量子信息學(xué)導(dǎo)論 課件 第2章 量子信息學(xué)的數(shù)學(xué)與物理基礎(chǔ)

第2章量子信息學(xué)的數(shù)學(xué)與物理基礎(chǔ)2.1量子信息學(xué)中的數(shù)學(xué)2.2量子信息學(xué)的物理基礎(chǔ)2.3密度算符2.4量子糾纏

2.1量子信息學(xué)中的數(shù)學(xué)2.1.1向量

線性代數(shù)研究的基本對象是向量空間。我們最感興趣的向量空間是所有n元復(fù)數(shù)(z1，…，zn)構(gòu)成的空間Cn，向量空間的元素稱為向量，可以用列矩陣表示向量。例如，向量z可表示為

同時，向量空間Cn中的兩個向量間的加法可定義為

其中，右邊的加法運算就是復(fù)數(shù)加法。而且向量空間中還存在標量乘法運算，Cn上的標量乘運算定義為

其中，z是標量，即為一復(fù)數(shù)，右邊的乘法是普遍的復(fù)數(shù)乘法。

量子力學(xué)研究的是Hilbert空間中的量子系統(tǒng)的演化過程，所有的運算都包容于Hilbert內(nèi)積空間。量子力學(xué)具有多種有效的標記形式，其中Dirac標記是常用的標記之一。在Dirac標記中的量子態(tài)即向量標記為

向量空間的張成集是一組向量|υ1〉，|

υ2，…|υn〉，它使得向量空間中的任意向量|υ〉都能表示成這組向量的線性組合，即。例如，向量空間的一組張成集是

都成立，則非零向量|υ1〉，…，|υn〉

定義為線性相關(guān)；否則，非零向量|υ1〉，…，|υn〉定義為線性無關(guān)?？梢宰C明，如果任意兩組線性無關(guān)向量都是向量空間υ的張成集，這兩個張成集一定包含相等數(shù)目的元素，稱這樣的向量組為向量空間的基。對于任一向量空間，基總是存在的，基所包含的數(shù)目稱為向量空間υ的維數(shù)。通常情況下，量子信息和量子計算更加關(guān)注有限維向量空間。

2.1.2內(nèi)積

內(nèi)積是向量空間上的二元復(fù)數(shù)函數(shù)，即兩個向量|υ〉

和|w

〉的內(nèi)積是一個復(fù)數(shù)。向量空間中向量|υ〉

和|w

〉的內(nèi)積通常標記成(|υ，|w

)，但這不是量子力學(xué)的標記形式。內(nèi)積(υ〉，|w

〉)在量子力學(xué)中的標準符號為〈υ|w〉，其中|υ和

|w是內(nèi)積空間中的向量，符號〈υ|表示向量|υ〉的共軛轉(zhuǎn)置，稱為左矢，也即行向量。

帶有內(nèi)積的空間稱為內(nèi)積空間。容易證明，任意內(nèi)積(·，·)對第一個自變量都是共軛線性的，即

若在Hilbert空間考慮量子力學(xué)系統(tǒng)，希爾伯特空間就是復(fù)內(nèi)積空間。在量子計算與量子信息中，我們常遇到有限維數(shù)復(fù)向量空間，此時希爾伯特空間與內(nèi)積空間完全等價。因此，我們經(jīng)常不加區(qū)分地使用這兩個術(shù)語。

如果向量|υ

〉和|w〉的內(nèi)積為0，則稱兩向量相互正交。例如，向量|w〉≡(1，0)和|υ

≡(0，1)相對于式(2.10)定義的內(nèi)積為0，它們是正交的。定義向量|υ的范數(shù)為

即如果向量是相對于某個標準正交基的，則兩個向量的內(nèi)積就等于向量矩陣表示的內(nèi)積表示為〈υ

|w〉。

2.1.3線性算符與矩陣

向量空間υ→W之間的線性算子定義為對于任意的線性函數(shù)A：υ→W，滿足：

設(shè)

υ、

W和X是一向量空間，且有A：υ→W的線性算子和B：W→X的線性算子，則BA(表示B和A的復(fù)合算子)可定義為

通常簡記為BA|υ〉

。

理解線性算子最方便的方法是矩陣表示。事實上，線性算子和矩陣完全等價，即線性算子可以表示成矩陣，矩陣也可表示成線性算子。為明確二者的聯(lián)系，首先要了解m×n階，以Aij為元素的矩陣A在同Cn向量進行矩陣乘法時，實際上是把Cn上的向量轉(zhuǎn)移到Cm的一個線性算子。更確切的，矩陣A

是線性算子意味著

該等式的作用是將A和列向量|φ〉進行矩陣乘積。

我們已經(jīng)看到矩陣可以被視為線性算子，能否給出線性算子的矩陣表示？事實上，矩陣和算子這個術(shù)語總被互換使用。假設(shè)A：υ→W是向量空間υ和W之間的一個線性算子，|υ1〉，…，|υn〉是υ的一個基，而

|w1〉，…，|wn〉是W的一個基。于是對于任意j∈1，…，m，存在復(fù)數(shù)A1j到Anj，使

2.1.4外積

外積是利用內(nèi)積表示線性算符的一種有效方法。設(shè)

|υ

〉是內(nèi)積空間υ中的向量，而

|w

〉是內(nèi)積空間的向量，定義

|w〉〈υ|為從υ到W的線性算符：

向量空間V上算符A可用對角形式表示：

其中，向量組|i

〉是A的特征向量構(gòu)成的標準正交向量組，對應(yīng)的特征值為λi。通常，若一個算符能夠用對角形式表示，稱該算符為可對角化的算符，有時也稱為標準正交分解。

如果AA+=A+，則稱算符A為正規(guī)的。正規(guī)算符有一個很有用的特征，稱為譜分解定理。一個正規(guī)算符的充要條件是當且僅當它可對角化；并且，正規(guī)算符是Hermite算符，當且僅當它的特征值是實數(shù)。

以上結(jié)論的證明過程如下：

由定義，張量積滿足以下基本性質(zhì)：

可用Kronecker積矩陣表示加深對張量積的理解。設(shè)A是一個m×n矩陣，B是一個p×q矩陣，則張量積的矩陣表示為

其中，A11B的項代表p×q子矩陣，其元素正比于B，全局比例常數(shù)為A11。例如，向量(1，2)和(2，3)的張量積是向量：

Pauli矩陣X和Y的張量積為

最后說明一個有用的標記|φ〉

k，它表示|φ〉自身的k次張量積，例如|φ〉

2=|φ〉

|φ〉。相應(yīng)的記號也可用于張量積空間上的算符。

2.1.8算符函數(shù)

