坐標(biāo)系與參數(shù)方程講義-2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含答案）

坐標(biāo)系與參數(shù)方程

第一節(jié)坐標(biāo)系

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換

[x'=3x(2>0),

設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換9：,八的作用下,

ly=〃心>0)

點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P'(x'，y'),稱9為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變

換.

2.極坐標(biāo)系的概念

(1)極坐標(biāo)系

如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)0,叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)。引一條射線

Ox,叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正

方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.八上直二~>

(2)極坐標(biāo)

①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)。與點(diǎn)M的距離IOM]叫做點(diǎn)M的極徑，記為

②極角：以極軸Ox為始邊，射線0M為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為0.

③極坐標(biāo)：有序數(shù)對(duì)(p，6)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(p，分

一般不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為p20,。可取任意實(shí)數(shù).

3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x,y),

極坐標(biāo)是S，①，則它們之間的關(guān)系為：

[x="cos仇—=r+/

[)=psin0；tan9=」(RW0).

【x

4.簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

曲線極坐標(biāo)方程

圓心為極點(diǎn)，半徑為/?的圓〃=r（0W*2兀）

p=2rcos《一9夕這9

圓心為您0),半徑為r的圓?

圓心為(r,9，半徑為r的圓

p=2rsin兀）

過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為a的直線e=a（pGR）或。=兀+。（/>￡R）

（兀八兀、

過(guò)點(diǎn)3,0）,與極軸垂直的直線/9COS9=4一公慶引

過(guò)點(diǎn)（a,習(xí)，與極軸平行的直線

psinO=a(O<0<n)

考點(diǎn)一平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換

丫2\xr=3x,

［典例］求雙曲線CX2—尢=1經(jīng)過(guò)仍,變換后所得曲線U的焦點(diǎn)坐標(biāo).

。斗［2y=y

［解題技法］伸縮變換后方程的求法

平面上的曲線尸?在變換"!［xf斗=Ax”（A>0））,的作用下的變換方程的求法是將

代入y=/U），得?=#T），整理之后得到y(tǒng)'=/7（x'），即為所求變換之后

的方程.

［提醒］應(yīng)用伸縮變換時(shí)，要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）與變換后的坐標(biāo)（x'，y'）.

［題組訓(xùn)練］

x'=2jc,

1.若函數(shù)y=/(x)的圖象在伸縮變換仍<的作用下得到曲線的方程為y'=

=3y

3siG+意，求函數(shù)y=?的最小正周期.

1

2.將圓d+V=l變換為橢圓管+的=［x

的一個(gè)伸縮變換公式勿：J（九">0）,

3="，

求2,"的值.

考點(diǎn)二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

［典例］在極坐標(biāo)系中，直線/的方程為psin6-0)=2,曲線C的方程為p=4cos仇

求直線/被曲線C截得的弦長(zhǎng).

［解題技法］

1.極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法

(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程:將公式x=pcos3及y=psin0直接代入直角坐標(biāo)方程

并化簡(jiǎn)即可.

(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過(guò)變形，構(gòu)造出形如0cos仇psin0,p2的形式，

再應(yīng)用公式進(jìn)行代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以加及方程兩邊平方是常用的變形技

巧.

2.極角的確定

由tan。確定角。時(shí)，應(yīng)根據(jù)點(diǎn)P所在象限取最小正角.

(1)當(dāng)時(shí)，。角才能由tan按上述方法確定.

(2)當(dāng)x=0時(shí)，tan9沒(méi)有意義，這時(shí)可分三種情況處理：

當(dāng)x=0,y=0時(shí)，9可取任何值；當(dāng)x=0,)，>0時(shí)，可取當(dāng)x=0,尸0時(shí)，可

取6=筆

［題組訓(xùn)練］

1.(鄭州質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系下，已知圓。：p=cos(9+sin3和直線/：

(P^O,O^6?<2K).

(1)求圓O和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)當(dāng)82(0,兀)時(shí)，求直線/與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).

2.已知圓。和圓。2的極坐標(biāo)方程分別為0=2,p2-2收35(。一；)=2.

⑴求圓01和圓的直角坐標(biāo)方程；

(2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程.

考點(diǎn)三曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

［典例］(全國(guó)卷U)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立

極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為0cos6=4.

