作業(yè)09 平行四邊形的性質(zhì)與判定-2021年八年級數(shù)學(xué)暑假作業(yè)（北師大版）（解析版）

作業(yè)09平行四邊形的性質(zhì)與判定

注意事項(xiàng)：

本試卷滿分120分，完成時(shí)間90分鐘，試題共25題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

基礎(chǔ)過關(guān)（70分）

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（2021?山東東營市?八年級期末）下面關(guān)于平行四邊形的說法中，不正確的是（）

A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.有一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形

C.有一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形

D.有兩組對角相等的四邊形是平行四邊形

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、?.?對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，.?.選項(xiàng)A不符合題意：

B、二?有一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，.?.選項(xiàng)B不符合題意；

C、?.?有一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形，.?.選項(xiàng)C符合題意；

D、；有兩組對角相等的四邊形是平行四邊形，.?.選項(xiàng)D不符合題意；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?山西八年級期末）如圖所示，直線的頂點(diǎn)A在直線a上，頂點(diǎn)B,C在直線b上，

點(diǎn)D是直線a上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BD,CD若%時(shí)=1°，則等于（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】4ABC與ABDC,都以BC為底，高都是兩平行線之間的距離，再根據(jù)平行線間的距離處處相等,

故能得到兩三角形的面積相等，即可解決.

【詳解】解：:△ABC與ABDC,都以BC為底，高都是兩平行線之間的距離

又?.?平行線間的距離處處相等.?.SAABC=SABDC=10故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線間的距離，清楚平行線間的距離處處相等以及三角形面積算法是解決本題

的關(guān)鍵.

3.（2021?山東煙臺(tái)市?八年級期末）如圖1,平行四邊形紙片ABCD的面積為120,A￡>=20.今沿兩對

角線將四邊形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形紙片.若將甲、丙合并（A。、CB重合）形成一軸

對稱圖形（戊），如圖2所示，則圖形戊的兩對角線長度和為（）

B(D)

C.24|

A.26B.29D.25-

3

【答案】A

【分析】由題意可得對角線EFLAD,且EF與平行四邊形的高相等，進(jìn)而利用面積與邊的關(guān)系求出BC邊

的高即可.

【詳解】解：如圖，連接AD、EF,則可得對角線EFLAD,且EF與平行四邊形的高相等.

?平行四邊形紙片ABCD的面積為120,AD=20,...BC=AD=20,—EFxAD=—xl20,.\EF=6,

22

乂AD=20,.?.則圖形戊中的四邊形兩對角線之和為20+6=26,故選：A.

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及圖形的對稱問題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?山東濰坊市?八年級期末）如圖，在平行四邊形ABC。中，DE平分ZADC,AD=6,BE=2,

則平行四邊形ABCD的周長是（）

A.16B.18C.20D.24

【答案】c

【分析】根據(jù)角平分線的定義以及兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出/CDE=/CED,再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)

可得CE=CD,然后利用平行四邊形對邊相等求出CD、BC的長度，再求出nABCD的周長.

【詳解】解：YDE平分NADC,.,.ZADE=ZCDE,

二?四邊形ABCD是平行四邊形，，AD〃BC,BC=AD=6,AB=CD,

，NADE=/CED,；./CDE=/CED,；.CE=CD,

；AD=6,BE=2,；.CE=BC-BE=6-2=4,；.CD=AB=4,

."ABCD的周長=6+6+4+4=20.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形對邊平行，對邊相等的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊的性質(zhì)，熟練

掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明CE=CD是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?廣東廣州市?八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,下列條件不

能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）

Bc

A.AB〃CD,AD〃BCB.AD〃BC,AB=CDC.OA=OC,OB=ODD.AB=CD,AD=BC

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法即可判斷.

【詳解】A、根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判定；

B、無法判定，四邊形可能是等腰梯形，也可能是平行四邊形；

C、根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以判定；

D、根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以判定；故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理.

6.（2020?四川綿陽市?東辰國際學(xué)校八年級月考）點(diǎn)A、B、。、。在同一平面內(nèi)，仄①ABHCD；②

AB^CD；③BCHAD：④8C=AD四個(gè)條件中任意選兩個(gè)，能使四邊形ABCO平行四的選法有（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】由平行四邊形的判定定理，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案.

【詳解】解：①和③根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABC。為平行四邊形；

①和②，③和④根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形A8CD為平行四邊形；

②和④根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABCD為平行四邊形；

所以能推出四邊形ABCD為平行四邊形的有四組，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.平行四邊形共有五種判定方法,

記憶時(shí)要注意技巧；這五種方法中，一種與對角線有關(guān)，一種與對角有關(guān)，其他三種與邊有關(guān).

