教材特意用兩道有關(guān)聯(lián)的算式教學分數(shù)混合運算的順序，為接下來正式教學

把整數(shù)乘法運算定律推廣到分數(shù)乘法作了很好的鋪墊。在此基礎(chǔ)上，再通過觀察、

計算，歸納得出“整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，對于分數(shù)乘法也適用”

的結(jié)論。

7.例7o

教材結(jié)合具體計算，說明應(yīng)用乘法運算定律可以使分數(shù)混合運算更加簡便。

8.例8O

本例是讓學生在會解決求一個數(shù)的幾分之幾是多少的基礎(chǔ)上，解決連續(xù)求一

個數(shù)的幾分之幾是多少的實際問題。在這里，由于研究的是三個量之間的關(guān)系，

在描述其中某兩個量的數(shù)量關(guān)系時，單位“1”是在動態(tài)變化的。

教材按“閱讀與理解”“分析與解答”和“回顧與反思”呈現(xiàn)解決問題的一

般步驟。到了高年級，隨著問題復雜度提高，對于信息的搜集、題意的理解以及

整個問題解答過程以及結(jié)果合理性的回顧與討論，顯得越來越重要。

在“分析與解答"環(huán)節(jié)，一方面，通過折紙或畫圖等操作活動，借助直觀圖

形幫助學生理解題中的數(shù)量關(guān)系，體會畫圖是分析問題、解決問題的重要策略。

另一方面，倡導解決問題方法的多樣化。既可以先求出蘿卜地的面積，再求出紅

蘿卜地的面積；也可以先求出紅蘿卜地占大棚面積的幾分之幾，再求出紅蘿卜地

的面積。不同解題思路的呈現(xiàn)，可以提高學生思維的靈活性和發(fā)散性。

“回顧與反思”讓學生自己完成。檢驗的角度很多，比如，看看直觀圖畫得

是否符合題意，看看列式是否符合圖意，看看計算是否正確。檢驗的方法也是多

樣化的。例如，可以看到蘿卜地的面積是紅蘿卜地的4倍，而大棚面積是蘿卜地

的2倍%用紅蘿卜地的60m2乘4,得到蘿卜地是240nl,，再乘2,是480m:與題

中的信息相符。也可以看看紅蘿卜地的面積是否占整塊蘿卜地的。

9.例9o

本例是讓學生解決求比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少的問題。雖然

還是研究兩個量間的關(guān)系，但由于沒有直接給出“一個量是另一個量的幾分之幾”,

需要先求出一個量比另一個量多（或少）的具體數(shù)量或者先求出一個量是另一個

量的幾分之幾。

教材通過線段圖直觀地表示出“嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)比青少年多”的意思，

對于學生理解題意、選擇解決方法起到了關(guān)鍵性的作用。

教材體現(xiàn)了多樣化的解題策略?？梢韵扔嬎銒雰好糠昼娦奶惹嗌倌甓喽嗌?/p>

次，這就需要先解決“75次的是多少次”的問題。還可以先求出嬰兒每分鐘心

跳次數(shù)是青少年的幾分之幾，這就需要先解決“比一個數(shù)多的數(shù)是這個數(shù)的幾分

之幾”的問題。

“回顧與反思”部分，使學生通過回顧解題的過程，充分認識到畫線段圖

這一策略對于解決問題的重要作用。同時，列舉了一種檢驗結(jié)果的方法，引導學

生用不同的方法加以檢驗。

四、教學建議

1.在已有知識的基礎(chǔ)上，幫助學生自主構(gòu)建新知識。

2.通過操作和直觀圖示幫助學生理解分數(shù)乘法的算理，掌握計算方法。

3.緊密聯(lián)系分數(shù)乘法的意義，引導學生在理解數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上正確列式，

解決實際問題。

第二單元位置與方向（二）

一、教學內(nèi)容

用方向和距離描述平面上兩個點的相對位置關(guān)系并在此基礎(chǔ)上描述簡單的

路線圖。

二、教學目標

1.使學生會根據(jù)平面上一個點的位置說出它相對于觀測點的方向和距離；

會根據(jù)一個點相對于觀測點的方向和距離確定這個點的具體位置；會描述簡單的

路線圖。

2.通過讓學生想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系，培養(yǎng)空間觀念。

3.使學生通過用方向和距離來表示平面上的位置，初步感受坐標法的思想。

4.使學生通過生活實例學習位置與方向的知識，感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)

