電工學(xué)章正弦交流電路

第3章正弦交流電路

§3–1正弦交流電的基本概念

廣義交流電ttt一、正弦交流電的三要素i=ImSin(ωt+φi)ωtiOImTφi1.振幅——強(qiáng)度2.頻率——快慢3.初相位——起點(diǎn)二、正弦交流電的有效值RiI有效值rms方均根值I經(jīng)R，在T內(nèi)耗能：I2RTi經(jīng)R，在T內(nèi)耗能：∫i2RdtI=√1/T∫i2dt=Im/√2(Sinonly)同理U=Um/√2三、同頻率正弦量的相位差ωti=ImSin(ωt+φi)u=UmSin(ωt+φu)O定義u、i之間的相位差為ΔΦ=φu–

φiΔΦ＞0u超前于iΔΦ＜0u滯后于iΔΦ=0u、i同相ΔΦ=πu、i反相ΔΦ=90ou、i正交§3–2正弦交流電的相量表示法線性電路中，激勵(lì)——正弦量Arbaj+1Oφ復(fù)數(shù)的幾種表示形式：旋轉(zhuǎn)因子的概念

ejα響應(yīng)——同頻率的正弦量只須確定響應(yīng)的有效值和初相位借助有向線段——復(fù)數(shù)表示——相量表示法——相量法特殊旋轉(zhuǎn)因子j=ejπ/2,–j=1/j=ej–π/21。代數(shù)式A=a+

jb(j2

=–

1)2。三角式A=rCosφ+jrSinφ3。指數(shù)式A=

rejφ4。極坐標(biāo)式A=

rφ一、復(fù)數(shù)與正弦量的關(guān)系ωtABiOφiφiωt1ωt1AB二、相量表示法Ij+1OφI優(yōu)點(diǎn)：1。把的正弦量＋、－、×、÷變?yōu)閺?fù)數(shù)的＋、－、×、÷2。關(guān)系簡(jiǎn)單，一一對(duì)應(yīng)，直接寫出注意：相量?jī)H表示正弦量，不等于正弦量！例1相量圖I1–

45oI30oU60oj+1Oi=10√2Sin(ωt+π/6)A已知I1=10/√2–45oAu=5√2Cos(ωt–30o)V幅值與相位關(guān)系一目了然記為I=10π/6A記為U=560oV則i1=

10Sin(ωt–45o)A例2相量圖(平行四邊形)I1I2Ij+1O已知i1=

10√2Sin(ωt+30o)Ai2=

20√2CosωtA求：i=i1+i2=？解：I1=10/30o=5√3+j5

AI2=20/90o=j20

AI=I1+I2=5√3+j25A=26.46/70.9oA∴i=26.46√2Sin(ωt+70.9o)A例2相量圖（三角形）I1I2Ij+1O§3–3單一參數(shù)的正弦交流電路

一、電阻元件

1.u–i關(guān)系uiRωtuiu=Ri設(shè)i=Im

Sinωt則u=Ri=RIm

Sinωt=UmSinωt結(jié)論:(1)u，i

同頻、同相

(2)Um/Im=U/I=R相量表示U=RIUI2.功率關(guān)系ωtPpi瞬時(shí)功率p=uip=UmImSin2ωt=UI

(1–Cos2ωt)p始終>0，R——耗能元件平均功率P=1/T∫pdt=UI=

RI2=U2/R——有功功率(W)——與D.C.相同二、電感元件

1.u–i關(guān)系Luiωtuiu=Ldi/dt,

設(shè)i=ImSin(ωt)，則u=Ldi/dt=ωLImCosωt,=UmSin(ωt+π/2)∴對(duì)于電感，有如下結(jié)論：(1)u、i同頻,并且u超前于i90o(2)Um=ωLIm=XLIm,XL=ωL=Um/Im=U/I——感抗(Ω)2.頻率特性相量表示U=(ωL)IωXL=ωLUIjXL=ωLω→0,XL→0ω→∞,XL→∞Short(D.C.)Open(H.F.)3.功率關(guān)系ωtpiO瞬時(shí)功率p=uip=

