湖南省嘉禾一中、臨武一中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測試題含解析

湖南省嘉禾一中、臨武一中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)拋物線y2=2x的焦點為F，過點M(3,0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C，BF=2，則△BCFA．23 B．34 C．42．從中不放回地依次取2個數(shù)，事件“第一次取到的數(shù)可以被3整除”,“第二次取到的數(shù)可以被3整除”，則()A． B． C． D．3．角的終邊上一點，則（）A． B． C．或 D．或4．將點的直角坐標(biāo)(－2，2)化成極坐標(biāo)得()．A．(4，) B．(－4，) C．(－4，) D．(4，)5．已知回歸直線方程中斜率的估計值為，樣本點的中心，則回歸直線方程為（）A． B．C． D．6．已知雙曲線mx2-yA．y=±24x B．y=±27．已知函數(shù)為內(nèi)的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，記，則間的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．8．某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進(jìn)行義務(wù)巡診，其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種9．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．10．函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．11．已知集合，，則（）A． B． C． D．12．已知則復(fù)數(shù)A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個高為1的正三棱錐的底面正三角形的邊長為6，則此三棱錐的側(cè)面積為______．14．某保險公司新開設(shè)了一項保險業(yè)務(wù).規(guī)定該份保單任一年內(nèi)如果事件發(fā)生，則該公司要賠償元，假若在一年內(nèi)發(fā)生的概率為，為保證公司收益不低于的，公司應(yīng)要求該份保單的顧客繳納的保險金最少為____________元.15．正方體中，異面直線和所成角的大小為________16．__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，，設(shè).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：對任意的,．19．（12分）某校高二理科1班共有50名學(xué)生參加學(xué)業(yè)水平模擬考試，成績（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優(yōu)秀，其中語文成績近似服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖.（1）這50名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的大約各有多少人？（2）如果語文和數(shù)學(xué)兩科成績都優(yōu)秀的共有4人，從語文優(yōu)秀或數(shù)學(xué)優(yōu)秀的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科都優(yōu)秀的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)（1）（2）的數(shù)據(jù)，是否有99%以上的把握認(rèn)為語文成績優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)成績也優(yōu)秀？語文優(yōu)秀語文不優(yōu)秀合計數(shù)學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)不優(yōu)秀合計附：①若，則，；②；③0.10.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯，則活動立即結(jié)束；若三人均猜對，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動．已知每一輪甲猜對歌名的概率是34，乙猜對歌名的概率是23，丙猜對歌名的概率是(I)求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率；(Ⅱ)記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）設(shè)全集為.（Ⅰ）求（）；（Ⅱ）若，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）對任意正整數(shù)n，設(shè)表示n的所有正因數(shù)中最大奇數(shù)與最小奇數(shù)的等差中項，表示數(shù)列的前n項和.（1）求，，，，的值；（2）是否存在常數(shù)s，t，使得對一切且恒成立？若存在，求出s，t的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】∵拋物線方程為y2∴拋物線的焦點F坐標(biāo)為(12,0)如圖，設(shè)A(x1,y1)由拋物線的定義可得BF=x2+將x2=32代入∴點B的坐標(biāo)為(3∴直線AB的方程為y-0-3-0將x=y22代入直線AB的方程整理得y2+(∴x1=2，∴在ΔCAA1中，∴|CB||CA|∴S△BCFS△ACF點睛：與拋物線有關(guān)的問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，特別是與焦點弦有關(guān)的問題更是這樣，“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑．由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．2、C【解題分析】分析：先求，，再根據(jù)得結(jié)果.詳解：因為，所以,選C.點睛：本題考查條件概率，考查基本求解能力.3、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，注意討論的正負(fù)．【題目詳解】的終邊上一點，則，，所以.故應(yīng)選D.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的定義，解題時要注意分類討論，即按參數(shù)的正負(fù)分類．4、A【解題分析】

由條件求得、、的值，可得的值，從而可得極坐標(biāo).【題目詳解】∵點的直角坐標(biāo)∴，，∴可取∴直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為故選A.【題目點撥】本題主要考查把點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法，屬于基礎(chǔ)題．注意運(yùn)用、、(由所在象限確定).5、A【解題分析】

由題意得在線性回歸方程中，然后根據(jù)回歸方程過樣本點的中心得到的值，進(jìn)而可得所求方程．【題目詳解】設(shè)線性回歸方程中，由題意得，∴．又回歸直線過樣本點的中心，∴，∴，∴回歸直線方程為．故選A．【題目點撥】本題考查線性回歸方程的求法，其中回歸直線經(jīng)過樣本點的中心時解題的關(guān)鍵，利用這一性質(zhì)可求回歸方程中的參數(shù)，也可求樣本數(shù)據(jù)中的未知參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】x21m-y2=1,c=1m+1=37、D【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)解得，設(shè)，求導(dǎo)計算單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)性質(zhì)判斷大小得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，令.則為內(nèi)的偶函數(shù)，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減又，故，選D.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，比較大小，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.8、B【解題分析】

