2024屆上海市寶山區(qū)淞浦中學高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆上海市寶山區(qū)淞浦中學高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，且，若，則（）A． B． C． D．2．定積分的值為()A． B． C． D．3．設命題，，則為（）．A．， B．，C．， D．，4．將函數(shù)圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖像向左平移個單位長度，所得函數(shù)圖像關于對稱，則（）A． B． C． D．5．河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟．現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構成一個數(shù)列，則的值為（）A．8 B．10 C．12 D．166．一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,67．如圖是由正方體與三棱錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．28+43 B．36+43 C．28+8．已知圓柱的軸截面的周長為，則圓柱體積的最大值為（）A． B． C． D．9．“a>1”是“函數(shù)f(x)=ax-sinx是增函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知函數(shù)，則的解集為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù).若不等式的解集中整數(shù)的個數(shù)為3，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．12．己知命題P：單位向量的方向均相同，命題q：實數(shù)a的平方為負數(shù)。則下列說法正確的是A．是真命題 B．是真命題 C．是假命題 D．是假命題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫答案）14．已知，則的取值范圍是________.15．在等差數(shù)列中,,則________16．若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是___.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，0），（），圓C的參數(shù)方程（θ為參數(shù)）．（Ⅰ）設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；（Ⅱ）判斷直線l與圓C的位置關系．19．（12分）已知.(1)當，時，求不等式的解集；(2)當，時，的圖象與x軸圍成的三角形面積大于24，求的取值范圍．20．（12分）已知的三個頂點為，為的中點.求：(1)所在直線的方程；(2)邊上中線所在直線的方程；(3)邊上的垂直平分線的方程．21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（I）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（II）求曲線上的點到直線的距離的最大值.22．（10分）已知二次函數(shù)f（x）的最小值為﹣4，且關于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|﹣1≤x≤3，x∈R}．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求函數(shù)g（x）的零點個數(shù)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】當時有，所以，得出，由于，所以.故選B.2、C【解題分析】試題分析：=.故選C.考點：1.微積分基本定理；2.定積分的計算.3、A【解題分析】

根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，可直接得出結果.【題目詳解】解：表示對命題的否定，“，”的否定是“，”．故選．【題目點撥】本題主要考查命題的否定，只需改寫量詞與結論即可，屬于?？碱}型.4、B【解題分析】

運用三角函數(shù)的圖像變換，可得，再由余弦函數(shù)的對稱性，可得，計算可得所求值.【題目詳解】函數(shù)圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），則可得，再把得到的圖像向左平移個單位長度，則可得，因為所得函數(shù)圖像關于對稱，所以，即，解得：，所以：故選：B【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的圖像變換以及余弦函數(shù)的對稱性，屬于一般題.5、C【解題分析】

數(shù)列，是等比數(shù)列，公比為2，前7項和為1016，由此可求得首項，得通項公式，從而得結論．【題目詳解】最下層的“浮雕像”的數(shù)量為，依題有：公比，解得，則，，從而，故選C．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的應用．數(shù)列應用題求解時，關鍵是根據(jù)題設抽象出數(shù)列的條件，然后利用數(shù)列的知識求解．6、D【解題分析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級職稱抽取的人數(shù)為，中級職稱抽取的人數(shù)為，初級職稱抽取的人數(shù)為，其余人員抽取的人數(shù)為，所以各層中依次抽取的人數(shù)分別是8人，16人，10人，6人，故選D．考點：分層抽樣．【方法點睛】分層抽樣滿足“”，即“或”，據(jù)此在已知每層間的個體數(shù)量或數(shù)量比，樣本容量，總體數(shù)量中的兩個時，就可以求出第三個．7、C【解題分析】

由三視圖可知，正方體的棱長為2，直三棱錐的底面是兩直角邊長都為2的直角三角形,高為3,由此可求得幾何體的表面積.【題目詳解】由三視圖可知，正方體的棱長為2，直三棱錐的底面是兩直角邊長都為2的直角三角形，高為3，故該幾何體的表面積為S=2×2×5+【題目點撥】本題主要考查三視圖的還原，幾何體的表面積的計算，難度一般，意在考查學生的轉化能力，空間想象能力，計算能力.8、B【解題分析】

分析:設圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圓柱體積的最大值．詳解:設圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤8π，∴圓柱體積的最大值為8π，點睛:(1)本題主要考查圓柱的體積和基本不等式,意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.9、A【解題分析】

先由函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，轉化為f'【題目詳解】當函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，則則a≥cos因此，“a>1”是“函數(shù)fx=ax-sin【題目點撥】本題考查充分必要條件的判斷，涉及參數(shù)的取值范圍，一般要由兩取值范圍的包含關系來判斷，具體如下：（1）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；（2）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件；（3）A=B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件；（4）A?B，則則“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要條件。10、C【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的表達式，討論當和時，不等式的解，從而得到答案?！绢}目詳解】因為，由，得：①或②；解①得;；解②得：；所以的解集為；故答案選C【題目點撥】本題考查指數(shù)不等式與對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題。11、D【解題分析】

將問題變?yōu)?，即有個整數(shù)解的問題；利用導數(shù)研究的單調(diào)性，從而可得圖象；利用恒過點畫出圖象，找到有個整數(shù)解的情況，得到不等式組，解不等式組求得結果.【題目詳解】由得：，即：令，當時，；當時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，且，由此可得圖象如下圖所示：由可知恒過定點不等式的解集中整數(shù)個數(shù)為個，則由圖象可知：，即，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)求解參數(shù)取值范圍的問題，關鍵是能夠?qū)栴}轉化為曲線和直線的位置關系問題，通過數(shù)形結合的方式確定不等關系.12、D【解題分析】

