2024屆江蘇省常州市前黃中學溧陽中學數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆江蘇省常州市前黃中學溧陽中學數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標為（）A． B． C．和 D．2．設，則“”是“”的A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)是偶函數(shù)（且）的導函數(shù)，，當時，，則使不等式成立的x的取值范圍是（）A． B．C． D．5．在平面內，點x0,y0到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=Ax0A．3 B．6 C．6776．如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，給出下列命題：①-2是函數(shù)的極值點；②是函數(shù)的極值點；③在處取得極大值；④函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.則正確命題的序號是A．①③ B．②④ C．②③ D．①④7．正項等比數(shù)列中，存在兩項使得，且，則的最小值是()A． B．2 C． D．8．復數(shù)的模是()A．3 B．4 C．5 D．79．甲、乙、丙三位同學獨立的解決同一個間題，已知三位同學能夠正確解決這個問題的概率分別為、、，則有人能夠解決這個問題的概率為（）A． B． C． D．10．已知的三邊滿足條件，則（）A． B． C． D．11．“a>1”是“函數(shù)f(x)=ax-sinx是增函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．直線l：與圓C：交于A，B兩點，則當弦AB最短時直線l的方程為A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)若關于的方程恰有4個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是_____．14．已知直線，，若與平行，則實數(shù)的值為______．15．名同學排成一排照相，其中同學甲站在中間，則不同的排法種數(shù)為________（用數(shù)字作答）.16．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標準方程為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020（1）分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）已知曲線的極坐標方程為，直線，直線．以極點為原點，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標系．（1）求直線的直角坐標方程以及曲線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于兩點，直線與曲線交于兩點，求的周長．19．（12分）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．（1）證明：在上為增函數(shù)．（2）證明：．20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)的圖象與直線相切，求實數(shù)的值；（2）設函數(shù)在區(qū)間內有兩個極值點.（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.22．（10分）國內某知名大學有男生14111人，女生11111人，該校體育學院想了解本校學生的運動狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學生中抽取121人，統(tǒng)計他們平均每天運動的時間，如下表：（平均每天運動的時間單位：小時，該校學生平均每天運動的時間范圍是[0,3]）.男生平均每天運動時間分布情況：女生平均每天運動時間分布情況：（1）請根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運動的時間（結果精確到1.1）；（2）若規(guī)定平均每天運動的時間不少于2小時的學生為“運動達人”，低于2小時的學生為“非運動達人”.①請根據(jù)樣本估算該校“運動達人”的數(shù)量；②請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過1.15的前提下認為“是否為‘運動達人’與性別有關？”參考公式：k2=n參考數(shù)據(jù)：P(1．111.151.1251.1111.1151.111k2.7163.8415.1246.6357.87911.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

求導，令，故或，經檢驗可得點的坐標.【題目詳解】因，令，故或，所以或，經檢驗，點，均不在直線上，故選C．【題目點撥】本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，屬于基礎題．2、B【解題分析】

根據(jù)絕對值不等式和三次不等式的解法得到解集，根據(jù)小范圍可推大范圍，大范圍不能推小范圍得到結果.【題目詳解】解得到，解，得到，由則一定有；反之,則不一定有；故“”是“”的充分不必要條件.故答案為：B.【題目點撥】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．3、C【解題分析】試題分析：由題意得，，所以，當時，的最小值為，故選C.考點：向量的運算及模的概念.4、D【解題分析】

構造函數(shù)，利用導數(shù)得到，在是增函數(shù)，再根據(jù)為偶函數(shù)，根據(jù)，解得的解集．【題目詳解】解：令，，時，，時，，在上是減函數(shù)，是偶函數(shù)（2），當，（2），即，當時，（2），即，是偶函數(shù)，當，，故不等式的解集是，故選：．【題目點撥】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調性，考查了構造函數(shù)及數(shù)形結合的思想．解決本題的關鍵是能夠想到通過構造函數(shù)解決，屬于中檔題．5、B【解題分析】

類比得到在空間，點x0,y【題目詳解】類比得到在空間，點x0,y0，所以點2,1,2到平面x+y+2z-1=0的距離為d=2+1+4-1故選：B【題目點撥】本題主要考查類比推理，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、D【解題分析】分析：由條件利用導函數(shù)的圖象特征，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論．詳解：根據(jù)導函數(shù)y=f′（x）的圖象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，且f′（﹣2）=0，故函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2）上為減函數(shù)，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上為增函數(shù)．故﹣2是函數(shù)y=f（x）的極小值點，故①正確；故1不是函數(shù)y=f（x）的極值點，故②不正確；根據(jù)函數(shù)-1的兩側均為單調遞增函數(shù)，故-1不是極值點.根據(jù)y=f（x）=在區(qū)間（﹣2，2）上的導數(shù)大于或等于零，故f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上單調遞增，故④正確，故選：D.點睛：本題主要考查命題真假的判斷，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，屬于中檔題．導函數(shù)的正負代表了原函數(shù)的單調性，極值點即導函數(shù)的零點，但是必須是變號零點，即在零點兩側正負相反；極值即將極值點代入原函數(shù)取得的函數(shù)值，注意分清楚這些概念.7、A【解題分析】試題分析：由得解得，再由得，所以，所以.考點：數(shù)列與基本不等式.【思路點晴】本題主要考查等比數(shù)列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解決等比數(shù)列的首項和公比，也即求出等比數(shù)列的基本元，在求解過程中，先對具體的數(shù)值條件進行化簡，可求出，由此化簡第一個條件，可得到；接下來第二步是基本不等式常用的處理技巧，先乘以一個常數(shù)，再除以這個常數(shù)，構造基本不等式結構來求.8、C【解題分析】