在算子和矩陣上，可以定義很多重要的函數(shù)。一般而言，給定從復(fù)數(shù)到復(fù)數(shù)的函數(shù)f，可以通過下面的步驟來定義正規(guī)矩陣上(或它的一個子類，如Hermite矩陣)的相應(yīng)矩陣函數(shù)。令

是正規(guī)算符A的一個譜分解，定義算符函數(shù)

容易看出f(A)是唯一定義的。例如，正規(guī)算符的指數(shù)定義為

因為Z的特征值是+1和-1，特征向量是|0〉和|1〉。

2.1.9對易式與反對易式

在量子力學(xué)中，描述兩個算符的計算時常用到對易和反對易的概念。兩個算符A和B之間的對易式[A，B]定義為

[

A，B]≡

AB-

BA(2.55)

如果[A，B]=0，即AB＝BA，則說明A和B

對易。類似地，兩個算符A和B

的反對易式定義為

{A，B

}≡AB+BA(2.56)

如果{A，B}=0，則稱A和B

反對易。

若兩個算符對易，則該兩個算符將具有一些重要性質(zhì)。如果A和B是Hermite算符，當且僅當存在一個標準正交基，使A和B在標準正交基下同時對角化，才存在[A，B]。在這種情況下，算子A和B稱為可同時對角化。這個概念在量子力學(xué)中稱A、B兩個力學(xué)量具有共同的特征態(tài)；若不對易，則A和B兩個力學(xué)量必須滿足海森堡測不準關(guān)系。

可以驗證Pauli(泡利)矩陣間是不對易的：

還可以進一步證明，Pauli算符之間滿足反對易關(guān)系：

2.1.10極式分解和奇異值分解

極式分解和奇異值分解是把線性算符分解成一系列簡單的有用方法。特別地，這些分解可以把一般線性算符分解成酉算符和半正定算符的乘積。雖然我們對一般線性算符結(jié)構(gòu)并不是非常了解，但是我們對酉算符和半正定算符的性質(zhì)已有一定了解，極式分解和奇異值分解使我們可以利用已掌握的知識更好地理解一般線性算符。

例2.2求矩陣的左右極式分解。

2.2量子信息學(xué)的物理基礎(chǔ)

2.2.1量子力學(xué)的基本概念什么是“量子”？它和“原子”、“電子”、“中子”這些客觀存在的粒子一樣也是某一種物質(zhì)實體嗎？答案是否定的。“量子”一詞最早出現(xiàn)在光量子理論中，是微觀系統(tǒng)中能量的一個力學(xué)單位?，F(xiàn)代物理中的“量子”不是一種粒子，實際上指的是微觀世界的一種行為傾向；物質(zhì)或者說粒子(光子、電子、質(zhì)子、中子等)的能量和其他一些性質(zhì)(統(tǒng)稱為可觀測物理量)都傾向于不連續(xù)地變化。

普朗克于1900年在有關(guān)黑體輻射問題的研究中提出了“物質(zhì)輻射(或吸收)的能量只能是某些最小單位的整數(shù)倍數(shù)”的假說，這稱為量子假說。該假說的含義是：對于一定頻率ν的電磁輻射，物體只能以此最小單位吸收或發(fā)射它(由此可見微觀世界物質(zhì)的能量是不連續(xù)的)。換言之，吸收或發(fā)射電磁輻射只能以“量子”方式進行，每個“量子”的能量與頻率成正比，即

其中，ｈ為一個普朗克常量。這和過去經(jīng)典電動力學(xué)中電磁波的能量只與振幅有關(guān)而與頻率無關(guān)完全不同。而且能量的吸收和發(fā)射是量子化的，這在經(jīng)典力學(xué)中是無法理解的。在此基礎(chǔ)上，愛因斯坦進一步推廣了量子的概念，提出不僅黑體和輻射場的能量交換是量子化的，而且輻射場本身就由不連續(xù)的光量子組成，從而獲得了著名的普朗克愛因斯坦關(guān)系。

微觀世界中的量子具有宏觀世界無法解釋的微觀客體的許多特性，這些特性集中表現(xiàn)在量子狀態(tài)屬性上，如量子態(tài)的疊加原理、概率性測量原理、量子態(tài)的糾纏、量子態(tài)的不可克隆、量子的“波粒二象性”以及量子客體的測量將導(dǎo)致量子狀態(tài)“包絡(luò)塌縮”等現(xiàn)象。這些奇異的現(xiàn)象來自于微觀世界中微觀客體間存在的相互干涉，即所謂的量子相干特性。利用微觀粒子的量子態(tài)疊加及相干特性能夠?qū)崿F(xiàn)未來計算機超高速并行計算；利用微觀粒子的量子態(tài)糾纏、量子態(tài)不可克隆的力學(xué)特性能夠?qū)崿F(xiàn)超高速的信息傳送，實現(xiàn)不可破譯、不可竊聽的保密通信。

1.薛定諤貓

20世紀前葉，人們逐漸發(fā)現(xiàn)微觀客體(光子、電子、質(zhì)子、中子等)既有波動性，又有粒子性，即所謂“波粒二象性”。“波動”和“粒子”都是經(jīng)典物理中從宏觀世界獲得的概念，在我們認識的范疇之內(nèi)，容易直觀地理解它們。然而，微觀客體的行為與人們?nèi)粘＝?jīng)驗相差甚遠，對每一個觀察者來說顯得十分怪誕和神秘，很難順理成章地接受。微觀粒子的波粒二象性告訴我們：微觀客體既是粒子也是波，它是粒子和波二象性矛盾的統(tǒng)一。

此波雖不再是經(jīng)典概念下的波，但它卻具有波動性最本質(zhì)的東西，即波的“相干疊加性”，此粒子也不再是經(jīng)典概念下的粒子，因為它不滿足“粒子有確切的軌道”的屬性，但它卻具有粒子運動最本質(zhì)的現(xiàn)象，即粒子的直線運動與反射。由于微觀粒子的波粒二象性使得人們不得不引入波函數(shù)ψ(r)(量子態(tài))來描述它們的狀態(tài)。

