自動(dòng)控制原理-孟華-習(xí)題答案

自動(dòng)限制原理課后習(xí)題答案

第一章

(略)

第二章

2.1試分別寫出圖2.68中各無源電路的輸入及輸出入*)之間的微分方程。

圖2.68習(xí)題2.1圖

解：

Ur-Uc.ur-4卷一,N0,與

⑸?,,公，卒寸年岑』庠+望

叫一“1_j

(b)，，^，，

1i\df+U[

(c)?■，，

2.2試證明圖2.69(a)所示電路及圖2.69(b)所示的機(jī)械系統(tǒng)具有相同的微分方程。圖2.69(b)中工(。為

輸入，4G)為輸出，均是位移量。

(a)(b)

圖2.69習(xí)題2.2圖

解:

Ur_11c=iu=—[idt+iRy

&\+4=iQJ

(a)，，，，

(b)，，

2.3試分別求出圖2.70中各有源電路的輸入以")及輸出之間的微分方程。

圖2.70習(xí)題2.3圖

解:

%_D廠.凡

FCu~Uc=-一1吃

(a)

—=—^—CucR2CUC+u=~—ur

(b)

_%

=

(c)

2.4某彈簧的力-位移特性曲線如圖2.71所示。在僅存有小擾動(dòng)的狀況下,當(dāng)工作點(diǎn)分別為照=-1.2,0,

2.5時(shí)，試計(jì)算彈簧在工作點(diǎn)旁邊的彈性系數(shù)。

圖2.71習(xí)題2.4圖

解:

設(shè)力f及位移x的關(guān)系為f=g(x)o取增量方程:

Ac

cbc

*=-1.2,0,2.5

3016

—=&4-=A4——=<5

兒為工作點(diǎn)處的彈性系數(shù)，分別從曲線中量出為Q512

2.5設(shè)某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s),在初始條件為零時(shí)，施加輸入測試信號(hào)()=,測得其輸出

響應(yīng)為c(t)=l+sint+2e1'(tWO)，試確定該系統(tǒng)的G(s).

解：

2.6系統(tǒng)的微分方程組如下：

其中，小,K”K,,K、,氐,7均為正常數(shù)。試建立系統(tǒng)r(t)對(duì)c(。的結(jié)構(gòu)圖。

解：

2.7系統(tǒng)的微分方程組如下：

其中布，《，及，7均為正常數(shù)。試建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

解：

2.8圖2.72是一個(gè)模擬調(diào)整器的電路圖。試寫出輸入及輸出之間的微分方程，并建立該調(diào)整器的結(jié)構(gòu)

圖。

圖2.72習(xí)題2.8圖

解：

(a)〒:…「戈,“g修,/戈，

2.9圖2.73是一個(gè)轉(zhuǎn)速限制系統(tǒng)，輸入量通電壓4,輸出量是負(fù)載的轉(zhuǎn)速，試寫出其輸入M出間的微

分方程，并畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

圖2.73習(xí)題2.9圖

解：

，，，

2.10某機(jī)械系統(tǒng)如圖2.74所示。質(zhì)量為M,半徑為R的均質(zhì)圓筒及彈簧和阻尼器相連(通過軸心)，假

定圓筒在傾角為的斜面上滾動(dòng)(無滑動(dòng))，試求出其運(yùn)動(dòng)方程和結(jié)構(gòu)圖。

圖2.74習(xí)題2.10圖

2.11試化簡圖2.75中各系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)以s)/"(s)。

(a)(b)

(c)

圖2.75習(xí)題2.11圖

解:

(a)

(b)

(c)

2.12已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2.76所示，試將其轉(zhuǎn)換成信號(hào)流圖，并求出C(s)/"(s)。

(a)

圖2.76習(xí)題2.12圖

解:

(a)

2.13系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖2.77所示，試用梅遜公式求。(s)/火(s)。

圖2.77習(xí)題2.13圖

解:

(a)

(b)

2.14試梅遜公式求圖2.78所示結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)以s)/〃(s)o

(a)(b)

圖2.78習(xí)題2.14圖

解:

(a)

(b)

2.15已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2.79所示，試寫出系統(tǒng)在輸入A(s)及擾動(dòng)Ms)同時(shí)作用下輸出C(s)的表達(dá)

式。

圖2.79習(xí)題2.15圖

解：

2.16系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖2.80所示。

(1)求傳遞函數(shù)G(s)/"i(s),C(s)/A(s),G(s)/尼(s),C(s)/尼(s)；

CGI

求傳遞函數(shù)陣其中，斤(')」，

(2)G(s),C(s)=G(s)(s),C(s)=102"(s)=-R2(S)

圖2.80習(xí)題2.16圖

解:

(1)

(2)<5^.

