直角三角形-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試好題匯編（北師大版）（解析版）

專題02直角三角形

考向一：直角三角形的判定與性質(zhì)

考向二：勾股定理的應(yīng)用二——翻折問(wèn)題

餐經(jīng)典基礎(chǔ)題

一、直角三角形的判定與性質(zhì)

1.（2022?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（）

A.G，4，石B.2,3,4C.4,6,8D.6,8,10

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理的逆定理逐項(xiàng)計(jì)算可得.

【詳解】

選項(xiàng)A,后+G于后；

選項(xiàng)B,22+32*42；

選項(xiàng)C,42+6282；

選項(xiàng)D,62+82=102；

根據(jù)勾股定理的逆定理，只有選項(xiàng)D符合條件，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?福建泉州?八年級(jí)期末）在NBC中，BC=n2-t2,AC=2nt,AB=n2+t2（n,，是正整數(shù)，且〃>f）,則“BC

是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

利用完全平方公式變形證明BC2+AC2^AB\即可證明AABC是直角三角形.

【詳解】

解：*.*AB2=（n2+/2）2>BC2-（n2-t2）2,AC2=2（2nt）2=4（nt）2,

BC2+AC2-（層-產(chǎn)）2+4（砌2=（n2+產(chǎn)）2=二爐,

.'.△ABC是直角三角形，

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了完全平方公式，勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)“，b,C滿足〃2+/;2=C2,那么這個(gè)

三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?河南南陽(yáng)?八年級(jí)期末）0C為/AOB的平分線，M為OB上一點(diǎn)，P為OC上一點(diǎn)，如果OM=3,

PM=2,OP=A，那么點(diǎn)尸到射線OA的距離為（）

A.1B.V13C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理的逆定理，角平分線的性質(zhì)即可解答.

【詳解】

解：根據(jù)題意作圖如下：

△OMP中，。產(chǎn)=⑶，OM=9,PM2=4,

OP2^OM2+PM2,

：.PMLOB,

由角平分線的性質(zhì)可得：點(diǎn)P到射線OA的距離等于點(diǎn)P到射線OB的距離,

點(diǎn)尸到射線OA的距離為2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的逆定理，角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）；掌握其性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

4.（2022.河南南陽(yáng)?八年級(jí)期末）如圖，在正方形4BCD中，AB=4,4E=2,DF=1,圖中有（）個(gè)直

角三角形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分

根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理可判斷結(jié)果.

【詳解】

解：由題意知AEDF,△BCE分別有一個(gè)角為正方形的內(nèi)角，是直角；

；ABC。是正方形，AB=4

二AB=AD=CD=BC=4

'：AE=2.DF=\

：.ED=AD-AE^2,CF=CD-DF=3

BE2=AB2+AE-=20.BF2=BC2+CF1=25.EF-=ED1+DF-=5

BF?=BE2+EF?

...ABEF也是直角三角形

.?.圖中共有4個(gè)直角三角形

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理及其逆定理.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題干條件求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度的平方.

5.（2022?陜西寶雞?八年級(jí)期末）如圖，BDLCF于點(diǎn)E,NA=38。，ZB=30°,則NC的度數(shù)（）

A.22°B.30°C.52°D.60°

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出NC0E的度數(shù)，然后利用直角三角形兩銳角互余求解即可.

【詳解】

解：：N4=38°,ZB=30°,

/.ZCD￡=ZA+ZB=68°,

?：BD1CF,

二NOEC=90。，

，ZC=900-ZCD￡=22°,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟知三角形外角的性質(zhì)和直角三角形兩銳角

互余是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?上海?八年級(jí)期末）如圖，在四邊形48C。中，AD=2&，AB=2不，BC=10,8=8,ZBAD=90°,

【答案】2V14+24

【解析】

【分析】

連結(jié)8D,然后根據(jù)勾股定理求得8。的值和△8A。的面積，再根據(jù)勾股定理逆定理得到△8DC是直角三角

形，所以可以得到△5DC的面積，從而得到四邊形ABC。的面積.

