清華大學微積分高等數學課件第7講定積分二

匯報人：AA2024-01-24清華大學微積分高等數學課件第7講定積分二引言定積分的計算定積分的應用廣義積分定積分的近似計算課程總結與回顧01引言本講內容概述010203定積分在幾何、物理等方面的應用定積分的性質及其證明定積分的計算方法和技巧定積分的概念與性質回顧01定積分的定義及幾何意義02定積分的性質，包括線性性、可加性、保號性、絕對值不等式等定積分與不定積分的關系，以及微積分基本定理的應用0302定積分的計算公式表述若函數f(x)在[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個原函數，則∫f(x)dx=F(b)-F(a)。應用舉例通過求解原函數，利用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分。定義與性質牛頓-萊布尼茨公式是計算定積分的基本方法，它將定積分轉化為原函數在積分區(qū)間端點處的函數值之差。牛頓-萊布尼茨公式換元積分法是一種通過變量代換簡化定積分計算的方法。定義與性質設函數f(x)在[a,b]上連續(xù)，若存在可導函數g(t)，使得x=g(t)，且g(α)=a，g(β)=b，則∫f(x)dx=∫f[g(t)]g'(t)dt。公式表述通過選擇合適的變量代換，將復雜的定積分轉化為簡單的形式進行計算。應用舉例換元積分法定義與性質分部積分法是一種將兩個函數的乘積的定積分轉化為單個函數的定積分的方法。公式表述設函數u=u(x)，v=v(x)在[a,b]上連續(xù)，且u'，v'在[a,b]上可積，則∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|ab-∫u'(x)v(x)dx。應用舉例通過選擇合適的u和v，將復雜的定積分轉化為簡單的形式進行計算。分部積分法03020103定積分的應用規(guī)則圖形面積通過定積分可以方便地計算矩形、三角形、梯形等規(guī)則圖形的面積。不規(guī)則圖形面積對于不規(guī)則圖形，可以通過將其劃分為若干個小規(guī)則圖形，然后利用定積分分別計算每個小圖形的面積，最后求和得到總面積。曲線圍成的面積對于由曲線圍成的圖形，可以通過定積分計算曲線與坐標軸圍成的面積。面積的計算旋轉體體積通過定積分可以計算由平面圖形繞某一直線旋轉一周所形成的旋轉體的體積。液體靜壓力定積分還可以用于計算液體對容器底部的靜壓力。截面面積已知的立體體積對于截面面積已知的立體，可以通過定積分計算其體積。體積的計算平面曲線弧長通過定積分可以計算平面曲線的弧長，需要知道曲線的參數方程或普通方程?？臻g曲線弧長對于空間曲線，同樣可以利用定積分計算其弧長，需要知道曲線的參數方程或普通方程。曲率半徑與弧長關系曲率半徑與弧長之間存在一定的關系，可以通過定積分求解相關問題?；￠L的計算04廣義積分要點三定義設函數$f(x)$在區(qū)間$[a,+infty)$上連續(xù)，取$A>a$，若極限$lim_{Ato+infty}int_{a}^{A}f(x)dx$存在，則稱此極限為函數$f(x)$在區(qū)間$[a,+infty)$上的無窮限廣義積分，記作$int_{a}^{+infty}f(x)dx$。要點一要點二性質無窮限廣義積分具有線性性、可加性和保號性。計算方法通過換元法或分部積分法將無窮限廣義積分轉化為定積分進行計算。要點三無窮限廣義積分定義設函數$f(x)$在區(qū)間$(a,b]$上除點$cin(a,b]$外連續(xù)，且在點$c$的任一鄰域內無界。若對任意的$epsilon>0$，存在$delta>0$，當$0<|x-c|<delta$時，有$|f(x)|>frac{1}{epsilon}$，則稱函數$f(x)$在點$c$處無界。若極限$lim_{epsilonto0^+}int_{a}^|f(x)|dx$存在，則稱此極限為函數$f(x)$在區(qū)間$(a,b]$上的無界函數廣義積分，記作$int_{a}^f(x)dx$。性質無界函數廣義積分具有線性性、可加性和保號性。計算方法通過分段函數或取絕對值等方法將無界函數廣義積分轉化為定積分進行計算。無界函數廣義積分廣義積分具有線性性、可加性、保號性、絕對可積性和比較性質等。性質對于不同類型的廣義積分，可以采用不同的計算方法。例如，對于無窮限廣義積分和無界函數廣義積分，可以采用換元法、分部積分法、分段函數法和取絕對值等方法進行計算。同時，也可以利用廣義積分的性質和定理進行簡化和計算。計算方法廣義積分的性質與計算05定積分的近似計算優(yōu)點計算簡單，易于理解。缺點精度較低，尤其當函數在積分區(qū)間內波動較大時，誤差較大。定義將積分區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間，每個小區(qū)間上的函數值用矩形的高來近似表示，再求和得到定積分的近似值。矩形法梯形法當函數在積分區(qū)間內存在劇烈波動或拐點時，誤差可能較大。缺點將積分區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間，每個小區(qū)間上的函數值用梯形的面積來近似表示，再求和得到定積分的近似值。定義相對于矩形法，精度有所提高，尤其當函數在積分區(qū)間內變化較為平緩時，效果較好。優(yōu)點定義01將積分區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間，每個小區(qū)間上的函數值用辛普森公式（一種二次插值多項式）來近似表示，再求和得到定積分的近似值。優(yōu)點02相對于矩形法和梯形法，精度更高，尤其當函數在積分區(qū)間內較為光滑時，效果非常好。缺點03計算相對復雜，需要計算更多的函數值；當函數在積分區(qū)間內存在劇烈波動或拐點時，誤差可能較大。辛普森法06課程總結與回顧定積分的定義與性質詳細解釋了定積分的概念，包括其幾何意義和物理意義，以及定積分的基本性質，如可加性、保號性等。微積分基本定理介紹了微積分基本定理，該定理揭示了微分與積分之間的內在聯系，為定積分的計算提供了有效的方法。定積分的計算講解了定積分的計算方法，包括換元法、分部積分法等，并通過舉例說明了這些方法的應用。本講重點總結誤區(qū)一認為定積分就是求面積。實際上，定積分的幾何意義是求曲邊梯形的面積，但定積分的應用遠不止于此，它還可以用來求解一些物理問題，如求變速直線運動的路程、變力做功等。誤區(qū)二忽視定積分的存在性。在計算定積分時，需要注意被積函數在積分區(qū)間上是否可積，否則計算結果可能無意義。疑難解答對于一些復雜的被積函數，可能需要綜合運用多種計算方法才能求出其定積分。此時，可以嘗試將被積函數進行分解或變換，以便更好地應用已知的積分公式和法則。常見誤區(qū)與疑難解答課后習題與討論計算定積分∫[0,π]sin(x)dx。該題旨在鞏固學生對定積分計算方法的掌握程度，通過換元法或分部積分法均可求解。習題二討論定積