(1)M為曲線G上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段0M上，且滿足QMI0P|=16,求點(diǎn)尸的軌跡

C2的直角坐標(biāo)方程；

［解題技法］

1.求簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程的方法

(1)設(shè)點(diǎn)M(p，。)為曲線上任意一點(diǎn)，由已知條件，構(gòu)造出三角形，利用三角函數(shù)及正、

余弦定理求解QM與0的關(guān)系.

(2)先求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式，把直角坐標(biāo)方

程化為極坐標(biāo)方程.

2.利用極坐標(biāo)系解決問(wèn)題的技巧

(1)用極坐標(biāo)系解決問(wèn)題時(shí)要注意題目中的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過(guò)極坐標(biāo)

表示時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題加以解決.

(2)已知極坐標(biāo)方程解答最值問(wèn)題時(shí)，通?？赊D(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型求最值問(wèn)題，其比直

角坐標(biāo)系中求最值的運(yùn)算量小.

［提醒］在曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.

［題組訓(xùn)練］

fx=COS(p,

1.(青島質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為,(其中9為參

ly=1+sm(p

數(shù)).以。為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/的極坐標(biāo)方程是必也卜+2=2,射線0例：6=襲與圓C的交點(diǎn)為P,與直線

9

2.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2=一$2：；9sin28'以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。，

極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)4,8為曲線C上兩點(diǎn)，若O4_LOB,求薪p+而異的值.

［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］

1.在極坐標(biāo)系中，求直線pcos(6+*)=l與圓/>=4sin0的交點(diǎn)的極坐標(biāo).

2.在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(、E，今)，圓心為直線psin(6—1)=一坐與極軸

的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程.

3.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x一小)2+。+1)2=9,以。為極點(diǎn)，x軸的非

負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；

JT

(2)直線0尸：9=4^6R)與圓C交于點(diǎn)M,N,求線段的長(zhǎng).

4.在直角坐標(biāo)系xOy中，以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極

坐標(biāo)方程為0cos(。一5)=1,M,N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn).

(1)求C的直角坐標(biāo)方程，并求例，N的極坐標(biāo)；

(2)設(shè)的中點(diǎn)為P,求直線0P的極坐標(biāo)方程.

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的方程為(無(wú)一小)2+。-2)2=4,直線C2的方程

為y丹x,以。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線G和直線C2的極坐標(biāo)方程；

(2)若直線C2與曲線G交于尸，Q兩點(diǎn)，求IOPHOQI的值.

6.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為。-3)2+。-4>=25.以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，

x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

-TTJT

(2)設(shè)/1：。=石,/2：0=y若人,，2與曲線。分別交于異于原點(diǎn)的A,B兩點(diǎn)、,求△A03

的面積.

x=rcosa,

7.在直角坐標(biāo)系無(wú)Oy中，曲線G：。為參數(shù)，ZW0),其中兀在以

y=ts\na

。為極點(diǎn)，4軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線。2：p=2sin0,C3：〃=25cos。.

(1)求。2與。3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

(2)若C］與。2相交于點(diǎn)A，G與。3相交于點(diǎn)所求|A8|的最大值.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的普通方程為*+V+2x—4=0,曲線C2的方程為

y2=x,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線弓，C2的極坐標(biāo)方程；

(2)求曲線G與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)，其中pN0,0W依⑵t.

第二節(jié)參數(shù)方程

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.曲線的參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)X,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)

,并且對(duì)于f的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，

b=g(。，

那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)X,y的變數(shù)f叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參

數(shù).

相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程F(x,y)=0叫做普通方程.

2.參數(shù)方程和普通方程的互化

(1)參數(shù)方程化普通方程：利用兩個(gè)方程相加、減、乘、除或者代入法消去參數(shù).

(2)普通方程化參數(shù)方程：如果x=/W，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的

x=a，

關(guān)系y=g(f),則得曲線的參數(shù)方程

?=g⑺.

3.直線、圓、橢圓的參數(shù)方程

fx=x(j+fcosa,

(1)過(guò)點(diǎn)M5),泗)，傾斜角為a的直線/的參數(shù)方程為,。為參數(shù)).

