小學(xué)奧數(shù)題庫《數(shù)論》因數(shù)和倍數(shù)-最大公因數(shù)-2星題（含解析）

數(shù)論-因數(shù)和倍數(shù)-最大公因數(shù)-2星題

課程目標

知識點考試要求具體要求考察頻率

最大公因數(shù)C1、了解公因數(shù)和最大公因數(shù)的定少考

義。

2、掌握求最大公因數(shù)的方法。

知識提要

最大公因數(shù)

?定義公因數(shù)就是幾個數(shù)的公共因數(shù)。最大公因數(shù)就是其中最大的一個公因數(shù)。

?求最大公因數(shù)的方法（1）短除法：先找出所有共有的因數(shù)，然后相乘（2）分解質(zhì)因數(shù)法:

先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。（3）輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)

相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公因數(shù).用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公因

數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一

個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個

余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止.那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公因

數(shù).（如果最后的除數(shù)是1,那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的）.

?最大公因數(shù)的性質(zhì)（1）幾個數(shù)都除以它們的最大公因數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；（2）

幾個數(shù)的公因數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)：（3）幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)n,

所得的積的最大公因數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公因數(shù)乘以加

精選例題

最大公因數(shù)

1.幼兒園的老師給班里的小朋友送來55個蘋果，114塊餅干，83塊巧克力.每樣都平均分發(fā)完

畢后，還剩3個蘋果，10塊餅干，5塊巧克力.這個班最多有位小朋友.

【答案】26

【分析】55-3=52;

114-10=104；

83-5=78；

(52,104,78)=26

2.兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)是60,最大公約數(shù)是6,這兩個數(shù)的和是42,那么這兩個數(shù)的差是.

【答案】18

【分析】詳解：由最大公約數(shù)是6,可設(shè)這兩個數(shù)分別為6久和且互質(zhì))，那么xx

y=60+6=10,x+y=42+6=7,不難看出［二工所以兩個自然數(shù)分別為30和12,差

為18.

3.把一塊長90厘米、寬42厘米的長方形紙板恰無剩余地剪成邊長都是整數(shù)厘米、面積都相等

的小正方形紙片，最少能剪出塊，這種剪法剪成的所有正方形紙片的周長之和是厘米.

【答案】105：2520

【分析】小正方形的邊長應(yīng)為90和42的最大公因數(shù)，(90,42)=6,所以最少能剪出(90+6)x

(42+6)=15x7=105(塊)；所有正方形的周長之和為6x4x105=2520(厘米).

4.兩個不全為0的數(shù)的公共因數(shù)稱為它們的公因數(shù)，求26019與354的全體公因數(shù).

【答案】1,3,59,177

【玄析】而短福法條兩個數(shù)的最大公因數(shù)，如以下圖：

公因數(shù)是最大公因數(shù)的因數(shù)，所以為1,3,59,177。

5.兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)分別是3和135,那么這兩個數(shù)的差最小是.

【答案】12

【分析】最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)分別是3和135,

135+3=45,

45=3x3x5,

差最小是

3x(9-5)=12,

那么這兩個數(shù)的差最小是12.

6.兩個不全為0的數(shù)的公共因數(shù)稱為它們的公因數(shù)。求出26019,826,2065的全體公因數(shù).

【答案】1,7,59,413

【彳析】去因上一艮是最大公因數(shù)的因數(shù)，所以要求這三個數(shù)的全體公因數(shù)，只需要求得最大

公因數(shù)即可：26019,826,2065的最大公因數(shù)是413,所以26019,826,2065的全體公因數(shù)

有：1,7,59,413.

7.自然數(shù)a,b之差為120,它們的最小公倍數(shù)是其最大公因數(shù)的105倍，那么a,b中較大的值是.

【答案】225

【分析】設(shè)(a,b)=d,那么有a=znd,b=nd,且(m,n)=l.

由題意，得7nd-nd=(m—n)d=120,mnd—105d,即(m—n)d=120,mn=105.

105=3x5x7,所有7i有下面四組不同組合；

105,1；35,3；21,5；15,7.

因為(m-n)是120的因數(shù)，120=23x3x5,上面四組只有15-7=8是120的因數(shù)，所以

m=15,n=7,d=1204-(m-n)=15.a,b中較大的數(shù)是a,它的值md=15x15=225.

8.兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是100,最小公倍數(shù)是20100,這兩個自然數(shù)的差是6400,那么這

兩個自然數(shù)的和是.

【答案】7000

【分析】詳解：設(shè)這兩個自然數(shù)分別為100x和100y(x>y),那么(x,y)=1,[x,y]=xy=

201004-100=201,x-y=6400+100=64.只能是x=67,y=3,兩個自然數(shù)分別是

6700和300,它們的和是7000.

9.a和b的最大公約數(shù)是4,a與b及b與c的最小公倍數(shù)都是100,而且a小于等于6,那么滿足條

件的有序自然數(shù)對(a,b,c)共有組.