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）

7.（2020?浙江杭州市?八年級其他模擬）如圖，將沿著對角線折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，

若Nl=N2=50°，則ZA'=.

【答案】105°

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得出NADB=NBDG=NDBG,由三角形的外角性質(zhì)求出N

BDG=ZDBG=-Z1=25°,再由三角形內(nèi)角和定理求出NA,即可得到結(jié)果.

2

【詳解】解：：AD〃BC,.\ZADB=ZDBG,

由折疊可得NADB=/BDG,AZDBG=ZBDG,

又Zl=ZBDG+ZDBG=50°，：.ZADB=ZBDG=25°，

又?；N2=50。，.?.△ABD中,ZA=105°,ZA'=ZA=105o,故答案為：105。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜

合應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出/ADB的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.

8.（2020?四川成都市?八年級期末）如圖，某景區(qū)湖中有一段“九曲橋”連接湖岸A,B兩點(diǎn)，“九曲橋”的每

一段與AC平行或BD平行，若AB=100m,NA=NB=60。，則此“九曲橋''的總長度為.

【答案】200nl

【分析】如圖，延長AC、BD交于點(diǎn)E,延長HK交AE于F,延長NJ交FH于M,則四邊形EDHF,四

邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形，AABC是等邊三角形，由此即可解決問題.

【詳解】如圖，延長AC、BD交于點(diǎn)E,延長HK交AE于F,延長NJ交FH于M

E

由題意可知，四邊形EDHF,四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形

VZA=ZB=60°.\Z￡=180-ZA-ZB=60°...△ABC是等邊三角形

二ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

...“九曲橋”的總長度是AE+EB=2AB=200m故答案為：200m.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、

等邊三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解.

9.（2021?山東淄博市?八年級期末）如圖，AC是口438的對角線，點(diǎn)E在AC上，AD=AE=BE，

。=102。，則N84c的度數(shù)是.

【答案】26。

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到NABC=ND=102。，再AD=AE=BE,得出NEAB=NEBA,

/BEC=NBCA,繼而得到NACB=2/BAC,再根據(jù)/BAC+/ACB=3/BAC=180"/ABC求解即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，；.AD=BC,ZABC=ZD=102°,

?.,AD=AE=BE,，BC=AE=BE,AZEAB=ZEBA,ZBEC=ZBCA,

?//BEC=NEAB+NEBA=2NEAB,ZACB=2ZBAC,

，ZBAC+/ACB=3NBAC=180°-NABC=180°-102°=78°,

，3/BAC=78。，即NBAC=26。，故答案為：26。.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相

關(guān)知識.

10.（2020?浙江杭州市?八年級其他模擬）如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連結(jié)AE，

并延長AE與。C的延長線交于點(diǎn)F,若AB=AE,ZF=50°,則NZ）=

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出NF=NBAE=50。，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)和三角

形內(nèi)角和定理求得/B=NAEB=65。，利用平行四邊形對角相等得出即可.

【詳解】解：如圖所示，：四邊形ABCD是平行四邊形，；.AB〃DC,.?./F=NBAE=50。，.

VAB=AE,；.NB=NAEB=65。，AZD=ZB=65°.故答案是：65.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共5小題，共40分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

11.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，0ABe。中，E、尸是直線4c上兩點(diǎn)，且AE=CE.

求證：（1）BE=DF；（2）BE//DF.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)借助全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可；

（2）利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行線的判定方法得出即可.

【詳解】證明：（1）???四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AD=BC,AD//BC,:.ZDAC^ZBCA,:.ADAF=/BCE,AE=CF,AF^EC,

AF=CE

在"AD和AECJB中，，NFAD=NECB,AE4DsAECB（SAS）,BE=DF；

AD=BC

（2）：.ZF^ZE，:.BEHDF.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出AFAD絲4ECB是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?上海九年級專題練習(xí)）已知：平行四邊形ABCZ）中，點(diǎn)W為邊CO的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AB的

中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AM、CN.（1）求證：AM//CN；（2）過點(diǎn)6作5〃，AW，垂足為“，聯(lián)結(jié)C”.求

證：ABCH是等腰三角形

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB〃CD,AB=CD,又由點(diǎn)

M為邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AB的中點(diǎn)，即可得CM=AN,繼而可判定四邊形ANCM是平行四邊形，則

可證得AM〃CN.（2）由AM〃CN,BH1AM,點(diǎn)N為邊AB的中點(diǎn)，可證得BHJ_CN,ME是ABAH

的中位線，則可得CN是BH的垂直平分線，繼而證得ABCH是等腰三角形.