[y=yo+/sina

直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用

|x=xo+fcosa,

過(guò)點(diǎn)Mo(xo,阿，傾斜角為a的直線/的參數(shù)方程是,若斯，此是/上

[y=yo+zsina.

的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為“，匕，則

①幽此|=|九一及|.

②若線段的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t,則f="要，中點(diǎn)M到定點(diǎn)M)的距離IMMol

③若Mo為線段MiM2的中點(diǎn)，則ti+t2=O.

x=xo+rcos仇

(2)圓心在點(diǎn)Mo(次，yo),半徑為，的圓的參數(shù)方程為,.八(。為參數(shù)).

,y=yo十Gin8

x=acos(p,

⑶橢圓l（a>b>0）的參數(shù)方程為（夕為參數(shù)）.

y=bs\n(p

考點(diǎn)一參數(shù)方程與普通方程的互化

［x=a—2t,

［典例］已知直線/的參數(shù)方程為（f為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為

口=一布

卜=4cos0,

lj，=4sin0（。為參數(shù)）.

（1）求直線/和圓C的普通方程；

（2）若直線/與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

［解題技法］將參數(shù)方程化為普通方程的方法

將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?常見

的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常

利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參（如sin20+cos20=l等）.

［提醒］將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，防止增解.

［題組訓(xùn)練］

1.將下列參數(shù)方程化為普通方程.

,-,

x=1(e+e)I

。為參數(shù)).

{產(chǎn)聲‘一5')

x=2tar)2仇

(2)]（。為參數(shù)）.

ly=2tan6

2.如圖，以過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜角。為參數(shù)，求圓x=0的參

數(shù)方程.

考點(diǎn)二參數(shù)方程的應(yīng)用

［典例］己知過(guò)點(diǎn)P(〃7,0)的直線I的參數(shù)方程是。為參數(shù))，以平面直

角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2=

2cos0.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/和曲線C交于A,B兩點(diǎn),且照卜|尸身=2,求實(shí)數(shù)〃?的值.

［解題技法］

1.應(yīng)用直線參數(shù)方程的注意點(diǎn)

在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時(shí)，要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正、

余弦值，否則參數(shù)不具備該幾何含義.

2.圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用

有關(guān)圓或圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)距離的最大值、最小值以及取值范圍的問(wèn)題，通常利用它們

的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解，掌握參數(shù)方程與普通方程互化的規(guī)律是

解此類題的關(guān)鍵.

[題組訓(xùn)練]

X=A/3COSa,

(a為參數(shù))，以原

{y=sina

點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為外皿9+￡)=啦.

(1)求曲線G的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)尸為曲線Ci上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2的距離的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

[x=2cosa

2.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為八(0為參數(shù))，直線/的參

[y=4sin0

[x=1+rcosa,

數(shù)方程為一.。為參數(shù)).

[y=2十fsma

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C截直線/所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求/的斜率.

考點(diǎn)三極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用

(x=-5+啦cost,

［典例］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為［—3+巾:.tQ為參數(shù))，

在以原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為坐

pcos(e+今)=-1.

(1)求圓C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與x軸，y軸分別交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是圓C上任一點(diǎn)，求A,8兩點(diǎn)的

極坐標(biāo)和△出B面積的最小值.

［解題技法］極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問(wèn)題的解題策略

(1)求交點(diǎn)坐標(biāo)、距離、線段長(zhǎng).可先求出直角坐標(biāo)系方程，然后求解.

(2)判斷位置關(guān)系.先轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程，然后再作出判斷.

(3)求參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程綜合問(wèn)題.一般是先將方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直角

坐標(biāo)方程來(lái)研究問(wèn)題.

［題組訓(xùn)練］

1.在直角坐標(biāo)系X。)，中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,

3

曲線Ci：p2-4pcos0+3=0,。《［0,2何，曲線C2：p=-~r,6e［0,2何.

4sin《T)

(1)求曲線Ci的一個(gè)參數(shù)方程；

⑵若曲線Cl和曲線C2相交于A,B兩點(diǎn)，求|AB|的值.

x=2+rcos(p,

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為

,y=yf3+tsin夕

G0,

f為參數(shù)，(P[,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知

圓C的圓心C的極坐標(biāo)為(2,3，半徑為2,直線/與圓C交于M,N兩點(diǎn).

