2024屆福建省寧德一中數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆福建省寧德一中數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點是雙曲線在第一象限的某點，、為雙曲線的焦點.若在以為直徑的圓上且滿足，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.2．一工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)量（單位：噸）與利潤（單位：萬元）的部分數(shù)據(jù)如表所示：從所得的散點圖分析可知，與線性相關(guān)，且回歸方程為，則（）A． B． C． D．3．已知，若為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的值是()A． B． C． D．4．如圖，已知棱長為1的正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．5．下列說法正確的是（）A．若為真命題，則為真命題B．命題“若，則”的否命題是真命題C．命題“函數(shù)的值域是”的逆否命題是真命題D．命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無解”6．若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．7．5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有（）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種8．已知函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，命題：總存在，有；命題：若函數(shù)在區(qū)間上有，則是的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要9．下列不等式中正確的有()①；②；③A．①③ B．①②③ C．② D．①②10．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時命題成立，那么可推得當(dāng)時命題也成立。現(xiàn)已知當(dāng)n=8時該命題不成立，那么可推得A．當(dāng)n=7時該命題不成立 B．當(dāng)n=7時該命題成立C．當(dāng)n=9時該命題不成立 D．當(dāng)n=9時該命題成立11．設(shè)z=i(2+i)，則=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i12．袋中有大小相同的5個球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機變量，則所有可能取值的個數(shù)是（）A．5 B．9 C．10 D．25二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在存在零點（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則的最小值是__________.14．三棱錐P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC，M是PA的中點，N是AB的中點，當(dāng)二面角P﹣AB﹣C為時，則直線BM與CN所成角的余弦值為______.15．為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量（單位：噸）對價格（單位：千元/噸）的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表：123457.06.53.82.2已知和具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，那么表中的值為__________．16．已知向量.若與共線，則在方向上的投影為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，p：；q：不等式對任意實數(shù)x恒成立.（1）若q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）如果“”為真命題，且“”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值．19．（12分）證明：當(dāng)時，.20．（12分）某校從參加高二年級期末考試的學(xué)生中隨機抽取了名學(xué)生，已知這名學(xué)生的歷史成績均不低于60分（滿分為100分）．現(xiàn)將這名學(xué)生的歷史成績分為四組：，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，其中歷史成績在內(nèi)的有28名學(xué)生，將歷史成績在內(nèi)定義為“優(yōu)秀”，在內(nèi)定義為“良好”．（Ⅰ）求實數(shù)的值及樣本容量；（Ⅱ）根據(jù)歷史成績是否優(yōu)秀，利用分層抽樣的方法從這名學(xué)生中抽取5名，再從這5名學(xué)生中隨機抽取2名，求這2名學(xué)生的歷史成績均優(yōu)秀的概率；（Ⅲ）請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為歷史成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？男生女生合計優(yōu)秀良好20合計60參考公式及數(shù)據(jù)：（其中）.21．（12分）設(shè),函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時,求導(dǎo)函數(shù)的最小值;(2)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的最大值;(3)若函數(shù)存在極大值與極小值，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：根據(jù)題畫圖，可知P為圓與雙曲線的交點，根據(jù)雙曲線定義可知：，所以，又，即，所以，，雙曲線離心率，所以?？键c：雙曲線的綜合應(yīng)用。2、C【解題分析】

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算出和，再將點的坐標代入回歸直線方程可求出實數(shù)的值.【題目詳解】由題意可得，，由于回歸直線過樣本中心點，則有，解得，故選：C.【題目點撥】本題考查利用回歸直線方程求原始數(shù)據(jù)，解題時要充分利用“回歸直線過樣本中心點”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)確定取法，再根據(jù)單調(diào)性進行取舍，進而確定選項.【題目詳解】因為為奇函數(shù)，所以因為，所以因此選B.【題目點撥】本題考查冪函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，考查基本判斷選擇能力.4、D【解題分析】

根據(jù)與平面的關(guān)系，先找到直線與平面的夾角，然后通過勾股定理求得各邊長，即可求得夾角的正弦值?！绢}目詳解】連接、相交于點M，連接EM、AM因為EM⊥AB，EM⊥BC1所以EM⊥平面則∠EAM即為直線與平面所成的角所以所以所以選D【題目點撥】本題考查了空間幾何體線面的夾角關(guān)系，主要是找到直線與平面的夾角，再根據(jù)各長度求正弦值，屬于中檔題。5、C【解題分析】