【詳解】解：（1）證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，A6〃CD且AB=CD.

:點(diǎn)M、

N分別是邊CO、AB的中點(diǎn)，二CM=，CO,AN=-AB.:.CM=AN.

22

乂...四邊形4VCM是平行四邊形AM//CN.

（2）設(shè)BH與CN交于點(diǎn)E,

VAM//CN,BH1AM,ABHICN,「N是AB的中點(diǎn)，；.EN是^BAH的中位線，

，BE=EH,；.CN是BH的垂直平分線，.，.CH=CB,.?.△BCH是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定.此題難度

適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

13.（2021?全國八年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接CE并延長

交BA的延長線于點(diǎn)F,連接AC,DF.

（1）求證：AAEF絲ADEC；（2）求證：四邊形ACDF是平行四邊形.

【分析】（I）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB//CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得就愛NFAE=/CDE,利用ASA

即可證明AAEF空Z\DEC；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF=DC,根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得結(jié)論.

【詳解】（1）?.?在平行四邊形ABCD中，AB〃CD,.*.NFAE=/CDE,

?.,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，；.AE=DE,

NFAE=ZCDE

在AAEF和ADEC中“AE=OE,.,.AAEF^ADEC（ASA）.

NAEF=NDEC

（2）,/△AEF^ADEC,；.AF=DC,

,.?AF〃DC,.I四邊形ACDF是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對邊互相平行：有?組對邊平行且相等的四邊

形是平行四邊形；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定定理是解題關(guān)鍵.

14.（2020?吉林長春市?長春外國語學(xué)校八年級月考）如圖，點(diǎn)8、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB

〃ED,AC〃FD,AD交BE于點(diǎn)O.（1）求證：AO與BE互相平分；（2）若4B_LAC,AC=BF,BE=8,

尸C=2,求AB的長.

【答案】（1）見解析：（2）AB=4.

【分析】（1）連接AE,50,證明△ABC四△￡>￡：￡可得：=再證明四邊形A5DE是平行四邊形,

利用平行四邊形的性質(zhì)可得答案；（2）由8E=8,FC=2,結(jié)含BF=CE,AC=BF,求解BC,再

利用ABLAC,由勾股定理可得答案.

【詳解】證明：（1）連接AE,5。，:FBuCE,:.BC=EF,

AB//DE,AC//DF,ZABC=NDEF,ZACB=NDFE,

ZABC=NDEF

在AABC與力EF中，,BC=EF.FABC'DEF,/.AB=DE,

NACB=ZDFE

VABHDE,：.四邊形A5OE是平行四邊形，二4。與BE互相平分；

⑵=BE=8,FC=2,:.BF+CE=6,；BF=CE,：.BF=CE=3,

-.AC=BF,：.AC^3,/.BC=3+2=5,-.-ABA.AC,：.AB7BC?-AC?=后-3?=4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上

知識是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?全國八年級專題練習(xí)）在oASCD中，E，尸分別為對角線BO上兩點(diǎn)，連接AE，AF，CE,

CF,并且AE〃C戶.（1）如圖1,求證：四邊形AECE是平行四邊形；

（2）如圖2,若2BE=3EF,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個(gè)三角形，使寫出的每

個(gè)三角形的面積都等于△ABO面積的2.

O

【答案】（1）見解析；（2）/XABE，&BCE,AADF，CDF

【分析】（I）由題意易得AB〃C￡>,AB=CD，進(jìn)而可得NA￡F=NCFE,ZAEB=NCFD,然后可得

ABAE'DCF,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求證；

3

（2）由（1）可得BE=DF,則根據(jù)題意易得BE=—,進(jìn)而由AABD和"BE、AADF是等高，可得AABE、

8

△ADF的面枳是AABD面積的;，由此問題可求解.

O

【詳解】（1）證明：如圖1,：四邊形ABC。為平行四邊形，；.AB〃C/D,AB=CD.