圖2.1描述了所謂的“薛定諤貓”的假想實驗。薛定諤設(shè)想在一個封閉的容器里有個放射源和一只貓,放射源以每秒1/2的概率釋放一個粒子。換句話說,按照量子力學(xué)的疊加性原理，一秒鐘后體系處于無粒子態(tài)和一個粒子態(tài)的等概率幅疊加態(tài)。一旦粒子發(fā)射出來(狀態(tài)為0)，它將啟動一個傳動機構(gòu)落下鐵錘，打破裝有氰化氫的瓶子,毒氣釋放后會導(dǎo)致容器里的那只貓立刻死亡(狀態(tài)為“死貓”)。當然，如果無粒子的發(fā)射(狀態(tài)為1),這一切均不會發(fā)生，貓仍然活著(狀態(tài)為“活貓”)?，F(xiàn)在的問題是：一秒鐘后容器里的貓是死還是活？既然放射性粒子是處于0和1的疊加態(tài)，那么這只貓理應(yīng)處于死貓和活貓的疊加態(tài)。這只在特定狀態(tài)下死了的、活著的還是半死半活的貓就是著名的“薛定諤貓”。

圖2.1“薛定諤貓”假想實驗

“薛定諤貓”的意義在于薛定諤通過這個假想實驗將看不見的微觀世界與我們熟悉的宏觀世界聯(lián)系起來，誘導(dǎo)觀察者本能地用已有的宏觀思維去考慮微觀客體的行為，從而得到不可思議的結(jié)論。

在這個假想實驗中，拋掉“貓”這個宏觀形象表征，薛定諤想要闡述的物理問題是：微觀世界遵從量子態(tài)疊加原理，那么，如果自然界確實按照量子力學(xué)運行，那么宏觀世界也應(yīng)遵從量子態(tài)疊加原理，但宏觀物體一般量子效應(yīng)并不顯著。薛定諤的實驗裝置巧妙地把微觀放射源與宏觀的貓連接起來，最終誕生出這只死活不定的薛定諤貓，結(jié)論似乎否定了宏觀世界存在可以區(qū)分的量子態(tài)的疊加態(tài)。

然而。隨著量子光學(xué)的發(fā)展，人們研究了各種制備宏觀世界量子態(tài)疊加的方案，1997年，科學(xué)家終于在離子阱中觀察到這種“薛定諤貓”態(tài)，即一個被觀察的粒子在同一時間處于兩個不同的狀態(tài)。

2.

EPR佯謬

EPR佯謬在量子力學(xué)發(fā)展中起了重要的推動作用。這個實驗是愛因斯坦等人與量子力學(xué)創(chuàng)始人之一的玻爾就有關(guān)量子力學(xué)是否自洽、是否完備的學(xué)術(shù)爭論而引發(fā)的一系列假想實驗中的一個著名的思想實驗，這個思想實驗所預(yù)示的結(jié)果完全遵從量子力學(xué)原理，但卻令人難以接受。1935年，愛因斯坦與波多爾斯基、羅森聯(lián)名發(fā)表了一篇論文，以該思想實驗結(jié)論的方式對量子力學(xué)的完備性提出了質(zhì)疑。

在他們的文章中提出了以下量子態(tài)：

其中，x1和x2分別代表兩個粒子的坐標，這樣的一個量子態(tài)不能寫成兩個子系統(tǒng)態(tài)的直積形式：

薛定諤將這樣的量子態(tài)稱為糾纏態(tài)。

愛因斯坦等人假設(shè)有由兩個粒子A和Ｂ組成一對總自旋為0的粒子對(稱為EPR對)，將兩個粒子在空間上分開，并設(shè)想分開的距離如此之大，以致對粒子A進行的任何物理操作都不會對粒子Ｂ產(chǎn)生干擾。假定將粒子A放在地球的x1位置上，而將粒子Ｂ放在月球的x2位置上，則兩者之間的距離為a=x1-x2。如在地球上測得粒子A的位置為

x，就意味著測得粒子Ｂ的位置為

x-

a；如果在月球上測得粒子Ｂ的動量為p，就意味著測得粒子A的動量為-p。也就是說，對粒子A的位置和動量都進行了測量，相當于對粒子Ｂ的同一物理量也進行了測量。

量子力學(xué)(測不準原理)宣稱，不能對粒子A的位置和動量同時進行精確的測量，也就是說，在測量粒子A位置的同時，連粒子B的動量也不能精確地測量了。若對此EPR對單獨測量A(或B)的自旋，則自旋可能向上，也可能向下，各自概率為1/2。但若地球上已測的粒子A的自旋向上，那么，月球上的粒子B不管測量與否，必然會處在自旋向下的本征態(tài)上。愛因斯坦認定真實世界絕非如此，月球上的粒子B決不會受到地球上對Ａ的測量的任何影響。

因此下列結(jié)論二者必居其一：

①存在著即時的超距離作用，在測量粒子A的位置的同時，立即干擾了粒子B的動量；

②一個粒子的位置和動量本來同時是有精確值的，只是量子力學(xué)的描述不完備。由此得出的結(jié)論是量子力學(xué)不足以正確地描述真實的世界。玻爾則持完全相反的看法，他認為粒子A和B之間存在著量子關(guān)聯(lián)，不管它們在空間上分得多開，對其中一個粒子實行局域操作(如上述的測量)，必然會立刻導(dǎo)致另一個粒子狀態(tài)的改變，這是由量子力學(xué)的非局域性所決定的。

這場爭論的本質(zhì)在于：真實世界是遵從愛因斯坦的局域?qū)嵲谡摚€是玻爾的非局域性理論。長期以來，這個爭論一直停留在哲學(xué)上，難以判斷“孰是孰非”，直到貝爾基于玻姆的隱參數(shù)理論而推導(dǎo)出了著名的貝爾不等式，人們才有可能在實驗上依據(jù)貝爾不等式尋找判定這場爭論的依據(jù)。在擁有了可靠的糾纏源后，物理學(xué)家為檢測貝爾不等式做出了不懈的努力。法國學(xué)者首先在實驗上證實了貝爾不等式可以違背，即愛因斯坦的局域?qū)嵲谡撛谖⒂^世界不是真理，支持了玻爾的看法。實驗結(jié)果都是和量子力學(xué)的預(yù)言

