三數(shù)列的綜合應(yīng)用

三數(shù)列的綜合應(yīng)用注:本節(jié)內(nèi)容供選用1數(shù)列綜合題例1．(2008天津文)已知數(shù)列{an}中，且(I)設(shè)證明：{bn}是等比數(shù)列；(II)求數(shù)列{an}的通項公式；(III)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N，an是an+3與an+6的等差中項．解:(I)由題設(shè)得即又所以{bn}是首項為l，公比為q的等比數(shù)列．(II)由(I)知，將以上各式相加，得所以當(dāng)n≥2時，上式對n=1時顯然成立．(III)由(II)知，當(dāng)q=1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q≠1由可得由q≠0得整理得解得或(舍去)．于是另一方面由①可得所以對任意的n∈N*,an是an+3與an+6的等差中項．例2．(2008江西理)等差數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù)，a1=3，前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1=1，且b2S2=64,{b

}是公比為64的等比數(shù)列．(1)求an與bn；

(2)證明：解:(1)設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數(shù)，依題意有①由(6+d)q=64知q為正有理數(shù)，又由知，d為6的因子1，2，3，6之一，解①得d=2,q=8，故(2)由(1)知所以

解決這類問題時要熟悉等差，等比數(shù)列的定義，有關(guān)公式及其主要性質(zhì)；注意方程的思想，整體思想解決問題。數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用例3．(2008北京理)某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第k棵樹種植在點pk(xk,yk)處，其中x1=1,y1=1當(dāng)k≥2時，

T(a)表示非負(fù)實數(shù)a的整數(shù)部分，例如T(2.6)=2，T(0.2)=0．按此方案，第6棵樹種植點的坐標(biāo)應(yīng)為

；第2008棵樹種植點的坐標(biāo)應(yīng)為

．(1，2)(3，402)

解析：依題意知，xk的值呈周期出現(xiàn)，依次是l，2，3，4，5，故

yk的值滿足故即第6棵樹的種植點的坐標(biāo)為(1，2)，第2008棵樹的種植點的坐標(biāo)為(3，402).例4.從盛滿aL(a>1)純酒精的容器里倒出1L，然后填滿水，再倒出lL混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去，問：第n次操作后溶液的濃度是多少?若a=2，至少應(yīng)倒幾次后才能使酒精濃度低于10％?

分析:

構(gòu)造等比數(shù)列的模型求解．解：開始的濃度為l，操作一次后溶液的濃度是設(shè)操作n次后溶液的濃度為an，則操作n+1次后溶液的濃度為由此便建立了數(shù)列模型．因為{an}構(gòu)成以首項公比的等比數(shù)列，所以即第n次操作后酒精的濃度是當(dāng)a=2時，由得因此，至少應(yīng)操作4次后才能使酒精濃度低于10％。例5.某林場原有森林木材存量為a萬m3，木材每年以25％的增長率增長，而每年冬天要砍伐的木材量為x萬m3．為了實現(xiàn)經(jīng)過20年達(dá)到木材存量翻兩番的目標(biāo)，則x的最大值是多少?

分析:

如果設(shè)第n年底木材存量為an萬m3，則這里要實現(xiàn)的目標(biāo)是a20≥4a,問題是a20為多少?解法l：設(shè)第n年底木材存量為an萬m3，則

這表明數(shù)列{an-4x}是一公比為首項為a1-4x的等比數(shù)列，則

令即

解得解法2：(迭代法)由解法2，有

……

以下同解法1．小結(jié)解數(shù)列應(yīng)用題重點把握好三關(guān)：

(1)事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容.(2)文理關(guān):將“問題情景”中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,用數(shù)列關(guān)系式表述事件(必要時要尋找出問題中所包含的數(shù)列的遞推關(guān)系);(3)數(shù)理關(guān):由題意建立相關(guān)的數(shù)列模型,將