?/AE//CF.:.ZAEF=4CFE,

：.180°-ZAEF=180°-Z.CFE,即ZAEB=Z.CFD,

△BAE也ADCP,???A￡=b，.?.四邊形AECF是平行四邊形；

3

（2）由（1）可得ABAE也△ZXF,BE=DF,V2BE=3EF,:.BE=DF=FD,

8

3

根據(jù)AABD和AABE、aADF是等高，可得：AABE>AADF的面積是AABD面積的匚，

8

四邊形ABCD是平行四邊形，.二△ABD和ABCD的面積相等，

3

同理可得ABEC和ADFC的面積是ABCD面積的弓，

O

...△ABE，ABCE,^ADF，△CDF的面積都等于△ABO面積的?.

O

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

能力培優(yōu)（50分）

一、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（2021?全國八年級專題練習(xí)）如圖，在AABC中，D,F分別是AB,AC上的點(diǎn)，&DF//BC.點(diǎn)、E

是射線上一點(diǎn)，若再添加下列其中一個(gè)條件后，不能判定四邊形。BCE為平行四邊形的是（）

A.ZADE=ZEB.ZB=ZEC.DE=BCD.BD—CE

【答案】D

【分析】由NADE=NE結(jié)合已知條件可證明AB〃CE,從而可判斷A,由N8=NE結(jié)合已知條件可證

明AB〃CE,從而可判斷5,由DE=5C結(jié)合已知條件可判斷C,由3D=CE結(jié)合已知條件仍不能判定

四邊形D8CE為平行四邊形，從而可得到答案.

【詳解】解：A、VZADE=ZE,，AB〃CE,

又：DF〃BC,四邊形DBCE為平行四邊形；故選項(xiàng)A不符合題意；

B、：DF〃BC,/.ZADE=ZB,VZB=ZE,.\ZADE=ZE,，AB〃CE,

二四邊形DBCE為平行四邊形；故選項(xiàng)B不符合題意；

C、：DF〃BC,；.DE〃BC,乂：DE=BC,四邊形DBCE為平行四邊形；故選項(xiàng)C不符合題意；

D、由DF〃BC,BD=CE,不能判定四邊形DBCE為平行四邊形；故選項(xiàng)D符合題意；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定是解題

的關(guān)鍵.

2.（2020?浙江杭州市?八年級月考）如圖，在平行四邊形ABC。中，E為邊CD上一點(diǎn),將AAOE沿AE

折疊至△AD￡，47與支交于點(diǎn)凡若/8=52。,/￡乂七=20。，則/莊0的大小為（）

【答案】B

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出/D=/B=52。，由折疊的性質(zhì)得：ZD,=ZD=52°,ZEAD'=ZDAE=20°,

由三角形的外角性質(zhì)求出NAEF=72。，由三角形內(nèi)角和定理求出/AED，=108。，即可得出/FED，的大小.

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，,ND=/B=52。，

由折疊的性質(zhì)得：ZD'=ZD=52°,ZEAD'=ZDAE=20°,

NAEF=/D+/DAE=520+20°=72°,ZAED'=180°-NEAD'-/D'=108°,

AZFED,=108°-72°=36°；故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌

握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出NAEF和NAED，是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2020?山東濟(jì)南市?八年級期末）如圖，在口ABCD中，AD=2AB,CE±AB,垂足E在線段AB上，

F、G分別是AD、CE的中點(diǎn)，連接FG,EF、CD的延長線交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論:①ZDCF=-ZBCD；

②EF=CF：③S?BEC=2SACEF；④N￡>EE=3NA￡F.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】由點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，結(jié)合nABCD的性質(zhì)，得FD=CD,即可判斷①；先證AAEFwADHF,再證

△ECH是直角三角形，即可判斷②；由EF=HF,得S?HEc=2SaCEF，由CEJLAB，CEXCD,結(jié)合三角形

的面積公式，即可判斷③：設(shè)/AEF=x,則NH=x,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得NFCH=NH=x,由FD=CD,

NDFC=NFCH=x,由FG〃CD〃AB,得NAEF=/EFG=x,由EF=CF,ZEFG=ZCFG=x,進(jìn)而得到

ZDFE=3ZAEF,即可判斷④.

【詳解】；點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，；.2FD=AD,

?在nABCD中，AD=2AB,，F(xiàn)D=AB=CD,AZDFC=ZDCF,

：AD〃BC,.,.ZDFC-ZBCF,二/DCF=NBCF,g|J：ZDCF=-ZBCD,...①正確；

2

VABZ/CD,/.ZA=ZFDH,ZAEF=ZH,又：AF=DF,.\AAEF=ADHF(AAS),；.EF=HF,

■：CE±AB,ACEICD,即：AECH是直角三角形，EE=CF=，EH,...②正確；

2

?；EF=HF,二S’HEC=2S.CEFCEVAB,CEXCD,垂足E在線段AB上，

BE<CH.?*-S?BEC<S、HCE'',1,S?BEC<2S&CEF,③錯(cuò)誤；

設(shè)/AEF=x,則NH=x,?..在RtAECH中，CF=FH=EF,AZFCH=ZH=x,

?.?FD=CD,.\NDFC=NFCH=x,：點(diǎn)F,G分別是EH,EC的中點(diǎn)，；.FG〃CD〃AB,NAEF=NEFG=x,

,:EF=CF,/.ZEFG=ZCFG=x,:.ZDFE=ZDFC+ZEFG+ZCFG=3x,：.ZDFE=3ZAEF.