【詳解】

解：如圖，連結(jié)8。，

ZBAD=90°,

BD=yjAD2+AB2，

VAD=2y/2,AB=2y/l,

:.BD=6,

'：BD2=36,CD2=64,BC2=\00,BU+CgBC2,

ZBDC=90°,

S^ABD=-x2^2x2x/7=2714,SABDC=-X6X8=24,

22

二四邊形ABCD的面積是=S^ABD+S&BDC=29+24

故答案為：2jiW+24.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理以及逆定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中

考?？碱}型.

7.（2022?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)期末）如圖，在4x4的網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,AABC的頂點(diǎn)A、B、

C都在格點(diǎn)上，點(diǎn)。為A8邊的中點(diǎn)，則線段CO的長(zhǎng)為.

c

n

/yo

1--------------------

【答案】2.5

【解析】

【分析】

由勾股定理得4c2=20,8c2=5,”2=25,則AC2+BC2=AB2,再由勾股定理的逆定理證明AABC是直角三角

形，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】

解：由勾股定理得：AC2=22+42=20,8c2=口+22=5,AB2=42+32=25,

：.AC2+BC2=AB2,

.?.△ABC是直角三角形，ZACB=90°,AB=5,

???點(diǎn)。為AB邊的中點(diǎn)，

：.CO=^AB=2.5,

故答案為：2.5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和

勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?浙江?八年級(jí)期末）如圖，在△45c中，AC^BC,CD1AB,CD=5,AB-24.E是AB邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸與點(diǎn)A關(guān)于直線CE對(duì)稱，當(dāng)A0為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為.

C

ADB

【答案】7或17

【解析】

【分析】

分當(dāng)E在線段AO上時(shí)，當(dāng)E在線段80上時(shí)分別求解即可.

【詳解】

解：當(dāng)E在線段A。上時(shí)，

連接。區(qū)作4關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)凡連接AF,EF,CF,

F

,/ZAEF=90°,

3600-90°

:.ZAEC=ZFEC==135°,

2

JNCED=45°,

：.CD=ED=5,

AAE=AD-ED=12-5=7；

當(dāng)E在線段BD上時(shí)，

連接CE,作A關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)R連接Er，CF,AF,

???ZAEF=90°,

：.ZCEF=ZCEA=45°t

：.ED=CD=5,

：.AE=AD+DE=\7f

故答案為：7或17.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是注意運(yùn)

用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.

9.（2022?江蘇鹽城?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，AB^AC,AD是中線，若NC=55。，則NCAO=

【答案】35°

【解析】

【分析】

根據(jù)等腰三角形的三線合一得到NAOC=90。，根據(jù)宜角三角形兩銳角互余求出答案.

【詳解】

解：?.,A8=AC,AO是中線，

J.ADVBC,

：.ZADC=90°,

；NC=55。，

.,.ZC^D=90°-ZC=35°,

故答案為：35。.

【點(diǎn)睛】

此題考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

10.（202）貴州遵義?八年級(jí)期末）在AABC中，AB=AC,過(guò)點(diǎn)B作AC于點(diǎn)。，若NC=5ZABD,

貝|ZA=.

【答案】80°##80度

【解析】

【分析】

設(shè)=根據(jù)AB=AC,得出NABC=NC,根據(jù)NC=5ZABD,得出NC=5x,NDSC=4x,再根

據(jù)“BC+NC=90。，列出關(guān)于x的方程，解方程即可.

【詳解】

-,-AB=AC,

ZABC=ZC,

設(shè)ZA8￡>=x,則ZA8C=NC=5x,

ZDBC=ZABC-ZABD=4x,

■.■BD1AC,

.-.ZBDC=90°,

ZDBC+ZC=90°,

即4x+5x=90。，解得x=10。，

/.ZABC=ZC=5x=50°,

.?.ZA=180°-ZABC-ZC=80°.

故答案為:80°.

【點(diǎn)睛】

本本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中角度的關(guān)系，得出

NASD的度數(shù).

11.（2022?江蘇鹽城?八年級(jí)期末）圖，在A48C中，AD±BC,垂足為。，AD=4,BD=2,CZ）=8.