相吻合，違背了貝爾不等式的限制。

量子糾纏是個多體的概念，單粒子不同自由度之間的關(guān)聯(lián)并不能看成是一種糾纏。從關(guān)聯(lián)測量的實驗角度來看糾纏的本質(zhì)是測量中體現(xiàn)的關(guān)聯(lián)；從理論分析角度來說，糾纏等價于關(guān)聯(lián)非定域性；從量子信息的角度看，糾纏的本質(zhì)是量子關(guān)聯(lián)中的信息。兩子系統(tǒng)處于糾纏態(tài)就一定是有關(guān)聯(lián)的，比如EPR態(tài)，但是有關(guān)聯(lián)的量子態(tài)并不一定就是糾纏態(tài)，可分離態(tài)也可以有關(guān)聯(lián)，但這時的關(guān)聯(lián)不具有相干性質(zhì)，只是經(jīng)典關(guān)聯(lián)，不是量子關(guān)聯(lián)。量子糾纏不是一個純粹與表象有關(guān)的如何進行因式化的數(shù)學(xué)表達的問題，而是純量子的物理的概念。

一個多體糾纏態(tài)不可能通過利用不同表象和任何因式化分析而成為可分離態(tài)，反過來，一個多體的可分離態(tài)，如果表面上看上去似乎是糾纏的，那也只是因為使用了量子糾纏態(tài)基矢作表達的結(jié)果。量子糾纏不一定要通過直接的相互作用來產(chǎn)生，比如通過糾纏交換的過程就可以間接并遙控的方式產(chǎn)生糾纏。

考慮分別屬于Alice和Bob的量子比特組成的糾纏對：

假定Alice和Bob彼此相距很遠。設(shè)沿ｖ軸在量子比特上進行自旋測量。實驗結(jié)果表明：無論如何選擇測量基，兩個測量結(jié)果總是相反的，即設(shè)Alice得到結(jié)果為+1，可以預(yù)測此時Bob

沿v軸測量的結(jié)果為-1。類似地，如果Alice得到-1，則Bob

將在他的量子比特上測得+1。按照EPR準則，這個物理屬性必對應(yīng)一個實在元素，并且應(yīng)該在任何完整的物理學(xué)理論中表示出來。然而，如量子力學(xué)所展示的，僅僅告訴人們?nèi)绾斡嬎銣y量ν·σ得到的各種結(jié)果的概率，不包含任何對單位向量v表示的ν·σ值，因此量子力學(xué)是不完整的。然而，自然規(guī)律否定了實用元素存在，自然與量子力學(xué)相符合。

貝爾不等式的結(jié)果是這項檢驗的關(guān)鍵。為了得到貝爾不等式,可進行一項想象實驗,系統(tǒng)模型如圖2.2所示。Charlie制備了兩個粒子,如式(2.64)所示。制備完畢后,發(fā)給Alice和Bob各一個粒子。

Alice一收到粒子,就對其進行測量。想象有兩臺不同的測量設(shè)備,故可以從兩種不同的測量中選一種進行,分別用PQ和PR標記。Alice事先并不知道她要用哪種方法,測量時她隨機地選擇其中一種。假設(shè)Alice的粒子對測量PQ具有值Q,為了簡便起見,假設(shè)測量有兩個結(jié)果(Q=+1和-1),因此Q是Alice的粒子通過測量得到的客觀性質(zhì),類似地，R是PR得到的值。

圖2.2貝爾不等式的想象實驗

同樣,設(shè)Bob可以具有兩種測量PS和PT,它們的測量值分別是S和T,取值也為+1和-1。Alice和Bob絕對精確地同一時間進行測量,或更確切地說他們的測量間沒有因果聯(lián)系。于是，Alice的測量不可能干擾Bob的測量結(jié)果,反之亦然。對QS+RS+RT-QT進行簡單的計算可得到：

從量子力學(xué)的角度考慮貝爾不等式。此時Charlie制備的雙量子比特用公式(2.64)表示，Alice和Bob的測量算子分別設(shè)定為

進行簡并計算,可給出這些觀測算子的平均值為

于是

這個計算結(jié)果與公式(2.68)所示貝爾不等式不一致。光子的精巧實驗已在量子力學(xué)預(yù)言和直觀推理的貝爾不等式之間作出判斷,它支持了量子力學(xué)的預(yù)言。

之后,隨著量子光學(xué)的發(fā)展，有更多的實驗支持了這個結(jié)論,即宏觀世界遵守貝爾不等式，而微觀世界能夠違背貝爾不等式。1997年瑞士學(xué)者更直截了當?shù)卦?0km光纖中測量到作為EPR對的兩個光子之間的量子關(guān)聯(lián)。因此,現(xiàn)在可得出結(jié)論：

①量子力學(xué)是正確的(起碼迄今完全與實驗相自洽)；

②非局域性是量子力學(xué)的基本性質(zhì)?，F(xiàn)在由愛因斯坦等人在佯謬中首先揭示的量子關(guān)聯(lián)效應(yīng)常被稱為EPR效應(yīng),它是非局域性的體現(xiàn)。

事實上,按照量子力學(xué)理論,EPR粒子對是處于所謂糾纏態(tài)的一對粒子，這個量子狀態(tài)最大地違背貝爾不等式,它有著奇特的性質(zhì)：人們無法單獨地確定某個粒子處在什么量子態(tài)上，這個態(tài)給出的唯一信息是“兩個粒子之間的相互關(guān)聯(lián)”這類整體的特性?，F(xiàn)在實驗上已成功地制備出這類具有糾纏性的量子態(tài)。

3.貝爾態(tài)基

愛因斯坦等人認為量子力學(xué)只給微觀客體以統(tǒng)計性描述是不完備的,因為這樣的描述不能解釋微觀粒子的某些行為。玻姆認為有必要引入一些附加變量對微觀客體作進一步的描述,因此有了隱變量理論。貝爾源于隱變量理論推出了著名的貝爾不等式。由于貝爾不等式與量子力學(xué)的預(yù)言不相符,因此人們有可能通過在滿足必需的條件下,以實驗結(jié)果是否滿足該不等式來判定以玻爾為代表的哥本哈根學(xué)派對量子力學(xué)的解釋是否正確,即量子力學(xué)是否自洽,本身是否完備。

