清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)課件第7講定積分二

匯報(bào)人：AA2024-01-24清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)課件第7講定積分二引言定積分的計(jì)算定積分的應(yīng)用廣義積分定積分的近似計(jì)算課程總結(jié)與回顧01引言本講內(nèi)容概述010203定積分在幾何、物理等方面的應(yīng)用定積分的性質(zhì)及其證明定積分的計(jì)算方法和技巧定積分的概念與性質(zhì)回顧01定積分的定義及幾何意義02定積分的性質(zhì)，包括線性性、可加性、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式等定積分與不定積分的關(guān)系，以及微積分基本定理的應(yīng)用0302定積分的計(jì)算公式表述若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則∫f(x)dx=F(b)-F(a)。應(yīng)用舉例通過(guò)求解原函數(shù)，利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算定積分。定義與性質(zhì)牛頓-萊布尼茨公式是計(jì)算定積分的基本方法，它將定積分轉(zhuǎn)化為原函數(shù)在積分區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值之差。牛頓-萊布尼茨公式換元積分法是一種通過(guò)變量代換簡(jiǎn)化定積分計(jì)算的方法。定義與性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，若存在可導(dǎo)函數(shù)g(t)，使得x=g(t)，且g(α)=a，g(β)=b，則∫f(x)dx=∫f[g(t)]g'(t)dt。公式表述通過(guò)選擇合適的變量代換，將復(fù)雜的定積分轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的形式進(jìn)行計(jì)算。應(yīng)用舉例換元積分法定義與性質(zhì)分部積分法是一種將兩個(gè)函數(shù)的乘積的定積分轉(zhuǎn)化為單個(gè)函數(shù)的定積分的方法。公式表述設(shè)函數(shù)u=u(x)，v=v(x)在[a,b]上連續(xù)，且u'，v'在[a,b]上可積，則∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|ab-∫u'(x)v(x)dx。應(yīng)用舉例通過(guò)選擇合適的u和v，將復(fù)雜的定積分轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的形式進(jìn)行計(jì)算。分部積分法03020103定積分的應(yīng)用規(guī)則圖形面積通過(guò)定積分可以方便地計(jì)算矩形、三角形、梯形等規(guī)則圖形的面積。不規(guī)則圖形面積對(duì)于不規(guī)則圖形，可以通過(guò)將其劃分為若干個(gè)小規(guī)則圖形，然后利用定積分分別計(jì)算每個(gè)小圖形的面積，最后求和得到總面積。曲線圍成的面積對(duì)于由曲線圍成的圖形，可以通過(guò)定積分計(jì)算曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積。面積的計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積通過(guò)定積分可以計(jì)算由平面圖形繞某一直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。液體靜壓力定積分還可以用于計(jì)算液體對(duì)容器底部的靜壓力。截面面積已知的立體體積對(duì)于截面面積已知的立體，可以通過(guò)定積分計(jì)算其體積。體積的計(jì)算平面曲線弧長(zhǎng)通過(guò)定積分可以計(jì)算平面曲線的弧長(zhǎng)，需要知道曲線的參數(shù)方程或普通方程。空間曲線弧長(zhǎng)對(duì)于空間曲線，同樣可以利用定積分計(jì)算其弧長(zhǎng)，需要知道曲線的參數(shù)方程或普通方程。曲率半徑與弧長(zhǎng)關(guān)系曲率半徑與弧長(zhǎng)之間存在一定的關(guān)系，可以通過(guò)定積分求解相關(guān)問(wèn)題?；￠L(zhǎng)的計(jì)算04廣義積分要點(diǎn)三定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,+infty)$上連續(xù)，取$A>a$，若極限$lim_{Ato+infty}int_{a}^{A}f(x)dx$存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,+infty)$上的無(wú)窮限廣義積分，記作$int_{a}^{+infty}f(x)dx$。要點(diǎn)一要點(diǎn)二性質(zhì)無(wú)窮限廣義積分具有線性性、可加性和保號(hào)性。計(jì)算方法通過(guò)換元法或分部積分法將無(wú)窮限廣義積分轉(zhuǎn)化為定積分進(jìn)行計(jì)算。要點(diǎn)三無(wú)窮限廣義積分定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b]$上除點(diǎn)$cin(a,b]$外連續(xù)，且在點(diǎn)$c$的任一鄰域內(nèi)無(wú)界。