UmCosωtImSinωt

=

UISin2ωt

平均功率P=1/T∫pdt=?p>0，吸收能量;p<0,放出能量P=0——不耗能定義

QL=pm=UI——無功功率(乏,Var)=XLI2=U2/XL4.例題已知u=100Sinωt(V)，L=10mH，f=50Hz和f=50kHz求：電感中的電流I及電感的感抗XL和無功功率QL2。f=50kHz時(shí)解：1。f=50Hz時(shí)XL=2πfL=3.14(Ω)I=U/XL=22.5(A)QL=I2XL=1589.6(Var)XL=2πfL=3.14(kΩ)I=U/XL=22.5(mA)QL=I2XL=1.59(Var)三、電容元件

1.u–i關(guān)系ωtiuCuii=Cdu/dt,∴對(duì)于電容，有如下結(jié)論：（1）u、i同頻,并且i超前于u90o設(shè)u=UmSin(ωt)，則i=CdU/dt=ωCUmCosωt,=ImSin(ωt+π/2)（2）Im=ωCUm=Um/XC,XC=1/ωC=Um/Im=U/I——容抗(Ω)2.頻率特性IU相量表示I=jωCUωXC=1/(ωC)XC=1/ωCω→0,XC→∞ω→∞,XC→0Open(D.C.)Short(H.F.)或U=–

(j/ωC)I3.功率關(guān)系ωtpuO瞬時(shí)功率p=uip=

UmSinωtImCosωt

=

UISin2ωt

平均功率P=1/T∫pdt=?P>0，吸收能量;p<0,放出能量P=0——不耗能定義

QC=pm=UI——無功功率(乏,Var)=XCI2=U2/XC4.例題已知U=220(V)，C=20μF，f=50Hz和f=50kHz求：電容中的電流I及電容的容抗XC和無功功率QC2。f=50kHz時(shí)解：1。f=50Hz時(shí)XC=1/(2πfC)=159(Ω)I=U/XC=1.38(A)QC=I2XC=304(Var)XC=1/(2πfC)=0.159(Ω)I=U/XC=1380(A)QC=I2XC=304(kVar)四、R、L、C的u–i關(guān)系小結(jié)

1.相量表示電容元件電阻元件電感元件I=jωCUU=jωLIU=RI2.頻率特性RXC

XLωX3.波形圖電阻元件ωtuiuiR大小要變化但相位相同(2)電感元件ωtui而且相位滯后不但大小變化Lui(3)電容元件不但大小變化Cuiωtui而且相位超前§3–4RLC串聯(lián)電路——復(fù)阻抗

一、u–i關(guān)系uiRLCuRuCuL2.已知

R,XL,XC

則R總=？問題：1.已知UR,UL,UC

則U=？相量形式j(luò)ωLR1/jωCURUCIULUU=復(fù)數(shù)z=√R2+X2=[R+j(ωL–1/ωC)]I=ZIZ=R+j(ωL–1/ωC)=R+j(XL–XC)=R+jX=zφZ——復(fù)阻抗，實(shí)部——R，虛部——X——模，φZ

=tg－1(XL–XC)/R——阻抗角RI+jωLI+1/jωCI阻抗角φZ

=tg－1(XL–XC)/R——阻抗角I=U/Zz

φZ代表了u、i之間的大小和相位差，當(dāng)XL>XC時(shí)，當(dāng)XL<XC時(shí)，當(dāng)XL=XC時(shí)，——決定電路性質(zhì)φZ>0

，u超前于i——感性φZ<0

，i超前于u——容性φZ=0

，u、i同相——純阻性=(U/z)

φU–φZ

=U

φU÷z

φZ二、相量圖——兩個(gè)三角形ZXRφZφZULUCURUIUXU=UR+UL+UCNotice:1.在交流電路中，符號(hào)應(yīng)理解為復(fù)阻抗，而不單純是電阻

2.z≠R+XL+XC而是三角形的關(guān)系三、例題uiR=30ΩL=127mHC=40μFuRuCuLU=220√2Sinωt(V)，f=50Hz求：1。XL、XC