貝爾算符的本征態(tài)稱為貝爾態(tài)基。貝爾態(tài)基由四個態(tài)矢組成,分別為

貝爾態(tài)基也可以寫成下列形式：

利用EPR糾纏對和貝爾態(tài)基可以實現(xiàn)量子密鑰分配、量子隱形傳態(tài)以及量子稠密編碼。

4.測不準原理

在經(jīng)典力學(xué)中,一個質(zhì)點的運動狀態(tài)可用坐標、動量及其所描繪的軌道等概念來描述。已知質(zhì)點在某時刻的坐標、動量以及質(zhì)點所處的力場的性質(zhì),就可通過牛頓方程,求解出質(zhì)點在任一時刻的坐標和動量以及質(zhì)點的運動軌道。這種宏觀質(zhì)點的運動(包括天體和地面上的物體)已被無數(shù)觀察和實驗所證實。然而,在量子世界中,這一切將不再成立。

量子物理與經(jīng)典物理最重要的區(qū)別可以概括為互補性和相關(guān)性。常說的波粒二象性就是一個量子體系的兩種互補屬性。在著名的楊氏雙縫實驗中,如果想確知發(fā)出的某光子通過哪個縫隙,從而來探測系統(tǒng)的微粒性,結(jié)果將導(dǎo)致無法觀測到光的干涉現(xiàn)象；同樣,如果想觀測光的干涉現(xiàn)象,在測量系統(tǒng)的波動性時,就無法確定光子通過的路徑。這是量子力學(xué)的基本原理,它在量子密碼術(shù)中具有重要的應(yīng)用。

設(shè)A和B分別是表示一個量子體系的算符,二者不對易,即

這意味著A和B不能同時有確定值,在同一個態(tài)ψ下,A和B不確定程度滿足下列關(guān)系式：

這里,Δ

A=A-〈A〉,ΔB=B-〈B〉,〈(ΔA)〉2代表算符A的均方偏差，〈(ΔB)〉2代表算符B的均方偏差。這就是著名的海森堡測不準關(guān)系式。

海森堡測不準原理說明,微觀粒子兩類非相容可觀測態(tài)的屬性是互補的,對其中一種屬性的精準測量必然會導(dǎo)致其互補屬性的不確定性。在量子力學(xué)中,一個物質(zhì)體系(例如一個電子或一個光子)是用Hilbert空間中的一個態(tài)矢量來表示的,體系的每種物理屬性(例如坐標或動量)均用專用算符表示,而每個算符的所有本征態(tài)(組成完全系)構(gòu)成Hilbert空間中一組相互正交的基態(tài)(基矢),任何態(tài)矢量都可以按照一組完備的基矢進行展開。例如,態(tài)矢量

|w〉按照算符A的本質(zhì)態(tài)展開如下：

式(2.78)說明,對算符A進行數(shù)值測量,測量結(jié)果為aj,同時使被測量體系處于新的基矢|aj〉的概率為|aj|2。具體地說,就是在量子通信中,竊聽者對傳送的光子序列所進行的任何干擾、竊聽,例如量子克隆,截取/重發(fā)等,都將導(dǎo)致光子狀態(tài)的改變,從而影響接收者的測量結(jié)果,由此可對竊聽者的行為進行判定和檢測。圖2.3是正常的量子信道的收與發(fā)模型。

圖2.3

因此,只要算符A和B本身是相容的客觀測態(tài),而E與A、B不對易(屬性互補),通過對B(算符)過濾器輸出結(jié)果進行數(shù)理統(tǒng)計,就能檢測出是否應(yīng)用E(算符)過濾器進行了干擾。以上的模型和分析是量子密碼通信協(xié)議的理論基礎(chǔ)。圖2.4存在竊聽者的量子信道模型

5.量子不可克隆定理

經(jīng)典信息是可以被精確克隆的。這是因為經(jīng)典的各個狀態(tài)之間總是互相正交的,可以對它進行測量而不造成干擾。

量子不可克隆定理：能把任意的未知量子態(tài)精確克隆的通用變換T不存在。

但如果T能對任意態(tài)都精確克隆,應(yīng)有

式(2.93)與式(2.92)矛盾。即如果一個變換T能夠?qū)σ唤M正交態(tài)|0〉和|1〉精確克隆,那么它必然不能克隆與|0〉和|1〉正交的態(tài)|+〉。因此通用克隆機不存在。

證畢。

從上述證明過程可以注意到以下幾點：

(1)不可克隆定理中的待克隆的量子態(tài)必須是未知的。如果已經(jīng)知道一個量子態(tài)的具體形式,則只需另外制備一個就實現(xiàn)了克隆。

(2)如果已知待克隆的量子態(tài)只可能是幾種相互正交的態(tài)之中的一個,該定理也并不否定它是可以被克隆的。因此經(jīng)典世界內(nèi)沒有不可克隆定理,量子世界才有,它是量子力學(xué)的固有屬性,關(guān)鍵就在于量子態(tài)存在非正交的情形。而非正交的量子態(tài)來自正交態(tài)的線性疊加,因此量子不可克隆定理不是一個獨立的基本定理,而是態(tài)疊加原理的導(dǎo)出結(jié)果，本質(zhì)上來源于量子力學(xué)第二假設(shè)。

(3)該證明僅限于精確克隆。如果一個變換T′的效果是能以一個小于1的概率p對任意未知量子態(tài)|ψ〉成功克隆,而剩下的(1-p)機會克隆失敗,那么它就不受上述證明的制約,亦即下列克隆是可能的：

其中,|e′〉≠|(zhì)ψ〉,p的值可以與|ψ〉有關(guān)，|φ〉與|ψ〉相同或不同均可。這樣的變換叫做概率克隆。一個最簡單的例子就是Ｔ′等于恒等變換,即保持|ψ〉和|e0〉不變。由于|ψ〉是任意態(tài),概率不為零,正好與|e0〉的概率相同,這樣就滿足了式(2.94)。當然這個簡單的T′的效率是非常低的。后來人們提供了不少高效的概率克隆方案。量子不可克隆定理只是限制這些方案的成功克隆概率p永遠不能達到1。

盡管定理的證明過程簡單,但其意義重大。

一方面,它意味著我們不能像經(jīng)典糾錯碼那樣,把一個未經(jīng)測量的量子態(tài)克隆成很多個相同的備份存儲起來以達到糾錯的目的。這對量子計算機的實驗技術(shù)發(fā)展帶來了很大的障礙。這同時也意味著世界上的事物不可能通過人工的方式克隆出完全一模一樣的副本。

