數(shù)學(xué)一次函數(shù)奧數(shù)及重點中考難題詳解

5史

例2（2000年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）一個一次函數(shù)圖象與直線y=]x+1平行，

與x軸、y軸的交點分別為A、B,并且過點（-1,-25）,則在線段AB上（包括端點A、B）,

橫、縱坐標都是整數(shù)的點有（）.

（A）4個（B）5個（C）6個（D）7個

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分析：根據(jù)所求一次函數(shù)圖象與直線y=]x+1平行且過點（-1,-25）,即可確定

該函數(shù)的解析式，然后采用列舉法進行分析.

5955

解：設(shè)與直線y=Ix+Z-平行的直線的方程為y=]x+k,又（T,-25）在直線y=?

95

x+k上，得k=-4?

595

因為A、B為y=]x-與x軸、y軸的交點，所以A（19,0）,B（0,-4）?

5955

=（x-19），0WxW19,x-19必須是4的整數(shù)倍，只有當x=3,7,

又y=4x-44

11,15,19時，y為整數(shù)，

因此在線段AB上（包括端點A、B）,橫、縱坐標都是整數(shù)的點有5個，選B.

評注：所謂橫坐標、縱坐標都是整數(shù)的點，即求該函數(shù)解析式（二元一次方程）在某

范圍內(nèi)的整數(shù)解.

例3（2005年富陽市初二數(shù)學(xué)競賽）不論k為何值，解析式（2k-l）x-（k+3）y-

（k-11）=0表示的函數(shù)的圖象經(jīng)過一定點，則這個定點是.

分析：該題是“直線束”問題，可在k的取值范圍內(nèi)取兩個定值兩條特殊直線求得交點，

再證明其他直線必過此點.

解：因為已知函數(shù)是一次函數(shù)，故k+3W0,分別令k=l與k=2,得

^-4^+10=0Jx=2

3x—5y+9=O解得jy=3，即兩特殊直線相交于點A（2,3），

而當x=2時，函數(shù)式為2（2k-l）-（k+3）y-（k-11）=0.

整理得（k+3）y=3（k+3）,

所以k取不等于-3的任何值時，y=3.當x=2時，必得y=3.

不論k為何值該一次函數(shù)的圖象恒過定點（2,3）.

評注：利用“不論”性，取k的任意兩個特殊值，代入函數(shù)關(guān)系式，求出x、y的值,

再驗證所求得的x、y值適合函數(shù)關(guān)系式，從而確定函數(shù)圖象恒過定點，這是解決這類問題

常用的方法.此外本題還可利用一次方程2*=13有無數(shù)解的條件來解，同學(xué)們不妨一試.

例4（2005年富陽市初二數(shù)學(xué)競賽）在一次函數(shù)y=-x+3的圖象上取一點P,作PA

±x軸，垂足為A,作PBJ_y軸，垂足為B,且矩形OAPB的面積為乙，則這樣的點P共有（）

4

（A）4個（B）3個（C）2個（D）1個

分析：設(shè)點P的坐標為（x,-x+3），則矩形0APB的面積表示為Ix|X|-（-x+3）|

9

=|X2-3X|=~,然后分兩種情況進行討論.

解：選（B）.

評注：本題通過數(shù)形互動，結(jié)合一元二次方程實根個數(shù)來確定符合條件的點的個數(shù)，這

是解決這類問題常用方法.止匕外，由點的坐標表示距離時，不能忘記加絕對值.

例5（2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽（浙江賽區(qū)）復(fù)賽試題）設(shè)0<k<l,關(guān)于x的一次函

數(shù)丫=1?+1（1-x）,當1WXW2時的最大值是（）

k

1￡1

(A)k(B)2k-T(D)k+7

k?Ik

J_11伏+1)(1)

分析：y=（k-4）x+女，V0<k<l,Ak-7=k<0,該一次函數(shù)

11

的值隨X的增大而減小，當1WXW2時，最大值為k-1+/=k.

解：選（A）.

評注：對于自變量有限范圍的一次函數(shù)極值問題，應(yīng)結(jié)合一次函數(shù)的增減性來確定.

例6（2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽（浙江賽區(qū)）初賽試題）設(shè)直線y=kx+k-l和直線y=

（k+1）x+k（k是正整數(shù)）與x軸圍成的三角形面積為Sk,則S1+S2+S3+…+S2006的值是.