采用命題的基本判斷法進行判斷，條件能推出結(jié)論為真，推不出為假【題目詳解】A.若為真命題，則中有一個為真命題即可滿足，但推不出為真命題，A錯B.命題“若，則”的否命題是：“若，則”，當(dāng)時，不滿足，B錯C.原命題與逆否命題真假性相同，的取值大于零，所以值域為，C為真命題D.命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無解”，D錯答案選C【題目點撥】四種常見命題需要熟悉基本改寫方式，原命題與逆否命題為真，逆命題與否命題為真，原命題與逆命題或否命題真假性無法判斷，需改寫之后再進行判斷，命題的否定為只否定結(jié)論，全稱改存在，存在改全稱6、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可求得；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得到結(jié)果.【題目詳解】由題意得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠利用復(fù)數(shù)的除法運算求得，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】每個同學(xué)都有2種選擇，根據(jù)乘法原理，不同的報名方法共有種，應(yīng)選D.8、C【解題分析】

利用充分、必要條件的定義及零點存在性定理即可作出判斷.【題目詳解】命題推不出命題q，所以充分性不具備；比如：，區(qū)間為，滿足命題p，但，根據(jù)零點存在性定理可知，命題能推出命題p，所以必要性具備；故選：C【題目點撥】本題考查充分必要條件，考查零點存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

逐一對每個選項進行判斷,得到答案.【題目詳解】①,設(shè)函數(shù),遞減,,即,正確②,設(shè)函數(shù),在遞增,在遞減,,即,正確③,由②知,設(shè)函數(shù),在遞減,在遞增,,即正確答案為B【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性進而求最值來判斷不等式關(guān)系,意在考查學(xué)生的計算能力.10、A【解題分析】

根據(jù)逆否命題和原命題的真假一致性得，當(dāng)時命題不成立，則命題也不成立，所以選A.【題目詳解】根據(jù)逆否命題和原命題的真假一致性得，當(dāng)時命題不成立，則命題也不成立，所以當(dāng)時命題不成立，則命題也不成立，故答案為：A【題目點撥】(1)本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法和逆否命題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)互為逆否關(guān)系的命題同真同假，即原命題與逆否命題的真假性相同，原命題的逆命題和否命題的真假性相同.所以，如果某些命題（特別是含有否定概念的命題）的真假性難以判斷，一般可以判斷它的逆否命題的真假性.11、D【解題分析】

本題根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則先求得，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，寫出．【題目詳解】，所以，選D．【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算及共軛復(fù)數(shù)，容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．理解概念，準確計算，是解答此類問題的基本要求．部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤．12、B【解題分析】號碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9種.考點：離散型隨機變量．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

依題意可得方程，在上存在解，要使取得最小值，則，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對分類討論，分別求出的最小值，即可得解，【題目詳解】解：依題意在存在零點，即方程在存在解，即，在存在解，要使取得最小值，則，令，則，①當(dāng)時，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，即，，所以；②當(dāng)即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，所以，令，則，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以③當(dāng)時，則在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，綜上可得的最小值為故答案為：．【題目點撥】本題考查函數(shù)零點及最值問題，考查分析問題解決問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．14、【解題分析】

先連結(jié)PN，根據(jù)題意，∠PNC為二面角P－AB－C的平面角，得到∠PNC＝，根據(jù)向量的方法，求出兩直線方向向量的夾角，即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：連結(jié)PN，因為N為AB中點，PA＝PB，CA＝CB，所以，，所以，∠PNC為二面角P－AB－C的平面角，所以，∠PNC＝，設(shè)PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，則CN＝PN＝BM＝，，設(shè)直線BM與CN所成角為，，【題目點撥】本題主要考查異面直線所成的角，靈活運用向量法求解即可，屬于?？碱}型.15、5.5【解題分析】將樣本中心代入回歸方程得到m=5.5.故答案為：5.5.16、【解題分析】