（1）求證：N8AC=90°；

（2）用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上求作點(diǎn)P（保留作圖痕跡），使得尸￡>=PC,求。P的值.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵2石

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)勾股定理可得鉆;20,AC2=80.再由勾股定理逆定理，即可求解：

（2）作線段8的垂直平分線，可得到P￡>=PC,然后過(guò)點(diǎn)P作P尸，4。于點(diǎn)尸，根據(jù)SjanSa2+S/e，

可得PE=2,再由勾股定理，即可求解.

(1)

解：VADA.BC,

：.ZADB^ZADC=90°,

VAD=4,BD=2,8=8,

/.AB2=20,AC2=80，

"：BC=BD+CD=\0,

：.BC2=IOO.

/.AB2+AC2=BC2,

，ZBAC=90°；

(2)

：如圖，點(diǎn)P即為所求，

如圖，過(guò)點(diǎn)^作^廠工人力于點(diǎn)尸，

根據(jù)作法得：PE垂直平分CD,

DE=-CD=4,

2

?“AAC?！笰AP。，

：.-ADCD=-ADPF+-CDPE,BP-x4x8=-x4x4+-x8-P￡,

222222

解得：PE=2,

:，DP=-JPE2+DE2=5/22+42=2石.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理及其逆定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理及其逆定理，線段垂宜

平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2022?四川達(dá)州?八年級(jí)期末)如圖，小明家A和地鐵口B兩地恰好處在東西方向上，且相距3km,學(xué)

校C在他家A正北方向的4km處，公園O與地鐵口B和學(xué)校C的距離分別5km和5應(yīng)km.

(1)若N8D4=10。，求/4DC的大小；

(2)計(jì)算公園。與小明家A的距離.

【答案】(1)35。；

(2)公園。與小明家A的距離為屈km.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)勾股定理逆定理可得ABCD是等腰直角三角形，NCBD=9O。，從而得到4DC=45。，即可求解;

(2)過(guò)。作￡>E_LA/J,交A8的延長(zhǎng)線于證得ABOE合ACfiA,可得￡>￡=84=3癡，BE=CA=4km,

從而得到==再由勾股定理，即可求解.

(1)

解：由題意得：BD=5km,CD=5血km,ZBAC=9Q°,AB=3km,CA=4km,

/.BC=yjAB2+AC2=^32+42=5(初7),

BC=BD,

22222

,/BC+BD=5+5=50,CD=(5&『=50,

/.BC2+BD2=CD2,

二N3CD是等腰直角三角形，NCBD=90。，

48=45。，

ZADC=ZBDC-ABDA=45°-10°=35°；

(2)

解：過(guò)。作交AB的延長(zhǎng)線于E,如圖所示：

則/。曲=90°,

ZBDE+NDBE=90°,

由(1)得：ZCZ?D=90°,

NDBE+NCBA=90。,

：./BDE=NCBA,

在MDE和ACM中，

2DEB=NBAC=90。

-ZBDE=NCBA,

BD=CB

：.ABDE^ACBA(AAS),

DE=BA=3km,BE=CA=4km,

：.AE=BE+AB=】km,

-?AD=yjDE2+AE2=V32+72=辰km，

答：公園。與小明家A的距離為屈km.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的

性質(zhì)是解題的的關(guān)鍵.

二、勾股定理的應(yīng)用二一一翻折問(wèn)題

1.（2022?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,點(diǎn)、D、E分別在

BC、AC邊上.現(xiàn)將ADCE沿OE翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)H處.連接A〃，則A”長(zhǎng)度的最小值為（）

A.0B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

當(dāng)，落在A8上，點(diǎn)。與B重合時(shí)，A”長(zhǎng)度的值最小，根據(jù)勾股定理得到AB=10cm,由折疊的性質(zhì)知，

BH=BC=6cm,于是得到結(jié)論.