分析：先求出直線y=kx+k-l和直線y=(k+1)x+k的交點，再求出這兩條直線與x軸

圍成的三角形面積&的表達式.

[y=kx+k-lIx=-1

解：因為方程組jy=(k+1)%+k的解為=

所以這兩直線的交點(-1,-1),

直線y=kx+k-l和直線y=(k+1)x+k(k是正整數(shù))與x軸的交點分別是

1—上0),(—%

11-Z—k1J_]

葉川X--=21I-l+T1-

所以S1+S2+S3+…S2006

j_LLLLL

(1-++-

222-334

1111、1003

----------------)=—x(1---------)=------

20062007220072007-

111

評注：本題在求解過程中的關(guān)鍵是：將k(k+l)拆成/ITl這是常用技

巧.

評注：仔細審題，觀察圖象，應(yīng)弄清進水時，每分鐘4L；既進又放時，每分鐘凈增水

1L,故每分鐘放水為3L,這是解本題的關(guān)鍵.

例8(2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽(海南賽區(qū)))在平面直角坐標系中，已知A(2,

-2)，點P是y軸上一點，則使A0P為等腰三角形的點P有()

(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個

分析:分三種情況來討論，即：如圖所示，①以0為頂點的等腰三角形有：△OPiA,△OPzA；

②以A為頂點的等腰三角形是△OP3A；③以P為頂點的等腰三角形是△0PA因此，滿足條

件的點P有4個.

O

鳥

2

舄

解：選(D).

評注：分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，競賽題中經(jīng)常出現(xiàn)需要分類的考題，這類問

題的求解，既要有扎實的基礎(chǔ)知識，也要有一定的分析問題和綜合解決問題的能力，要強化

這方面的訓(xùn)練.

例10(2006年四川省數(shù)學(xué)競賽初二初賽試題)平面直角坐標系內(nèi)有A(2,-1),B(3,

3)兩點，點P是y軸上一動點，求P到A、B距離之和最小時的坐標.

分析：根據(jù)幾何模型，得出點A關(guān)于y軸對稱點A'的坐標，再由待定系數(shù)法求出直線

A'B解析式，就可得解.

解：如圖，點A關(guān)于y軸對稱的點為A'(-2,-1),

-l=-2k+b

設(shè)過A'、B兩點的直線的一次函數(shù)為y=kx+b,有［3=3左+0解得

4

k

3

b

5

43

.?.y==x+《.

3。

當x=0時，y=q，即直線A'B與y軸父于點(0,C),

DJ

3

可得所求點p的坐標為(o,5).

a+b_b+cc+a

13.已知abcWO,而且「ab=p,那么直線y=px+p一定通過

()

(A)第一、二象限(B)第二、三象限

(C)第三、四象限(D)第一、四象限

a+b_b+c_c+a

13.B提示：：0—q一力=P

(a+b)+(b+c)+(c+a)

①若a+b+cHO,則p=a+b~+；c=2；

a+b_-c

②若a+b+c=O,則p==-=-l,

C

???當p=2時,y=px+q過第一、二、三象限;

當p=T時，y=px+p過第二、三、四象限，

綜上所述，y=px+p一定過第二、三象限.

7.由方程|x-1|+|y-1|=1確定的曲線圍成的圖形是什么圖形，其面積是多少？

7.當x2l,yNl時，y=-x+3；當x2l,y<l時，y=xT；

當x〈l,y21時，y=x+l；當x<1,y<l時，y=-x+l.

由此知，曲線圍成的圖形是正方形，其邊長為友,面積為2.

（2007南充市）平面直角坐標系中，點A的坐標是（4,0）,點P在直線y=-x+加上,

且AP=。尸=4.求加的值.

"y

OA

解：由已知AP=OP,點P在線段的垂直平分線PM上................（2分）

如圖，當點尸在第一象限時，OM=2,OP=4.

在RtAOPM中，PM=\JOP2-OM2=742-22=273..................（4分）

?.P（2,2A/3）.

,/點尸在y=-x+加上，m=2+2s/3.............................（6分）

當點P在第四象限時，根據(jù)對稱性，P'（（2,一26）.

點P'在），=一工+機上，，機=2—2百.............................（8分）