系，學會在生活中應(yīng)用數(shù)學。

三、主要變化與具體編排

（一）主要變化

“用數(shù)對確定位置”和“用方向和距離確定位置”是直角坐標和極坐標思想

在小學的初步滲透。在上一輪教材的實驗過程中，教師普遍反映“用方向和距離

確定位置”的教學難度要大于“用數(shù)對確定位置”。因此，此次修訂，根據(jù)各方

意見，把實驗教材六年級上冊的“用數(shù)對確定位置”移至五年級上冊，把實驗教

材四年級下冊的“用方向和距離確定位置”移至本冊。

（二）具體編排

在具體編排上，也更加注重體現(xiàn)層次性。教材選擇臺風移動這一學生相對熟

悉的現(xiàn)實素材作為一個大背景，用“情境串”的形式引出3個例題。

1?例lo

教材以電視播報臺風警報作為情境引入，具有很強的生活氣息，使學生充分

感受生活和數(shù)學的緊密聯(lián)系。

教材直接給出標出臺風中心和A市的方位圖，讓學生利用圖示理解臺風中心

“位于A市東偏南30°方向、距離A市600km”所表示的含義。

確定一個位置，需要方向和距離兩個條件，教材先通過小精靈提問的方式，

讓學生思考東偏南30。表示什么意思，這也是本例的重點。使學生看到東偏南

300表示的是一條射線上的所有點，如果只有這一條件，還無法判斷臺風中心的

確切位置，由此引出距離。“東偏南30°”與“南偏東60°”含義完全相同，

只是生活中更習慣于選擇小于45°的角度來描述。圖示中用一條線段表示100km,

由于學生還沒學習比例尺，只要能說出這樣的6條線段表示600km就可以了，不

必涉及比例尺。

最后小精靈問“臺風大約多少小時后到達A市”，主要目的是為了在解決實

際問題的過程中，與例2進行很自然的情境連接。

2.例2。

本例在學生通過例1了解了方向與距離的含義之后，讓學生根據(jù)給出的某個

點相對于參照點的方向和距離，在方位圖上找到該點的位置。延續(xù)了例1的情境，

情節(jié)連貫，隨著現(xiàn)實情境的發(fā)展，自然地引出數(shù)學問題。

教材給出了兩類定位的情形，一類是非正東、正南、正北、正西的，一方面

需要確定角度，另一方面需要確定距離；另一類的正東、正南、正北、正西的，

只需要確定距離即可。

教材采取小組合作的方式，提示學生應(yīng)該如何根據(jù)方向和距離確定位置。先

確定方向再確定距離和先確定距離再確定方向這兩種方法都可以用，但學生通過

嘗試，一般會主動選擇先確定方向，然后在該方向所在射線上根據(jù)相應(yīng)的距離找

到該位置。

3.例3o

教材呈現(xiàn)了臺風從生成地出發(fā)、經(jīng)過四次方向改變的大致路徑，讓學生用數(shù)

學的語言來描述簡單的路線圖。路線圖中包括了例1和例2中臺風的移動路線，

體現(xiàn)了情境的整體性和知識的綜合性。

路線圖描述的不僅僅是兩個點的靜態(tài)關(guān)系，而是物體在多個點之間的運動關(guān)

系。除了整條路線的起點和終點之外，其他點都既是某一段路線的終點，也是下

一段路線的起點。教材通過學生對話的方式，給出了分段描述的示范，使學生明

白方向與距離的描述是具有相對性的，并掌握在描述每一段路線時要注意的幾個

關(guān)鍵點：起點在哪兒？終點在哪兒？沿著什么方向？移動了多少距離？

四、教學建議

1.注意聯(lián)系學生的生活經(jīng)驗和已有知識，引導學生自主探索新知，發(fā)展空間

觀念。

2.以問題為載體，鼓勵學生通過自主探究、合作交流，克服教學重難點，初

步建立坐標觀念。

第三單元分數(shù)除法

一、教學內(nèi)容

1.倒數(shù)的認識

2.分數(shù)除法的計算

3.問題解決

二、教學目標

1.使學生理解倒數(shù)的意義，掌握求一個數(shù)的倒數(shù)的方法。

2.使學生體會分數(shù)除法的意義，理解并掌握分數(shù)除法的計算方法，會進行

分數(shù)除法計算。

3.使學生會解決一些和分數(shù)除法相關(guān)的實際問題。

4.使學生體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，體會并掌握模型、方程、數(shù)形結(jié)合

等數(shù)學思想。

三、主要變化與具體編排

(-)主要變化

除了把“倒數(shù)”從“分數(shù)乘法”單元移過來和把“比”的內(nèi)容另設(shè)單元以外,

本單元還有兩個較大的變化。

1.刪去“分數(shù)除法意義”的相關(guān)例題。

考慮到學生對整數(shù)乘、除法之間的關(guān)系已經(jīng)非常熟悉，修訂后的教材不再單

獨設(shè)置有關(guān)“分數(shù)除法意義”的例題，只在相關(guān)練習中進一步鞏固分數(shù)乘、除法

之間的關(guān)系。

2.增加兩類“問題解決”。

第一類是和倍、差倍問題（兩個量之間的“倍數(shù)關(guān)系”是以“幾分之幾”的

形式出現(xiàn)的）。在這類問題中，有兩個未知量，這兩個未知量之間的數(shù)量關(guān)系也

有兩個。例如，第41頁例6中，兩個未知量分別是''上半場得分”和“下半場

得分”，兩個數(shù)量關(guān)系分別是“上半場和下半場共得42分”和“下半場得分是

上半場的一半”。解決時，可以設(shè)其中一個未知量為％利用其中的一個數(shù)量關(guān)

系，用代數(shù)式表示出另一個未知量，再利用另一個數(shù)量關(guān)系列出方程。設(shè)的未知

數(shù)不同，列代數(shù)式和列方程所依據(jù)的數(shù)量關(guān)系不同，列出的方程也完全不同。例

如，本例就可以列出如下一些方程。

設(shè)其中一個未如果設(shè)上半場：X分如果設(shè)下半場：x分

知量為X

用代數(shù)式表示下半場：（42-X）下半場：X分上半場：（42-x）上半場：2x分

出另一個量分（依據(jù)“下半場分（依據(jù)“下半場

（依據(jù)“全場得得分是上半場（依據(jù)“全場得得分是上半場

42分”）的一半”）42分”）的一半”，即“上

半場得分是下

半場的2倍”）

列出方程42-個矛或X+A=42產(chǎn)（42-x）2X+A=42

x=2（42-x）（依據(jù)“全場得或42-A=2X（依據(jù)“全場得

（依據(jù)“下半場42分”）（依據(jù)“下半場42分”）

得分是上半場得分是上半場

的一半”或“上的一半”或“上

半場得分是下半場得分是下

半場的2倍”）半場的2倍”）

雖然這些方程之間可以通過變形互相轉(zhuǎn)化，但其背后的思考角度是各不相同

的。教學時，要注意引導學生說一說解決問題的完整過程，并通過不同解法的交

流，養(yǎng)成多角度地思考問題的習慣。

第二類是可用抽象的“1”來解決的實際問題。教材利用修路這一“工程問

題”來引入，使學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解答問題的過程。例如，學生

會認為題中缺少解題的信息，此時，教師追問：缺少什么信息呢？學生會回答:

不知道公路長多少千米。這樣就很自然地引導學生假設(shè)公路總長為某個具體的長

度，把新問題轉(zhuǎn)化為舊問題，加以解決。通過學生之間的交流，發(fā)現(xiàn)雖然假設(shè)的

公路具體長度不同，得到的結(jié)果卻是相同的，使學生產(chǎn)生探究原因的欲望。通過

分析，發(fā)現(xiàn)不管公路總長是多少，兩隊每天修的長度分別占總長度的和是不變的,

這也是能得到相同結(jié)果的內(nèi)在原因。此基礎(chǔ)上，進一步抽象，可用“1”來表示

公路總長。

教學此例時，要注意以下幾點。

第一，這里不是要系統(tǒng)地教學各類“工程問題”，教學時不要對“工程問題”

多變式、深挖掘、廣訓練。

第二，不必要求學生死記硬背”工作總量+工作效率=工作時間”等數(shù)量關(guān)

系，只要會用具體的語言描述出來就可以，如“公路的總長?每天修的長度=需

要修的天數(shù)”。

第三，最重要的不是讓學生記住結(jié)論，尤其不要把列出“1+(+)”這一最

簡形式的算式作為教學的終極目標，形成“解題套路”，而是要讓學生經(jīng)歷問題

解決的全過程，掌握問題解決的技能和策略。例如，假設(shè)的方法是解決此類問題

的重要策略，也是數(shù)學學習中常用的有效方法。如果學生認為把公路總長假設(shè)成

一個具體的量來解決更易于理解，要允許學生繼續(xù)采用這種一般性的解題思路。

把公路總長假設(shè)成“1”(而不是1km),需要學生具有更抽象的數(shù)學思維。

第四，要結(jié)合問題解決，使學生體會和運用基本的數(shù)學思想和方法，積累基

本的活動經(jīng)驗。在此例的教學中，要注意體現(xiàn)變中有不變的思想、抽象的思想、

模型的思想。為了讓學生進一步體會模型化的思想，教材特意在練習中編排了運

輸問題、行程問題、泄洪問題、種樹問題，使學生發(fā)現(xiàn)：雖然這些問題的現(xiàn)實背

景各不相同，但其背后的數(shù)量關(guān)系是相同的。數(shù)學教學的一個重要任務(wù)就是讓學

生學會透過紛繁蕪雜的現(xiàn)實情境的表象，找出體現(xiàn)數(shù)量之間本質(zhì)關(guān)系的數(shù)學模型。

(-)具體編排

1.倒數(shù)的認識

(1)例1。

教材編排了幾組乘積為1的乘法算式，使學生通過計算、觀察、討論等活動，

歸納出它們的共同規(guī)律，引出倒數(shù)的定義，并用實例突出“互為倒數(shù)”的含義。

然后引導學生思考互為倒數(shù)的兩個數(shù)有什么特點；如果兩個數(shù)都是分數(shù)，那么這

兩個數(shù)的分子、分母交換位置；如果一個是整數(shù)，那么另一個分數(shù)的分子是1,

分母就是該整數(shù)，為例1的學習打下基礎(chǔ)。

例1教學求倒數(shù)的方法。教材先安排找倒數(shù)的活動，初步體驗找倒數(shù)的方法：

調(diào)換分子、分母的位置。在總結(jié)求倒數(shù)的方法時，要分三種情況：求分數(shù)的倒數(shù)；

求整數(shù)的倒數(shù)；1和0的倒數(shù)的問題。對于1和0的倒數(shù)問題，因為1X1=1,所

以1的倒數(shù)是1；因為0與任何數(shù)相乘都不可能是1,所以0沒有倒數(shù)。

2.分數(shù)除法

(1)例lo

例1以折紙活動為載體，利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學生理解分數(shù)除以整數(shù)的

算理。教材分兩個層次編排：先解決分數(shù)的分子能被整數(shù)整除的特殊情況；再引

出分子不能被整數(shù)整除的情況。第一個問題是分子能被整數(shù)整除的情況，有兩種

思考方法，方法一是利用整數(shù)除法的意義，將分數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法理解并計

算；方法二是利用分數(shù)的意義，將問題轉(zhuǎn)化為求的來理解和計算。在此基礎(chǔ)上提

出第二個問題，凸顯方法一的局限性和方法二的一般適用性。

教材體現(xiàn)了讓學生經(jīng)歷由特殊到一般的探索過程，進而理解把一個數(shù)平均分

成幾份，求其中的1份，就是求這個數(shù)的幾分之一是多少，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

(2)例2o

例2研究一個數(shù)除以分數(shù)的計算，包括整數(shù)除以分數(shù)和分數(shù)除以分數(shù)兩種情

況。在解決“誰走得快些”這一實際問題的過程中，自然地列出兩個算式，列式

的依據(jù)是“路程?時間=速度”的數(shù)量關(guān)系，和以前所不同的是路程、時間由整

數(shù)換成了分數(shù)。由于學生對這一數(shù)量關(guān)系比較熟悉，所以列出分數(shù)除法算式不會

感到困難，有利于把教學重點集中于計算方法的探索與理解。

理解“2+”的算理是本例的重點。教材采用畫線段圖的直觀方式呈現(xiàn)推算

的思路：由于1小時里有3個小時，所以可以先求出小時走了多少千米，即先求

出小時走的2km的一半(即)。由于有了直觀圖的支持，降低了學生對2XX3

中每一部分含義的理解難度，順利完成從“除以一個分數(shù)”到“乘上這個分數(shù)的

倒數(shù)”的轉(zhuǎn)化。

通過求小紅平均每小時走多少路程引出分數(shù)除以分數(shù)的算式。由于有了整數(shù)

