甘肅省會寧縣2024屆數(shù)學高二下期末聯(lián)考試題含解析

甘肅省會寧縣2024屆數(shù)學高二下期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知甲在上班途中要經(jīng)過兩個路口，在第一個路口遇到紅燈的概率為，兩個路口連續(xù)遇到紅燈的概率為，則甲在第一個路口遇到紅燈的條件下，第二個路口遇到紅燈的概率為（）A． B． C． D．2．小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A為“4個人去的景點不相同”，事件B為“小趙獨自去一個景點”，則P(A|B)＝（）A． B．C． D．3．已知直線l、直線m和平面，它們的位置關系同時滿足以下三個條件：①；②；③l與m是互相垂直的異面直線若P是平面上的動點，且到l、m的距離相等，則點P的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線4．已知某產品連續(xù)4個月的廣告費用（千元）與銷售額（萬元），經(jīng)過對這些數(shù)據(jù)的處理，得到如下數(shù)據(jù)信息：①廣告費用和銷售額之間具有較強的線性相關關系；②；③回歸直線方程中的＝0.8（用最小二乘法求得）；那么，廣告費用為8千元時，可預測銷售額約為（）A．4.5萬元 B．4.9萬元 C．6.3萬元 D．6.5萬元5．設雙曲線：的左、右焦點分別為、，點在上，且滿足.若滿足條件的點只在的左支上，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．6．在的展開式中，項的系數(shù)為（）A． B．40 C． D．807．由①安夢怡是高二（1）班的學生，②安夢怡是獨生子女，③高二（1）班的學生都是獨生子女，寫一個“三段論”形式的推理，則大前提，小前提和結論分別為（）A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③①②8．已知O是的兩條對角線的交點．若，其中，則（）A．-2 B．2 C． D．9．已知，，，則它們的大小關系是A． B． C． D．10．復數(shù)的虛部為（）A．2 B． C． D．11．在中，,則（）A． B． C． D．12．參數(shù)方程x=2t，A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項式展開式中的常數(shù)項是______．14．課本中，在形如……的展開式中，我們把）叫做二項式系數(shù)，類似地在…的展開式中，我們把叫做三項式系數(shù)，則……的值為______.15．已知函數(shù)，對任意，都有，則____________16．“”是“”的____條件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要條件”、“充要”中選擇填空）．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某同學在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于同一個常數(shù).①②③（是虛數(shù)單位）（Ⅰ）從三個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)三個式子的結構特征及（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為一個復數(shù)恒等式，并證明你的結論.18．（12分）已知數(shù)列滿足其中.（Ⅰ）寫出數(shù)列的前6項；（Ⅱ）猜想數(shù)列的單調性，并證明你的結論.19．（12分）已知命題函數(shù)是上的奇函數(shù)，命題函數(shù)的定義域和值域都是，其中.（1）若命題為真命題，求實數(shù)的值；（2）若“且”為假命題，“或”為真命題，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”，設橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.（1）求橢圓及其“準圓"的方程；（2）若過點的直線與橢圓交于、兩點，當時，試求直線交“準圓”所得的弦長；（3）射線與橢圓的“準圓”交于點，若過點的直線，與橢圓都只有一個公共點，且與橢圓的“準圓”分別交于，兩點，試問弦是否為”準圓”的直徑?若是，請給出證明：若不是，請說明理由.21．（12分）為了實現(xiàn)綠色發(fā)展，避免能源浪費，某市計劃對居民用電實行階梯收費.階梯電價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用電量為基準定價，具體劃分標準如表：階梯級別第一階梯電量第二階梯電量第三階梯電量月用電量范圍（單位：kW?h）(0,200](200,400](400,+∞]從本市隨機抽取了100戶，統(tǒng)計了今年6月份的用電量，這100戶中用電量為第一階梯的有20戶，第二階梯的有60戶，第三階梯的有20戶.（1）現(xiàn)從這100戶中任意選取2戶，求至少1戶用電量為第二階梯的概率；（2）以這100戶作為樣本估計全市居民的用電情況，從全市隨機抽取3戶，X表示用電量為第二階梯的戶數(shù)，求X的概率分布列和數(shù)學期望.22．（10分）已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）設函數(shù)，當時，求的最小值；（3）設函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：由題意可知，利用條件概率公式可求得的值.詳解：設第一個路口遇到紅燈的事件為，第二個路口遇到紅燈的事件為，則，則，故選C.點睛：本題考查條件概率公式，屬于基礎題.計算條件概率時一定要注意區(qū)分條件概率與獨立事件同時發(fā)生的概率的區(qū)別與聯(lián)系.2、A【解題分析】