先判斷命題P，命題q均為假.再逐項判斷每個選項的正誤.【題目詳解】命題P：單位向量的方向可以是任意的，假命題命題q：實數(shù)a的平方為非負數(shù)，假命題為假命題，A錯誤為假命題，B錯誤是真命題，C錯誤是假命題，D正確故答案選D【題目點撥】本題考查了命題的判斷，正確判斷命題的正誤是解決此類題型的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題意，二項式展開的通項，令，得，則的系數(shù)是.考點：1.二項式定理的展開式應用.14、【解題分析】

可設所求cosαsinβ=x，與已知的等式sinαcosβ=相乘，利用二倍角的正弦函數(shù)公式的逆運算化簡為sin2α?sin2β=2x后，根據(jù)三角函數(shù)的值域的范圍得到關于x的不等式，求出解集即可得到cosαsinβ的范圍【題目詳解】設x=cosα?sinβ，sinα?cosβ?cosα?sinβ=x，即sin2α?sin2β=2x．由|sin2α?sin2β|≤1，得|2x|≤1，∴﹣≤x≤．故答案為：[﹣，]．【題目點撥】考查學生靈活運用二倍角的三角函數(shù)公式化簡求值，會根據(jù)三角函數(shù)的值域范圍列出不等式．本題的突破點就是根據(jù)值域列不等式．15、40【解題分析】

根據(jù)前項和公式，結合已知條件列式求得的值.【題目詳解】依題意.【題目點撥】本小題主要考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎題.16、【解題分析】

將題意轉化為：，使得，利用參變量分離得到，轉化為，結合導數(shù)求解即可。【題目詳解】，其中，則。由于函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則，使得，即，，構造函數(shù)，則。，令，得。當時，；當時，。所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，則，所以，，故答案為：?！绢}目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)，一般來講，函數(shù)的單調(diào)性可以有如下的轉化：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，；（3）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，；（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，；（5）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】

（1）將代入函數(shù)解析式，并將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式，利用零點分段法可解出不等式的解集；（2）首先求得二次函數(shù)的最小值和函數(shù)的最大值，據(jù)此得到關于實數(shù)的不等式，求得不等式可得出實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（1）當時，.當時，，由，得，解得，此時，；當時，，由，得，解得，此時，；當時，，由由，得，解得，此時，.綜上所述，不等式的解集為；（2），該函數(shù)在處取得最小值，因為，所以，函數(shù)在處取得最大值，由于二次函數(shù)與函數(shù)的圖像恒有公共點，只需，即，因此，實數(shù)的取值范圍是．【題目點撥】本題考查了絕對值不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，著重考查了學生對基礎概念的理解，還考查了函數(shù)的恒成立問題，一般轉化為最值來處理，考查了化歸與轉化思想的應用，屬于中等題．18、見解析【解題分析】

（Ⅰ）設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；（Ⅱ）求出圓的圓心與半徑，判斷圓心與直線的距離與半徑的關系，即可判斷直線l與圓C的位置關系．【題目詳解】解：（Ⅰ）M，N的極坐標分別為（2，1），（），所以M、N的直角坐標分別為：M（2，1），N（1，），P為線段MN的中點（1，），直線OP的平面直角坐標方程y；（Ⅱ）圓C的參數(shù)方程（θ為參數(shù)）．它的直角坐標方程為：（x﹣2）2+（y）2＝4，圓的圓心坐標為（2，），半徑為2，直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，1），（），方程為y（x﹣2）（x﹣2），即x+3y﹣21．圓心到直線的距離為：2，所以，直線l與圓C相交．【題目點撥】本題考查圓的參數(shù)方程，極坐標方程與直角坐標方程的轉化，直線與圓的位置關系，考查計算能力．19、（1）；（2）.【解題分析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，利用零點分段法，將絕對值不等式轉化為若干個不等式組，最后求并集得到原不等式的解集；(2)結合的條件，將函數(shù)解析式化簡，化為分段函數(shù)的形式，求得相關點的坐標，利用面積公式，得到參數(shù)所滿足的不等關系式，從而求得結果.詳解：(1)當時,.不等式等價于或或解得或，即.所以不等式的解集是.(2)由題設可得,所以函數(shù)的圖象與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，.所以三角形的面積為.由題設知,解得.點睛：該題考查的是有關絕對值不等式的問題，一是需要明確采用零點分段法求解絕對值不等式，二是會應用題的條件，尋找參數(shù)所滿足的對應的式子，最后求解即可得結果.20、（1）x+1y-4=2；（1）1x-3y+6=2；（3）y=1x+1．【解題分析】

（1）直線方程的兩點式，求出所在直線的方程；（1）先求BC的中點D坐標為（2,1），由直線方程的截距式求出AD所在直線方程；（3）求出直線BC的斜率，由兩直線垂直的條件求出直線DE的斜率，再由斜截式求出DE的方程【題目詳解】(1)因為直線BC經(jīng)過B(1，1)和C(-1，3)兩點，由兩點式得BC的方程為，即x+1y-4=2．(1)設BC中點D的坐標為(x，y)，則x==2，y==1．BC邊的中線AD過點A(-3，2)，D(2，1)兩點，由截距式得AD所在直線方程為，即1x-3y+6=2．(3)BC的斜率，則BC的垂直平分線DE的斜率k1=1，由斜截式得直線DE的方程為y=1x+1．21、（I），；（II）.【解題分析】

（I）曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出曲線C的普通方程；由直線l的極坐標