【答案】9

【分析】

(a,b)=4,

[a,c]=100=22x52,

[/>,c]=100=22x52,

a《b,a可以是4或20或100,b可以是4或20或100,c可以是25或50或100：

枚舉如下：

當a=4,b=4,c=25或50或100都成成立，有3種情況：

當a=4,b=20,c=25或50或100都成成立，有3種情況；

當a=4,b=100,c=25或50或100都成成立，有3種情況；

故共有9種情況.

10.甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是170,甲、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是204,乙、丙兩數(shù)的最小公倍

數(shù)是60,那么甲、乙、丙三個數(shù)的和最小是.

【答案】39

【分析】詳解：從約數(shù)方面考慮，甲既要是170的約數(shù)，又要是204的約數(shù)，所以甲是

(170,204)=34的約數(shù)；類以的，乙是10的約數(shù)，丙是12的約數(shù).另一方面，甲、乙的最小公

倍數(shù)是170,要求甲有約數(shù)17,乙有約數(shù)5,且甲、乙至少一個是2的倍數(shù)；甲、丙的最小公倍

數(shù)是204,說明丙一定是12的倍數(shù)，只能是12,于是甲、乙、丙三個數(shù)的和最小是17+5x

2+12=39.

11.兩個自然數(shù)的乘積是288,它們的最大公約數(shù)是6,求這兩個數(shù).

【答案】6和48

【分析】簡答：設(shè)這兩個數(shù)分別是6a和6b,且a、b互質(zhì),然后列方程即可.

12.將一塊長90厘米，寬42厘米的長方形鐵板，剪成面積相等的小正方形而無剩余，問至少可

以剪出多少塊小正方形？

【答案】105塊

【分析】簡答：(90,42)=6(厘米)，當x?=105(塊).

OO

13.求112和77的最大公約數(shù)。

【答案】7

【分析】把112和77并列，用77去除112,商1余35,如以下圖

因為余數(shù)不是0,所以繼續(xù)用35去除77,商2余7,如以下圖

因為余數(shù)不是0,繼續(xù)用7去除35,商5余0,如以下圖：

14.兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和是33,求所有滿足條件的兩個數(shù).

【答案】1,32或3,30或11,22或6,15

【分析】由于最小公倍數(shù)是最大公約數(shù)的倍數(shù)，那么它們的和33一定也是最大公約數(shù)的倍數(shù)，

那么這兩個數(shù)的最大公約數(shù)只能是1,3,11,33,逐一驗證找到所有解：這兩個數(shù)是1,32或

3,30或11,22或6,15.

15.兩個自然數(shù)的和是50,它們的最大公因數(shù)是5,試求這兩個數(shù)的差

【答案】40或20

(分析]設(shè)兩數(shù)分別為5a,5b,那么(a,b)=1,且a+b=50+5=10,10=1+9=3+7,

兩數(shù)可以為5、45或者15、35.所以差為40或20.

16.兩個數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，它們的最大公約數(shù)是8,和是80.那么這兩個數(shù)分別是多少？

【答案】24和56

【分析】簡答：設(shè)兩個數(shù)分別為8a和8b,且a、b互質(zhì)，那么有8a+8b=80,a+b=10.又

因為這兩個數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，只能是24和56

17.有4個不同的自然數(shù)，它們的和是1111.它們的最大公約數(shù)最大是多少？

【答案】101

【分析】詳解：這四個數(shù)的和一定是它們最大公約數(shù)的倍數(shù).那么它們的最大公約數(shù)一定是

1111的約數(shù)，可能是1、11、101和1111,又因為這四個數(shù)兩兩不同，它們的和至少是最大公

約數(shù)的1+2+3+4=10倍，最大公約數(shù)最大是101,這四個數(shù)可以是101、202、303、505.

18.用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大因數(shù).

【答案】283

【分析】

4811+1981=2……849

1981+849=2……283

849+283=3

所以，(4811,1981)=283.

19.兩個自然數(shù)的和是125,它們的最大公約數(shù)是25,試求這兩個數(shù)的差.

【答案】75或25

【分析】設(shè)兩數(shù)分別為25a,25b,那么(a,b)=1,且a+b=125+25=5,5=1+4=2+3,

兩數(shù)可以為25、100或者50、75.所以差為75或25.

20.兩個自然數(shù)的差為16,它們的最大公因數(shù)有幾種可能？最大可能是多少？

【答案】5；16

【分析】最大公因數(shù)一定是16的因數(shù)，16共有5個因數(shù)，所以最大是16.

21.把一張長1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，而沒有剩余，問:

能裁成最大的正方形紙塊的邊長是多少？共可裁成幾塊？

【答案]63張

【分析】邊長是長方形的長和寬的公因數(shù)，由于要求的是最大的正方形紙塊，所以正方形紙塊

的邊長是長方形的長和寬的最大公因數(shù).1米3分米5厘米=135厘米，1米5厘米=105厘米，

(135,105)=15,所以最大的正方形紙塊邊長為15厘米；長方形紙塊的面積為

135x105=14175(平方厘米)；

正方形紙塊的面積為

15x15=225(平方厘米)，

共可裁成正方形紙塊14175+225=63(張).

22.利用分解質(zhì)因數(shù)法找出以下各組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).