除以分數(shù)的算理的鋪墊，教材在這兒沒有呈現(xiàn)線段圖，而是通過提問“為什么寫

成X”，引導學生通過遷移類推，自行闡述算理。

以提問的方式，引導學生總結(jié)分數(shù)除法的一般算法，使學生看到，不管被除

數(shù)是整數(shù)還是分數(shù)，不管除數(shù)是整數(shù)還是分數(shù)，只要除數(shù)不為0,都可以轉(zhuǎn)化成

乘上除數(shù)的倒數(shù)來計算。并啟發(fā)學生用自己的方式表示這一算法。

(3)例3o

本例以學生熟悉的生活情境為素材引出分數(shù)混合運算。分數(shù)混合運算的順序

問題已在“分數(shù)乘數(shù)”單元解決了，學生在此學習分數(shù)混合運算，既是分數(shù)四則

運算的綜合應(yīng)用，也為后面學習利用分數(shù)四則運算解決實際問題打下基礎(chǔ)。

教材提供了兩種不同的解決方法，體現(xiàn)了不同的分析思路。先分步列式，再

列綜合算式解答。對于不帶括號的分數(shù)乘除法混合運算，既可以從左至右按步驟

計算，也可以直接轉(zhuǎn)化為分數(shù)連乘后同時約分計算。

(4)例4。

本例是讓學生解決簡單的“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”的實

際問題。這類問題是分數(shù)乘法中“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的逆向問題。

教材通過問題解決的三大步驟讓學生經(jīng)歷問題解決的全過程。其中，“閱讀

與理解”讓學生自行分析題意，弄清楚條件和問題，選取有效信息。在這里，成

人體內(nèi)水分與體重的關(guān)系是一個多余條件，需要學生加以辨別。

這類問題如果用算術(shù)方法解，較難理解，學生往往難以判斷誰是單位“1”，

數(shù)量關(guān)系也較復雜。因此，教材根據(jù)分數(shù)乘法的意義，利用已有知識畫線段圖，

找到數(shù)量關(guān)系，列出方程，并解出方程。這樣思考問題的思路與相應(yīng)的分數(shù)乘法

問題完全一致，只是參與列式的是未知數(shù)而已。

“回顧與反思”部分中檢驗結(jié)果的合理性是相應(yīng)乘法數(shù)量關(guān)系的二次應(yīng)用。

同時，對有效信息的選取的反思，以及對列方程方法價值的體會，也是反思的重

點。

（5）例5。

本例是“求比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”的逆向問題，是以例

4為基礎(chǔ)，把條件稍作改變，形成稍復雜的問題。

用算術(shù)方法解決這樣的實際問題，不僅需要逆向思考，還要把“比一個數(shù)多

（少）幾分之幾”，轉(zhuǎn)化為“是一個數(shù)的幾分之幾”，比較抽象，思維難度大。

用方程方法解決，可以列出形如的方程，也可以列出形如的方程，前者仍然要經(jīng)

歷從“多（少）幾分之幾”到“是幾分之幾”的轉(zhuǎn)化，后者只要根據(jù)一個數(shù)加（減）

增加部分等于增加（減少）后的數(shù)，就能列出方程。這樣的等量關(guān)系，學生容易

理解。因此，教材選擇符合學生順向思維的思路，給出多樣化的解題方法。

為了幫助學生思考，教材提示“先畫線段圖看看”，并給出了完整的圖示,

為學生分析、理解等量關(guān)系提供直觀支柱。然后得出不同的等量關(guān)系，并據(jù)此列

方程解答。

回顧與反思的目的在于反思問題解決的過程是否合理，檢驗解答是否正確，

方法可以多樣化。

（6）例6o

本例中包括兩個未知量，題中給出了這兩個未知量之間的兩種關(guān)系，要求學

生根據(jù)這樣的關(guān)系列方程解答。由于這兩種關(guān)系中，一種是兩個量之間的倍數(shù)關(guān)

系，另一種是兩個量之間的和或差的關(guān)系，因此，這樣的問題過去被稱為“和倍

問題”“差倍問題”。

教材以籃球比賽上、下場得分為素材，引出含有兩個未知數(shù)的實際問題。這

樣的問題如果用算術(shù)方法解決，需要逆向思考，比較抽象，思維難度大，容易出

錯，列方程來解決更符合順向思維。

教材給出了兩種解法，區(qū)別在于先設(shè)哪個量為未知數(shù)，然后利用兩個量的數(shù)

量關(guān)系，用代數(shù)式表示出另一個量。除了教材上的示例以外，還有其他的列方程

方法。

(7)例7o

本例是一類特殊的實際問題，使學生通過嘗試、分析，找到本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，

進而解決問題。

本例采用的素材是“工程問題”，但并不是要求學生解決形形色色的“工程

問題”，而是要借此讓學生經(jīng)歷利用自主探究解決問題的過程，掌握用假設(shè)、

驗證等方法解決問題的基本策略，讓學生體會模型思想。

例題的呈現(xiàn)順應(yīng)學生的思維過程?！伴喿x與理解”部分在引導學生從題目中

獲取已知條件和問題的同時，在學生利用已有經(jīng)驗解題時很自然地產(chǎn)生疑問：道

路的總長未知，怎么辦？接下來就在“分析與解答”部分，提出思考的方向：如

果道路總長是已知的，這個問題就轉(zhuǎn)化成以前學過的舊問題了。那是否可以假設(shè)

一個長度呢？這就是一個猜想、嘗試的過程，學生在這一過程中經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、