若對(duì)任意的$epsilon>0$，存在$delta>0$，當(dāng)$0<|x-c|<delta$時(shí)，有$|f(x)|>frac{1}{epsilon}$，則稱(chēng)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$c$處無(wú)界。若極限$lim_{epsilonto0^+}int_{a}^|f(x)|dx$存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b]$上的無(wú)界函數(shù)廣義積分，記作$int_{a}^f(x)dx$。性質(zhì)無(wú)界函數(shù)廣義積分具有線性性、可加性和保號(hào)性。計(jì)算方法通過(guò)分段函數(shù)或取絕對(duì)值等方法將無(wú)界函數(shù)廣義積分轉(zhuǎn)化為定積分進(jìn)行計(jì)算。無(wú)界函數(shù)廣義積分廣義積分具有線性性、可加性、保號(hào)性、絕對(duì)可積性和比較性質(zhì)等。性質(zhì)對(duì)于不同類(lèi)型的廣義積分，可以采用不同的計(jì)算方法。例如，對(duì)于無(wú)窮限廣義積分和無(wú)界函數(shù)廣義積分，可以采用換元法、分部積分法、分段函數(shù)法和取絕對(duì)值等方法進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，也可以利用廣義積分的性質(zhì)和定理進(jìn)行簡(jiǎn)化和計(jì)算。計(jì)算方法廣義積分的性質(zhì)與計(jì)算05定積分的近似計(jì)算優(yōu)點(diǎn)計(jì)算簡(jiǎn)單，易于理解。缺點(diǎn)精度較低，尤其當(dāng)函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)波動(dòng)較大時(shí)，誤差較大。定義將積分區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間上的函數(shù)值用矩形的高來(lái)近似表示，再求和得到定積分的近似值。矩形法梯形法當(dāng)函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)存在劇烈波動(dòng)或拐點(diǎn)時(shí)，誤差可能較大。缺點(diǎn)將積分區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間上的函數(shù)值用梯形的面積來(lái)近似表示，再求和得到定積分的近似值。定義相對(duì)于矩形法，精度有所提高，尤其當(dāng)函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)變化較為平緩時(shí)，效果較好。優(yōu)點(diǎn)定義01將積分區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間上的函數(shù)值用辛普森公式（一種二次插值多項(xiàng)式）來(lái)近似表示，再求和得到定積分的近似值。優(yōu)點(diǎn)02相對(duì)于矩形法和梯形法，精度更高，尤其當(dāng)函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)較為光滑時(shí)，效果非常好。缺點(diǎn)03計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，需要計(jì)算更多的函數(shù)值；當(dāng)函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)存在劇烈波動(dòng)或拐點(diǎn)時(shí)，誤差可能較大。辛普森法06課程總結(jié)與回顧定積分的定義與性質(zhì)詳細(xì)解釋了定積分的概念，包括其幾何意義和物理意義，以及定積分的基本性質(zhì)，如可加性、保號(hào)性等。微積分基本定理介紹了微積分基本定理，該定理揭示了微分與積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，為定積分的計(jì)算提供了有效的方法。定積分的計(jì)算講解了定積分的計(jì)算方法，包括換元法、分部積分法等，并通過(guò)舉例說(shuō)明了這些方法的應(yīng)用。本講重點(diǎn)總結(jié)誤區(qū)一認(rèn)為定積分就是求面積。實(shí)際上，定積分的幾何意義是求曲邊梯形的面積，但定積分的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此，它還可以用來(lái)求解一些物理問(wèn)題，如求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力做功等。誤區(qū)二忽視定積分的存在性。在計(jì)算定積分時(shí)，需要注意被積函數(shù)在積分區(qū)間上是否可積，否則計(jì)算結(jié)果可能無(wú)意義。疑難解答對(duì)于一些復(fù)雜的被積函數(shù)，可能需要綜合運(yùn)用多種計(jì)算方法才能求出其定積分。此時(shí)，可以嘗試將被積函數(shù)進(jìn)行分解或變換，以便更好地應(yīng)用已知的積分公式和法則。常見(jiàn)誤區(qū)與疑難解答課后習(xí)題與討論計(jì)算定積分∫[0,π]sin(x)dx。該題旨在鞏固學(xué)生對(duì)定積分計(jì)算方法的掌握程度，通過(guò)換元法或分部積分法均可求解。習(xí)題二討論定積