(1)1024和72：(2)60、84、90和700

【答案】⑴(1024,72)=8,[1024,72]=9216；(2)(60,84,90,700)=2,

[60,84,90,700]=6300

23.30和60的最大公約數(shù)是多少？30和75的最大公約數(shù)是多少？60和75的最大公約數(shù)是多少？

30、60、75的最大公約數(shù)是多少？

【答案】30；15；15；15

【分析】依次為30,15,15和15.

最后一問：因為要求的數(shù)去除30、60、75都能整除，所以要求的數(shù)是30、60、75的公約數(shù).

又因為要求符合條件的最大的數(shù)，所以就是求30、60、75的最大公約數(shù).

因為

(30,60,75)=5x3=15.

這個數(shù)最大是15.

24.計算下組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù).

2427

55,40

【答案】(《給=粉子用=等?

【分析】短除法；分別算出分子和分母的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，然后得出兩個分數(shù)的最大

公因數(shù)和最小公倍數(shù).

25.幼兒園有糖115顆、餅干148塊、桔子74個，平均分給大班小朋友，結(jié)果糖多出7顆，餅干

多出4塊，桔子多出2個.這個大班的小朋友最多有多少人？

【答案】36

【分析】大班小朋友的人數(shù)是115-7=108,148-4=144,74-2=72的公因數(shù)而

(108,144,72)=36.所以，這個大班的小朋友最多有36人.

26.(1)兩個自然數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，它們的最大公約數(shù)是18,最小公倍數(shù)是216.這兩個數(shù)是

多少？

(2)假設(shè)兩個數(shù)的最大公約數(shù)是18,最小公倍數(shù)是1080.這兩個數(shù)有哪幾組？

【答案】(1)54和72；(2)18和1080,72和270,54和360,90和216

【分析】詳解：(1)設(shè)兩個自然數(shù)分別是18a和18b,那么a和b互質(zhì)，這兩個自然數(shù)的最小公

倍數(shù)是18ab,那么有18ab=216,ab=12,考慮到這兩個數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，a和b應(yīng)該是3和

4,兩個自然數(shù)分別是54和72；

(2)設(shè)這兩個自然數(shù)分別是18a和1助，，然后按照第(1)問中的方法來做即可.

27.老師在墨莫的班上發(fā)水果，一共有59個蘋果，97個梨，平均分給班上的學(xué)生.最后剩下5

個蘋果，7個梨.請問班里一共有多少名學(xué)生？

【答案】9名或18名

【分析】詳解：分出去了59-5=54個蘋果，97-7=90個梨，班里的學(xué)生數(shù)是54和90的公

約數(shù)，也就是54和90的最大公約數(shù)的約數(shù)，但要注意人數(shù)一定要大于7,否那么就不會剩下7

個梨(還能再分).(54,90)=18,18的約數(shù)中比7大的有9和18,所以班里有9名或18名學(xué)生.

28.利用輾轉(zhuǎn)相除法求出3009和2537的最大公約數(shù).

【答案】(3009,2537)=59

29.甲數(shù)和乙數(shù)的最大公約數(shù)是6最小公倍數(shù)是90.如果甲數(shù)是18,那么乙數(shù)是多少？

【答案】30

【分析】有兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩數(shù)的乘積.有它們的最大公約數(shù)

與最小公倍數(shù)的乘積為6x90=540,那么乙數(shù)為540+18=30.

30.有336個蘋果，252個桔子，210個梨，用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮物？在每

份禮物中，三樣水果各多少？

【答案】42；每份中有蘋果8個，桔子6個，梨5個.

【分析】此題本質(zhì)上也是要求出這三種水果的最大公約數(shù)，有(336,252,210)=42,即可以分

42份，每份中有蘋果8個，桔子6個，梨5個.

31.利用輾轉(zhuǎn)相除法求以下各組數(shù)的最大公約數(shù).

(1)377和221(2)511和1314

【答案】(1)(377,221)=13；(2)(511,1314)=73.

32.計算：(1085,1178),［1085,1178］；(3553,3910,1411).

【答案】31,41230：17

33.用短除法計算30和60的最大公約數(shù)是多少？30和75的最大公約數(shù)是多少？60和75的最大

公約數(shù)是多少？

【答案】30；15；15

【分析】依次為30,15,和15.

34.用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克.現(xiàn)將這三種

茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少元錢？

［答案］5

【3析】因為144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價格

相等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉，分裝的袋數(shù)應(yīng)相同，即分裝的

袋數(shù)應(yīng)是144,180,240的公約數(shù).題目要求每袋的價格盡量低，所以分裝的袋數(shù)應(yīng)盡量多，

應(yīng)是144,180,240的最大公約數(shù).

所以

(144,180,240)=2x2x3=12,

即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價格最低是

604-12=5(元).

35.用輾轉(zhuǎn)相除法求120和84的最大公因數(shù)

【答案】12

【分析】

120+84=1…36

84+36=2……12

36+12=3

所以，120和84的最大公因數(shù)是12

36.兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4,最小公倍數(shù)是252,其中一個數(shù)是28,另一個數(shù)是多少？

【答案】36

【分析】運用公式，可知

4x252+28=36.