提出問題。通過假設(shè)，可以把抽象問題具體化，使復雜的數(shù)量關(guān)系明顯化或簡單

化。不同的學生假設(shè)的長度不同，又體現(xiàn)了解決問題方法的開放性和多樣化。

四、教學建議

1.加強直觀教學，結(jié)合實際操作和直觀圖形，幫助學生理解算理，掌握方

法。

2.加強分數(shù)乘、除法的溝通與聯(lián)系，促進知識正遷移，提高解決實際問題的

能力。

第四單元比

一、教學內(nèi)容

1.比的意義

2.比的基本性質(zhì)

3.比的應(yīng)用

二、教學目標

1.使學生理解比的意義，知道比與分數(shù)、除法的關(guān)系。

2.使學生理解并掌握比的基本性質(zhì)，會求比值、化簡比，能解答按比分配

的實際問題。

3.使學生在理解比的意義、探索比與分數(shù)和除法之間的關(guān)系以及比的基本

性質(zhì)的過程中，體會類比法、推理思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，體會數(shù)學知識之間

的內(nèi)在聯(lián)系，把握數(shù)學知識的本質(zhì)。

4.使學生經(jīng)歷用比描述生活現(xiàn)象和解決實際問題的過程，感受數(shù)學知識在

日常生活中的應(yīng)用價值。

三、主要變化與具體編排

(-)主要變化

這一單元的內(nèi)容與編排與實驗教材基本一致。把這部分內(nèi)容分拆出來另成單

元，主要是為了突出“比和比例”的獨立性、重要性。比不僅與分數(shù)除法有聯(lián)系，

與分數(shù)、除法等知識的聯(lián)系更加緊密和重要。比的知識是學習比例相關(guān)知識的必

要基礎(chǔ)，把比單獨設(shè)單元，能使學生從量與量之間的關(guān)系這一角度去認識比，而

不僅僅從運算的角度去理解比，有利于學生代數(shù)思想的培養(yǎng)。

(二)具體編排

1.比的意義、各部分名稱。

教材精心選取了“神舟”五號這一現(xiàn)實素材作為載體，既富有教育意義，又

能比較自然地引出比的兩種情形。例1的素材也是從中選取的，凸顯情境的連續(xù)

性和整體性。

教材先給出兩面長方形小旗的數(shù)據(jù)，引導學生討論長與寬的關(guān)系。除了可以

用減法表示出它們之間的相差關(guān)系，還可以用除法表示它們的倍數(shù)關(guān)系。在此基

礎(chǔ)上直接指出：可以用比來表示它們之間的關(guān)系，由此引出同類量的比。如果僅

從形式上看，比是除法關(guān)系的另一種表示方式，這為學生認識比和除法、分數(shù)之

間的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。

接下來，教材介紹飛船的運行路程與時間，用除法表示出飛船進入軌道后的

速度。在此基礎(chǔ)上，直接指出還可以用比來表示路程和時間的關(guān)系，引出非同類

量的比。使學生進一步認識比的意義以及比和除法的關(guān)系。

教材在教學了可以用比來表示兩個同類量或不同類量相除的關(guān)系的基礎(chǔ)上，

直接抽象出比的意義：兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除。這一意義是后面求比值、推

導比的基本性質(zhì)的直接保證。

接下來，給出比的寫法、各部分名稱以及比值的概念，并根據(jù)分數(shù)和除法的

關(guān)系，給出比的分數(shù)形式的寫法。并根據(jù)小精靈的問題，進一步溝通比和除法、

分數(shù)的聯(lián)系。

2.比的基本性質(zhì)。

教材在前面“做一做”第3題對商不變性質(zhì)和分數(shù)的基本性質(zhì)進行了回顧，

在此基礎(chǔ)上，啟發(fā)學生根據(jù)比和除法、分數(shù)的關(guān)系思考：“在比中有什么樣的規(guī)

律？”首先通過比較比值，直接看出6：8和12：16這兩個比相等，同時也能看

出這兩個比和3：4也是相等的。接下來，讓學生探究兩個比相等的內(nèi)在原因。

教材給出了根據(jù)比和除法的關(guān)系類推的過程，再讓學生根據(jù)比和分數(shù)的關(guān)系自主

探究。在此基礎(chǔ)上，概括出比的基本性質(zhì)。

3.例1。

本例教學運用比的基本性質(zhì)化簡比。第（1）題仍采用“神舟”五號的題材，

給出兩面旗的長和寬，要求這兩面旗長和寬的最簡整數(shù)比。其中15：10的化簡

給出了完整的過程并啟發(fā)學生思考為什么這樣化簡；180：120的化簡則讓學生

自己完成?；喌倪^程便于學生感悟化簡的必要性，即能使量與量之間的關(guān)系更

加簡明、清晰。兩個最簡整數(shù)比相等，也滲透了圖形按比例縮放的相似變換思想。

第（2）題的兩個比中的前、后項分別出現(xiàn)了分數(shù)和小數(shù)。教材同樣提出了啟發(fā)

學生思考比的化簡方法的問題，把前、后項不是整數(shù)的情況首先轉(zhuǎn)化為前、后項

都是整數(shù)的情況，再利用第（1）題的方法自行完成。

4.例2o

本例讓學生解決按比分配的實際問題,這一類問題與“和倍問題”實質(zhì)相同。

教材創(chuàng)設(shè)了一個日常生活中比較常見的配制清潔劑稀釋液的問題情境，便于學生

理解。

教材按問題解決的三個步驟編排，旨在使學生經(jīng)歷問題解決的完整過程，尤

其是養(yǎng)成審題和反思的習慣。在問題情境圖中和解答過程中都采用直觀圖幫助學

生清楚地看到量與量之間的關(guān)系，理解稀釋瓶上標明的比表示的含義。

教材介紹了兩種解法。一種是把比看成份數(shù)之比，先求出每份是多少，再求

幾份是多少。即把此問題轉(zhuǎn)化為整數(shù)的“歸一問題”來解決。另一種是根據(jù)直觀

圖和比的意義，算出濃縮液和水分別占總體的幾分之幾，把問題轉(zhuǎn)化為求一個數(shù)