利用共線向量的坐標表示求出參數(shù)，再依據(jù)投影的概念求出結(jié)果即可．【題目詳解】∵∴.又∵與共線，∴，∴，∴，∴在方向上的投影為.【題目點撥】本題主要考查共線向量的坐標表示以及向量投影的概念，注意投影是個數(shù)量．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）解不等式即得解；（2）由“”為真，且“”為假知p，q一真假，再分兩種情況分析討論得解.【題目詳解】（1）由“不等式對任意實數(shù)x恒成立”為真得，解得，故實數(shù)m的取值范圍為.（2）由“”為真得m的取值范圍為，由“”為真，且“”為假知p，q一真假，當(dāng)p真q假時，有，此時m無解；當(dāng)p假q真時，有，解得或；綜上所述，m的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查二次不等式的恒成立問題，考查復(fù)合命題真假的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18、(Ⅰ)增區(qū)間為（1，），(-)，減區(qū)間為（-1,1）；(Ⅱ)最小值為，最大值為【解題分析】試題分析：（Ⅰ）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后解和的解集；（Ⅱ）根據(jù)上一問的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的端點值域極值，其中最大值就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值.試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意，由于因為>0,得到x>1,x<-1,故可知在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，而則，故在上是減函數(shù)（Ⅱ）當(dāng)時，在區(qū)間取到最小值為．當(dāng)時，在區(qū)間取到最大值為.考點：導(dǎo)數(shù)的基本運用19、見解析【解題分析】分析：（1）記，則，分x∈與x∈兩類討論，可證得當(dāng)時，，即記，同理可證當(dāng)時，，二者結(jié)合即可證得結(jié)論；詳解：記記，則，當(dāng)x∈時，F(xiàn)′(x)＞0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈時，F(xiàn)′(x)＜0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減．又F(0)＝0，F(xiàn)(1)＞0，所以當(dāng)x∈[0，1]時，F(xiàn)(x)≥0，即sinx≥x.記，則.當(dāng)時，H′(x)≤0，H(x)單調(diào)遞減．所以H(x)≤H(0)＝0，即.綜上，，．點睛：本題考查不等式的證明，突出考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．20、（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)頻率之和為1即可求出a的值，由歷史成績在內(nèi)的有名學(xué)生即可求出的值；（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣具有按比例的性質(zhì)得出良好的有2人，優(yōu)秀有3人，通過列舉法求解概率；（Ⅲ）補充列聯(lián)表，算出，對比表格得出結(jié)論【題目詳解】（Ⅰ）由題可得，解得，又歷史成績在內(nèi)的有名學(xué)生，所以，解得．（Ⅱ）由題可得，這名學(xué)生中歷史成績良好的有名，所以抽取的名學(xué)生中歷史成績良好的有名，歷史成績優(yōu)秀的有名，記歷史成績優(yōu)秀的名學(xué)生為，，，歷史成績良好的名學(xué)生為，，從這名學(xué)生中隨機抽取名，有，，，，，，，，，，共10種情況，其中這名學(xué)生的歷史成績均優(yōu)秀的有，，，共種情況，所以這名學(xué)生的歷史成績均優(yōu)秀的概率為．（Ⅲ）補充完整的列聯(lián)表如下表所示：男生女生合計優(yōu)秀204060良好202040合計4060100則的觀測值，所以沒有的把握認為歷史成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．【題目點撥】本題屬于常規(guī)概率統(tǒng)計問題，屬于每年必考題型，主要涉及知識點有：頻率分布直方圖：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積為相應(yīng)區(qū)間的頻率，所以小正方形的面積之和為1；分層抽樣：按比例；系統(tǒng)抽樣：等距離；列聯(lián)表：會列列聯(lián)表，即判斷兩者是否有關(guān)聯(lián)．21、（1）（2）（3）【解題分析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，求零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律，進而確定導(dǎo)函數(shù)最小值取法，（2）先變量分離化簡不等式，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定其最小值，即得實數(shù)的取值范圍，進而得其最大值;（3）函數(shù)存在極大值與極小值，即存在兩個零點，且在零點的兩側(cè)異號.先確定導(dǎo)函數(shù)不單調(diào)且最小值小于零，即得，再證明時有且僅有兩個零點.詳解：解：（1）當(dāng)時，記則，由得.當(dāng)時，，單調(diào)遞減當(dāng)時，，單調(diào)遞增所以當(dāng)時，所以（2）由得，即因為，所以.記，則記，則因為，所以且不恒為0所以時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以所以在上單調(diào)遞增，因為對