三十講雙曲線

第三十講雙曲線一、引言：（一）本節(jié)的地位：圓錐曲線是中學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，所以它是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，在高考試卷中一般會(huì)有一道有關(guān)圓錐曲線的解答題，并且橢圓、雙曲線、拋物線出現(xiàn)的幾率大體相當(dāng).1（二）考試大綱要求：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)理解雙曲線的定義、掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)幾何性質(zhì)，能利用雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題并進(jìn)一步理解坐標(biāo)思想.本節(jié)重點(diǎn)：了解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、進(jìn)一步理解坐標(biāo)法；難點(diǎn)是綜合應(yīng)用概念性質(zhì)解決問(wèn)題．2（三）考情分析：與橢圓一樣，有關(guān)雙曲線的題目一般會(huì)出一道大題或小題.在選擇題或填空題中主要考查對(duì)概念的理解和靈活運(yùn)用、基本量的求解以及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，解答題一般為中檔題或難題，往往與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列等知識(shí)綜合考查，主要考查推理能力及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等重要思想.高考考查的題目的類型：對(duì)概念的考查、基本量及幾何性質(zhì)的考查、求曲線方程、突出幾何特征的考查、參數(shù)范圍問(wèn)題等.3二、考點(diǎn)梳理1．雙曲線第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫雙曲線的焦距．2．雙曲線第二定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．定點(diǎn)叫雙曲線焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)叫雙曲線離心率．43．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)：5,,,67

例1

設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若，則 （）三、典型例題選講

（一）考查雙曲線的概念A(yù)．1或5B．6C．7D．9分析：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程，兩個(gè)方程對(duì)比求出a的值，利用雙曲線的定義求出的值.8解：雙曲線漸近線方程是y=由已知漸近線為，歸納小結(jié)：本題考查雙曲線的定義及雙曲線的漸近線方程的表示法.，，，

故選C..9（二）基本量求解例2(2009山東卷理)設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為().A.B.5C.D.解析：雙曲線的一條漸近線為,由方程組10消去y,得有唯一解,所以△=,所以歸納小結(jié)：本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關(guān)系,只有一個(gè)公共點(diǎn),則解方程組有惟一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.，，故選D11例3（2009全國(guó)Ⅰ理）設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率等于()A.B.2C.D.解析：設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為.由題意有,

又，12解得:.

因此選C.

13例4（2009江西）設(shè)和為雙曲線（）的兩個(gè)焦點(diǎn),若，是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為A．B．C．D．2解析：由有則,故選B.歸納小結(jié)：注意等邊三角形及雙曲線的幾何特征，從而得出,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.314（三）求曲線的方程例5（2009北京）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為.（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求m的值.分析：（1）由已知條件列出的關(guān)系，求出雙曲線C的方程；（2）將直線與雙曲線方程聯(lián)立，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)在圓上求出m的值.15解（1）由題意，得，解得，∴，∴所求雙曲線C的方程為.（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AB的中點(diǎn)為.16

由得.（判別式）,∴∵點(diǎn)在圓上∴∴，，..1718

歸納小結(jié)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、中點(diǎn)弦等知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．19例6

過(guò)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若為弦的中點(diǎn)，求直線的方程．分析：求過(guò)定點(diǎn)的直線方程，只需要求出它的斜率．為此可設(shè)其斜率是,利用M為弦的中點(diǎn)，即可求得的值，由此寫出直線的方程．也可設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)用“點(diǎn)差法”求解．20解法一：顯然直線不垂直于軸，設(shè)其斜率是，則方程為．由消去得21設(shè)，由于M為弦的中點(diǎn)，所以，所以．顯然，當(dāng)時(shí)方程①的判別式大于零，所以直線的方程為，即．22又因?yàn)?，所以．解法二：設(shè)，則②－③得23若則，由得，．則點(diǎn)都不在雙曲線上，與題設(shè)矛盾，所以．所以．所以直線的方程為，即．經(jīng)檢驗(yàn)直線符合題意，故所求直線為．24解法三：設(shè)，由于關(guān)于點(diǎn)M（1，1）對(duì)稱，所以的坐標(biāo)為，則消去平方項(xiàng)，得．④即點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程④，同理點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足方程④．故直線的方程為．歸納總結(jié)：由于雙曲線（拋物線）不是“封閉”的曲線，以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦不一定存在，所以在求雙曲線（拋物線）中點(diǎn)弦方程時(shí)，必須判斷滿足條件的直線是否存在．25（四）軌跡問(wèn)題例7

已知點(diǎn)為雙曲線（b為正常數(shù)）上任一點(diǎn),為雙曲線的右焦點(diǎn),過(guò)作右準(zhǔn)線的垂線,垂足為,連接并延長(zhǎng)交軸于.求線段的中點(diǎn)P的軌跡的方程.分析：求軌跡問(wèn)題有多種方法，如相關(guān)點(diǎn)法等,本題注意到點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可利用相關(guān)點(diǎn)法.26解：由已知得,則直線的方程為:,令得,即,設(shè),則,即代入得.27即點(diǎn)P的軌跡的方程為.歸納小結(jié)：將幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系是解析幾何常用方法.28例8（2006江西卷）是雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（）6B.7C.8D.9（五）突出幾何性質(zhì)的考查29分析：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)與恰好是兩圓的圓心，欲使的值最大，當(dāng)且僅當(dāng)最大且最小，由平面幾何性質(zhì)知，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)是線段與圓的交點(diǎn)時(shí)所求的值最大，此時(shí)所以選D.30例9（2009重慶）已知以原點(diǎn)為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率．（1）求該雙曲線的方程；（2）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).31分析：（1）比較基礎(chǔ)，利用條件可求得雙曲線的方程；（2）利用雙曲線的定義將轉(zhuǎn)化為其它線段，再利用不等式的性質(zhì)求解.解：（1）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為.設(shè)，由準(zhǔn)線方程為32

得，由得.解得從而，該雙曲線的方程為.33（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn)，，所以.因?yàn)锽是圓上的點(diǎn)，其圓心為，半徑為1，故，從而.34當(dāng)在線段CD上時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為.

直線CD的方程為，因點(diǎn)M在雙曲線右支上，故.由方程組解得.所以M點(diǎn)的坐為.歸納小結(jié)：本題綜合考查雙曲線的知識(shí)及不等式性質(zhì)，考查推理能力及數(shù)形結(jié)合思想.35（六）開(kāi)放性問(wèn)題例10

已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為Ｆ，一條漸近線m:,設(shè)過(guò)點(diǎn)A

的直線的方向量．(1)求雙曲線C的方程；(2)若過(guò)原點(diǎn)的直線，且a與l的距離為，求K的值；(3)證明：當(dāng)時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線的距離為.36分析：前兩問(wèn)是基本問(wèn)題，比較簡(jiǎn)單，第三問(wèn)開(kāi)放性問(wèn)題，可根據(jù)圖形的幾何特征求解．解:（1）設(shè)雙曲線C的方程為

,解得，雙曲線C的方程為．（2）直線，直線．由題意，得，解得．37（3）證：設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行于l的直線．則直線l與b的距離當(dāng)時(shí)，，