、Z2。I、i(t)3。各元件上的電壓

4。畫出完整的相量圖1.XL=2πfL=40Ω,XC=1/2πfC=80ΩZ=R+j(XL–XC)=30–j40=50–53o

Ωi(t)=4.4√2Sin(ωt+53o)A解：3.UR=RI=13253oVUL=jXLI=176143oVUC=–jXCI=352–37oV2.I=U/Z=2200o÷50–53o

=4.453oA注意到UC>U，why?相量圖URUULUCI53oUCUURIUL53o四、復(fù)阻抗的串聯(lián)Z1ZnZ2Zz=√(∑R)2+(∑X)2≠√∑z2=∑R+j∑X(XL>0,XC<0)=zφZ=Z1+Z2+……+

Zntgφ=∑X/∑R注意：一般z≠z1+z2+……+

zn顯然何時(shí)相等？§3–5RLC并聯(lián)電路——復(fù)導(dǎo)納一、u–i關(guān)系GCLUIIGICILIG=GUI=IG+IL+IC復(fù)數(shù)Y=G+j(ωC–1/ωL)=G+jB實(shí)部——G，虛部——BY=G+jB=yφY

Y=√G2+B2——模，φY=tg－1B/G——導(dǎo)納角——i,u之間的相位差角IL=1/(jωL)UIC=jωCU=[G+j(ωC–1/ωL)]U=YU——稱為復(fù)導(dǎo)納導(dǎo)納角φY

=tg－1(BC–XL)/G——導(dǎo)納角當(dāng)BC>BL時(shí)，當(dāng)BC<BL時(shí)，當(dāng)BC=BL時(shí)，φY>0

，i超前于u——容性φY<0

，u超前于i——感性φY=0

，u、i同相——純電導(dǎo)注意：感性/容性與串聯(lián)/并聯(lián)無關(guān)！二、相量圖——兩個(gè)三角形UIIGICILIBI=IG+IL+ICφYyBGφYGCLUIIGICIL三、導(dǎo)納的并聯(lián)Y1YnY2Yy=√(∑G)2+(∑B)2≠√∑y2=∑G+j∑B(BC>0,BL<0)=yφY=Y1+Y2+……+Yntgφ=∑B/∑G注意：一般y≠y1+y2+……+

yn同理何時(shí)相等？四、例題1R=30ΩXL=40ΩU=120VLRUIIRIL求各電流及YY=1/R–j/XL=1/30–j1/40(S)IR=U/R=4AIL=U/jXL=

–j3AI=IR+IL=4–j3A=5–37oA設(shè)U=1200oVUIRILI例2已知XL，且k閉合或斷開時(shí)電流表的讀數(shù)不變。求XC=？ARCLUIIRICILkUIRILI例2相量圖ICIUIRILIARCLUIIRICILk例3利用相量圖解題已知I1=I2=10A，U=100V，且u、i同相。求：I、R、XL

、XCI1I2UIRLCULUR例3相量圖UURULII1I245oI1I2UIRLCULUR§3–6正弦交流電路的功率

一、有功功率ui無源純R,φ=0，純L,φ=90o，純C,φ=–90o，設(shè)

u=

UmSin(ωt),瞬時(shí)功率為：p=ui平均功率為：P=1/T∫pdtP不但與U、I有關(guān)，Cosφ——功率因數(shù)i=

ImSin(ωt–φ)=UI[Cosφ–Cos(2ωt–φ)]=UICosφ——有功功率(W)而且與Cosφ有關(guān)P=UI;P=0;P=0二、投影關(guān)系P=UICosφφIUIXφIUUX=U(ICosφ)=I(UCosφ)三、無功功率IXφIUIY對(duì)于感性元件，IX——有功分量定義Q=UIY=

UISinφ——無功功率(乏，Var)IY——無功分量φ>0，Q>0——“吸收”無功功率對(duì)于容性元件，φ<0，Q<0——“發(fā)出”無功功率有功分量、無功分量的意義φRzX由阻抗△∴P=UICosφQ=UISinφCosφ=R/z,