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;

(2)當(dāng)3變化時(shí)，求弦長(zhǎng)|MN|的取值范圍.

［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］

|x=/cosa,x=4+2cos0,

1.若直線'b=rsina。為參數(shù)）與圓，（。為參數(shù)）相切，求直線的傾斜

[y=2sin0

角a.

x——8+1,

2.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知直線/的參數(shù)方程為，”為參數(shù)），曲

y=2

線C的參數(shù)方程為彳廠（S為參數(shù)），設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)尸到直線/的距離

[y=2y/2s

的最小值.

[x=cos

3.已知尸為半圓C、（。為參數(shù)，OWOWR上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,O

[y=sm0

為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線。尸上，線段OM與C的弧AP的長(zhǎng)度均為全

（1）以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；

（2）求直線AM的參數(shù)方程.

4.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的直角

坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(3,習(xí)，若直線/過(guò)點(diǎn)尸，且傾斜角為全圓C以點(diǎn)C為圓心,

3為半徑.

(1)求直線/的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求解HP磯

?x=:2cost,

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為,Q為參數(shù))，以坐標(biāo)

ly=2sint+2

原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)若直線，2的極坐標(biāo)方程分別為仇=*piGR)，ft=y(P2eR),設(shè)直線/i，七與曲

線C的交點(diǎn)分別為。，M和。，N,求△。例N的面積.

[x=COSaL

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。O的參數(shù)方程為(。為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0,一也)

ly=sin0

且傾斜角為a的直線/與(DO交于A,B兩點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.

\x—t,

7.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為,(r為參數(shù)，〃?WR),以原點(diǎn)。

3

1

為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p、；2

3—2cos'd

(OWOWR

(1)寫出曲線C,的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)P是曲線C2上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到曲線Cl的最小距離為2啦，求機(jī)的值.

8.已知直線/的參數(shù)方程為I[)x-=l+rcos仇"為參數(shù))，曲線C

的參數(shù)方程為

x=yl3cosa,

(。為參數(shù))，且直線/交曲線C于A,B兩點(diǎn).

y=sina

(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，并求。=乳寸，IABI的值；

(2)已知點(diǎn)尸(1,0),求當(dāng)直線I的傾斜角0變化時(shí)，|以卜|尸引的取值范圍.

選修4-5不等式選講

第一節(jié)絕對(duì)值不等式

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.絕對(duì)值三角不等式

定理1：如果人是實(shí)數(shù)，則|a+Z?|W|a|+|臼，當(dāng)且僅當(dāng)必-0時(shí)，等號(hào)成立.

定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù),那么|。一c|W|a一目+步一c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a—6)(6—c)20時(shí)，

等號(hào)成立.I

同一團(tuán)W|a一目W|a|十|b|,當(dāng)且僅當(dāng)⑷冽例且外》。時(shí)，左邊等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)abWO時(shí),

右邊等號(hào)成立.

2.絕對(duì)值不等式的解法

(l)|x|<?與|x|>a型不等式的解法

不等式a>0a=0a<0

w<?{x\—a<x<a]00

\x\>a{x\x>a或x<-a]{x|xGR且xWO}R

⑵欣+瓦Wc(c>0)和|ax+例》c(c>0)型不等式的解法：

①|(zhì)亦+臼WcQ—cWax+bWc；

②|ax+b］》cQar+62c或ax+6W—c.

\x-a\+\x-b\^c和|x—a|+|x一例Wc型不等式的解法及體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想

①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想：

②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；

③通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法

［典例］(2016?全國(guó)卷I)已知函數(shù)兀v)=|x+1|一|"一3|.

(1)畫出)，=式此的圖象；

(2)求不等式的解集.

［題組訓(xùn)練］

1.解不等式|x+l|+|x—1|W2.

2.已知函數(shù)/(x)=|x—a|+3x,其中QGR.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求不等式段)23x+|2x+l|的解集；

(2)若不等式/(x)W0的解集為{x|xW-l},求“的值.

考點(diǎn)二絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用

［典例］(2019?湖北五校聯(lián)考)已知函數(shù)於)=|2x-l|,xeR.