的幾分之幾是多少，用分數(shù)乘法來解決。

“回顧與反思”階段，重新借助比的意義，看濃縮液與水的體積之比化簡后

是否與題目中所給信息相符。

四、教學建議

1.聯(lián)系生活實際，使學生在情境中學習比的意義。

2.加強比與除法、分數(shù)的聯(lián)系，促進知識的融會貫通。

第五單元圓

一、教學內(nèi)容

1.圓的認識

2.圓的周長

3.圓的面積

4.扇形的認識

二、教學目標

1.使學生認識圓，學會用圓規(guī)畫圓，掌握圓的基本特征。

2.使學生會利用直尺和圓規(guī)，在教師指導下設(shè)計一些與圓有關(guān)的圖案。

3.使學生通過實踐操作，理解圓周率的意義，理解和掌握圓的周長計算公

式，并解決一些相應(yīng)的實際問題。

4.引導學生探索并掌握圓的面積計算公式，并解決一些簡單的實際問題。

5.使學生認識扇形，掌握扇形的一些基本特征。

6.使學生經(jīng)歷嘗試、探究、分析、反思等過程，培養(yǎng)數(shù)學活動經(jīng)驗，在解

決一些與圓有關(guān)的數(shù)學問題的過程中，提高問題解決的能力。

7.使學生在推導圓的周長與面積的計算公式過程中體會和掌握轉(zhuǎn)化、極限

等數(shù)學思想。

8.通過生活實例、數(shù)學史料，感受數(shù)學之美，了解數(shù)學文化，提高學習興

趣。

三、主要變化與具體編排

（一）主要變化

1.改變圓的各部分名稱的引入方式。

實驗教材在引入圓時，先讓學生利用圓形杯蓋、圓柱體物體、三角板上的圓

孔描出圓，再把圓剪下來，通過多次對折等方式引出圓心、半徑、直徑等概念；

在認識了圓的半徑和直徑的特點之后，再專門教學用圓規(guī)畫圓的方法。

考慮到學生在生活中已經(jīng)具備初步的用圓規(guī)畫圓的知識，本次修訂時，對于

“你能想辦法在紙上畫一個圓嗎”這一問題，教材同時給出了用杯蓋、三角尺上

的圓孔、圓規(guī)畫圓的方法，符合真實的學情。接下來，利用圓規(guī)畫圓的方法引出

圓心、半徑、直徑等概念，水到渠成，這樣的引入方式也能更好地體現(xiàn)圓“一中

同長”的本質(zhì)特征。接下來，通過讓學生用圓規(guī)畫幾個大小不同的圓，探討直徑、

半徑的特點，在這一過程中，使學生進一步熟練掌握用圓規(guī)畫圓的方法。

2.增加圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大小的內(nèi)容。

“圓，一中同長也”，這是《墨子》中對圓的定義。只要確定了“中”和“長”，

圓的位置與大小就確定下來了。解析幾何中圓的解析式（x-a）2+（廠8）2=/中也

很好地體現(xiàn)了這一點。圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大小這一事實，過去雖

然沒在教材中明確指出，但實際上學生已經(jīng)在自覺應(yīng)用了。例如，用圓規(guī)畫圓時，

不可避免地會遇到“針尖定在哪兒”“畫多大的圓”等問題，如果要畫半徑是3cm

的圓，針尖到紙邊緣的距離必須大于3cm,才能在紙上畫出一個完整的圓來。

在本冊教材中，接下來還要安排利用圓設(shè)計圖案的內(nèi)容，在設(shè)計圖案的過程，學

生會時時處處遇到“要畫一個多大的圓”“這個圓的圓心應(yīng)該在哪兒”等問題。

因此，教材增加這一部分內(nèi)容，能幫助學生在應(yīng)用知識的過程中更好地認識圓的

數(shù)學特征。

3.正文中降低圓的對稱性的篇幅，新增利用圓設(shè)計圖案的內(nèi)容。

由于在“軸對稱圖形”的相關(guān)內(nèi)容中，已經(jīng)對圓的對稱性有過比較充分的探

討，所以，本單元不再單獨編排圓的對稱性的例題，只在相關(guān)練習中加以鞏固。

在修訂過程中，新增了利用圓設(shè)計圖案的內(nèi)容。先讓學生模仿教材上提供的