這是求小趙獨自去一個景點的前提下，4

個人去的景點不相同的概率，求出相應基本事件的個數(shù)，按照公式計算，即可得出結論．【題目詳解】小趙獨自去一個景點共有4×3×3×3＝108種情況，即n(B)＝108,4個人去的景點不同的情況有種，即n(AB)＝24，.故選：A【題目點撥】本題考查條件概率，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關鍵．3、D【解題分析】

作出直線m在平面α內的射影直線n，假設l與n垂直，建立坐標系，求出P點軌跡即可得出答案．【題目詳解】解：設直線m在平面α的射影為直線n，則l與n相交，不妨設l與n垂直，設直線m與平面α的距離為d，在平面α內，以l，n為x軸，y軸建立平面坐標系，則P到直線l的距離為|y|，P到直線n的距離為|x|，∴P到直線m的距離為，∴|y|，即y2﹣x2＝d2，∴P點軌跡為雙曲線．故選：D．【題目點撥】本題考查空間線面位置關系、軌跡方程，考查點到直線的距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．4、C【解題分析】

由已知可求出，進而可求出，即可得到回歸方程，令，可求出答案.【題目詳解】由題意，，因為，所以，則回歸直線方程為.當時，.故選C.【題目點撥】本題考查了線性回歸方程的求法，考查了計算能力，屬于基礎題.5、C【解題分析】

本題需要分類討論，首先需要討論“在雙曲線的右支上”這種情況，然后討論“在雙曲線的左支上”這種情況，然后根據(jù)題意，即可得出結果。【題目詳解】若在雙曲線的右支上，根據(jù)雙曲線的相關性質可知，此時的最小值為，因為滿足題意的點在雙曲線的左支，所以，即，所以①，若在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的相關性質可知，此時的最小值為，想要滿足題意的點在雙曲線的左支上，則需要滿足，即，所以②由①②得，故選C?！绢}目點撥】本題考查了圓錐曲線的相關性質，主要考查了圓錐曲線中雙曲線的相關性質，考查雙曲線的離心率的取值范圍，考查雙曲線的長軸、短軸以及焦距之間的關系，考查推理能力，是中檔題。6、D【解題分析】

通過展開二項式即得答案.【題目詳解】在的展開式中,的系數(shù)為，故答案為D.【題目點撥】本題主要考查二項式定理，難度很小.7、D【解題分析】

根據(jù)三段論推理的形式“大前提，小前提，結論”，根據(jù)大前提、小前提和結論的關系，即可求解.【題目詳解】由題意，利用三段論的形式可得演繹推理的過程是：大前提：③高二（1）班的學生都是獨生子女；小前提：①安夢怡是高二（1）班的學生；結論：②安夢怡是獨生子女，故選D.【題目點撥】本題主要考查了演繹推理中的三段論推理，其中解答中正確理解三段論推理的形式是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.8、A【解題分析】

由向量的線性運算，可得，即得解.【題目詳解】由于，故所以故選：A【題目點撥】本題考查了平面向量的線性運算，考查了學生數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.9、A【解題分析】由指數(shù)函數(shù)的性質可得，而，因此，即。選A。10、B【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的運算法則，化簡復數(shù)，即可得到復數(shù)的虛部，得到答案．【題目詳解】由題意，復數(shù)，所以復數(shù)的虛部為，故選B．【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)的運算，以及復數(shù)的概念的應用，其中解答中熟記復數(shù)的運算法則是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．11、B【解題分析】

先根據(jù)求得，進而求得，根據(jù)余弦定理求得以及，由此求得.【題目詳解】由于，所以且為銳角，所以.由余弦定理得.故.所以.故選B.【題目點撥】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查余弦定理解三角形，考查向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題.12、D【解題分析】

由x=2t，得t=2x，代入y=2【題目詳解】由題意知x≠0，將t=2x代入y=解得y24-x22=1，因為【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉化，參數(shù)方程化普通方程一般有以下幾種消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。消參時要注意參數(shù)本身的范圍，從而得出相關變量的取值范圍。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

寫出二項式展開式的通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，然后代入通項即可求出該二項式展開式中的常數(shù)項.【題目詳解】二項式展開式的通項為，令，得，因此，該二項式展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.【題目點撥】本題考查二項式展開式中常數(shù)項的求解，一般利用二項展開式通項中的指數(shù)為零來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.14、0【解題分析】