2.17已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2.81所示。

(1)試求傳遞函數(shù)C(s)〃?(s)和C(s)/"(s)；

(2)若要消退干擾對(duì)輸出的影響，即C(s)/》(s)=O,試問應(yīng)如何選取G(s)。

圖2.81習(xí)題2.17圖

解:

g一

(1)

G⑸

3.1.已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

試求：(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)中(s)=?

(2)阻尼比，=?無自然振蕩頻率。產(chǎn)？

解：(1)由c(t)得系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為士

(2)及標(biāo)準(zhǔn)對(duì)比得:

3.2.設(shè)圖3.36(a)所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3.36(b)所示。試確定系統(tǒng)參數(shù)人、EMBEDEquation.3

“2和a°

(a)(b)

圖3.36習(xí)題3.2圖

解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

?4-31

Mp==—

又由圖可知：超調(diào)量33

峰值時(shí)間三④⑥

代入得

解得：

3.3.給定典型二階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)性能指標(biāo)：超調(diào)量EMBEDEquation.3^5%,調(diào)整時(shí)間'，EMBED

Equation.3<Js,峰值時(shí)間"s,試確定系統(tǒng)極點(diǎn)配置的區(qū)域，以獲得預(yù)期的響應(yīng)特性。

解：設(shè)該二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

則滿足上述設(shè)計(jì)性能指標(biāo):

得：彳卬>1EMBEDEquation.3

由上述各不等式得系統(tǒng)極點(diǎn)配置的區(qū)域如卜圖陰影部分所示：

3.4.設(shè)一系統(tǒng)如圖3.37所示。

(a)求閉環(huán)傳遞函數(shù)C(s)/?(s),并在S平面上畫出零極點(diǎn)分布圖；

(b)當(dāng)「(，)為單位階躍函數(shù)時(shí)，求c(。并做出c(。及I的關(guān)系曲線。

圖3.37習(xí)題3.4圖

解：(a)系統(tǒng)框圖化簡之后有

零極點(diǎn)分布圖如下：

(b)若''為單位階躍函數(shù)，5,則

大致曲線圖略。

3.5.已知二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

分別在下述參數(shù)下確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和調(diào)整時(shí)間。

⑴=2,=

⑵1.2,叫=區(qū)工

(3)說明當(dāng)》1.5時(shí)，可忽視其中距原點(diǎn)較遠(yuǎn)的極點(diǎn)作用的理由。

13

1,兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的肯定值相差5倍以上，離原點(diǎn)較遠(yuǎn)的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的暫態(tài)重量初

值小，衰減快(是距離虛軸較近的極點(diǎn)暫態(tài)重量衰減速度的5倍以上)，因此可以忽視掉。

3.6.設(shè)限制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為試在S平面上繪出滿足下列各要求的系統(tǒng)特征方程

式根可能位于的區(qū)域：

(1)1>>0.707,0"學(xué)2(2)0.52>0,4云明》2

(3)0.707>>0.5,

3.7.一種測定直流電機(jī)傳遞函數(shù)的方法是給電樞加肯定的電壓，保持勵(lì)磁電流不變,

測出電機(jī)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速；另外要記錄電動(dòng)機(jī)從靜止到速度升為穩(wěn)

態(tài)值的50%或63.2%所需的時(shí)間，利用轉(zhuǎn)速時(shí)間曲線(見圖

3.38)和所測數(shù)據(jù)，并假設(shè)傳遞函數(shù)為

可求得人和匕的值。若實(shí)測結(jié)果是：加10V電壓可得

圖3.38習(xí)題3.7圖

1200”加加的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速，而達(dá)到該值50%的時(shí)間為1.2s,試求電機(jī)傳遞函數(shù)。

。⑶K皿)*

提示：留意V(S)=s+。，其中’―dt,單位是rad/s

C(s)K

解：由式V")=s+a可得

電機(jī)傳遞函數(shù)為:

3.8.系統(tǒng)的特征方程式如下，要求利用勞斯判據(jù)判定每個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定在右半s平面其根的個(gè)數(shù)及純

虛根。

(1)

(2)

(4)3k

答案；

(1)勞斯表如下：

勞斯表第一列元素的符號(hào)變化兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定

(2)勞斯表如下:

勞斯表第一列元素的符號(hào)全為正，系統(tǒng)穩(wěn)定

(3)勞斯表如下：

勞斯表第一列元素的符號(hào)變化兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定

(4)勞斯表如下：

勞斯表第一列元素符號(hào)沒有變化，所以系統(tǒng)有兩個(gè)正根，系統(tǒng)穩(wěn)定

3.9.有?限制系統(tǒng)如圖3.39所示，其中限制對(duì)象的傳遞函數(shù)是

采納比例限制器，比例增益為4,試?yán)脛谒古袚?jù)確定4,值的范圍。

圖3.39習(xí)題3.9圖

解:

特征方程為:

勞斯表如下:

Q^QOO寫.0

JQ3

要使系統(tǒng)穩(wěn)定只需〔匕內(nèi)，解得o=3?^i

3.10.某限制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定能使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)47的取值范圍。

解：由系統(tǒng)開環(huán)傳函可知

勞斯表如下：

由勞斯準(zhǔn)則可知，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，則第一列元素符號(hào)不能改變。若第一列元素均大于0,即

解得EMBEDEquation.3尺/，

當(dāng)冷1時(shí)—m,當(dāng)時(shí)，72=€

3.11.設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為

⑴

試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益￡的取值范圍(留意K豐K)

解：⑴

0.2K-\

520.8K

?3K—4

s0

4

5°

勞斯表如下：SKA

解得：使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍3。

(2)

由于特征方程出現(xiàn)小于零的系數(shù)，可知無論開環(huán)增益K取何值閉環(huán)系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

3.12.設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

若要求閉環(huán)特征方程的根的實(shí)部均小于-1,問K值應(yīng)取在什么范圍假如要求實(shí)部均小于2,狀況又如何

解：由反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函

(D令:得:—

勞斯表如下：

欲彳史系統(tǒng)穩(wěn)定，則第一列元素符號(hào)不能改變，大于零：

(28-1800弓”

(2)令U:，得:

假如要求實(shí)部均小于2,由特征方程可見，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件不成立，無論代取何值，系

統(tǒng)都不穩(wěn)定。

3.13.單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為af

(1)求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)；

(2)輸入信號(hào)為r(t)=l(t),求系統(tǒng)的誤差函數(shù)e(t)；

解：⑴開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù)

單位階躍響應(yīng)

(2)不考慮擾動(dòng)作用

3.14.某限制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3.40所示。

(1)當(dāng)斫0時(shí)，試確定系統(tǒng)的阻尼比<,無阻尼自然振蕩頻率3m和單位斜坡信號(hào)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

(2)當(dāng)系統(tǒng)具有最佳阻尼比(<=0.707)時(shí)，確定R

系統(tǒng)中的a值和單位斜坡信號(hào)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

(3)若要保證系統(tǒng)具有最佳阻尼比(4=0.707),且

穩(wěn)態(tài)誤差等于0.25時(shí)，確定系統(tǒng)中的a值及前向通道的

放大系數(shù)應(yīng)為多少？

圖3.40習(xí)題3.14圖

一21

——-―f-___

2c^后

解：⑴當(dāng)D時(shí)，

:￥=—=02：

2,單位斜坡信號(hào)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

v^=>

⑵―時(shí)，如“1函

H、8

,得上&耳國S十”門.一，單位斜坡信

氣尸三=05

號(hào)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差.

CI^=^

⑶此時(shí)?之?木Q,

3

聯(lián)立上兩式解得2^^,16。

3.15.已知單位反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(1)求單位斜坡輸入時(shí)，使穩(wěn)態(tài)誤差為零，參數(shù)包價(jià)應(yīng)滿足的條件；

(2)在(1)求得的參數(shù)右,4下，求單位拋物線輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：(1)等效單位負(fù)反饋開環(huán)傳遞函數(shù)

依據(jù)單位斜坡輸入時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差為0得：

%=10

A-26

11?即開環(huán)傳遞函數(shù)為

(2)單位拋物線輸入時(shí)

3.16.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3.41所示。

(1)當(dāng)n(t)=,時(shí)，試求系統(tǒng)總穩(wěn)態(tài)誤

輪*式2s+l)

(9\當(dāng)H八=MA.n(A=nRd-制於

圖3.41習(xí)題3.16圖

解：⑴

參考作用下的誤差傳遞函數(shù)為

穩(wěn)態(tài)誤差為

或

擾動(dòng)作用下的誤差傳遞函數(shù)為

穩(wěn)態(tài)誤差為

系統(tǒng)總誤差為

(2)當(dāng)r*)=l(t),Mt)=0時(shí)，

3.17.設(shè)單位反饋限制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求當(dāng)輸入信號(hào)，(力=2^^時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：系統(tǒng)為I型系統(tǒng)