37.有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米.現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，

每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？此時一共可以截成多少段？

【答案】60；10

【分析】因為要截成相等的小段，且無剩余，所以每段長度必是120、180和300的公約數(shù).

又因為每段要盡可能長，所以要求的每段長度就是120、180和300的最大公約數(shù).

（120,180,300）=30x2=60.

所以每小段最長60厘米.

120+60+180+60+300+60=2+3+5=10（段）.

答：每段最長60厘米，一共可以截成10段.

38.兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是420,這兩個數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，得到的兩個商的和是9,

這兩個整數(shù)是多少？

【答案】60和210

【分析】設(shè)這兩個數(shù)分別為ma，mb為a,b的最大公約數(shù)），那么a,b互質(zhì)，所以有mab=

420,a+b=9.420=2x2x3x5x7,因為2+7=9,所以它們的最大公約數(shù)是：2x

3x5=30；所以一個整數(shù)是：2x3x5x2=60,另一個整數(shù)是：2x3x5x7=210.

39.教師節(jié)那天，某校工會買了320個蘋果、240個桔子、200個鴨梨，用來慰問退休的教職工,

問用這些果品，最多可以分成多少份同樣的禮物（同樣的禮物指的是每份禮物中蘋果、桔子、

鴨梨的個數(shù)彼此相等）？在每份禮物中，革果、桔子、鴨梨各多少個？

【答案】40；每份中有8個蘋果，6個桔子，5個鴨梨.

【分析】因為（320,240,200）=40,320+40=8,240+40=6,200+40=5,所以最多可

分40份，每份中有8個蘋果，6個桔子，5個鴨梨.

40.兩數(shù)的最大公約數(shù)是21,最小公倍數(shù)是126,求這兩個數(shù)的和是多少？

【答案】147或105

【分析】假設(shè)這兩個數(shù)是21a和21。，易得21xaxb=126,所以axb=6,由a和b互質(zhì)，

那么就有6=1x6=2x3兩種情況.所以甲、乙是：21x1=21,21x6=126或21x2=

42,21x3=63兩種情況.它們的和是147或105.

41.用輾轉(zhuǎn)相除法求6731和2809的最大公因數(shù)

【答案】53

【分析】

6731—2809=2….-1113

2809+1113=2---583

1113+583=1??????530

583+530=1….??53

530+53=10

所以6731和2809的最大公因數(shù)是53

42.兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)是1925,這兩個整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，得到2個商的和

是16,這兩個整數(shù)分別是多少？

【答案】175和385

【分析】設(shè)這兩個數(shù)分別為ma,mb（m為a,b的最大公約數(shù)），那么a,b互質(zhì)，所以有mab=

1925,a+b=16.因為1925=5x5x7x11,由于商的和是16,看約數(shù)情況，這里只能是

11+5=16；所以2個商應(yīng)該是11和5,所以這兩個數(shù)應(yīng)該是5x7x5和5x7x11；這樣除以

最大公約數(shù)5x7就剩下5和11；所以這兩個數(shù)就是5x7x5=175和5x7x11=385.

43.兩個自然數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，它們的最大公約數(shù)是18,最小公倍數(shù)是216.這兩個數(shù)分別是

多少？

【答案】54,72

【分析】設(shè)這兩個數(shù)是A,B根據(jù)，$\begin{gathered}

m\left|\!{\underline{\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

A&B

\end{array)}\,}}\right.\hfill\\

\begin{array}{*{20}{c}}

{\begin{array}{*{20}{c}}

(}&a

\end{array}}&b

\end{array}\hfill\\

\end{gathered)$,A=ma,B-mb.這兩個數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系：axb=216+18=

12=3x4,這兩個薪只能是3x18=54,4x18=72.

44.a與b的最大公因數(shù)是4,a與c、b與c的最小公倍數(shù)都是100,而且滿足條件的自然

數(shù)a、b、c共有多少組？

【答案】9

【分析】設(shè)a=4m,b=4n,[a,c]—100,[b,c]=100,100=22X52,

100+4=25,m|25,巾為1、5或25,同理n為1、5或25；

因為a<b,所以?n<n.

當m=l時，n=5,a=4,6=20,c可能為52、5?x2、52x4；

當m=5時，n=25,a=20,b=100,c可能為5?、52x2,52x4；

當血=幾=1時，a=b=4,c可能為52、5?x2、52x4,一共有3+3+3=9(組).

45.甲乙兩數(shù)的乘積是120,甲、乙兩數(shù)最大公因數(shù)是2,那么甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是多少？

【答案】60

【分析】根據(jù)兩個自然數(shù)的積=兩數(shù)的最大公因數(shù)x兩數(shù)的最小公倍數(shù)，有最小公倍數(shù)=

1204-2=60；

46.有3個不同的自然數(shù)，它們的和是105,它們的最大公約數(shù)最大是多少？

[答案]15

【分析】簡答：要使3個數(shù)都不一樣，那么它們的和至少是最大公約數(shù)的1+2+3=6倍，而

105=7x15,最大公約數(shù)最大只能是15,這3個數(shù)可以是15、30、60.