根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士，根據(jù)排列組合進(jìn)行計算即可．【題目詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，有2種方法，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士，若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有C3若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.【題目點撥】本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配，屬于常考題型.9、B【解題分析】分析：首先求得A,B，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可.詳解：求解函數(shù)的定義域可得：，由函數(shù)的定義域可得：，結(jié)合交集的定義可知：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查函數(shù)定義域的求解，交集的運(yùn)算法則及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10、C【解題分析】，為偶函數(shù)，則B、D錯誤；又當(dāng)時，，當(dāng)時，得，則則極值點，故選C．點睛：復(fù)雜函數(shù)的圖象選擇問題，首先利用對稱性排除錯誤選項，如本題中得到為偶函數(shù)，排除B、D選項，在A、C選項中，由圖可知，雖然兩個圖象在第一象限都是先增后減，但兩個圖象的極值點位置不同，則我們采取求導(dǎo)來判斷極值點的位置，進(jìn)一步找出正確圖象．11、B【解題分析】

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【題目詳解】因為所以.故選：B【題目點撥】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】分析：利用復(fù)數(shù)的乘法法則化簡復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求解即.詳解：因為，所以，，故選A.點睛：本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法、共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于中檔題．解答復(fù)數(shù)運(yùn)算問題時一定要注意和以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯誤.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18【解題分析】

畫出滿足題意的三棱錐P-ABC圖形，根據(jù)題意，畫出高，利用直角三角形，求出此三棱錐的側(cè)面上的高，即可求出棱錐的側(cè)面積．【題目詳解】由題意畫出圖形，如圖所示：因為三棱錐P-ABC是正三棱錐，頂點在底面上的射影D是底面的中心，在三角形PDF中：因為三角形PDF三邊長PD=1，DF=3所以PF=2，則這個棱錐的側(cè)面積S=3×故答案為：18?！绢}目點撥】本題考查棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積和棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查數(shù)形結(jié)合思想，還考查計算能力，是基礎(chǔ)題，棱錐的側(cè)面積是每一個側(cè)面的面積之和。14、【解題分析】

用表示收益額，設(shè)顧客繳納保險費(fèi)為元，則的取值為和，由題意可計算出的期望．【題目詳解】設(shè)顧客繳納的保險金為元，用表示收益額，設(shè)顧客繳納保險費(fèi)為元，則的取值為和，，則，，的最小值為．故答案為：．【題目點撥】本題考查利用離散型隨機(jī)變量的期望解決實際問題，解題關(guān)鍵是正確理解題意與期望的意義．屬于基礎(chǔ)題．15、.【解題分析】分析：連接，三角形是直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到線面垂直進(jìn)而得到線線垂直.詳解：連接，三角形是直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，而于點，故垂直于面，進(jìn)而得到.故兩者夾角為.故答案為.點睛：這個題目考查的是異面直線的夾角的求法；常見方法有：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面角的問題；或者證明線面垂直進(jìn)而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的情況.16、1【解題分析】

由即可求得【題目詳解】【題目點撥】利用和或差的極限等于極限的和或差，此題是一道基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）【解題分析】

（1）結(jié)合已知條件，運(yùn)用等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明（2）先求出數(shù)列的通項公式，然后再求出數(shù)列的通項公式【題目詳解】（1）證明：因為，所以，所以，因為，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列，首項是2，公比是2.（2）解：由（1）可知，數(shù)列是等比數(shù)列，首項，公比，所以.因為，所以，則.【題目點撥】本題考查了證明數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列通項公式，結(jié)合定義即可求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)18、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見解析【解題分析】

（1）函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得到，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2），不等式等價于恒成立，設(shè)，求函數(shù)的最小值得到，得到證明.【題目詳解】（1），定義域為，，令；令.∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為（2），即證恒成立令，即證恒成立，，∴，使成立，即則當(dāng)時，，當(dāng)時，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴又因，即∴又因，即得證.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.19、（1）語文成績優(yōu)秀的同學(xué)有人，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的同學(xué)有人.（2）分布列見解析，；（3）沒有以上的把握認(rèn)為語文成績優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)成績也優(yōu)秀.【解題分析】

（1）語文成績服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的原則可得語文成績優(yōu)秀的概型及人數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖可以計算數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率及人數(shù)；（2）語文和數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有4人，則可算出單科優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)，從中隨機(jī)抽取3人，則3人中兩科都優(yōu)秀的可能為0、1、2、3四種情況，服從超幾何分布，利用概率公式分別求出概率，即可寫出分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）先完成列聯(lián)表，利用公式求出卡方的值比較參考數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；【題目詳解】解：（1）因為語文成績服從正態(tài)分布所以語文成績優(yōu)秀的概率數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率所以語文成績優(yōu)秀的同學(xué)有人，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的同學(xué)有人.（2）語文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有4人，單科優(yōu)秀的有10人，的所有可能取值為0、1、2、3，，，，所以的分布列為：（3）列聯(lián)表：語文優(yōu)秀語文不優(yōu)秀合計數(shù)學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)不優(yōu)秀合計所以沒有以上的把握認(rèn)為語文成績優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)成績也優(yōu)秀.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布的概率計算，頻率分布直方圖的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的計算，獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用，屬于中檔題.20、（Ⅰ）34（Ⅱ）ξ的分別列為Eξ=0×1【解題分析】試題分析：（1）分別將甲、乙、丙第i次猜對歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則A（2）利用相互獨(dú)立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式即可得出．試題解析：分別將甲、乙、丙第i次猜對歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則（Ⅰ）該小組未能進(jìn)入第二輪的概率P=P(=P(A（Ⅱ）乙猜對歌曲次數(shù)ξ的可能取值為0,1,2,3，P(ξ=0)=P(AP(ξ=1)=P(A=P(=1P(ξ=2)=P(A==1P(ξ=3)=P(A∴ξ的分別列為Eξ=0×1點睛：本題考查了相互獨(dú)立事件的概率計算公式、對立事件