江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數(shù)為()A．90 B．60 C．120 D．1102．已知，記，則M與N的大小關(guān)系是()A． B． C． D．不能確定3．過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，為坐標原點，則的面積與的面積之比為A． B． C． D．24．已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則方程的根的個數(shù)為（）A．7 B．5 C．3 D．26．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物），為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某時間段車流量與PM2.5濃度的數(shù)據(jù)如下表：時間周一周二周三周四周五車流量（萬輛）100102108114116濃度（微克）7880848890根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出與的線性回歸方程是（）參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：，；A． B． C． D．7．已知復數(shù)，則（）A．1 B． C． D．28．若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．雙曲線經(jīng)過點，且離心率為3，則它的虛軸長是（）A． B． C．2 D．410．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若角A，C，B成等差數(shù)列，且，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形11．為預測某種產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分的含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8組觀察值．計算得，，，，則y對x的回歸方程是()A．＝11.47＋2.62x B．＝－11.47＋2.62xC．＝2.62＋11.47x D．＝11.47－2.62x12．設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直，則（）A． B． C．-2 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．__________.14．復數(shù)z及其共軛復數(shù)滿足（1+i）z﹣2＝2+3i，其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z＝_____15．將集合中所有的數(shù)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形表:則該數(shù)表中，從小到大第50個數(shù)為__________．16．已知函數(shù)，則______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為是為參數(shù)）,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)判斷直線與曲線的位置關(guān)系；(2)在曲線上求一點,使得它到直線的距離最大,并求出最大距離.18．（12分）已知實數(shù)使得函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；實數(shù)使得函數(shù)在上存在兩個零點，且分別求出條件中的實數(shù)的取值范圍；甲同學認為“是的充分條件”，乙同學認為“是的必要條件”，請判斷兩位同學的說法是否正確，并說明理由.19．（12分）在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是:每場投6個球,至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎;否則不獲獎.已知教師甲投進每個球的概率都是.(Ⅰ)記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望；(Ⅱ)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率.20．（12分）設(shè)函數(shù)）.（1）若直線和函數(shù)的圖象相切，求的值；（2）當時，若存在正實數(shù)，使對任意都有恒成立，求的取值范圍.21．（12分）已知拋物線：，點為直線上任一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，（1）證明，，三點的縱坐標成等差數(shù)列；（2）已知當點坐標為時，，求此時拋物線的方程；（3）是否存在點，使得點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，其中點滿足，若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.22．（10分）(1)已知可逆矩陣的逆矩陣為，求的特征值.(2)變換是逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，對應的變換矩陣是：變換對應用的變換矩陣是，求函數(shù)的圖象依次在，變換的作用下所得曲線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

用所有的選法共有減去沒有任何一名女生入選的組隊方案數(shù)，即得結(jié)果【題目詳解】所有的選法共有種其中沒有任何一名女生入選的組隊方案數(shù)為：故至少有一名女生入選的組隊方案數(shù)為故選【題目點撥】本題主要考的是排列，組合及簡單計數(shù)問題，考查組合的運用，處理“至少有一名”類問題，宜選用間接法，是一道基礎(chǔ)題。2、B【解題分析】

作差并因式分解可得M-N=，由，∈（0，1）可作出判斷．【題目詳解】由題意可得M-N====，∵，b∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（-1）∈（-1，0），∴（b-1）（-1）＞0，∴M＞N

故選B.【題目點撥】本題考查作差法比較式子大小，涉及因式分解，屬基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

設(shè)點位于第一象限，點，并設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得出，由拋物線的定義得出點的坐標，可得出點的縱坐標的值，最后得出的面積與的面積之比為的值.【題目詳解】設(shè)點位于第一象限，點，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得，，由拋物線的定義得，得，，，，可得出，，故選：D.【題目點撥】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的綜合問題，考查韋達定理在直線與拋物線綜合問題中的應用，解題的關(guān)鍵在于利用拋物線的定義以及韋達定理求點的坐標，并將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為高之比來處理，考查運算求解能力，屬于中等題。4、D【解題分析】

