三二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)

Monday,February5,20241第三節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)Monday,February5,20242一、典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它在控制工程中的應(yīng)用極為廣泛。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，也可簡化為二階系統(tǒng)來研究。開環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)傳遞函數(shù)為:-

稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。這兩個參數(shù)稱為二階系統(tǒng)特征參數(shù)。典型結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)如圖所示。Monday,February5,20243特征根為：注意：當(dāng)不同時，特征根有不同的形式，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)形式也不同。它的階躍響應(yīng)主要有振蕩和非振蕩兩種情況。特征方程為：⒈當(dāng)時，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。⒉當(dāng)時，特征方程有一對實部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。⒊當(dāng)時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。⒋當(dāng)時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。Monday,February5,20244當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時，，有：⒈當(dāng)時，極點為：

此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以,稱為無阻尼振蕩圓頻率。二、典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

Monday,February5,20245兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)⒉當(dāng)時，系統(tǒng)極點為：Monday,February5,20246兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)極點為：極點的負(fù)實部決定了指數(shù)衰減的快慢，虛部是振蕩頻率。稱為阻尼振蕩圓頻率。注意：。Monday,February5,20247階躍響應(yīng)函數(shù)為：⒊當(dāng)時，極點為：兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)Monday,February5,20248兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)⒋當(dāng)時，極點為：即特征方程為特征方程還可為Monday,February5,20249兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)因此過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應(yīng)為于是閉環(huán)傳函為：這里，式中Monday,February5,202410兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)Monday,February5,202411

上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點分布和單位階躍響應(yīng)如下表所示：單位階躍響應(yīng)極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負(fù)實根單調(diào)上升一對負(fù)實重根

衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)Monday,February5,202412典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)可以看出：隨著的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當(dāng)時c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)。可見反映實際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。Monday,February5,202413衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)三、典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)及其與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系（一）衰減振蕩瞬態(tài)過程：⒈上升時間：根據(jù)定義，當(dāng)時，。解得：Monday,February5,202414

稱為阻尼角，這是由于。衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)Monday,February5,202415衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)⒉峰值時間：當(dāng)時，整理得：由于出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：其中Monday,February5,202416衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)00.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025Monday,February5,202417⒊最大超調(diào)量：故：衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)將峰值時間代入最大超調(diào)量僅與阻尼系數(shù)有關(guān)。Monday,February5,202418衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)Monday,February5,202419衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)⒋調(diào)節(jié)時間：可見，寫出調(diào)節(jié)時間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一對包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為

根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，當(dāng)t≥ts時|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。Monday,February5,202420當(dāng)t=t’s時，有：

由于實際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快，因此可用包絡(luò)線代替實際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時間。即認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進(jìn)入誤差帶時，調(diào)整過程結(jié)束。衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)當(dāng)較小時，近似?。?，且所以Monday,February5,202421由分析知，在之間，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量都較小。工程上常取作為設(shè)計依據(jù)，稱為最佳阻尼常數(shù)。Monday,February5,202422衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)Monday,February5,202423衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)Monday,February5,202424衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)Monday,February5,202425⒌振蕩次數(shù)N：衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)Monday,February5,202426阻尼系數(shù)是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但長。當(dāng)時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。[總結(jié)]在欠阻尼情況下工作時，若過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。注意到只與有關(guān)，所以一般根據(jù)來選擇。

越大，（當(dāng)一定時）為了限制超調(diào)量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調(diào)量在25%~1.5%之間。Monday,February5,202427非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)這是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間就可以描述瞬態(tài)過程的性能。利用牛頓迭代公式（二）非振蕩瞬態(tài)過程：⒈對于，極點為：Monday,February5,202428牛頓迭代公式：對,其根可迭代求出:現(xiàn)在確定函數(shù)f(x):令，在調(diào)整時間處，有，則可令：由上式解出的x即是調(diào)整時間Monday,February5,202429非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)在c(t)中，有兩個衰減指數(shù)項，所以是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間就可以描述瞬態(tài)過程的性能。當(dāng)時利用牛頓迭代公式可得當(dāng)時，，這時可用一階系統(tǒng)來近似此時調(diào)節(jié)時間由較大的時間常數(shù)決定。⒉當(dāng)時，極點為：Monday,February5,202430非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)Monday,February5,202431非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)

此時，極點s2遠(yuǎn)離虛軸，且c(t)中包含極點s2的指數(shù)項的系數(shù)絕對值大，所以由極點s2引起的指數(shù)項衰減的很快。

這時出現(xiàn)的問題是c(0)≠0。當(dāng)時，極點為：，

同時，c(t)中包含極點s2的衰減項的系數(shù)小，所以由極點s2引起的指數(shù)項在解中所占比重小。

因此可以考慮在瞬態(tài)過程中忽略s2的影響，把二階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)。Monday,February5,202432非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)