3.18.在很多化學(xué)過程中，反應(yīng)槽內(nèi)的溫度要保持恒定，圖3.42(a),(b)分別為開環(huán)和閉環(huán)溫度限制系統(tǒng)

結(jié)構(gòu)圖，兩種系統(tǒng)正常的義值為1。

(a)(b)

圖3.42習(xí)題3.18圖

⑴若d2兩種系統(tǒng)從響應(yīng)開始達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度值的63.2%各需多長時(shí)間？

(2)當(dāng)有階躍擾動(dòng)—="0〕時(shí)，求擾動(dòng)對(duì)兩種系統(tǒng)的溫度的影響。

解：⑴

開環(huán)：《)=罰*年)

達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度值的62.3%需時(shí)

閉環(huán)：nQls+l-

達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度值的62.3%需時(shí)

(2)

飛)=17^xA(s)

開環(huán)：KXd-1

閉環(huán)：JLKH-KJLI

各項(xiàng)指標(biāo)不變。

又解：c?(r)=O.1,加干擾后對(duì)系統(tǒng)始終有影響；

a?(i)=O.加干擾后，當(dāng)t趨于無窮時(shí)，對(duì)系統(tǒng)沒有影響。

結(jié)論：反饋結(jié)構(gòu)可以消退干擾的影響。

4T假如單位反饋限制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試用解析法繪出/從零向無窮大變化時(shí)的閉環(huán)根軌跡圖，并推斷下列點(diǎn)是否在根軌跡上：

(2,jO),(0+jl),(3+j2)o

解：根軌跡如習(xí)題4T答案圖所示。(-2,+R)在根軌跡上；(0,+力)，(-3,+j2)不在根軌跡上。

習(xí)題4-1答案圖

4-2設(shè)單位反饋限制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

試用解析法給出開環(huán)增益/從零增加到無窮時(shí)的閉環(huán)根軌跡圖。

解：解析法：N0時(shí)：s=-l/2,0；AM：s=-1±V2/2.K=-8；s=-8,-1/3。根軌跡如習(xí)題4-2答案

圖所示。

習(xí)題4-2答案圖

4-3已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試按根軌跡規(guī)則畫出該系統(tǒng)的根軌跡圖，并

確定使系統(tǒng)處于穩(wěn)定時(shí)的《值范圍。

解：分別點(diǎn)；0.414；會(huì)合點(diǎn)：-2.414；及虛軸交點(diǎn)：土力穩(wěn)定的人值范圍：Q1。

根軌跡如習(xí)題4-3答案圖所示。

習(xí)題4-3答案圖

4-4已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(1)試粗略畫出K由0到8的根軌跡圖；(2)分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：穩(wěn)定性分析：系統(tǒng)不穩(wěn)定。根軌跡如習(xí)題4-4答案圖所示。

習(xí)題4-4答案圖

4-5設(shè)限制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡圖，

并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍。

解：漸近線：=60。，180。；=-2/3；復(fù)數(shù)極點(diǎn)出射角;55°；分別會(huì)合點(diǎn)0.46和-2.22；及

虛軸交點(diǎn)L57和2.56：使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益為1.46<K<2.23(即23.4</<35.7)。

習(xí)題4-5答案圖

4-6已知系統(tǒng)的特征方程為

試概略繪出/由0―8時(shí)的根軌跡(計(jì)算出必要的特征參數(shù))。

解：漸近線：=90°,=0：分別點(diǎn)2,相應(yīng)后1.88；會(huì)合點(diǎn)J3.46,相應(yīng)后34.14；復(fù)數(shù)零點(diǎn)

入射角：90。；無論A"為何值系統(tǒng)均不穩(wěn)定。

習(xí)題4-6答案圖

4-7反饋系統(tǒng)的特征方程為

作出0〈/<8的根軌跡，并求出系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)所對(duì)應(yīng)的《值范圍。

解：漸近線：=60°,180°；=-2/3：復(fù)數(shù)極點(diǎn)出射角+63°；分別點(diǎn)：1.6,會(huì)合點(diǎn)：-

3.43。由圖可知系統(tǒng)在任何K值下都是不穩(wěn)定的。

習(xí)題4-7答案圖

4-8已知閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

(1)畫出a=10時(shí)的根軌跡，并說明系統(tǒng)的過渡過程為單調(diào)變化和阻尼振蕩時(shí)X的取值范圍；

(2)確定根軌跡具有一個(gè)非零分別點(diǎn)的a值，并畫出相應(yīng)的根軌跡；

(3)在(2)中確定的a值下，求閉環(huán)傳遞函數(shù)具有二重極點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的A■值；