可以得出，從而得出c＜a，同樣的方法得出a＜b，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【題目詳解】,,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a>c,,又因為，，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故選D．【題目點撥】考查對數(shù)的運算性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．比較兩數(shù)的大小常見方法有：做差和0比較，做商和1比較，或者構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)果.5、A【解題分析】

令，先求出方程的三個根，，，然后分別作出直線，，與函數(shù)的圖象，得出交點的總數(shù)即為所求結(jié)果.【題目詳解】令，先解方程.（1）當時，則，得；（2）當時，則，即，解得，.如下圖所示：直線，，與函數(shù)的交點個數(shù)為、、，所以，方程的根的個數(shù)為，故選A.【題目點撥】本題考查復合函數(shù)的零點個數(shù)，這類問題首先將函數(shù)分為內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)，求出外層函數(shù)的若干個根，再作出這些直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點總數(shù)即為方程根的個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．6、B【解題分析】

利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫出回歸直線的方程，得到結(jié)果．【題目詳解】由題意，b==0.72，a=84﹣0.72×108=6.24，∴=0.72x+6.24，故選：B．【題目點撥】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.7、C【解題分析】

直接由復數(shù)商的模等于模的商求解．【題目詳解】，

．

故選：C．【題目點撥】本題考查復數(shù)模的求法，復數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題．8、A【解題分析】

令分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究的單調(diào)性和極值，結(jié)合與有三個交點，求得的取值范圍.【題目詳解】方程可化為，令，有，令可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為、，則，，當時，，則若函數(shù)有3個零點，實數(shù)的取值范圍為．故選A.【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.9、A【解題分析】

根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點和離心率，結(jié)合列方程組，解方程組求得的值，進而求得虛軸長.【題目詳解】將點代入雙曲線方程及離心率為得，解得，故虛軸長，故本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.解題過程中要注意：虛軸長是而不是.10、C【解題分析】

由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理可求，即可判斷三角形的形狀．【題目詳解】解：由題意可知，，因為，所以，則，所以，所以，故為等邊三角形．故選：．【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】分析：根據(jù)公式計算≈2.62，≈11.47，即得結(jié)果.詳解：由，直接計算得≈2.62，≈11.47，所以＝2.62x＋11.47.選A.點睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實上，函數(shù)關(guān)系是兩個非隨機變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系.如果線性相關(guān)，則直接根據(jù)用公式求，寫出回歸方程，回歸直線方程恒過點.12、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的求導運算得到導函數(shù)，根據(jù)題干所給的垂直關(guān)系，得到方程，進而求解.【題目詳解】由題意得，，∵在點處的切線與直線垂直，∴，解得，故選：A．【題目點撥】這個題目考查了函數(shù)的求導法則，涉及到導數(shù)的幾何意義的應用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

由即可求得【題目詳解】【題目點撥】利用和或差的極限等于極限的和或差，此題是一道基礎(chǔ)題。14、【解題分析】

設(shè)，代入題目所給已知條件，利用復數(shù)相等的條件列方程組，解方程組求得的值.【題目詳解】設(shè)，則，，于是有解得，即.【題目點撥】本小題主要考查復數(shù)的乘法運算，考查復數(shù)相等的概念，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.15、1040【解題分析】用表示，下表的規(guī)律為：…，則第行的第個數(shù)，，故答案為.【方法點睛】本題歸納推理以及等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.16、.【解題分析】

由題設(shè)條件，先求出，．【題目詳解】由題，可得則即答案為【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值求法，解題時要認真審題，仔細解答，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)相離；(2).【解題分析】