47.用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1764的最大公約數(shù).

【答案】84

【分析】

1764+840=2……84

840+84=10

所以(840,1764)=84

48.兩個小于150的自然數(shù)的乘積是2028,它們的最大公約數(shù)是13,求這兩個數(shù).

【答案】39和52

【分析】詳解：設(shè)這兩個自然數(shù)分別是13a和13b,且a和b互質(zhì),那么有13axi3b=2028,

可解出a和b應(yīng)該是3和4,兩個自然數(shù)分別是39和52.

49.求下面各組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).

48和36；35和65；120和80.

【答案】48和36最大公約數(shù)12,最小公倍數(shù)144.

35和65最大公約數(shù)5,最小公倍數(shù)455.

120和80最大公約數(shù)40,最小公倍數(shù)240.

【分析】48和36最大公約數(shù)12,最小公倍數(shù)144.

35和65最大公約數(shù)5,最小公倍數(shù)455.

120和80最大公約數(shù)40,最小公倍數(shù)240.

50.用2、3、4、5、6、7六個數(shù)字組成的兩個三位數(shù)，要使這兩個三位數(shù)與540的最大公約數(shù)

盡可能的大，請問：這兩個三位數(shù)應(yīng)該分別是多少？

【答案】324,756或432,756

【分析】先將540分解質(zhì)因數(shù)540=22x33x5.

很明顯這兩數(shù)的個位數(shù)字最多只有一個為5,所以這兩個三位數(shù)不可能同時是5的倍數(shù).那么這

兩個三位數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是22x33=4x27或2x33=2x27或2?x32=4x9

等.可以看出為使得最大公約數(shù)盡可能大，肯定要讓這兩個數(shù)有公約數(shù)9.

因為2+3+4+5+6+7=27,所以要想有公約數(shù)9,這兩個三位數(shù)的數(shù)字和只能分別是9和

18,那么只能是一個數(shù)由2、3、4組成，一個數(shù)由5、6、7組成.

接著考慮到肯定要有公約數(shù)2,那么2、3、4的組合只能是234=2x32x13,324=22x34,

342=2x32x19,432=24x33,5、6、7的組合只能是576=26x3?和756=22x33x7,

比擬后發(fā)現(xiàn)有兩組的最大公約數(shù)最大，一組是324和756,另一組是432和756.

51.今有語文課本42冊，數(shù)學(xué)課本112冊，自然課本70冊，平均分成假設(shè)干堆，每堆中這3種課

本的數(shù)量分別相等.那么最多可分多少堆？

【答案】14

【分析】顯然堆數(shù)是42的約數(shù)，是112的約數(shù)，是70的約數(shù).即為42,112,70的公約數(shù)，有

(42,112,70)=14.所以，最多可以分成14堆.

52.用短除法計算：⑴(36,48),[36,48]；⑵(28,42,70).

【答案】(1)(36,48)=12,[36,48]=144；(2)(28,42,70)=14

53.(1)兩個互質(zhì)的自然數(shù)的最小公倍數(shù)是432.求這兩個數(shù).

(2)假設(shè)兩個不成倍數(shù)關(guān)系的自然數(shù)，最大公約數(shù)是45,最小公倍數(shù)是900.求這兩個數(shù).

【答案】(1)16和27(2)180和225

【分析】簡答：互質(zhì)的兩數(shù)的乘積是432,只能是16和27；(2)設(shè)兩個自然數(shù)分別是45a和

45b,且a、b互質(zhì)，然后列方程即可.

54.計算:(28,72),[28,72]；(28,44,260),[28,44,260].

【答案】4,504；4,20020

55.計算以下各組數(shù)的最大公因數(shù).

(28,35),(108,360),(24,36,90).

【答案】7,36,6

【分析】28=2x2x7,35=5x7,(28,35)=7；

(2)108=2x2x3x3x3,360=2x2x2x3x3x5>

(108,360)=2x2x3x3=36；

(3)

$\begin{gathered)

3\left|\!{\underline(\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

{24}&{36}&{90}

\end{array}}\,j}\right.\hfill\\

{2}\left|\!{'underline!\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

{8}&{12}&{30}

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

{}\begin{array}{"{20}{c}}

\quad4&\;6&\;{15}

\end{array)\hfill\\

\end(gathered!?,

(24,36,90)=3x2=6.

56.求4453和5767的最大公約數(shù)是多少？

【答案】73

【分析】運用輾轉(zhuǎn)相除法：

5767-T-4453=1??????1314

4453+1314=3…511

1314+511=2……292

511+292=1…219

292+219=1??????73

219+73=3

于是得知，5767和4453的最大公約數(shù)是73

57.計算下組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù).

159

38,14

【答案】魯,白=短，墻馬

【分析】短除法；略.

58.計算下組數(shù)的最大公因數(shù).

(111,1001)

【答案】1

【分析】短除法；兩數(shù)互質(zhì)，那么它們的最大公因數(shù)為1.