另一方面,量子不可克隆定理在量子密碼術(shù)中卻會帶來正面的幫助,它確保了量子密碼的安全性,使得竊聽者不可能采取復(fù)制技術(shù)來獲得合法用戶的信息,使得信息的安全達到經(jīng)典密碼術(shù)所不能及的高度。

2.2.2量子力學(xué)的基本假設(shè)

量子力學(xué)是物理理論發(fā)展的一個數(shù)學(xué)框架。量子力學(xué)本身不能告訴我們物理系統(tǒng)服從什么定律，但它卻提供了研究這些定律的數(shù)學(xué)概念和框架。由于微觀粒子的坐標和動量不再同時取得確定值，經(jīng)典描述方法對微觀粒子自然失效。在量子力學(xué)中如何描述一個微觀粒子或多個微觀粒子系統(tǒng)的狀態(tài)？關(guān)于這些問題存在一些假設(shè)。

為了理解量子信息技術(shù)，下面將給出量子力學(xué)的基本理論，包括量子力學(xué)基本假設(shè)的完整描述，這些假設(shè)把客觀物理世界和量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述聯(lián)系了起來。

1.狀態(tài)空間

量子力學(xué)第一條假設(shè)是建立量子力學(xué)使用的場所，即線性代數(shù)中所熟知的Hilbert空間。

假設(shè)1任一孤立的物理系統(tǒng)都有一個稱為系統(tǒng)狀態(tài)空間的復(fù)內(nèi)積向量空間(即Hilbert空間)與之相聯(lián)系，系統(tǒng)完全由狀態(tài)向量所描述，這個向量是系統(tǒng)狀態(tài)空間的一個單位向量。

量子力學(xué)沒有告訴我們，對于一個給定的物理系統(tǒng)，它的狀態(tài)空間是什么；也沒有告訴我們，系統(tǒng)的狀態(tài)向量是什么。但是它告訴我們?nèi)绾斡脿顟B(tài)空間去描述物理系統(tǒng)。例如，量子電動力學(xué)理論(常稱為QED)描述了原子和光的相互作用，它告訴我們用什么樣的狀態(tài)空間給出原子和光的量子描述。盡管我們對QED這樣復(fù)雜的理論不太關(guān)心，但對我們而言，對系統(tǒng)狀態(tài)空間作一些非常簡單(并且合理)的假設(shè)，并認同這些假設(shè)就足夠了。

2.演化

量子力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)|ψ〉是如何隨時間而變化的？假設(shè)２為系統(tǒng)狀態(tài)的變化提供了一種規(guī)則。

假設(shè)2一個封閉量子系統(tǒng)的演化可以由一個酉變換來描述，即系統(tǒng)在時刻t2的狀態(tài)|ψ〉和系統(tǒng)在時刻t2的狀態(tài)|ψ′〉，可以通過一個僅依賴于時間t1和t2的酉算符U相聯(lián)系，其中

正如量子力學(xué)不告訴我們狀態(tài)空間或一個特定量子系統(tǒng)的量子狀態(tài)一樣，它也不告訴我們什么樣的酉算符描述了現(xiàn)實世界的量子動態(tài)。量子力學(xué)僅僅說明任意封閉量子系統(tǒng)的演化都可以用這種方式來描述。一個顯然的問題是：自然選擇什么樣的酉算符？實際上針對單量子比特形式的情形，所有酉算符都可以在實際系統(tǒng)中實現(xiàn)。值得注意的是，薛定諤給出了封閉量子系統(tǒng)演化的動態(tài)方程：

假設(shè)2要求所描述的系統(tǒng)是封閉的，即它們的系統(tǒng)沒有任何相互作用?，F(xiàn)實中任何系統(tǒng)都在某種程度上與別的系統(tǒng)間存在著相互作用。然而，可以近似描述為封閉的系統(tǒng)是存在的，并且可用酉演化很好地近似描述，而且，至少原則上每個開放系統(tǒng)都可以描述為一個更大的進行著酉演化中的封閉系統(tǒng)的一部分。

酉算符具有以下重要的性質(zhì)：

(1)酉算符不改變兩個態(tài)矢的內(nèi)積；

(2)酉算符不改變算符的特征值；

(3)算符表示的矩陣的跡在酉算符作用下保持不變；

(4)在酉算符作用下，任何力學(xué)量的平均值保持不變；

(5)在酉算符作用下，算符的線性和Hermite性保持不變；

(6)算符間的代數(shù)關(guān)系在酉算符的作用下保持不變。

關(guān)于這些性質(zhì)的簡單證明過程如下：

3.量子測量

前面已經(jīng)假設(shè)封閉量子系統(tǒng)按酉算符演化，盡管系統(tǒng)演化可以不與其他外部相互作用，但是某些時刻一定有實驗者要用實驗設(shè)備(外部物理世界)觀察系統(tǒng)，了解系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)。這個觀察使系統(tǒng)不再封閉，也就是不再服從酉演化。為了獲取量子系統(tǒng)信息，下面引入假設(shè)3。

假設(shè)3量子測量由一組測量算符{Mm}描述，這些算符作用在被測系統(tǒng)狀態(tài)空間上，ｍ描述實驗中可能得到的測量結(jié)果。若在測量前，量子系統(tǒng)的狀態(tài)為{ψ}，則結(jié)果ｍ發(fā)生的可能性為

上述方程對所有|ψ〉成立，等價于完備性關(guān)系。但是直接檢驗完備性關(guān)系要容易得多，這就是我們將完備性關(guān)系描述在假設(shè)敘述中的原因。

投影測量具有許多好的性質(zhì)，例如很容易計算投影測量的平均值。由定義得測量的平均值為

這是一個非常有用的公式，可以簡化很多計算?？捎^測量M的平均值常寫作〈M〉≡〈ψ|M|ψ〉。從這個平均值公式可導(dǎo)出與觀測Ｍ相聯(lián)系的標準偏差的公式如下：

標準偏差是測量M的觀測值分散程度的一個度量。特別地，如果進行大量狀態(tài)為|ψ〉的觀測M的實驗，則觀測值標準偏差[Δ(M)]2由公式[Δ(M)]2=(M2)-(M2)決定。這個對可觀測量給出的測量值和偏差公式是導(dǎo)出海森堡測不準原理的一種較好方法。