(4)畫出a=5時(shí)的根軌跡。當(dāng)/=12時(shí)，已知一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為$=2,問該系統(tǒng)能否等效為一個(gè)二

階系統(tǒng)？

解：(1)漸近線：=90°,=-4.5：會(huì)合點(diǎn)：-2.5,分別點(diǎn)：-4。阻尼振蕩時(shí)A■的取值范圍

為(0,31.3)(32,8),呈單調(diào)變化時(shí)《的取值范圍為(31.3,32)o

習(xí)題4-8(1)答案圖

(2)具有一個(gè)非零分別點(diǎn)的a=9。

習(xí)題4-8(2)答案圖

(3)a=9時(shí)，閉環(huán)二重極點(diǎn)3,尸-3對(duì)應(yīng)的舲27。

(4)漸近線：=90°,=-2；不能等效。

畫出a=5時(shí)的根軌跡。

習(xí)題4-8(4)答案圖

4-9設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L出《和a從零變到無窮大時(shí)的根軌跡簇；當(dāng)《=4時(shí)，繪出以a為參變量的根軌跡。

解：令a=0繪制”為參變量的根軌跡如習(xí)題4-9答案圖之一所示。

習(xí)題4-9答案圖之一

當(dāng)《取不同值時(shí)，繪出a變化的根軌跡簇如習(xí)題4-9答案圖之二所示。當(dāng)K=4時(shí)，畫a從零到無窮

大時(shí)的根軌跡如圖中粗線示。

習(xí)題4-9答案圖之二

410設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中開環(huán)增益Al可自行選定，試分析時(shí)間常數(shù)方對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

解：重做該題。等效開環(huán)傳遞函數(shù)

當(dāng)/時(shí)，G(s)'具有實(shí)數(shù)極點(diǎn)。取任何正實(shí)數(shù)7；系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。選擇於0.1畫根

軌跡如習(xí)題-答案圖之一所示。

習(xí)題答案圖之一

當(dāng)K時(shí)，G(s)'具有復(fù)數(shù)極點(diǎn)。取向0.5,1,2,畫根軌跡如習(xí)題-答案圖之

二所示。當(dāng)0</1時(shí)，取任何正實(shí)數(shù)方都是穩(wěn)定的；當(dāng)A1時(shí)，成2,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

習(xí)題答案圖之二

4-11設(shè)限制系統(tǒng)中UG+D,內(nèi)曰。該系統(tǒng)在增益/為任何正值時(shí)，均不穩(wěn)定。試畫

出該系統(tǒng)的根軌跡圖。利用作出的根軌跡圖，說明在負(fù)實(shí)軸上加一個(gè)零點(diǎn)，將G(s)改變?yōu)镚(s),即

可以使系統(tǒng)穩(wěn)定下來。

解：(1)漸近線：=60°,180°；=-1/3。畫出根軌跡如習(xí)題-答案圖之一所示。

(2)取a=0.5,漸近線；=90。，=(a-1)/2。畫出根軌跡如習(xí)題-答案圖之二所示。從

圖中可以看出增加開環(huán)零點(diǎn)后使得根軌跡向s左半平面彎曲，從而使得閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到提高。

習(xí)題-答案圖之一

習(xí)題-答案圖之

4-12設(shè)限制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試分別畫出正反饋系統(tǒng)和負(fù)反饋系統(tǒng)的

根軌跡圖，并指出它們的穩(wěn)定狀況有何不同。

解：負(fù)反饋系統(tǒng)：漸近線：=60°,180°；=-5/3；及虛軸交點(diǎn)s=1.414,后12。根軌跡如

習(xí)題-答案圖之一所示。

正反饋系統(tǒng)：漸近線：=0°,120°；=-5/3：根軌跡如習(xí)題-答案圖之二所示。

穩(wěn)定狀況的不同：正反饋系統(tǒng)恒不穩(wěn)定，負(fù)反饋系統(tǒng)條件穩(wěn)定，穩(wěn)定范圍0<旅12。

習(xí)題-答案圖之一

習(xí)

題-答案圖之二

4-13已知系統(tǒng)如圖4.23所示。畫出其根軌跡，并求出當(dāng)閉環(huán)共規(guī)復(fù)數(shù)極點(diǎn)呈現(xiàn)阻尼比0.707時(shí)，

系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

圖4.23習(xí)題4T3圖

解：二0.707時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為$.2=-2R,53二-2。此時(shí)，后2。根軌跡如習(xí)題-答案圖所示。

當(dāng)閉環(huán)共加復(fù)數(shù)極點(diǎn)呈現(xiàn)阻尼比為0.707時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

習(xí)題-答案圖

畫一張響應(yīng)曲線圖：求c(Z)。

已知

4-14系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

⑴繪制系統(tǒng)的根軌跡圖;

(2)確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)4的取值范圍；

(3)若要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量為16.3%,確定相應(yīng)的/值。

解：(1)分別點(diǎn)：-0.41,后0.24；復(fù)數(shù)零點(diǎn)入射角200°；及虛軸交點(diǎn)jl.25o根軌跡如習(xí)題-答

案圖所示。(2)穩(wěn)定時(shí)的k的范圍是：0.2〈旅0.75。(3)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量為16.3%時(shí)A"的值為

0.311.