【詳解】

解：當(dāng)H落在A8上，點(diǎn)。與8重合時(shí)，4H長(zhǎng)度的值最小，

VZC=9O0,AC=8cm,8c=6cm,

.*.AB=10cm,

由折疊的性質(zhì)知，BH=BC=6cm,

：.AH=AB-BH=4cm.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?陜西?銅川市耀州區(qū)教育體育局教學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖，在放AABC中，ZC=90°,4=30。，

8c=3,點(diǎn)。是2c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過(guò)點(diǎn)。作。EJ.BC交A8邊于點(diǎn)E,將D8沿直線

OE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的尸處，連接AF,當(dāng)AAEF為直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

首先利用勾股定理求出三角形A8C的邊長(zhǎng)，分NE4F=90。和ZAFE=90。兩種情況，利用30。角的性質(zhì)列方程

求解.

【詳解】

解：在直角AABC中，ZC=90°,ZB=30°,

：.AB^2AC,

根據(jù)勾股定理，得BG=A82一AGSCZ-AC^%

解得AC=75,AB=2AC=2j3,

設(shè)則用同樣方法得匹二冥“,

3

???AE=AB-BE=2G-述%,EF=BE=空x,

33

FC=BC-FB=3-2x,

,：/AEF=NB+NEFB=60。,

當(dāng)NEAQ90。，Z￡M=30°,

:?EF=2AE,

有空x=2（26-亞x）,

33

解得x=2,

②當(dāng)NAEE=90。時(shí)，AE=2EFf

有2x^8x=2序型x,

33

解得kI,

故選擇C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直角三角形的性質(zhì)與折疊問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是確定折疊前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

3.(2022?上海?八年級(jí)期末)如圖，A點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),將△OAC沿AC翻折得到△4PC,

則P點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】

【解析】

【分析】

過(guò)點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)G,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：/附0=60。，NG%=30。，AP=6,進(jìn)而即可求解.

【詳解】

如下圖，過(guò)點(diǎn)尸作PGLx軸于點(diǎn)G,

,.Q=G,OC=1,

.,MC=7tt42+OC2=2，

Z.OC=-AC,

2

：.NCAO=30。，

/XAOC沿AC翻折得到AAPC,

：.^CAO=^PAC,

AZB4O=60°,ZGPA=3Q°,AP=5

：.AG=^-AP=—,PG=>JPA2-GA2=-

222

/.OG=AO-AG==

22

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為,I,

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查折疊的性質(zhì)、含30。角的直角三角形及勾股定理，熟練掌握含30。角的直角三角形及勾股定理是解

題的關(guān)鍵.

4.（2022?江蘇泰州?八年級(jí)期末）如圖，小明將一張正方形紙片對(duì)折，使得AB與8重合，折痕為EF,展

若C￡/=lcm,貝BC=cm.

【答案】&

【解析】

【分析】

連接CC,證明△BCC是等邊三角形，再由折疊的性質(zhì)得到NHBC=NH8C=30。，利用含30度角的直角三角

形的性質(zhì)求解即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：如圖，連接CC,

由折疊的性質(zhì)知，折痕為E尸是BC的垂直平分線,

又由折疊的性質(zhì)知，BC=BC,ZHBC=ZHBC,

：.BC'=CC'=BC,

.??△3CC是等邊三角形，

???ZCBC=60°,

NHBC=NHBC'=30°,

在RmHBC中,ZHBC=30°,CH=lcm,

1?HB=2cm,

-■?^BH2-CH2=722-12=73（cm）,

故答案為：白.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

防優(yōu)選提升遂

1.（2022?河南南陽(yáng)?八年級(jí)期末）已知AABC中，a、b、c分別是一A、NB、NC的對(duì)邊，下列條件中不

能判斷AMC是直角三角形的是（）

A.NA：DB；ZC=3：4：5B.ZC=ZA-ZB

C.a2+b2=c2D.。：b：c=6：8：10

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180度求出三角形每個(gè)度數(shù)，即可判定A、B；根據(jù)勾股定理的逆定理判定C、D即

可得出答案.