根據(jù)的等式兩邊的項的系數(shù)相同，從而求得要求式子的值.【題目詳解】，其中系數(shù)為……，，而二項式的通項公式，因為2015不是3的倍數(shù)，所以的展開式中沒有項，由代數(shù)式恒成立可得……，故答案為：0.【題目點撥】本題考查二項式定理，考查學生的分析能力和理解能力，關鍵在于構造并分析其展開式，是一道難題.15、－20【解題分析】分析：令，知，，從而可得，進而可得結果.詳解：令，知，，，，，，故答案為.點睛：本題主要考查賦值法求函數(shù)的解析式，令，求出的值，從而求出函數(shù)解析式，是解題的關鍵，屬于中檔題.16、充分不必要【解題分析】

據(jù)題意“”解得，由此可判斷它與“”的關系。【題目詳解】由“”解得由題得“”“”，但“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要條件?！绢}目點撥】本題考查充分條件和必要條件，屬于基礎題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）（II）結論為（且不同時為零），證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）將三個式子化簡答案都為.（II）觀察結構歸納結論為，再利用復數(shù)的計算證明結論.【題目詳解】（I）（II）根據(jù)三個式子的結構特征及（I）的計算結果，可以得到：（且不同時為零）下面進行證明：要證明只需證只需證因為上式成立，所以成立.（或直接利用復數(shù)的乘除運算得出結果）【題目點撥】本題考查了復數(shù)的計算和證明，意在考查學生的歸納能力.18、（Ⅰ），，，，，（Ⅱ）猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列，證明見解析【解題分析】

（I）根據(jù)遞推公式，依次求得的值.（II）由（I）猜想數(shù)列是遞減數(shù)列.用數(shù)學歸納法證得結論成立.【題目詳解】解：（Ⅰ）由；由；由；由；由；（Ⅱ）由（Ⅰ）知猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列.下面用數(shù)學歸納法證明：①當時，已證命題成立；②假設當時命題成立，即.易知，當時，即.也就是說，當時命題也成立.根據(jù)①②可知，猜想對任何正整數(shù)都成立.【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)遞推公式求數(shù)列各項的值，考查數(shù)學歸納法證明數(shù)列的單調性，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義得f(－x)＋f(x)＝0，解得實數(shù)的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調性得轉化為對應一元二次方程有兩個大于1的不相等實根，利用實根分布解得k的取值范圍，由“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，得命題p和q中有且僅有一個為真命題，根據(jù)真假列方程組解得實數(shù)的取值范圍.詳解：（1）若命題p為真命題，則f(－x)＋f(x)＝0，即，化簡得對任意的x∈R成立，所以k＝1．（2）若命題q為真命題，因為在[a，b]上恒成立，所以g(x)在[a，b]上是單調增函數(shù)，又g(x)的定義域和值域都是[a，b]，所以所以a，b是方程的兩個不相等的實根，且1＜a＜b．即方程有兩個大于1的實根且不相等，記h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，故，解得，所以k的取值范圍為．因為“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，所以命題p和q中有且僅有一個為真命題，即p真q假，或p假q真．所以或所以實數(shù)k的取值范圍為．點睛：以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時，首先要對兩個簡單命題進行化簡，然后依據(jù)“p∨q”“p∧q”“非p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不等式(組)求解即可.20、（1）；（2）；（3）是準圓的直徑，具體見解析【解題分析】

（1）根據(jù)所給條件可知，，根據(jù)面積公式可知，最后解方程組求解橢圓方程；（2）設直線為，與橢圓方程聯(lián)立，，表示根與系數(shù)的關系，并且代入的數(shù)量積的坐標表示，求，最后代入直線和圓相交的弦長公式；（3）首先求點的坐標，當直線與橢圓有一個交點時，，得到，可知，可知兩條切線互相垂直，根據(jù)圓的性質可得答案.【題目詳解】（1），，，，準圓.（2），設：，，，，，即，圓心與該直線距離，弦長.（3），整理為：因為直線與圓只有1個交點，整理為：橢圓切線與垂直，即，在準圓上，，也在準圓上，，是準圓的直徑【題目點撥】本題考查了直線與橢圓的位置關系的綜合問題，涉及橢圓中三角形面積的最值的求法，第二問中設而不求的基本方法也使得求解過程變得簡單，在解決圓錐曲線與動直線