59.a與b的最大公約數(shù)是14,a與c的最小公倍數(shù)是350,b與c的最小公倍數(shù)也是350.滿足上

述條件的正整數(shù)a、b、c共有多少組？

【答案】20

【分析】a,b均為14的倍數(shù).350=14x25,所以a,b只能是14的1,5或25倍.

(Da=25X14,b=14,c=25,50,25x7,25X14共4種；

②a=5x14,b=14,c=25,50,25x7,25x14共4種；

③a=14,b=14,c=25,50,25x7,25x14共4種；

④b=14x5,a=14同②共4種；

⑤b=14x25,a=14同①共4種，共20組.

60.計算(1573,1547,1859).

【答案】13

【分析】詳解：(1573,1547)=13；(13,1859)=13.

61.兩個數(shù)的最大公約數(shù)是6,最小公倍數(shù)是420,如果這兩個數(shù)相差18,那么較小的數(shù)是多少？

【答案】42

【分析】詳解：設(shè)這兩個自然數(shù)分別是6a和6b,且a和b互質(zhì)，那么有6ab=420,6a-6b=

18〔不妨設(shè)a比b大)，可解出alO,b=7,較小的數(shù)是42.

62.計算：(36,99),[36,99]；(24,28,42),[24,28,42].

【答案】9,396：2,168

63.一個房間長450厘米，寬330厘米.現(xiàn)方案用方磚鋪地，問需要用邊長最大為多少厘米的方

磚多少塊(整塊)，才能正好把房間地面鋪滿？

【答案】30；165

【分析】要使方磚正好鋪滿地面，可知房間的長和寬都應(yīng)是方破邊長的倍數(shù)，也就是方磚邊長

厘米數(shù)必須是房間長、寬厘米數(shù)的公約數(shù).由于題中要求方磚邊長盡可能大，所以方磚邊長應(yīng)

為房間長與寬的最大公約數(shù).450和330的最大公約數(shù)是30.

450+30=15,

330+30=11,

所以共需

15x11=165(塊).

64.找出三個小于20的自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1,但是兩兩均不互質(zhì).請寫出所有可能

的情況.

【答案】6、10、15；12、10、15；18、10、15

【分析】顯然不可能有數(shù)是1,否那么與兩兩不互質(zhì)矛盾.不可能有數(shù)只含1種質(zhì)因數(shù)，否那么

根據(jù)兩兩均不互質(zhì)可知這三個數(shù)都有這種質(zhì)因數(shù)，與最大公約數(shù)是1矛盾.不可能有數(shù)含大于

等于3種質(zhì)因數(shù)，不然最小也是2x3x5=30,超過20.所以每個數(shù)恰好含2種質(zhì)因數(shù).因為

兩兩均不互質(zhì)且最大公約數(shù)是1,所以每一種質(zhì)因數(shù)都恰好在2個數(shù)中，不在另1個數(shù)中，那么

一共需要3x2+2=3種質(zhì)因數(shù).(其中3表示3個數(shù)，第一個2表示每個數(shù)恰好含2種質(zhì)因數(shù)，

第二個2表示每種質(zhì)因數(shù)恰好在2個數(shù)中)

如果有7,那么含7的2個數(shù)最小是2x7=14和3x7=21,21>20與題意不符，排除.同理,

其余比7大的質(zhì)因數(shù)都不可能出現(xiàn).

所以這3種質(zhì)因數(shù)只能為2、3、5.先考慮5,只能是2x5=10和3x5=15,那么第三個數(shù)可

以是2x3=6或22x3=12或2x32=18.所以共3種情況：6、10、15；12、10、15；18、

10、15.

65.：6+B=60,(A,B)+[4B]=84,求4、6的值.

【答案】A=36,B=24或A=24,B=36

【分析】設(shè)這兩個自然數(shù)分別是ma、mb(a大于b),其中m為它們的最大公因數(shù)，a與b互質(zhì),

根據(jù)題意有：

(mb+ma=m(a+b)=60

Imab+m=m(ab+1)=84

所以可以得到m是60和84的公因數(shù)，所以是(60,84)=12的因數(shù).m=1,2,3,4,6或12；逐一枚

舉可得？n=12,a=3,b=2；所以A=3x12=36,B=2x12=24或A=24,B=36.

66.n為正整數(shù)，求幾+6和n+12的最大公因數(shù)的最大值、最小公倍數(shù)的最小值.

【答案】6；36

【分析】M大公因數(shù)一定是兩數(shù)之差，即6的因數(shù)，所以最大是6,最大公因數(shù)一定時，兩數(shù)越

小最小公倍數(shù)越小，經(jīng)試驗：[7,13]=91,[8,14]=56,[9,15]=45,[12,18]=36.

67.用1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字組成兩個三位數(shù)A和B,那么A、B、540這三個數(shù)的最大公

約數(shù)最大可能是多少？

【答案】12

【分析】先將540分解質(zhì)因數(shù)540=22X33X5.很明顯這兩數(shù)的個位數(shù)字最多只有一個為5,

所以這兩個三位數(shù)不可能同時是5的倍數(shù).A與B各位數(shù)字之和為等=21,所以4和B不可能同

時為9的倍數(shù).綜合上述兩個結(jié)論得到公約數(shù)最大為3x4=12,相應(yīng)的例子有好幾組，如132

和456.