【詳解】

解：A、當(dāng)NA：Dfi：ZC=3：4：5時(shí)，則NC=180°x---=75。，同理可得NA=45。，ZB=60°,

3+4+5

則三角形不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；

B、當(dāng)NC=/4-/B時(shí)，可得NC+/8=NA,又?.?//1+Zfi+NC=180。，AZC=90°,則AABC是直角三

角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、當(dāng)不+從二。?時(shí)，則三.角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)a：b：c=6：8：10時(shí)，a2+b2=c2,則三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理判定，掌握直角三角形的判定方法：最大角等于90度和用

勾股定理的逆定理判定是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?四川眉山?八年級(jí)期末)AABC的三邊長(zhǎng)分別為“，b,c,^a+h)(a-h)=c2,則()

A.AA8C是銳角三角形B.c邊的對(duì)角是直角

C.是鈍角三角形D.。邊的對(duì)角是直角

【答案】D

【解析】

【分析】

把(a+6)(a-?=/整理即可.

【詳解】

解：V(a+b)(a-b)=c2,

?"a--b=c>

a2=b2+C1，

.,.△ABC是直角三角形且。邊的對(duì)角是直角，

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理得逆定理，平方差公式，熟練掌握勾股定理的逆定理的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?江西九江?八年級(jí)期末)在“8C中，已知Afi=4,BC=5,AC="T，則下列說(shuō)法正確的是()

A.aABC是銳角三角形B.AABC是直角三角形且NC=90

C.AABC是鈍角三角形D.AABC是直角三角形且48=90。

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的三邊邊長(zhǎng)平方的數(shù)量關(guān)系，利用勾股定理的逆定理對(duì)三角形的形狀進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：由題意知，AB2=16,BC2-25,AC：=41,

AB2+BC2=AC2,

，AABC是直角三角形，fiZB=90°

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的逆定理.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握勾股定理的逆定理.

4.（2022?廣西欽州?八年級(jí)期末）如圖，把一副三角板疊放在一起.則N1的大小為（）

A.105°B.115°C.120°D.125°

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)三角板的性質(zhì)得出/4=45。，NE=30。，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖

?.?圖中是一副直角三角板,

：.ZA=45°,Z￡=30°,

ZE+ZEGB=90°

：.NEGB=30。

：.ZAGD=ZEGB=30°

'：Z1=180°-ZA-ZAGD

Zl=180o-45°-30o=105°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、對(duì)頂角相等，互余的定義，熟知三角形內(nèi)角和是180。是解答此題的關(guān)鍵.

5.（2020?河南鄭州?八年級(jí)期末）如圖，一張三角形紙片A8C,其中NC=90。,3c=8,A8=10,小美同學(xué)將

紙片做三次折疊，第一次使得點(diǎn)力和點(diǎn)C重合，折痕長(zhǎng)為x；將紙片展平后做第二次折疊，使得點(diǎn)B和點(diǎn)C

重合，折痕長(zhǎng)為y；再將紙片展平后做第三次折疊，使得點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，折痕長(zhǎng)為z,則x,y,z的大小關(guān)

A.z>x>yB.z>y>xC.y>x>zD.x>z>y

【答案】D

【解析】

【分析】

由圖1,根據(jù)折疊得：OE是線段AC的垂直平分線，由中位線定理的推論可知：OE是ZA3C的中位線，得

出OE的長(zhǎng)，即x的長(zhǎng)；由圖2,同理可得：MN是/ABC的中位線，得出A/N的長(zhǎng)，即y的長(zhǎng)；由圖3,

根據(jù)折疊得：G”是線段AB的垂直平分線，得出8G的長(zhǎng)，再利用兩角對(duì)應(yīng)相等證△ACBS///GB,利用

比例式可求GH的長(zhǎng)，即z的長(zhǎng)；再比較大小即可求解.

【詳解】

由勾股定理得：ACZAB'2_BC?=6,第一次折疊如圖1，折痕為力￡

由折疊得：AE=EC=AC=1x6=3,DEVAC,

2

ZACB=90°

：.DEIIBC,

.\X=DE=1BC=^X8=4：

第二次折疊如圖2,折痕為

BC=1X8=4,

MN工BC,

—0。,

■:MNHAC,

/.y=MN=gAO；x4=3；

第三次折疊如圖3,折痕為G”,

GHLAB,

JZAG/7=90°,

:?NB=NB,NBGH=NACB,

???4ACB八HGB,

.ACCB

'GB

6_8

~HG~~5

15

：.GH=—即z=-

44

15

4>—>3

4

.\x>z>y

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的問(wèn)題，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變

化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.本題的關(guān)鍵是明確折痕是所折線段的垂直平分線，準(zhǔn)確找出中位線，利用經(jīng)過(guò)

三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊這一性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)折痕的長(zhǎng)，沒(méi)有中位線的可以考慮用

三角形相似來(lái)解決.