這時，閉環(huán)傳函應(yīng)寫成時間常數(shù)形式，通過略去小時間常數(shù)來降階，而不能簡單地略去大極點來降階。

這樣才能既保證降階的系統(tǒng)的初值和終值都與原系統(tǒng)一樣。Monday,February5,202433通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)時間，即希望系統(tǒng)的阻尼系數(shù)在0~1之間。而不希望處于過阻尼情況，因為調(diào)節(jié)時間過長。但對于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于情況。

需要說明的是，在所有非振蕩過程中，臨界阻尼系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間最小。Monday,February5,202434典型二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的小結(jié)⒈極點位置與階躍響應(yīng)形式的關(guān)系典型二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的小結(jié)單位階躍響應(yīng)極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負(fù)實根單調(diào)上升一對負(fù)實重根

衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

Monday,February5,202435①阻尼系數(shù)、阻尼角與最大超調(diào)量的關(guān)系zb=cos-1zd%zb=cos-1zd%0.184.26°72.90.6946.37°50.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7838.74°20.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.15⒉極點位置與特征參數(shù)z、wn及性能指標(biāo)的關(guān)系②wn是極點到原點的直線距離，距離越大振蕩頻率越高。Monday,February5,202436③極點距虛軸的距離與系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間成反比(0<z<0.8)對于臨界阻尼和過阻尼情況，此規(guī)律也存在。Monday,February5,202437瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)例子[例]：求如下隨動系統(tǒng)的特征參數(shù),分析與性能指標(biāo)的關(guān)系。+n-電壓放大器+-+-功放C-K1K2R若假設(shè)電樞電感La=0，則Ta=0，方程為當(dāng)只考慮Ua時，電動機的微分方程方程為電動機傳遞函數(shù)為電壓放大器和功放的傳遞函數(shù)分別為K1和K2，可得方框圖因所以Monday,February5,202438瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)例子閉環(huán)傳遞函數(shù)為：⒈T不變，K↑下面分析瞬態(tài)性能指標(biāo)和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系(假設(shè)):→N↑?！鷝↓→

d%↑→wn↑→wd↑→zwn=1/2T不變，ts幾乎不變總之，K增大振蕩加?。虎睰不變，T↑→N↑?！鷝↓→

d%↑→wn↓→wd↓→zwn=1/2T↓→ts↑實際系統(tǒng)中T往往不能變，要使系統(tǒng)性能好，則K↓，這對控制精度不利。Monday,February5,202439改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施四、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生過程[0,t1]誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，以使誤差減小，但因系統(tǒng)阻尼系數(shù)小，正向速度大，造成響應(yīng)出現(xiàn)正向超調(diào)。[t1,t2]誤差信號為負(fù)，產(chǎn)生反向修正作用，但開始反向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使正向速度為零，此時輸出達(dá)到最大值。[t2,t3]誤差信號為負(fù)，此時反向修正作用大，使輸出返回過程中又穿過穩(wěn)態(tài)值，出現(xiàn)反向超調(diào)。[t3,t4]誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，但開始正向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使反向速度為零，此時輸出達(dá)到反向最大值。Monday,February5,202440改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生原因[0,t1]正向修正作用太大，特別在靠近t1

點時。[t1,t2]反向修正作用不足。減小二階系統(tǒng)超調(diào)的思路[0,t1]減小正向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。[t1,t2]加大反向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。[t2,t3]減小反向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。[t3,t4]加大正向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。即在[0,t2]內(nèi)附加一個負(fù)信號，在[t2,t4]內(nèi)附加一個正信號。減去輸出的微分或加上誤差的微分都具有這種效果。Monday,February5,202441改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施a.輸出量的速度反饋控制--+-b.誤差的比例+微分控制將輸出量的速度信號c’(t)采用負(fù)反饋形式反饋到輸入端并與誤差信號e(t)比較，構(gòu)成一個內(nèi)反饋回路。簡稱速度反饋。以誤差信號e(t)與誤差信號的微分信號e’(t)的和產(chǎn)生控制作用。簡稱PI控制。又稱微分順饋為了改善系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱為對系統(tǒng)進(jìn)行校正。附加環(huán)節(jié)稱為校正環(huán)節(jié)。速度反饋和速度順饋是較常用的校正方法。Monday,February5,202442改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施a.輸出量的速度反饋控制---與典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。Monday,February5,202443改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施+-b.誤差的比例+微分控制-與典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為