量子測量假設(shè)涉及兩個要素。首先，它給出一個描述測量統(tǒng)計特性的規(guī)則，即分別得到不同測量結(jié)果的概率；其次，它給出描述系統(tǒng)測量后的系統(tǒng)狀態(tài)。不過對于某些應(yīng)用，系統(tǒng)測量后的狀態(tài)幾乎沒有什么意義，主要關(guān)心的是系統(tǒng)得到不同結(jié)果的概率。例如，僅在結(jié)束階段對系統(tǒng)進行一次測量的實驗，我們關(guān)心的是獲得的測量值是什么。POVM作為數(shù)學(xué)工具適合于分析這類情況的測量結(jié)果。POVM是假設(shè)3一般描述的簡單結(jié)論，但它應(yīng)用非常廣泛，值得在此特別討論。

4.復(fù)合系統(tǒng)

設(shè)想我們感興趣的是兩個(或兩個以上)不同的物理系統(tǒng)組成的復(fù)合量子系統(tǒng),如何描述該復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)呢？下面的假設(shè)給出了如何從子系統(tǒng)的狀態(tài)空間構(gòu)造出復(fù)合的狀態(tài)空間的方法。

假設(shè)4復(fù)合物理系統(tǒng)的狀態(tài)空間是子物理系統(tǒng)狀態(tài)空間的張量積,若將子系統(tǒng)編號為1~n,系統(tǒng)i的狀態(tài)置為|ψi〉,則整個系統(tǒng)的狀態(tài)為|ψ1〉

…

|ψn〉,或記作|ψ1〉…|ψn〉。

如果復(fù)合系統(tǒng)不能被寫作它的子系統(tǒng)狀態(tài)的張量積,則復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)稱為糾纏狀態(tài)。糾纏態(tài)在量子計算與量子信息中扮演著關(guān)鍵角色,在量子隱形傳態(tài)、量子密集編碼中有具體應(yīng)用。

2.3密度算符

2.3.1密度算符(密度算子)

在系統(tǒng)狀態(tài)已知的條件下,我們可以用狀態(tài)向量(量子態(tài))描述量子系統(tǒng),這時量子系統(tǒng)通常都是假設(shè)為孤立的封閉的量子系統(tǒng)。還存在另一種描述量子系統(tǒng)的方法,稱為密度算符或密度矩陣。密度算符為描述狀態(tài)不完全已知的量子系統(tǒng)提供了一種方便的途徑。這種形式在數(shù)學(xué)上等價于向量方法,但它為量子力學(xué)在某些場合的應(yīng)用提供了便捷的方法。

1.純態(tài)和混合態(tài)

1)純態(tài)如果一個量子系統(tǒng)能夠用單一態(tài)矢量(或在態(tài)矢空間中任一正交完備基矢的相干疊加態(tài))描述,就稱其處于純態(tài)。

例如,研究一個粒子的物理性質(zhì),其狀態(tài)總可以用希爾伯特空間的一個態(tài)矢量來表示,這些態(tài)矢量滿足態(tài)疊加原理：

總之,凡是能用希爾伯特空間中一個矢量描述的量子態(tài)都是純態(tài)。在一個純態(tài)|ψ〉上,力學(xué)量F的取值是以概率的形式表現(xiàn)的,這就意味著,對單個粒子的預(yù)言是與大量粒子構(gòu)成的系綜的統(tǒng)計平均相聯(lián)系的。或者說,量子力學(xué)具有統(tǒng)計的性質(zhì)。從統(tǒng)計規(guī)律性的角度看,由純態(tài)所描述的統(tǒng)計系綜稱為純粹系綜。

2)混和態(tài)

混合態(tài)是系統(tǒng)若干純態(tài)的非相干混合,這些純態(tài)之間不存在固定的相位關(guān)聯(lián),也不會產(chǎn)生干涉。即如果一個量子系統(tǒng)是若干個不同的態(tài)矢量描寫的子系統(tǒng)(不一定是正交歸一的)的非相干的混合,就稱它處于混合態(tài)。系統(tǒng)不能用一個態(tài)矢量描述,而需用一組態(tài)矢量及其在該系統(tǒng)中出現(xiàn)的相應(yīng)的概率來描述。

例如,研究由N個原子組成的量子系統(tǒng),如果每個原子都處于相同的狀態(tài)|ψ〉,能用同一個態(tài)矢量描述，則系統(tǒng)處于純態(tài)；反之，若N個原子的狀態(tài)各不相同，系統(tǒng)不處于純態(tài),不能用一個態(tài)矢量來描述系統(tǒng)的態(tài)，在這種情況下，系統(tǒng)可以用態(tài)及其概率集來描述,其中

系統(tǒng)就處于混合態(tài)。

混合態(tài)的波函數(shù)可以寫成

混合態(tài)所描述的系綜x稱為混合系綜。

2.密度算符和密度矩陣

能夠統(tǒng)一描寫純態(tài)和混合態(tài)的方法是1927年VonNeumann提出的密度算符方法。量子力學(xué)的基本特征之一是用波函數(shù)所代表的概率幅描述微觀物理體系的狀態(tài)。原則上,通過基于波函數(shù)進行的量子測量,可以得到關(guān)于微觀系統(tǒng)運動規(guī)律的全部信息。而密度矩陣與波函數(shù)在描述物理體系狀態(tài)方面是等價的,因此通過對密度矩陣進行量子測量,也可以得到微觀系統(tǒng)運動規(guī)律的全部信息。

可以證明,純態(tài)的密度算符有以下性質(zhì)：

對于混合態(tài)

3.約化密度算符

約化密度算符為復(fù)合系統(tǒng)在子系統(tǒng)上的測量提供了正確的測量統(tǒng)計。假設(shè)有A和B兩個子系統(tǒng)組成的復(fù)合系統(tǒng),其狀態(tài)由密度算子ρAB描述,它可以是純態(tài),也可以是混合態(tài)。針對子系統(tǒng)A的約化密度算符定義為

2.3.2基于密度算符的量子力學(xué)基本假設(shè)

量子力學(xué)的全部假設(shè)都可以以密度算符的形式重新描述。下面將詳細介紹由密度算符所描述的量子力學(xué)的四大基本假設(shè)。

假設(shè)4復(fù)合物理系統(tǒng)的狀態(tài)空間是量子物理系統(tǒng)狀態(tài)空間的張量積,而且,如果有系統(tǒng)1~n,其中系統(tǒng)i處于狀態(tài)ρi,則復(fù)合系統(tǒng)的共同狀態(tài)是ρ1