步驟，畫出美麗的圖案，再放手讓學生試著畫出教材上提供的圖案。在這一過程

中，需要用到用圓規(guī)畫圓的方法，需要觀察這些圖案是由哪些圖形組成的，是如

何組成的。需要學生對圓心位置的確定、半徑大小的確定、圓的對稱性等知識加

以綜合應(yīng)用，一方面，幫助學生進一步了解圓的特征，另一方面，使學生充分體

會數(shù)學的對稱美、和諧美。

例如，下面左圖中大圓內(nèi)部的每個“水滴”是由三個半圓圍成的，其中兩個

半圓的直徑是大圓半徑的一半，還有一個半圓的直徑是大圓的半徑，除此之外,

還要關(guān)注這些半圓的圓心位置在哪里。右圖中，大圓的內(nèi)部有八個小圓，這些圓

的直徑都是大圓的半徑，依次排列在大圓的八等分線上，互相重疊，形成了美麗

的圖案。

教學時，還可以讓學生自由創(chuàng)作出更多的作品。此外，還可以借助這些圖

案，復習軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的知識。由于這一內(nèi)容的操作性、綜合

性、探究性都很強，也可以把它設(shè)計成一個“綜合與實踐”活動。

4.增加求圓與外切正方形、內(nèi)接正方形之間面積的內(nèi)容。

在“圓的面積”部分，增加了解決實際問題的內(nèi)容，即求圓與外切正方形、

內(nèi)接正方形之間的面積。要求學生利用圖形之間的關(guān)系，靈活計算這兩部分的面

積，并在“討論”環(huán)節(jié)進一步得出更為一般化的結(jié)論。

要計算正方形的面積，首先要求出正方形的邊長，這是比較常規(guī)的思路。例

如，求圓的外切正方形的面積時，觀察到正方形的邊長和圓的直徑相等，所以很

容易求出來。但在求圓的內(nèi)接正方形的邊長時卻遇到了困難，圓的直徑和正方形

的對角線相等，但沒有辦法直接求出正方形的邊長。此時，教材引導學生改變觀

察角度，把正方形分割成兩個三角形，這兩個三角形的底是圓的直徑，高是圓的

半徑，很容易求出其面積。在解決幾何問題時，經(jīng)常會有這種“山重水復疑無路，

柳暗花明又一村”的情形。有時，換一個角度看問題，會發(fā)現(xiàn)一個全新的世界。

經(jīng)歷這樣的問題解決過程，有助于提高學生多角度分析問題的意識和能力。

解決了圓半徑是1m的特殊問題后，教材在“回顧與反思”環(huán)節(jié)，進一步討

論半徑為r的情況，使學生發(fā)現(xiàn)，圓的外切正方形面積是4r，外切正方形與圓

之間的面積是0.86日內(nèi)接正方形的面積是2/,圓與內(nèi)接正方形之間的面積是

1.14/。這些結(jié)果中隱藏著很多有意思的數(shù)學事實，如：外切正方形的面積始終

是內(nèi)接正方形面積的2倍，外切正方形與內(nèi)接正方形之間的面積正好是2/,即和

內(nèi)接正方形面積相等，等等。

5.“扇形”由選學變?yōu)檎浇虒W內(nèi)容。

扇形的內(nèi)容是學習扇形統(tǒng)計圖的必要基礎(chǔ)，根據(jù)《標準（2011年版）》對

相關(guān)內(nèi)容的調(diào)整，此次修訂把這部分內(nèi)容由選學變?yōu)檎浇虒W內(nèi)容。

（二）具體編排

1.圓的認識

（1）圓的各部分名稱、圓的性質(zhì)。

教材首先呈現(xiàn)了自然界和社會生活中形形色色的“圓”，其中包括許多同心

圓。豐富的圓形圖案，使學生感受到圓很美，同時，感受到數(shù)學就在身邊，激發(fā)

起良好的學習情緒。

接下來，請學生想辦法在紙上畫一個圓，學生可以調(diào)動以前的經(jīng)驗，用茶杯

蓋、三角尺上的圓洞等圓形物體進行描摹，也可以用圓規(guī)畫圓。用實物畫圓也是

很有意義的動手實踐機會，但畫出的圓的大小是固定的，不能隨意變化。而用圓

規(guī)畫圓卻可以在兩腳叉開的范圍內(nèi)畫出任意大小的圓來。在畫圓環(huán)節(jié)出現(xiàn)用圓規(guī)