把直線參數(shù)方程化為普通方程，曲線極坐標方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離，然后與半徑比較大小即可作出判斷圓上一點到直線的距離最大為，求出過圓心與直線垂直的直線方程，與圓的方程聯(lián)立確定出此時的坐標即可【題目詳解】(1)易得直線的方程為,曲線的方程為,圓心,半徑,圓心到直線的距離,所以直線與曲線相離.(2)易得點到直線的最大距離為,過圓心且垂直于直線的直線方程為,聯(lián)立,所以,易得點.【題目點撥】本題主要考查了將參數(shù)方程和極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程，然后判斷直線與圓的位置關(guān)系，運用點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離即可作出判斷，屬于基礎(chǔ)題18、（1），（2）甲、乙兩同學的判斷均不正確，理由見解析【解題分析】

（1）真時，先求函數(shù)的導數(shù)，令恒成立，整理得到恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；真時，只需滿足即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，判斷兩個集合是否具有包含關(guān)系，根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷充分必要條件.【題目詳解】解，的定義域為，因為在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以對，恒有整理得，恒成立．于是因此滿足條件的實數(shù)的取值范圍是因為的存在兩個零點且，所以即，解得因此滿足條件的實數(shù)的取值范圍是甲、乙兩同學的判斷均不正確，因為，所以不是的充分條件，因為，所以不是的必要條件．【題目點撥】本題考查了由命題的真假，求參數(shù)取值范圍的問題，本題的一個易錯點是真時，有的同學只寫出，而忽略了的正負決定函數(shù)圖像的開口，第二問考查了當命題是以集合形式給出時，如何判斷充分必要條件，,，若時，是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，當沒有包含關(guān)系時，是的既不充分也不必要條件，當時，是的充要條件.19、(Ⅰ)X的分布列X

0

1

2

3

4

5

6

P

數(shù)學期望；(Ⅱ).【解題分析】

試題分析：(Ⅰ)先定出X的所有可能取值，易知本題是6個獨立重復試驗中成功的次數(shù)的離散概率分布，即為二項分布.由二項分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根據(jù)比賽獲勝的規(guī)定，教師甲前四次投球中至少有兩次投中，后兩次必須投中，即可能的情況有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1種情況有種可能，第2中情況有（或）種可能.將上述三種情況的概率相加即得到教師甲獲勝的概率.試題解析：(Ⅰ)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.依條件可知，X的分布列為：X

0

1

2

3

4

5

6

P

.或因為，所以.即的數(shù)學期望為4.7分(Ⅱ)設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，則答：教師甲在一場比賽中獲獎的概率為.考點：1.二項分布；2.離散型隨機變量的分布列與期望；3.隨機事件的概率.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：（1）利用導數(shù)的意義，設(shè)切點，得斜率，列方程求即可；（2）由（1）得當，；當時，，取絕對值構(gòu)造函數(shù)即可.試題解析：（1）設(shè)切點的坐標為，由，得，所以切線方程為，即，由已知和為同一條直線，所以，令，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，當且僅當時等號成立，所以.（2）①當時，有（1）結(jié)合函數(shù)的圖象知：存在，使得對于任意，都有，則不等式等價，即，設(shè)，由得，由得，若，因為，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以任意，與題意不符，若，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以對任意符合題意，此時取，可得對任意，都有.②當時，有（1）結(jié)合函數(shù)的圖象知，所以對任意都成立，所以等價于，設(shè)，則，由得得，，所以在上單調(diào)遞減，注意到，所以對任意，不符合題設(shè)，總數(shù)所述，的取值范圍為.點睛：不等式的恒成立問題，常用的方法有兩個：一是，分離變量法，將變量和參數(shù)移到不等式的兩邊，要就函數(shù)的圖像，找參數(shù)范圍即可；二是，含參討論法，此法是一般方法，也是高考的熱點問題，需要求導，討論參數(shù)的范圍，結(jié)合單調(diào)性處理.21、(1)證明見解析；(2)；(3)存在一點滿足題意.【解題分析】

(1)設(shè),對求導,則可求出在,處的切