Sinφ=X/z=IU(R/z)=I(U/z)R=RI2=IU(X/z)=I(U/z)X=XI2四、視在功率、功率三角形定義S=UIφRzXφPSQφURUUX對(duì)于多個(gè)負(fù)載的情形：P=P1+P2+……+Pn=∑PiQ=Q1+Q2+……+Qn=∑Qi(QL>0,QC<0)∴P=UICosφ=SCosφ,Q=UISinφ=SSinφS=√P2+Q2——視在功率——表觀功率(VA)但是S≠∑SiS=√P2+Q2例題計(jì)算P、Q、SI1I2Z1Z2UI已知：Z1=４30o(Ω),Z2=5–60o(Ω)U

=2060o(V)求各支路及電路總的有功功率、無功功率和視在功率。方法一：計(jì)算出I1、I2及Cosφ1、Cosφ2方法二：將Z1、Z2分解為R、X方法一——計(jì)算出I1、I2及Cosφ1、Cosφ2I1I2Z1Z2UII1=U/Z1=5

30o

AI2=U/Z2=4

120o

AI=I1+I2=6.4

68.67o

A第一條支路的功率因數(shù)角——阻抗角φ1=30o

第二條支路的功率因數(shù)角——阻抗角φ2=–

60o∴S1=UI1=20*5=100(VA)P1=S1Cosφ1=100*Cos30o=86.6(w)Q1=S1Sinφ1=100*Sin30o=50(Var)∴S2=UI2=20*4=80(VA)P2=S2Cosφ2=80*Cos(–60o)=40(w)Q2=S2Sinφ2=80*Sin(–60o)

=–69.3(Var)方法一(續(xù))U、I之間的相位差φ=60o–68.67o=–8.67o

I1I2Z1Z2UI∴S=UI

=20*6.4=128(VA)P=S*Cosφ=128*Cos(–8.67o

)=126.5(w)Q=S*Sinφ=128*Sin(–8.67o

)

=–19.3(Var)方法二*——將Z1、Z2分解為R、XI1I2Z1Z2UIZ1=４30o

=3.46+j2(Ω)=R1+jX1Z2=5–60o

=2.5–j4.33(Ω)=R2+jX2第一條支路的X1>0——感性P1=R1I12=3.464*52=86.6(w)Q1=X1I12=2*52=50(Var)S1=√P12+Q12=100(VA)方法二(續(xù))第二條支路的X2<0——容性電路總的P、Q、S為：顯然：S≠S1+S2=100+80=180(VA)方法三：復(fù)功率P2=R2I22=2.5*42=40(w)Q2=–X2I22=–4.33*42=–69.3(Var)S2=√P22+Q22=80(VA)P=P1+P2=86.6+40=126.6(W)Q=Q1+Q2=50–69.3=–19.3(Var)S=√P2+Q2=128(VA)§3–7功率因數(shù)的提高（意義、原因、措施）一、提高功率因數(shù)的意義1、開發(fā)電源潛力2、降低線路損耗發(fā)電機(jī)100V10A(容量)負(fù)載100V10ACosφ=0.5P=UICosφI=P/(Ucosφ)二、功率因數(shù)低下的原因ICCRLI1UIC=P(tgφ1–tgφ)/(ωU2)ICIIXI1Uφ1φ保持有功功率不變，減小線路電流三、提高功率因數(shù)的措施§3–8電路中的諧振