...④正確.故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)定理的綜合，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半，是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?山東泰安市?九年級期末）如圖，口ABCO的對角線AC、3。交于點(diǎn)平分NAOC交AB

于點(diǎn)、E,NBCD=60。,AD=^AB,連接OE.下列結(jié)論：①鼠.。=A。?8。；②DB平分NCDE；③

AO=DE；④QE垂直平分30.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】求得/ADB=90。，即ADJ_BD,即可得到S.ABCD=AD?BD；依據(jù)NCDE=60。，ZBDE=30°,可得N

CDB=ZBDE,進(jìn)而得出DB平分NCDE；依據(jù)RsAOD中，AO>AD,即可得至ljAO>DE；依據(jù)0是BD

中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，可得BE=DE,利用三角形全等即可得OEJ_BD且OB=OD.

【詳解】解：在口A8CD中，VZBAD=ZBCD=60°,ZADC=120°,DE平分NADC,

ZADE=ZDAE=60°=ZAED,ZXADE是等邊三角形，/.AD=AE=-AB,

2

1。

.,.￡是人8的中點(diǎn)，二口￡=8￡,，/5?！辏?一/4￡1。=30,

2

AZADB=90°,即AD_LBD,...S，ABCD=AD?BD,故①正確；

VZCDE=60°,ZBDE=30°,/.ZCDB=ZCDE-ZBDE=60°-30°=30°,

AZCDB=ZBDE,，DB平分NCDE,故②正確；

VRIAAODAO>AD,VAD=DE,AAO>DE,故③錯(cuò)誤；

：O是BD的中點(diǎn)，；.DO=BO,；E是AB的中點(diǎn)，BE=AE=DE

VOE=0E.?.△DOE絲△BOE(SSS),ZEOD=ZEOB

?.?NEOD+NEOB=180o...NBOE=90°...OE垂直平分BD,故④正確；正確的有3個(gè),故選擇：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的面

積公式的綜合運(yùn)用，三角形全等判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角

形的性質(zhì)定理和等邊三角形判定定理，三角形全等判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共3小題，每小題4分，共12分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）

5.（2020?浙江八年級期中）如圖，在nABCD中，AE_LBC于E,AF_LCD于F,若AE=4,AF=6,oABCD

的周長為40,則S四邊形ABCO為

D

【答案】48

【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD,AD=BC,可得AB+BC=20,再利用其面積的求法S

=BCxAE=CDxAF,可得4AE=6CD,列出方程組，求出平行四邊形的各邊長，再求其面積.

【詳解】解：設(shè)BC=x,CD=y,

?四邊形ABCD是平行四邊形，；.AB=CD,AD=BC,

：QABCD的周長為40,/.x+y=20,

VAE=4,AF=6,S四邊形ABCO=BCXAE=CDXAF,.14x=6y,

x+y=20x=12

得方程組：＜，解得:1；.S「叫運(yùn).ABCD=BCXAE=12x4=48.故答案為：48.

>=8

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與其面積公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)得到鄰邊的和，根據(jù)面

積公式得到方程，再解方程組即可.

6.（2021?遼寧錦州市?九年級期末）如圖，在oABCD中，AD=6,NADB=30°,按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)C為圓心，以CO長為半徑作弧，交BD于點(diǎn)F；②分別以點(diǎn)。，尸為圓心，以。。長為半徑作弧,

兩弧相交于點(diǎn)G,作射線CG交5。于點(diǎn)E，則BE的長為

【答案】3g

【分析】先根據(jù)題目描述可確定CG_LBD,再由平行確定/EBC=30。，從而在RsBEC中計(jì)算即可

【詳解】根據(jù)題意描述，CG垂直平分線段DF,即NBEC=90。，

VZADB=30°.四邊形ABCD為平行四邊形，；.AD//BC,AD=BC=6；./EBC=30。，

1

...在RsBEC中，CE=^BC=3,：.BE=^BC--CE=373-

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的判定，以及勾股定理，充分理解題中描述的作圖過程

是解題關(guān)鍵.