68.計算以下各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù).

⑴5_4_

6'15

⑵168

45’75

20

【答案】(1)B4]二—?

3，

Cr168、_8[1681_16

145/757-225'1^45'751-15,

【分析】子同母反：(連卜隅;acl_[a,c]

1嗎]一(W)*

69.甲、乙是兩個不同的自然數(shù).它們都只含有質(zhì)因數(shù)2和3,并且都有12個約數(shù).它們的最大

公約數(shù)是12.請問：甲、乙兩數(shù)之和是多少？

【答案】204

【分析】最大公約數(shù)是12,那么兩數(shù)中質(zhì)因數(shù)2和3的最低次方分別是2和1,又因為兩數(shù)有12

個約數(shù)，利用約數(shù)個數(shù)反求法可得兩數(shù)分解質(zhì)因數(shù)形式為22x33=108,25x3=96,那么

兩數(shù)之和為204.

70.63,105和165的最大公約數(shù)是多少？最小公倍數(shù)是多少？

【答案】3；3465

【分析】63=7x9,105=3x5x7,165=3x5x11.

三者的最大公約數(shù)是3,最小公倍數(shù)是7x5x9x11=3465.

71.Q>b>c是3個整數(shù).Q,b,c的最大公約數(shù)是15；Q,b的最大公約數(shù)是75；Q,b的最小

公倍數(shù)是450；b,c的最小公倍數(shù)是1050.那么c是多少？

【答案】105

【分析】由(a,b)=75=3x52,[a,b]=450=32x2x52=75x3x2,又a>b.

所以$\left\{\begin{gathered)

a=450\hfill\\

b=75\hfill\\

\end{gathered}\right.s!c$$\left\{\begin{gathered}

a=225\hfill\\

b=150\hfill\\

\end{gathered}\right.$

由[①c]=1050=2x3x52x7.

當$\left\{\begin{gathered}

a=450\hfill\\

b=75\hfill\\

\end{gathered}\right.$時有$\left\{\begin{gathered)

\left({450,75,c}\right)=\left({75,c}\right)=15\hfill\\

\left[{b,c}\right]=\left[{75,c}\right]=1050\hfill\\

\end{gathered)\right.$?由為兩個數(shù)曲最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積，

所以(75,c)x[75,c]=75xc=15xl050,得c=210,但是c>b,不滿足；

當$\left\{\begin{gathered}

a=225\hfill\\

b=150\hfill\\

\end{gathered}Wight.時有$$\left\{\begin{gathered}

\left({225,150,c)\righl)=\left({75,c)\right)=15\hfill\\

\left[{b,c}\right]=\left[{150,c}\right]=1050\hfill\\

\end{gathered}\righl.$,那么c=105,c<b,滿足，即$\left\{\begin{gathered)

a=225\hfill\\

h=150\hfill\\

c=105\hfill\\

\end{gathered}\righl.$為滿足條件的為一解.

那么c是105.

72.甲數(shù)是36,甲、乙兩數(shù)最大公因數(shù)是4,最小公倍數(shù)是288,那么乙數(shù)是多少？

【答案】32

【分析】根據(jù)兩個自然數(shù)的積=兩數(shù)的最大公因數(shù)x兩數(shù)的最小公倍數(shù)，有：甲數(shù)x乙數(shù)=

4x288,所以，乙數(shù)=4x288+36=32.

73.利用分解質(zhì)因數(shù)法找出以下各組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).

(1)144和250；(2)240、80和96

【答案】(1)(144,250)=2,[144,250]=18000；(2)(240,80,96)=16,[240,80,96]=

480.

74.30、60、75的最大公約數(shù)是多少？

【答案】15

【分析】因為

(30,60,75)=5x3=15,

這個數(shù)最大是15.

75.兩個自然數(shù)的和為54,其最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)差為114,求這兩個數(shù).

【答案】24,30

【分析】根據(jù)$\begin{gathered}

m\left|\!{\underline{\,

{\begin{array}{*{2()}{c}}

A&B

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

\begin{array}{*{20}{c}}

{\begin{array}{*{20}{c}}

(}&a

\end{array}}&b

\end{array}\hfill\\

\end{gathered}$,得出：+b)=54,m(ab-1)=114,m為54與114公因數(shù),即

m取值：6、3、2、1.

經(jīng)驗證：m=6,a=4,b=5符合條件，因此，兩數(shù)分別是24與30.

76.兩個不同自然數(shù)的和是60,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和也是60.問這樣的自然數(shù)

共有多少組？

【答案】10

【分析】設(shè)這兩數(shù)為a,b,記a=(a,b)qi，b={a,b')q2-

它們的和為：

a+b=(a,b)q[+(a,b)q2=(a,b)Q+q2)=60①

它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和為：

[a,b]+(a,b)=(a,+(a,b)=(a,h)(qiq2+D=60,且(q-q?)=1②

聯(lián)立①、②有

(Q1+<72)=(<71<72+1)，

即

Qi+Q2_Q1Q2=1，

(qi—1)(1一q2)=0,

所以qi=1或q2=1.