習(xí)題-答案圖

4T5己知系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖4.24所示。且可變系數(shù)0

(1)證明該系統(tǒng)實(shí)軸以外部分的參數(shù)根軌跡為半圓周。

(2)完整精確地畫出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。

(3)以根軌跡為依據(jù)，求出滿足系統(tǒng)阻尼比=0.5時(shí)的值。

圖4.24習(xí)題4-15圖

解：(1)證明略。

(2)會(huì)合點(diǎn)護(hù)-1：復(fù)數(shù)極點(diǎn)出射角180°；根軌跡如習(xí)題-答案圖所示。

(3)=0.5時(shí)的=0.999。

習(xí)題-答案圖

4T6設(shè)限制系統(tǒng)如圖4.25所示，試概略繪出《=0,0<^,<1,K,>\時(shí)的根軌跡和單位階躍響應(yīng)曲線。

若取《=0.5,試求出股8時(shí)的閉環(huán)零極點(diǎn)，并估算出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

圖4.25習(xí)題4-16圖

解：(1)4=0時(shí)的根軌跡和單位階躍響應(yīng)曲線如習(xí)題-答案圖之一所示。

習(xí)題-答案圖之一響應(yīng)曲線不對(duì)

已知S(S*?'0,請(qǐng)選后0.5做響應(yīng)曲線。此時(shí)=0.707。

(2)(K&Q,取用=0.5時(shí)，根軌跡和單位階躍響應(yīng)曲線如習(xí)題-答案圖之二所示。

習(xí)題-答案圖之二響應(yīng)曲線不對(duì)

已知,請(qǐng)選后］做響應(yīng)曲線。

(3)《〉1,取用=2時(shí)，根軌跡和單位階躍響應(yīng)曲線如習(xí)題-答案圖之三所示。

習(xí)題答案圖之三響應(yīng)曲線重畫

已知請(qǐng)選芥=1做響應(yīng)曲線。

(4)閉環(huán)極點(diǎn)：-2；閉環(huán)零點(diǎn)：無；可等效為一階系統(tǒng)，時(shí)間常數(shù)及0.5。

估算系統(tǒng)性能：%40%乙=3年1.5s

4-17系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4.26所示。

(1)試求當(dāng)《從0?8時(shí)系統(tǒng)，(s)/Ms)的根軌跡圖。

(2)若Ms)=l/s,探討X值大小對(duì)輸出響應(yīng)的影響。

圖4.26習(xí)題4T7圖

解：(1)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的入射角為0°。A>0特征根為一對(duì)共舸復(fù)數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定。根軌跡曲線如習(xí)題-答

案圖所示。

習(xí)題-答案圖

(2)4值大小對(duì)輸出響應(yīng)的影響：/值小時(shí)，大，t3長。

5-1某系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為c(t)=1e'+ee",試求系統(tǒng)的頻率特性。

Qs)=-5同心3內(nèi),

解：(s+lXs+2Ks+4),將代入，得

5-2設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

當(dāng)輸入信號(hào)r(D=4sin￡時(shí)，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。

解：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為

5-3畫出下列傳遞函數(shù)的Bode圖。

T^s+1T|5—1

(1)G(s)=T2S+l,(刀>&>0).(2)G(s)=，2S+l,(刀>4>0)

一串+1

(3)G(s)=T2s+i,(7；>￡>0)

解：答案見胡壽松主編《自動(dòng)限制原理習(xí)題集》Page709,B5T3。

5-4畫出下列傳遞函數(shù)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線和相頻特性曲線。

2_______5Q

(1)C(s)=O+D@+D;⑵G(s)=3g+TOeH>

10(s+Q2)

⑶G(s)=H(S+°」)；(4)G(s)=Kfc,129

解：對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線和相頻特性曲線如習(xí)題5-4(1)~5-4(4)答案圖所示。