7.(2021?安徽阜陽市?九年級期末)如圖，在。ABCD中，ZA=60°,AB=8,AD=6,點(diǎn)E、F分別是

邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，將該四邊形沿折痕EF翻折，使點(diǎn)A落在邊BC的三等分點(diǎn)處，則AE的長

【分析】設(shè)點(diǎn)A落在BC邊上的A，點(diǎn)，分兩種情況：①當(dāng)A，C=2BC=2時(shí)；②如圖2,當(dāng)AB=2BC=2時(shí),

33

過A，點(diǎn)作AB延長線的垂線，構(gòu)造宜角三角形，利用勾股定理即可.

圖1圖2

設(shè)AE=x,則A，E=x,BE=8-x.過A，點(diǎn)作AM垂直于AB,交AB延長線于M點(diǎn)，

在Rt^A'BM中，/A'BM=60°,；.BM=2,A'M=2月.

2828

在RSA,EM中，利用勾股定理可得：x?=(10-x)2+12,解得x=g.即AE=y；

②如圖2,當(dāng)AB=』BC=2時(shí)，設(shè)AE=x,則A，E=x,BE=8-x.

3

過A，點(diǎn)作A代垂直于AB,交AB延長線于N點(diǎn)，

在RdABN中，ZA'BN=60°,；.BN=1,A，N=6.

14

在RSAEN中，利用勾股定理可得：x2=(9-x)2+3,解得x=—.

3

即AE=一；所以AE的長為5.6或一.故答案為5.6或一.

333

【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，同時(shí)考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.

三、解答題（本大題共3小題，共26分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

8.（2021?安徽九年級一模）如圖，SnABCD中，點(diǎn)P在對角線4C上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM//DC,且PM=DC,

連接BM,CM,AP,BD.（1）求證：xhDPmABCM；（2）若設(shè)A48P的面積為S,四邊

2

s

形8PCM的面積為T,求一的值.

T

【答案】（1）證明見解析；（2）-

3

【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得至ijAD=BC,ZADC+ZBCD=180°,由PM//DC,且PM=DC,

證得四邊形PMCD是平行四邊形，得到PD=CM,ZPDC+ZDCM=180°,推出NADP=NBCM,即可證得

結(jié)論：（2）作BHLAC于H,DGLAC于G,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AABC絲4CDA,

BH=DG,求得S.BC戶=2S."P，S.ADP=S“ABP，利用AADP絲ABCM,得到S“m=S.BCM，即可求出答案.

【詳解】（1）證明：I?四邊形ABCD是平行四邊形，，AD=BC,ZADC+ZBCD=180°,

?JPMHDC,KPM=DC,四邊形PMCD是平行四邊形，

；.PD=CM,ZPDC+ZDCM=180°,AZADP=ZBCM,△ADP必△BCM；

（2）解：作BHLAC于H,DGLAC于G,

丁四邊形ABCD是平行四邊形，.'.AABC^ACDA,ABH=DG,

cADic—,AP-BH

.^ABP_---=—urjn—2S_2_______________1HnC—C

?*〈,，即°ABCP一八AABP，q_]_1,即^&ADP~0^ABP，

MBCP5乙3AAp尸-APDG

2

.1S.A".

?：AADPQABCM，：.S.ADP='跳從，

TS.BCP+S&ADP

A

M

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，同底等高或同高的三角形的面積關(guān)系，

證明△A/）P絲ABCM并利用其全等的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

9.（2020?黑龍江哈爾濱市?九年級月考）如圖，在AAFC中，/FAO45。，F(xiàn)ELAC于點(diǎn)E,在EF上取一

點(diǎn)B,連接AB、BC,使得AB=FC,過點(diǎn)A作ADLAF,且AD=BC,連接CD.

H

圖2

（1）如圖1,求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）如圖2,若AB平分NFAC,延長FE交CD于點(diǎn)H,請直接寫出與NABE相等的角.

【答案】（1）見解析；（2）ZCHB；ZBCH；ZBAD；ZFCA；ZCFA

【分析】（1）由題意易得NFEA=NFEC=90°,NFAC=NEFA=45°,進(jìn)而可證RsAEB絲RIAFEC,則有

BE=CE,然后可證BC〃AD,最后求解問題即可；（2）由（1）及題意可直接進(jìn)行解答.

【詳解】（1）證明：VFE1AC,.