6.（202卜河南鄭州?八年級(jí)期末）如圖，把等邊△鉆C沿著OE折疊，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)B'處，

且OB'_LAC,若3'C=6cm,則AE=cm.

【答案】3&+3

【解析】

【分析】

先根據(jù)30。直角三角形的特點(diǎn)求出CD、B'D,再根據(jù)折疊求出BC的長(zhǎng)，最后證明"班=900即可利用30。

直角三角形的特點(diǎn)求出AE.

【詳解】

;等邊三角形AA8C

AZA=ZB=ZC=60°,AC=BC

VDB'IAC,B'C=6cm

：.ZffDC=30°

：.CD=2B'C=\2

DB'=ylaf+B'C2=6拒

?.?折疊

/.?￡??￡W60?.DB'=BD=6C

：.ZAB'E=3O°,AC=BC=DC+BD=12+()y/3

：.ZffEA=180-ZA-AAB'E=90°,AB'=AC-B'C=6+6y/3

：.AE=-AB'=3+3?/3.

2

故答案為：3+3G.

【點(diǎn)睛】

本題考查折疊的性質(zhì)、勾股定理、30。的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，證明NEE4=90。是解題的

關(guān)鍵.

7.（2022?全國(guó)?八年級(jí)期末）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則乙4BC

【答案】450

【解析】

【分析】

如圖，連接AC,根據(jù)勾股定理即可得到A8,BC,4c的長(zhǎng)度，勾股定理的逆定理判斷AABC的形狀，進(jìn)而

可得出N48C的度數(shù).

【詳解】

由勾股定理得：AC=BC=亞,AB=Ji6，

?.?同+同=（阿，

...AC2+BC2=AB2,

/.△ABC是等腰直角三角形，

/.N4BC=45°,

故答案為：45°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于判斷A4?C的形狀.

8.（2022.福建?福州三牧中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方形A8CD中，AB=3cm,A￡>=9cm將此長(zhǎng)方形折

疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，則A4BE■的面積為cm2.

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的條件可得：BE=ED,在直角AABE中，利用勾股定理就可以求解.

【詳解】

解：??,將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)。重合，

BE=ED，

AD=9=AE+DE=AE+BE,

，BE=9—AE,

在用AABE中，根據(jù)勾股定理可知：AB2+AE2=BE2>

:.32+AE2=（9一AE）?.

解得：A￡=4,

r.AABE的面積為：—x3x4=6（cm2）.

2

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查折疊的性質(zhì)以及勾股定理，注意掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

9.（2020?浙江?八年級(jí)期末）如圖，々"=60。，點(diǎn)A是B。延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，0/1=10cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A

出發(fā)沿AB以3cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以lcm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，。同時(shí)出發(fā)，用

?s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)7s時(shí)，△PO。是等腰三角形；當(dāng)仁s時(shí)，aPOQ是直角三

角形.

C,

0/

60°

B

【答案】|■或54或10

【解析】

【分析】

根據(jù)AP。。是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)尸在A。上，或點(diǎn)P在5。上；根據(jù)APOQ是直角三角

形，分兩種情況進(jìn)行討論：R2_LAB,或PQLOC,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

解：如圖，當(dāng)尸O=QO時(shí)，AP。。是等腰三角形，

解得r=|；

.?.當(dāng)PO=QO時(shí)，3/-10=r,

解得f=5：

如圖，當(dāng)時(shí)，AP。。是直角三角形，且。。=2。尸,

■.■PO=AP-AO=3t-\0,OQ=t,

.?.當(dāng)QO=2QP時(shí)，Z=2x(3z-10),

解得f=4；

如圖，當(dāng)PQ_LOC時(shí)，AP。。是直角三角形，且2。。=。2,

.?.當(dāng)2Q0=0P時(shí)，2/=3f-10,

解得：t=10.