一、串聯(lián)諧振

RLCIUURULUC（一）串聯(lián)諧振現(xiàn)象Z=R+j(ωL–1/ωC)=R+j(XL

–XC

)=R+jX=zφZ頻率特性X=XL–

XCXL=ωLωOXC=1/(ωC)ωO當(dāng)ω=ωO時(shí),X=0,

Z=R——IM(Z)=0,u,i同相——電路發(fā)生串聯(lián)諧振——諧振角頻率(rad/s)僅與L,C有關(guān)——固有頻率fO

=1/(2π√LC)——諧振頻率(Hz)此時(shí)，ωO

=1/√LC（二）串聯(lián)諧振的特征1、復(fù)阻抗Z=R+jX=R3、電壓關(guān)系UL=UC=IXL=IXCRLCIUURULUCQ

=ωOL/R=1/ωOCRzmin等效為純阻UR=IR=(U/R)R=U可以推出UL+UC=0UR=UULUCI=(U/R)ωOLQ的物理意義:U、I同相Imax2、電流I=U/Z=1/RU——品質(zhì)因數(shù)——TestQ/P,儲(chǔ)能/耗能=(U/R)/ωOC=QU,（二）串聯(lián)諧振的特征（續(xù)）Z=Ru、i同相Q無功=0ZminImaxRLCIUURULUCQ值≈20~200∴UL=UC=QU>>U——電壓諧振利用它放大信號(hào)防止高壓損壞電器L,C上電壓的最大值的發(fā)生點(diǎn)?4、無功功率Q無功

=0即Q=UISinφ=0(φ=0)或Q=QL+QC=0→QL=–QC此時(shí)，L與C交換能量，完全補(bǔ)償，不吸收無功功率（三）串聯(lián)諧振電路的頻率特性

1、復(fù)阻抗Z(ω)ZORωω0ΦOω90o–90oω0Z(ω)=R+j(ωL–1/ωC)其中，z(ω)=√R2+(ωL–1/ωC)2Φ(ω)=tg－1(ωL–1/ωC)/R=√R2+X2——幅頻特性=tg－1X/R——相頻特性=z(ω)

Φ(ω)感性容性2、電流諧振曲線ωω0Io=U/RI即I(ω)=U/Z對(duì)不同頻率的信號(hào)有選擇作用——選擇性，與Q有關(guān)!I(ω)=U√R2+(ωL–1/ωC)23、電路的選擇性與通頻帶η=ω/ω0η=1η2η1OI/Io10.707Q=1Q=10Q=100通頻帶：η=η2–η1，與Q成反比作變換，令η=ω/ω0I/Io=1√1+Q2(η–1/η)2（四）例題3.諧振時(shí)，電容器上的電壓UC=？4.當(dāng)ω=0.9ωo時(shí)，I/Io=？5.欲使ω=0.9ωo時(shí)，I/Io<3%，R應(yīng)為多大？uiR10ΩCL1H已知u=10√2Sin1000t(V)求：1.C=？時(shí)，電路諧振

2.電路的品質(zhì)因數(shù)Q=？解：1.由ω0=1/√LC2.品質(zhì)因數(shù)Q=ω0L/R=1000/10=1003.電容電壓UC=QU=100*10V=1000V4.當(dāng)ω=0.9ωo時(shí),η=0.9,5.當(dāng)η=0.9時(shí)，要求Q>158，→C=1/ω02L=1uFI/Io=1/√1+Q2(η–1/η)2=4.7%即Q=ω0L/R

>158，則R<6.33Ω令I(lǐng)/Io=1/√1+Q2(η–1/η)2<3%1uF（五）提高Q值的有效措施*多股并繞裸銅線？Q=ω0L/R用粗導(dǎo)線？趨膚效應(yīng)——集膚效應(yīng)多股漆包線（六）調(diào)諧方式*根據(jù)ω0=

1√LC改變?chǔ)?

、L、C

中的任意一個(gè)，都可使電路發(fā)生諧振1.改變?chǔ)?——變頻——參數(shù)測(cè)試、干擾2.改變C——變?nèi)荨找魴C(jī)、電視機(jī)3.改變L——調(diào)感——頻段切換（七）電子調(diào)諧*UD/AMEMAddressREG.ChannelNo.tuningEEPROM自動(dòng)調(diào)諧與手動(dòng)調(diào)諧應(yīng)用了那些技術(shù)？1.諧振——基本電路原理2.V—f轉(zhuǎn)換——模電技術(shù)3.數(shù)字存儲(chǔ)——數(shù)字技術(shù)ChannelNo.AddressREG.MEMMAP二、并聯(lián)諧振（一）標(biāo)準(zhǔn)形式IGLCUICIGIL根據(jù)對(duì)偶原理，有Y=G+jωC+1/jωL=G+j(BC–