習(xí)題5-4(1)答案圖習(xí)題5-4(2)答案圖

習(xí)題5-4(3)答案圖習(xí)題5-4(4)答案圖

5-5系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下。試?yán)L制極坐標(biāo)曲線，并用奈魁斯特判據(jù)判別其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1000(5+1)250

(1)G(s)3(s)=s<s+5)(s+15)；⑵G(S)〃(S)=S~(S+50

(3)G(s)"6)=92^8H

解：(1)穩(wěn)定：(2)不穩(wěn)定；(3)穩(wěn)定。

極坐標(biāo)曲線如習(xí)題5-5(1)~5-5(3)答案圖所示。

第(1)題重做。

習(xí)題5-5(1)答案圖

習(xí)題5-5(2)答案圖習(xí)題5-5(3)答案圖

5-6給定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

1O

c(s)〃(s)=W+DS"

試?yán)L制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，并用奈魁斯特判據(jù)推斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：極坐標(biāo)曲線如習(xí)題5-6答案圖所示。多2,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

習(xí)題5-6答案圖

5-7給定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

K(s-1)

G(s)風(fēng)s)=S(S+D,給o

試用奈魁斯特判據(jù)推斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：極坐標(biāo)曲線如習(xí)題5-7答案圖所示。01,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

習(xí)題5-7答案圖

5-8已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5.61(a)所示，其中G(s)的頻率特性如圖5.61(b)所示，T>>0?試用

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(a)(b)

圖5.61習(xí)題5-8圖

解：n+1,Z2,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

此處加一個(gè)習(xí)題答案圖。

習(xí)題5-8答案圖

5-9某無源瘡。網(wǎng)絡(luò)如圖5.62所示，當(dāng)10時(shí)，其幅值4=1,相角

。二90,試求其傳遞函數(shù)G(s)。

圖5.62習(xí)題5-9圖

解：如設(shè)。=0.i“，則icr/qis+i

5-10某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

K

G(s)"(s)=父卒⑥

其中7；=0.1秒，%=10秒，開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5.63所示。設(shè)對(duì)數(shù)幅頻特性斜率為20dB/dec的線段

的延長線及零分貝線交點(diǎn)的角頻率為10弧度/秒。試問：

(1)系統(tǒng)中舲？

(2)剪切頻率<.=?

(3)系統(tǒng)是否穩(wěn)定

(4)分析系統(tǒng)參數(shù)￡K,乙變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

圖5.63習(xí)題5-10圖

解：(1)舲10；(2)&=L(3)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，屬于不穩(wěn)定；(4)KT,系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。為減

小，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有利，其中石的減小效果更顯著。

5-11最小相位系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性如圖5.64所示。試求其傳遞函數(shù)，并作出相應(yīng)的相頻特性。

氏。)(dB)圖5.64可蒯-(理翹0.010.1

解：°

-20dB/dec

-20dB/dec

①+20dB/dec

0

1

(a)(b)

/fn3L605(25+10

5(0.55+1)

(a)G(5)=S=Q+iXig+i)：(c)

777;(B)

5)=~/5cs+D

或

(d)W+LOXT^25)

5-12試求圖5.65所示具有純延時(shí)環(huán)節(jié)限制系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K0的范圍。

圖5.65習(xí)題5-12圖

解：穩(wěn)定范圍：0</<1.9。

5-13設(shè)單位反饋限制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

as+1

(1)G(s)=/，試確定使相角裕度等于45°的乙值

K

⑵G(s)=(?！悴?1)3,試確定使相角裕度等于45°的《值。

解：(1)C=0.84；(2)的2.83。

5-14設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

求幅值裕度為20dB時(shí)的“值。

解：?=1.52,其中

5-15設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5.66所示。試用奈魁斯特判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出其穩(wěn)定裕度。其中

2

%=0.5,G(s)=S+1。

圖5.66習(xí)題5T5圖

玄生忸鈦曲』峰=15

解：系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)/ES/

5-16設(shè)?負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

200

G(s)=W+S+16

若使系統(tǒng)的幅值裕度為20分貝，開環(huán)放大倍數(shù)A1應(yīng)為何值此時(shí)相角裕度為多少

解：開環(huán)放大倍數(shù)相角裕度片小

5-17對(duì)于典型二階系統(tǒng)，已知參數(shù)々一,0.7,試確定剪切頻率,1和相角裕度？。

9

G(s)=

5(5+4.2)2=1^^G51S

解：,,O

5-18一限制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖5.67所示。其中

1麻+1)48

G(s)=&-+1,&(s)='("2(升1)

試按其閉環(huán)幅頻特性曲線估算系統(tǒng)的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)％及