故答案為：|■或5；4或10.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論，分類時(shí)注意

不能遺漏，也不能重復(fù).

10.（2022?山東淄博?八年級(jí)期末）如圖，將繞斜邊AB的中點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)到VA5G的位置，使得AC'//BC,

則旋轉(zhuǎn)角等于.

【答案】90°

【解析】

【分析】

先由平行線的性質(zhì)得到ZAFA=ZABC,再由直角三角形兩銳角互余得到ZAFA+ZA=90°,再由旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)推出ZAFA'+ZA'=9Q°,即可得到ZAPA'=90°.

【詳解】

解：設(shè)A'C'與A8交于點(diǎn)F,

,/A'C//BC,

ZAFA'^ZABC,

?.?在放△ABC中，AB是斜邊,

N4+NB=90。，

/A川+4=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NA'=NA，

/AK4'+/A'=90。，

二ZFPA=90°,

,NA/W=90°,

.??旋轉(zhuǎn)角為90。，

故答案為：90°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

II.（2022.陜西?西安湖濱中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,B4=8cm,

現(xiàn)將直角邊A8沿直線B。對(duì)折，使點(diǎn)A恰好落在斜邊BC上，且與43重合，求BD的長(zhǎng).

C.

【答案】jViOcm

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理得到BC=JAC?+AB2=10(cm),根據(jù)折疊的性質(zhì)得到A'3=AB=8cm,

?BA4?A1DAC90?,4)=AO，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：VZA=90°,A8=8cm,AC=6cm,

?*-BC^\IAC2+AB2=10(cm),

???將直角邊A8沿直線BD進(jìn)行對(duì)折，使點(diǎn)A剛好落在斜邊8c上，

AA'B=AB=Scm,?8A為？A?DAC90?,AD=AD^

A'C=10-8=2(cm),

■:CD2=AV：2+AD2,

:.(6-AD)2=22+AD2,

.,.AD=—,

3

:.BD=4AD2+AB。=/：壬+82(cm),

故BD的長(zhǎng)為|\/10cm.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

12.(2022?上海?八年級(jí)期末)如圖，已知四邊形ABC。中，ZB=90°,AB=\5,BC=20,AD=24,8=7,求

四邊形ABC。的面積.

【答案】234

【解析】

【分析】

連接AC,根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理逆定理可證AABC和△ACO為宜角三角形，然后代入三角形面積公式

將兩直角三角形的面積求出來(lái)，兩者面積相加即為四邊形A8CD的面積.

【詳解】

解：連接4C,如圖，

,/NB=90°,AB=15,BC=20,

-■-AC=y)AB2+BC2=V152+202=25，

AD2+CZ)2=242+72=625,AC2=252=625,

.,.AD^C^AC2,

.?./慶90。，

S^ABCD=S^ABC+SAACD=；x15x20+；x24x7=150+84=234.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

13.(2022?浙江金華?八年級(jí)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB與x軸、)，軸分

別交于點(diǎn)A、B.過(guò)點(diǎn)8的直線產(chǎn)-x+b與x軸交于點(diǎn)C.已知A(-4,0)、C(3,0),點(diǎn)。為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，

將AAB。沿8。折疊得到AEBD,直線8E與x軸交于點(diǎn)F.

(1)求直線AB、8c的函數(shù)解析式；

(2)若點(diǎn)。在線段4。上，且△力EF與ABFC的面積相等，求線段BZ)的長(zhǎng)；

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，尸能否成為直角三角形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴直線48解析式為：)，=》+3；直線AC解析式為：y=-x+3

4

⑵遮

2

(3)能；(-3,0)、(一|,0)、(3,0)、(6,0)

【解析】

【分析】

(1)將C(3,0)代入直線8c解析式即可得到8c解析式，然后通過(guò)解析式求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，通過(guò)4、B

兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線AB的函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)面積相等以及折疊的性質(zhì)先證4)=8,然后用勾股定理先求出CO的值，再用勾股求出8。的

值即可；

(3)分類討論，分為ZDF