ρ2

…

ρn。

在數(shù)學(xué)上,這些密度算符形式描述的量子力學(xué)基本假設(shè)等價于用狀態(tài)向量來描述；不過，作為一種認識量子力學(xué)的方式,密度算符方法在描述狀態(tài)未知的量子系統(tǒng)和描述復(fù)合系統(tǒng)的子系統(tǒng)等方面具有突出的應(yīng)用。通常情況下，對于具有精確已知狀態(tài)的量子系統(tǒng)認為其處于純態(tài),它的密度算符表示為ρ=|ψ〉〈ψ|；將由不同純態(tài)的混合構(gòu)成的系綜稱為混合態(tài)。以密度算符作為標準,可以給出純態(tài)和混合態(tài)的一個簡單判據(jù)：純態(tài)滿足tr(ρ2)=1,而混合態(tài)滿足tr(ρ2)<1。

2.3.3

Shmide分解定理

下面對應(yīng)用得較多的處于純態(tài)的復(fù)合系統(tǒng)Shmide分解進行簡單介紹。

當兩個或兩個以上部分構(gòu)成一個復(fù)合系統(tǒng)時,這個復(fù)合系統(tǒng)總可以劃分為兩個子系統(tǒng)。當復(fù)合系統(tǒng)由兩部分構(gòu)成時,則每一部分即可看做一個子系統(tǒng),但對于大部分構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng),子系統(tǒng)的劃分有一定的任意性。對于處于純態(tài)的符合系統(tǒng),可以證明下面的復(fù)合系統(tǒng)純態(tài)定理成立。

2.4量子糾纏

例2.5考察貝爾基中的量子比特對。

解量子比特對的概念可以推廣到多量子比特。在經(jīng)典物理中,具有n個粒子的一個系統(tǒng)可能的狀態(tài)構(gòu)成了2n維空間里的一個向量,其中單個粒子可以用二維復(fù)數(shù)空間里的

一個向量來描述。然而,多個量子比特系統(tǒng)的狀態(tài)空間大得多，n個量子比特系統(tǒng)的狀態(tài)空間將是2n維。這是因為經(jīng)典系統(tǒng)中n個粒子的每個狀態(tài)空間通過笛卡爾積結(jié)合起來,然而量子系統(tǒng)空間卻是通過張量積結(jié)合起來的。

2.4.2糾纏態(tài)

無論是EPR佯謬還是“薛定諤貓”佯謬,都是另一種違反經(jīng)典世界常識的量子現(xiàn)象——量子糾纏現(xiàn)象?？紤]兩個粒子組成的量子體系,它的量子疊加態(tài)會有什么特殊之處

嗎？量子力學(xué)預(yù)言說,可以制備一種兩粒子共同的量子態(tài),其中每個粒子狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系不能被經(jīng)典解釋。這稱為量子關(guān)聯(lián),這樣的態(tài)稱為兩粒子量子糾纏態(tài)。

從物理學(xué)角度講,量子糾纏狀態(tài)指的是兩個或多個量子系統(tǒng)之間的非定域的、非經(jīng)典的關(guān)聯(lián),是量子系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的力學(xué)屬性。從數(shù)學(xué)描述的角度講,當量子比特的疊加狀態(tài)無法用各個量子比特的張量積表示時,這種狀態(tài)就稱為量子糾纏狀態(tài)。例如,有一量子疊加狀態(tài)：

我們知道貝爾態(tài)基由四個態(tài)矢組成：

顯然四個貝爾態(tài)基都是糾纏狀態(tài)。貝爾態(tài)基在量子信息理論中,特別是在量子糾錯編碼理論中有著不可代替的作用。為了深入地理解量子糾纏狀態(tài)的性質(zhì),我們將簡單地介紹量子糾纏狀態(tài)生成法。圖2.6給出的量子線路可以生成貝爾態(tài)基。

圖2.6生成貝爾狀態(tài)的量子線路圖

2.4.3糾纏的度量

人們發(fā)現(xiàn)違背貝爾不等式雖然是量子糾纏的一個顯著特征,但并非所有的糾纏態(tài)都違背貝爾不等式,因此就需要對一個糾纏態(tài)在多大程度上違背貝爾不等式以定量描述。這就啟發(fā)了最初的關(guān)于糾纏態(tài)度量問題的研究。量子糾纏的定量研究是量子糾纏研究的重要方面,從應(yīng)用的角度來說,糾纏態(tài)的度量是十分重要的并且有利于對量子糾纏本質(zhì)的探索和理解。所謂量子糾纏的度量,就是量化量子系統(tǒng)中量子態(tài)含有糾纏的多少。所謂糾纏度就是指所研究的糾纏態(tài)攜帶糾纏的量的多少。糾纏度的提出為不同的糾纏態(tài)之間建立了可比關(guān)系。

任何量,只要能夠區(qū)分一個量子態(tài)是否是糾纏的都叫可分性判據(jù),包括好的判據(jù)和一般的判據(jù)。所謂好的判據(jù)就是指該判據(jù)是可分性的充分必要條件(盡管很難操作),一般的判據(jù)就是指這個判據(jù)僅是可分性的必要條件。

糾纏度量是一種特殊的可分性判據(jù),因為通常它不但能夠區(qū)分量子態(tài)是否糾纏,而且能對糾纏進行定量的描述,同時還要滿足一系列要求。另外,不同的量子信息任務(wù),不同的糾纏度度量不同類型的糾纏,得到的結(jié)果在一定范圍內(nèi)也會有所不同。對于某些糾纏態(tài),有的糾纏的度量可能為零(如可提純糾纏度量等),有的糾纏態(tài)可能為其他值,但總的來說所得到的結(jié)論是相似的。

目前,對于兩體系統(tǒng)的糾纏度一般有四種定義：部分熵糾纏度、形成糾纏度、相對糾纏度和可提純糾纏度。

1.部分熵糾纏度

對形如|ψ〉A(chǔ)

|ψ〉B的直積純態(tài),有EP=0；對兩個量子比的最大糾纏態(tài)貝爾基態(tài)，可得EP=In2。為了研究方便,有時把VonNeumann熵定義中的對數(shù)取成2,從而將貝爾基態(tài)糾纏度歸為1。

部分熵糾纏度EP向兩體混態(tài)的直接推廣是VonNeumann相對信息熵