圖5.67習(xí)題5-18圖

解：%=20%&=1.17

%=11%rs=2.8

第六章習(xí)題

6-1.解：

方法一：原系統(tǒng)的截止頻率為44.16rad/s,相穩(wěn)定裕度為

1800-90°-arctan4.416=12.76°

截止頻率和相角裕度均不滿足要求，需加入串聯(lián)超前校正，選擇校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

取校正后系統(tǒng)的截止頻率相角裕度外均￡則

由上述3式的

校正后系統(tǒng)的截止頻率為百名，相角裕度產(chǎn)，豈滿足要求。

方法二：按二階系統(tǒng)最佳模型設(shè)計(jì)，設(shè)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

金代空07《由古不必7小匕，得K0Q即

易驗(yàn)證該校正環(huán)節(jié)滿足要求。

6-2.解：

本題可首先檢驗(yàn)系統(tǒng)得性能指標(biāo)，針對(duì)系統(tǒng)在性能上的缺陷并結(jié)合校正網(wǎng)絡(luò)的作用，選用合適的校正網(wǎng)

絡(luò)，再按相應(yīng)的步驟確定校正網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。

(1)依據(jù)穩(wěn)定誤差要求，確定系統(tǒng)的K值。

求得不巨。

(2)利用已確定的K,計(jì)算未校正系統(tǒng)的相角裕度。

取后白，則

其漸近對(duì)數(shù)幅頻特性可表示為

由茲》^求得

此時(shí)系統(tǒng)的相角裕度為

明顯，系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)誤差滿足指標(biāo)要求的狀況下，相角裕度不滿足要求?？蛇x用超前校正網(wǎng)絡(luò)來提高系統(tǒng)的

相角裕度，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

(3)依據(jù)相角裕度的要求，計(jì)算超前校正網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。

依據(jù)要求的相角裕度4廳和未校正系統(tǒng)的相角裕度2⑥計(jì)算，超前校正網(wǎng)絡(luò)應(yīng)供應(yīng)1舜的超前相角，

但考慮到超前校正會(huì)使系統(tǒng)的剪切頻率增大，而未校正系統(tǒng)在新的剪切頻率°，處具有更大的滯后相角，

因此需在1部相角的基礎(chǔ)上增加一些裕量(此處選為8°).

利用(6-13)式可得

由(6-15)式有

即

解得

留意：?，是校正后系統(tǒng)的剪切頻率，它及超前校正網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生最大超前相角時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率“M相

等。在°，上，未校正系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性應(yīng)當(dāng)及超前網(wǎng)絡(luò)的對(duì)數(shù)幅頻特性大小相等，符號(hào)相反。

由(6-14)式有圣兒N工O工

故超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

(4)驗(yàn)算己校正系統(tǒng)的相角裕度。

校正后系統(tǒng)的相角裕度滿足給定指標(biāo)要求。

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

校正前后開環(huán)系統(tǒng)及校正網(wǎng)絡(luò)的Bode圖如圖6-2所示。

圖6-2

6-3.解：

當(dāng)未校正系統(tǒng)在要求的剪切頻率旁邊相頻特性負(fù)斜率較大，或須要供應(yīng)的補(bǔ)償相角較大時(shí)，采納一級(jí)超前

校正滿足不了要求，此時(shí)可以采納兩級(jí)或多極串聯(lián)超前校正方案。其參數(shù)確定的方法可參照一般設(shè)計(jì)步驟

進(jìn)行。

(1)依據(jù)誤差系統(tǒng)的要求，確定開環(huán)增益K。

(2)依據(jù)確定的K值，計(jì)算未校正系統(tǒng)的相角裕度。

取則

其漸近幅頻特性為

由ZZ折￡求得

此時(shí)相角裕度

明顯系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。若要求系統(tǒng)的相角裕度片臺(tái)三須要用串聯(lián)超前校正來提高系統(tǒng)的相角裕度。

(3)依據(jù)相角裕度要求，確定超前校正網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。

其中為增加的裕量。

考慮到需增加的超前相角較大，可采納二級(jí)相同的串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò)來完成校正任務(wù)，每級(jí)校正網(wǎng)絡(luò)

所供應(yīng)的最大超前相角為

校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

。石.一-/

夕

利用(6-13)式可得:CR

由(6-15)式有

解得

(4)驗(yàn)算已校正系統(tǒng)的性能指標(biāo)。

相角裕度不滿足要求，這是因?yàn)樵诖_定校正網(wǎng)絡(luò)的最大超前相角0M時(shí)，所增加的裕量較小(為12)。未

校正系統(tǒng)在"，和0，處的相角分別為

兩者相差1日三故所增