⑴解不等式

(2)若對(duì)x,R,有僅一廠“W，|2y+l|W/，求證：於)<1.

［解題技法］絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用

利用不等式|。+臼W|a|+⑸(a,6CR)和口一b|W|a—c|+|c—臼(a,Z?￡R),通過(guò)確定適當(dāng)?shù)?/p>

a,b,利用整體思想或使函數(shù)、不等式中不含變量，可以求最值或證明不等式.

［題組訓(xùn)練］

1.求函數(shù)￡x)=|x+2019|-|x-2018|的最大值.

2.若xG[—L1]，夙4,|z|w/,求證：|x+2y—3z|W?.

考點(diǎn)三絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用

［典例］已知函數(shù)Xx)=|2x—1］.

(1)解關(guān)于x的不等式/U)—/(x+l)Wl；

(2)若關(guān)于x的不等式兀v)〈根一人》+1)的解集不是空集，求〃?的取值范圍.

［解題技法］兩招解不等式問(wèn)題中的含參問(wèn)題

⑴轉(zhuǎn)化

①把存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題；

②不等式的解集為R是指不等式的恒成立問(wèn)題；

③不等式的解集為。的對(duì)立面也是不等式的恒成立問(wèn)題，此類問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,

即恒成立=a>/(x)max，fix)>a恒成立

(2)求最值

求含絕對(duì)值的函數(shù)最值時(shí)，常用的方法有三種：

①利用絕對(duì)值的幾何意義；

②利用絕對(duì)值三角不等式,即同+1例冽。土臼冽同一I例I:

③利用零點(diǎn)分區(qū)間法.

［題組訓(xùn)練］

1.(2018?全國(guó)卷U)設(shè)函數(shù)負(fù)x)=5一|x+a|一|x一2|.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式火x)20的解集；

(2)若兀v)Wl,求a的取值范圍.

2.(已知函數(shù)火x)=k+闌+|2x—l|("?eR),若關(guān)于x的不等式y(tǒng)(x)W|2x+l|的解集為A,

「31

且不2UA,求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］

1.求不等式|2xT|+|2x+l|W6的解集.

2.已知函數(shù)y(x)=|x-4|+伏一冰46R)的最小值為a.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)解不等式外)W5.

3.已知y(x)=|x+“一政一

(1)當(dāng)“=1時(shí)，求不等式迷X)>1的解集；

(2)若xd(O,l)時(shí)不等式兀r)>x成立，求a的取值范圍.

4.設(shè)函數(shù)y(x)=|3x-l|+av+3.

⑴若a=l,解不等式火x)W4；

(2)若7U)有最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5.(2019?貴陽(yáng)適應(yīng)性考試)已知函數(shù),/(x)=|x—2|一|x+l|.

(1)解不等式式尤)>一彳；

(2)若關(guān)于x的不等式y(tǒng)U)W/—2“的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

6.已知函數(shù)y(x)=|x—a|+|x+l|.

(1)若a=2,求不等式4x)>x+2的解集；

(2)如果關(guān)于x的不等式兀v)<2的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7.已知函數(shù)?r)=|2x-a|+a.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式_/(x)W6的解集；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-l|.當(dāng)xeR時(shí)，段)+g(x)23,求a的取值范圍.

8.設(shè)函數(shù)y(x)=|x-1|,XGR.

(1)求不等式式X)W3—/(X—1)的解集；

(2)已知關(guān)于x的不等式人用段/5+1)一|*一。|的解集為“，若(1,求實(shí)數(shù)a的取值

第二節(jié)不等式的證明

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.基本不等式

(1)定理1：如果a,方GR,那么層+/22時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)〃=人時(shí)，等號(hào)成立.

(2)定理2：如果a,b>0,那么審》疑,當(dāng)且僅當(dāng)。=%時(shí)，等號(hào)成立，即兩個(gè)正數(shù)

的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均.

(3)定理3：如果a,b,ceR+,那么"+:士工2%abc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.

2.比較法

(1)作差法的依據(jù)是：a-b>O^a>b.

A

(2)作商法：若B>0,欲證只需證力21.

3.綜合法與分析法

(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列

的推理、論證而得出命題成立.

(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為己知

條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成

立.

考點(diǎn)一比較法證明不等式