畫圓，也是尊重學情的一種體現(xiàn)。學生在課外應(yīng)該都嘗試過用圓規(guī)畫圓，但是如

何畫得標準，畫得輕松，還需教師進一步指導。

利用圓規(guī)畫圓，引出圓的各部分名稱。一方面，與前面的活動自然銜接；另

一方面，畫圓的過程非常切合“圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合”這

一幾何學的定義。通過這一過程引出圓心、半徑、直徑等概念，將動手操作、觀

察思考、概念引出融為一體，自然流暢。

對圓特征的認識，分四個層次編排：首先，讓學生將畫好的圓折一折、畫一

畫、量一量，發(fā)現(xiàn)沿著任意一條直徑對折，兩邊可以重合，說明了圓是軸對稱圖

形。第二，通過對折痕的觀察和想象，讓學生理解半徑和直徑都有無數(shù)條。第三，

通過測量與比較，讓學生認識到同一圓內(nèi)所有的半徑都相等，所有的直徑也都相

等，并且直徑的長度是半徑的2倍。第四，結(jié)合畫圓的經(jīng)驗，理解圓心可決定圓

的位置，半徑可決定圓的大小。

（2）利用圓設(shè)計圖案。

尺規(guī)作圖是一項有著悠久歷史、充滿魅力的數(shù)學技能。教材在認識圓之后，

安排了這樣一個實踐性內(nèi)容，既可以讓學生進一步熟練用圓規(guī)畫圓的技能，促進

學生對圓的特征的進一步認識，又能讓學生在用尺規(guī)畫出漂亮圖案的過程中提高

動手操作的能力，學會欣賞數(shù)學的美，培養(yǎng)熱愛數(shù)學學習的情感。

教材先以分解的步驟，展示了如何利用圓的特征，一步一步畫出四個花瓣式

的漂亮圖案。這中間，涉及到充分利用圓的對稱性，需要學生學會確定某個圓或

半圓的圓心和半徑，這也是圓心和半徑分別確定圓的位置與大小的最直接應(yīng)用。

此外，還需要學生添加一些輔助線。因此，這樣的活動體現(xiàn)了很強的綜合性。

之后，教材呈現(xiàn)了兩個更復雜的圖案，讓學生嘗試畫一畫，這需要學生綜合

運用觀察、思考、動手等多方面的技能。教材給出了一些輔助線加以提示，需要

學生對已經(jīng)成形的圖案進行“分解”，知道每一部分是怎么來的。用直尺畫出基

本的圖形后，再進行涂色，涂不同的顏色，也會形成不同的作品。

2.圓的周長

（1）圓的周長計算公式的推導。

圓的周長計算在實際生活中有廣泛的應(yīng)用，因此，教材從“要在圓桌和菜板

的邊緣箍上一圈鐵皮，求鐵皮的長度”這一學生熟悉的實際情境引入，幫助學生

理解圓的局長的概念。

學生已經(jīng)具備了測量一般圖形（物體）周長的技能，因此，面對“分別需要

多長的鐵皮”的問題，他們完全能想到解決的辦法：拿卷尺直接繞一圈量，或者

把圓形物體在直尺上滾一圈再量出長度，或者拿線在圓形物體上繞一圈，量出線

的長度。學生在解決實際問題的過程中感受了方法多樣性和“化曲為直”的轉(zhuǎn)化

思想。更重要的是，圓周長概念的內(nèi)涵，就在這樣的過程中得以清晰化、直觀化。

方法需要優(yōu)化，思維需要提升。教材在此基礎(chǔ)上提出“除了上面的方法，還

可以怎樣求圓的周長呢？”要求學生跳出繞、滾、圍等策略的測量方法，找到一

種更為一般化的方法。通過“圓的周長和圓的大小有關(guān)系，圓的大小取決于……”,

啟發(fā)學生將問題解決的方向放在從圓本身的特征去想辦法突破。

第63頁上方的表格，是引導學生通過測量幾組圓的直徑和周長，自主發(fā)現(xiàn)

周長和直徑的比值是一個固定值，從而引出圓周率的概念，并總結(jié)出圓的周長計

算公式。

在這個內(nèi)容中，教學的重點是讓學生利用實驗的手段，通過測量、計算、猜

測圓的周長和直徑的關(guān)系、驗證猜測等過程，理解并掌握圓的周長計算方法。

教材通過直接介紹的方式說明周長與直徑的比值是一個固定的數(shù)，叫做圓周

率，用字母“n”來表示。為了方便學生計算，教材規(guī)定“n”這個無限不循環(huán)

小數(shù)常常只取它的近似數(shù)，即兩位小數(shù)3.14。根據(jù)圓的周長和直徑的倍數(shù)關(guān)系，

可以得出求圓的周長的計算公式：C=nd或占2口八

（2）例1。

本例是一個與圓的周長計算有關(guān)的實際問題。通過學生經(jīng)?？吹交蚴褂玫淖?/p>

行車引出問題，能讓學生體會到數(shù)學知識的廣泛應(yīng)用。自行車的后輪半徑是33cm,

它滾一圈能走多遠，那就是求它的周長。這樣的問題，是“化曲為直”思想的應(yīng)

用一一用曲的車輪周長計量自行車前進的距離。第二個問題帶有更強的現(xiàn)實性,

“小明從家到學校1km,輪子大約轉(zhuǎn)了多少圈？”學生必須通過計算，才能解決

這個問題。得出的相關(guān)結(jié)果，也能加強學生的生活經(jīng)驗。

3.圓的面積

（1）圓的面積計算公式的推導。

教材首先通過計算圓形草坪占地面積的實際情境提出圓面積的概念，一方面

使學生在以前所學知識的基礎(chǔ)上理解“圓的面積就是它所占平面的大小”，另一

方面使學生體會在實際生活中計算圓面積的必要性。

學生以前所學的圖形都是多邊形（如三角形、長方形、正方形、平行四邊形、

梯形等），像圓這樣的曲線圖形的面積計算，學生還是第一次接觸到。把圓分割

成若干等份后拼成近似的長方形的方法，學生很難自主發(fā)現(xiàn)，因此，教材直接給

出明確的提示，讓學生把圓分成若干等份，拼一拼。接下來的過程，則主要交給

學生自主探索。

教材讓學生通過觀察，看到拼出的是近似的長方形（或平行四邊形），隨著

分的份數(shù)越來越多，拼出的圖形越來越接近于長方形，體會“無限逼近”的極限

思想。這個近似的長方形的的長和寬與圓的周長、半徑有著緊密的聯(lián)系。引導學

生通過觀察、對比，利用圓與長方形之間的關(guān)系，自行推導出圓的面積計算公式。

(2)例1。

本例是在學生推導出了圓面積計算公式以后，用此公式解決本節(jié)開頭的實際

問題。求的是鋪滿草皮需要多少錢，這一問題比“求草皮面積是多少”更有現(xiàn)實

意義、更自然。要求鋪滿草皮需要多少錢，首先要求圓形草皮的面積。

(3)例2。

本例是求圓環(huán)的面積，教材通過插圖幫助學生了解什么叫圓環(huán)，理解求圓環(huán)

的面積是用外圓面積減去內(nèi)圓面積。教材給出了兩種算法：3.14X62—3.14X22

和3.14X(62-22)o教材也有意引導學生根據(jù)乘法分配律，采用相對簡便的算

法，這樣，可以大大減少計算的繁雜程度，減少計算出錯的可能性。

(4)例3o

本例通過讓學生解決圓的內(nèi)接正方形、外切正方形與圓之間部分的面積這一

實際問題，經(jīng)歷問題解決的全過程，并在解決具體問題的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)更為一般的

數(shù)學規(guī)律，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

例題以中國古建筑中“外方內(nèi)圓”和“外圓內(nèi)方”兩種經(jīng)典設(shè)計為情境，直

觀清晰地提出了需要解決的數(shù)學問題一一求正方形與圓之間的那部分面積。兩個

圖中的圓大小相同，但正方形位置與大小都不同。很自然地引出一個問題：中間

部分的面積與圓的面積有沒有關(guān)系？有什么樣的關(guān)系？例3是給出一個特殊的

圓半徑，先解決特殊問題，在“反思”部分再討論一般性的規(guī)律。

“分析與解答”引導學生根據(jù)圖示尋找正方形與圓之間的關(guān)系。第一個圖，

很容易看出正方形的邊長就是圓