由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。⒊閉環(huán)傳遞函數(shù)有零點，將會給系統(tǒng)帶來影響。Monday,February5,202444改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施c.比例+微分控制與速度反饋控制的關(guān)系--比例+微分控制相當(dāng)于分別對輸入信號和反饋信號進(jìn)行比例+微分。其中對反饋信號進(jìn)行比例+微分相當(dāng)于速度反饋。所以誤差的比例+微分控制相當(dāng)于輸出的速度反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)再串聯(lián)比例+微分環(huán)節(jié)。因此可以將其分別討論。-Monday,February5,202445具有零點的二階系統(tǒng)零極點分布圖四、具有零點的二階系統(tǒng)分析具有零點的二階系統(tǒng)比典型的二階系統(tǒng)多一個零點，(和不變)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，零點為：具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：Monday,February5,202446由上圖可看出：使得比響應(yīng)迅速且有較大超調(diào)量。具有零點的二階系統(tǒng)分析Monday,February5,202447具有零點的二階系統(tǒng)分析具有零點的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)為：式中：，零極點分布圖Monday,February5,202448具有零點的二階系統(tǒng)分析根據(jù)上式可以得出主要性能指標(biāo)如下：式中：，，Monday,February5,202449設(shè)為零點和極點實部之比具有零點的二階系統(tǒng)分析Monday,February5,202450比例+微分控制的性能+-比例+微分控制的性能（具有零點的二階系統(tǒng)）這是一個典型二階環(huán)節(jié)加微分順饋。不同的是其原二階環(huán)節(jié)的阻尼系數(shù)增加了，變?yōu)?，而無阻尼振蕩頻率不變。我們知道，當(dāng)阻尼系數(shù)不變時，附加零點會使系統(tǒng)的超調(diào)量增大。但是，增加了順饋環(huán)節(jié)雖然增加了一個零點，卻使系統(tǒng)的阻尼系數(shù)增加了。一般來講，超調(diào)量會下降。這樣，就能改善系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。Monday,February5,202451比例微分控制與測速反饋控制的比較

對于理想的線性控制系統(tǒng)，在比例微分控制和測速反饋控制方法中，可以任取其中一種方法來改善系統(tǒng)性能。然而，實際控制系統(tǒng)有許多必須考慮的因素，例如系統(tǒng)的具體組成、作用在系統(tǒng)上噪聲的大小及頻率等。下面，僅討論幾種主要的差別：⒈附加阻尼來源：比例微分控制的阻尼作用產(chǎn)生于系統(tǒng)的輸入端誤差信號的速度，而測速反饋控制的阻尼作用產(chǎn)生于系統(tǒng)的輸出端響應(yīng)的速度，因此對于給定的開環(huán)增益和指令輸入速度，后者對應(yīng)較大的的穩(wěn)態(tài)誤差。⒉使用環(huán)境：比例微分控制對噪聲有明顯的放大作用，當(dāng)系統(tǒng)輸入端噪聲嚴(yán)重時，一般不宜選用比例微分控制。同時微分器的輸入信號為系統(tǒng)的誤差信號，其能量水平低，需要相當(dāng)大的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，要求選用高質(zhì)量的放大器；而測速反饋控制對系統(tǒng)輸入端噪聲有濾波作用，同時測速發(fā)電機的輸入信號能量水平較高，因此對系統(tǒng)組成元件沒有過高的質(zhì)量要求，使用場合比較廣泛。Monday,February5,202452比例微分控制與測速反饋控制的比較⒊對開環(huán)增益和自然頻率的影響：比例微分控制對系統(tǒng)的開環(huán)增益和自然頻率均無影響；測速反饋控制雖不影響自然頻率，但卻會降低開環(huán)增益。因此，對于確定的常值穩(wěn)態(tài)誤差，測速反饋控制要求有較大的開環(huán)增益。開環(huán)增益的加大，必然導(dǎo)致系統(tǒng)自然頻率增大，在系統(tǒng)存在高頻噪聲時，可能引起系統(tǒng)共振。⒋對動態(tài)系統(tǒng)的影響：比例微分控制相當(dāng)于在系統(tǒng)中加入實零點，可以加快上升時間。在相同阻尼比的條件下，比例微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量會大于測速反饋控制系統(tǒng)的超調(diào)量。Monday,February5,202453瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)例3-1[解]：①③當(dāng)T不變時，T=0.25，②[例3-1]：如圖所示系統(tǒng)，試求：①和;②和③若要求時，當(dāng)T不變時K=?Monday,February5,202454瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)例3-2[解]：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：[例3-2]：上例中，用速度反饋改善系統(tǒng)的性能。如下圖所示。為使，求的值。并計算加入速度反饋后的瞬態(tài)指標(biāo)。--16Monday,February5,202455這時的瞬態(tài)性能指標(biāo)為：瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)例3-2顯然，加入了速度反饋后，不變，而增加了