直接利用復數(shù)的模的定義求得的值．【題目詳解】|，故選：C．【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的模的定義和求法，屬于基礎題．9、B【解題分析】試題分析：此題沒有被解答的概率為，故能夠將此題解答出的概率為．故選D．考點：相互獨立事件的概率乘法公式．點評：本題考查相互獨立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、對立事件的概率公式；注意正難則反的原則，屬于中檔題．10、D【解題分析】

由題意首先求得的值，然后確定的大小即可.【題目詳解】由可得：，則，據(jù)此可得.本題選擇D選項.【題目點撥】本題主要考查余弦定理及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.11、A【解題分析】

先由函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，轉化為f'【題目詳解】當函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，則則a≥cos因此，“a>1”是“函數(shù)fx=ax-sin【題目點撥】本題考查充分必要條件的判斷，涉及參數(shù)的取值范圍，一般要由兩取值范圍的包含關系來判斷，具體如下：（1）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；（2）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件；（3）A=B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件；（4）A?B，則則“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要條件。12、A【解題分析】

先求出直線經過的定點，再求出弦AB最短時直線l的方程.【題目詳解】由題得，所以直線l過定點P.當CP⊥l時，弦AB最短.由題得,所以.所以直線l的方程為.故選：A【題目點撥】本題主要考查直線過定點問題，考查直線方程的求法，考查直線和圓的位置關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求得的零點，由此判斷出方程恰有2個不同的實數(shù)解，結合圖像求得的取值范圍.【題目詳解】有兩個零點，畫出圖像如下圖所示，依題意恰有4個不同的實數(shù)解，則方程恰有2個不同的實數(shù)解，由圖可知，故的取值范圍為．故答案為：【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)圖像以及方程零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.14、【解題分析】

根據(jù)兩直線平行，列出有關的等式和不等式，即可求出實數(shù)的值.【題目詳解】由于與平行，則，即，解得.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，解題時要熟悉兩直線平行的等價條件，并根據(jù)條件列式求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、【解題分析】

根據(jù)題意，不用管甲，其余人全排列即可，根據(jù)排列數(shù)的定義可得出結果.【題目詳解】根據(jù)題意，甲在中間位置固定了，不用管，其它名同學全排列即可，所以排法種數(shù)共有種.故答案為：.【題目點撥】本題是排列問題，有限制條件的要先安排，最后安排沒有條件要求的即可，屬于一般基礎題．16、【解題分析】

設橢圓的方程為，由面積公式以及離心率公式，求出，，即可得到答案?！绢}目詳解】設橢圓C的方程為，橢圓C的面積為，則,又，解得，.則C的方程為【題目點撥】本題考查橢圓及其標準方程，注意運用離心率公式和，，的關系，考查學生基本的運算能力，屬于基礎題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）能有的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.【解題分析】

（1）從題中所給的列聯(lián)表中讀出相關的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算出相應的頻率，即估計得出的概率值；（2）利用公式求得觀測值與臨界值比較，得到能有的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.【題目詳解】（1）由題中表格可知，50名男顧客對商場服務滿意的有40人，所以男顧客對商場服務滿意率估計為,50名女顧客對商場滿意的有30人，所以女顧客對商場服務滿意率估計為,（2）由列聯(lián)表可知，所以能有的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.【題目點撥】該題考查的是有關概率與統(tǒng)計的知識，涉及到的知識點有利用頻率來估計概率，利用列聯(lián)表計算的值，獨立性檢驗，屬于簡單題目.18、（1），；；（2）.【解題分析】

（1）直接利用轉換關系式，把參數(shù)方程直角坐標方程和極坐標方程之間進行轉換．（2）利用（1）的結論，建立方程組，進一步利用余弦定理求出結果．【題目詳解】（1）解：直線，所以：直線的直角坐標方程為，直線．所以：直線的直角坐標方程為曲線的直角坐標方程為，所以：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）解：聯(lián)立，得到，同理，又，所以根據(jù)余弦定理可得，所以周長．【題目點撥】本題考查的知識要點：參數(shù)方程直角坐標方程和極坐標方程之間的轉換，方程組的應用和余弦定理的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．19、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）求導函數(shù)，利用曲線在，（1）處的切線方程，可得（1），（1），由此可求，的值，再由單調性的性質即可得證；（2）運用函數(shù)的零點存在定理可得存在，，可得，可得，即，再由單調性可得，再由對勾函數(shù)的單調性可得所求結論．【題目詳解】（1）由，得，所以，，解得，．因此，設，，所以為增函數(shù)．（2），，故存在，使得，即，即.進而當時，；當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，則．令，，則，所以在上單調遞減，所以，故．【題目點撥】本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，解題的關鍵是構造函數(shù)，確定函數(shù)的單調區(qū)間，求出函數(shù)的最值，屬于中檔題．20、（1）.（2）（?。唬áⅲ窘忸}分析】

求導并設出切點，建立方程組，解出即可；

（?。┣髮У?，令，則函數(shù)在上有兩個零點，，由此建立不等式組即可求解；

（ⅱ）由根與系數(shù)的關系可得，，且，故，通過換元令，可得，令，由導數(shù)研究其最值即可．【題目詳解】（1）由得，所以切點為，代入，即，得.（2），，（ⅰ）由題意知方程在內有兩個不等實根，可得，解得，故實數(shù)的取值范圍為.（ⅱ）因為恒成立，所以恒成立，由（?。┲?，(，)，當，，所以，則在區(qū)間上為單調減函數(shù)，故，，令，由得，記，因為，所以在上為減函數(shù)，所以在上的取值集合為.因為恒成立，所以，故實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的綜合