即說明一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)，不妨記a=kb(k為非零整數(shù))，

有$$\left\{\begin{gathered)

a+b=kb+b=60\hfill\\

\left({a,b}\right)+\left[{a,b)\right]=b+a=b+kb=60\hfill\\

\end{gathered)\right.$$BP

(fc+l)b=60

確定，那么々確定，那么kb即a確定

60的約數(shù)有2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60這11個，b可以等于2,3,4,5,6,

10.12,15,20,30這10個數(shù)，除了60,因為如果b=60,那么(k+1)=1，而k為非零整

數(shù).

對應(yīng)的a、b有10組可能的值，即這樣的自然數(shù)有10組.

進一步,列出有(a,b)為(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10),(48,12),(45,15),

(40,20),(30,30).

77.兩個自然數(shù)的積為240,最小公倍數(shù)為60,求這兩個數(shù).

【答案】4和60或12和20

【分析】由于兩個自然數(shù)的積=兩數(shù)的最大公因數(shù)x兩數(shù)的最小公倍數(shù)，可以得到，最大公

約數(shù)是240+60=4,設(shè)這兩個數(shù)分別為4a、4b,那么(a,b)=l,且axb=60+4=15,所

以a和b可以取1和15或3和5,所以這兩個數(shù)是4和60或12和20.

78.兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)是13,最小公倍數(shù)是78,求這兩個數(shù)

【答案】13,78或26,39

【分析】假設(shè)這兩個數(shù)是13a和13b且(a,b)=1,易得13xaxb=78,所以ax匕=6,又a,b

互質(zhì)，那么就有6=1x6=2x3兩種情況，所以這兩個數(shù)為13x1=13,13x6=78或

13x2=26,13x3=39.

79.現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111,這樣的三個自然數(shù)的公因數(shù)中，最大的可以是多少？

【答案】101

【分析】三個數(shù)的和是1111,它們的公因數(shù)一定是1111的因數(shù)，因為1111=11x101,它的

因數(shù)只能是1,11,101和im；由于三個自然數(shù)的和是mi,所以三個自然數(shù)都小于mi,

1111不可能是三個自然數(shù)的公因數(shù)，而101是可能的，比方取三個數(shù)為101,101和909,所以

所求數(shù)是101.

80.用1到6這6個數(shù)碼可以組成720個沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，求這些數(shù)的最大公因數(shù).

【答案】3

【分析】數(shù)字和是3的倍數(shù)，123465-123456=9,存在不是9的倍數(shù)，所以最大公因數(shù)為3.

81.計算下組數(shù)的最大公因數(shù).

(96,72)

【答案】24

【分析】短除法：

$\begin{gathered}

2\left|\!{\underline{\,

{\begin{array}{*{20){c}}

{96}&{72}

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

{2}\Ieft|\!{\underline{\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

{48}&{36}

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

{2}\left|\!{\underline{\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

{24}&{18}

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

{3}\left|\!{\underline(\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

{12J&9

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

{}\begin{array}{*{20}{c}}

4&3

\end{array)\hfill\\

\end{gathered}$

(96,72)=2x2x2x3=24.

82.求15750與27216的最大公約數(shù)。

【答案】216

【分析】

27216+15750=1........11466

15750+11466=1……4284

11466+4284=2……2898

4284+2898=1…?-1386

2898+1386=2……126

1386+126=11

所以(15750,27216)=216

83.a與b,Q與c的最大公約數(shù)分別是12和15,a,b,c的最小公倍數(shù)是120,求a,b,c.

【答案】60,24,15或120,12,15.

【分析】因為12,15都是a的約數(shù)，所以a應(yīng)當是12與15的公倍數(shù)，即是[12,15]=60的倍

數(shù).再由[a,b,c]=120知，a只能是60或120.[Q,C]=15,說明c沒有質(zhì)畝數(shù)2,又因為

[a,b,c]=120=23x3x5,

所以c=15.

因為a是c的倍數(shù)，所以求a,匕的問題可以簡化為：“a是60或120,(a/&)=12,[a,b]=120,

求a,b.〃

當a=60時,

b=(a,b)x[a,句+a

=12x120+60

=24;

當a=120時，

b=(a,b)x[a,b]a

=12x120+120

=12.

所以Q,b,c為60,24,15或120,12,15.

84.假設(shè)兩個自然數(shù)的平方和是637,最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和為49,那么這兩個數(shù)是多

少？

【答案】14、21

【分析】根據(jù)短除模型，這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是49的約數(shù)，從而最大公約數(shù)為1或7.如果

最大公約數(shù)為1,那么最小公倍數(shù)為48,可能為1和48或3和16,這兩種情況都不符合平方和為

637；如果最大公約數(shù)為7,那么最小公倍數(shù)為42,可能為7和42或14和21,此時142+2F=

637,滿足題意，所以這兩個數(shù)分別為14和21.

85.4,B兩數(shù)都僅含有質(zhì)因數(shù)3和5,它們的最大公約數(shù)是7