BL)=G+jB當(dāng)BC=BL時(shí)，B=0，Y=G即IM(Y)=0,使u、i同相——電路發(fā)生并聯(lián)諧振ωo=1/√LC（二）諧振特征1。Ymin2。U=Umax=IS/G3。u、i同相5。IL=IC=QIS4。Q無功

=0ISUICILISGLCUICIGILY=G+j(BC–

BL)=G+jB=G,Zmax=1/G（三）電壓諧振曲線ω0UωOISG三、RC串并聯(lián)電路CCRRUiUOωUO/Ui1/3ωO=1/(RC)§3–9非正弦周期信號(hào)電路tttt諧波分析法：分解——單獨(dú)作用（相量法）——疊加一、諧波分析的概念

1、基本分解形式周期函數(shù)f(t+kT)=f(t),k=0,1,2,3……f(t)的另一種形式：則f(t)=a0+a1Cosωt+b1Sinωt+a2Cos2ωt+b2Sin2ωt+………+akCoskωt+bkSinkωt+………=a0+∑(akCoskωt+bkSinkωt)式中ω=(2π)/T當(dāng)f(t)滿足狄里赫利條件——在有限的區(qū)間內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和有限個(gè)極大值和極小值。2、三角級(jí)數(shù)f(t)=A0+A1Sin(ωt+φ1）+A2Sin(2ωt+φ)+…….+AkSin(kωt+φk)+………=A0+∑AkSin(kωt+φk)其中A0=a0，Ak=√ak2

+bk2，tg

φk

=bk/ak——三角函數(shù)組成——三角級(jí)數(shù)——傅立葉級(jí)數(shù)A0——f(t)的恒定（直流）分量——f(t)的平均值A(chǔ)1Sin(ωt+φ1)——一次諧波——基波，頻率為ω其余為高次諧波，頻率為kω的分量，稱為k次諧波。k——奇數(shù)——奇次諧波；k——偶數(shù)——偶次諧波二、非正弦周期函數(shù)的

有效值、和平均功率

1、有效值I=√1/T∫0Ti2dt當(dāng)i=ImSin(ωt+φ)時(shí)，I=Im/√2當(dāng)i=I0+

∑IkmSin(kωt+φk)時(shí)，所以

I=√I02+I12+I22+I32+……..=√∑Ik2同理

U=√∑Uk22、平均功率Niu設(shè)u=U0+

∑UkmSin(kωt+φku)i=I0+

∑IkmSin(kωt+φki)瞬時(shí)功率p=ui平均功率P=1/T∫0Tpdt=1/T∫0Tuidt=U0I0+

U1I1Cosφ1

+

U2I2Cosφ2

+

U3I3Cosφ3

+…=P0+

P1+

P2+

P3+……=∑Pk——

各次諧波平均功率之和三、非正弦周期電流電路的計(jì)算步驟1。分解成傅立葉級(jí)數(shù)，取前幾項(xiàng)2。分別計(jì)算恒定分量——直流電路各次諧波的響應(yīng)——用相量法3。應(yīng)用疊加原理，把各次諧波響應(yīng)的舜時(shí)值相疊加。例1已知u(t)=10+141.4Sinωt+70.7Sin(3ωt+300)(V)XL(1)=ωL=2Ω，XC(1)=1/(ωC)=15ΩR1=5Ω，R2=10Ω求：電流i、i1、i2及R1支路吸收的有功功率P

。CLR2R1i2i1u(t)i例1（續(xù)）解：1。u(t)的直流分量U0=10V單獨(dú)作用時(shí)2?；╱1(t)=141.4Sinωt（V）單獨(dú)作用時(shí)CLR2R1i2i1u(t)iL——短路，∴I1(0)=U0/R1=10V/5Ω=2AI2(0)=0,I(0)=I1(0)+I2(0)=I1(0)=2AC——開路U1

=10000(V)I1(1)=U1/(R1+jXL(1))I2(1)=U1/(R2–jXC(1))I(1)=I1(1)+

I2(1)=100/(5+j2)=18.55–21.80(A)=100/(10–j15)=5.55+56.30(A)=20.43–6.380(A)例1（續(xù)）3。三