2024屆西南大學附中數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆西南大學附中數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．袋中裝有6個紅球和4個白球，不放回的依次摸出兩球，在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率是A． B． C． D．2．完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會用第二種方法，從這9個人中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有（）A．5種 B．4種 C．9種 D．20種3．已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“⊥”是“⊥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．定義在上的函數(shù)滿足下列兩個條件：（1）對任意的恒有成立；（2）當時，；記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．在一次期中考試中，數(shù)學不及格的人數(shù)占，語文不及格占，兩門都不及格占，若一名學生語文及格，則該生數(shù)學不及格的概率為（）A． B． C． D．6．一張儲蓄卡的密碼共有位數(shù)字，每位數(shù)字都可以是中的任意一個.某人在銀行自動取款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，任意按最后一位數(shù)字，則不超過次就按對的概率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．對變量進行回歸分析時，依據(jù)得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是（）A． B．C． D．9．設方程的兩個根為，則（）A． B． C． D．10．若，則直線被圓所截得的弦長為（）A． B． C． D．11．（）A． B． C．2 D．112．將5名學生分到三個宿舍，每個宿舍至少1人至多2人，其中學生甲不到宿舍的不同分法有（）A．18種 B．36種 C．48種 D．60種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若對一切實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．14．某超市國慶大酬賓，購物滿100元可參加一次游戲抽獎活動，游戲抽獎規(guī)則如下：顧客將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器正上方的入口處，小球自由落下過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得獎金4元，落入B袋得獎金8元，已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左向右下落的概率都為.已知李女士當天在該超市購物消費128元，按照活動要求，李女士的活動獎金期望值為_____元.15．設函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的導函數(shù)為，則_________.16．已知f(x)是奇函數(shù)，且當x∈(0,2)時，f(x)＝lnx－ax()，當x∈(－2,0)時，f(x)的最小值是1，則a＝__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于兩點，，求.18．（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且在兩種坐標系中取相同的長度單位.曲線的極坐標方程是.（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設曲線與軸正半軸及軸正半軸交于點，在第一象限內(nèi)曲線上任取一點，求四邊形面積的最大值.19．（12分）已知橢圓的離心率為，焦距為。（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，過左焦點的直線與橢圓交于、兩點，求的面積的最大值。20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；（2）若直線與圓相切，求的值.21．（12分）已知數(shù)列{an}和b（1）求an與b（2）記數(shù)列{anbn}的前n22．（10分）如圖,在多面體中,平面,四邊形為正方形,四邊形為梯形,且,,,.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)線段上是否存在點,使得直線平面？若存在,求的值：若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

通過條件概率相關公式即可計算得到答案.【題目詳解】設“第一次摸到紅球”為事件A，“第二次摸到紅球”為事件B，而，，故，故選D.【題目點撥】本題主要考查條件概率的相關計算，難度不大.2、C【解題分析】

分成兩類方法相加.【題目詳解】會用第一種方法的有5個人，選1個人完成這項工作有5種選擇；會用第二種方法的有4個人，選1個人完成這項工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇,故選C.【題目點撥】本題考查分類加法計數(shù)原理.3、B【解題分析】當α⊥β時，平面α內(nèi)的直線m不一定和平面β垂直，但當直線m垂直于平面β時，根據(jù)面面垂直的判定定理，知兩個平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．4、C【解題分析】

根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因為f（x）＝k（x﹣1）的函數(shù)圖象是過定點（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可【題目詳解】因為對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，且當x∈（1，2]時，f（x）＝2﹣x；f（x）＝2（2）=4﹣x，x∈（2，4]，f（x）＝4（2）=8﹣x，x∈（4，8]，…所以f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．（b取1，2，4…）由題意得f（x）＝k（x﹣1）的函數(shù)圖象是過定點（1，0）的直線，如圖所示只需過（1，0）的直線與線段AB相交即可（可以與B點重合但不能與A點重合）kPA2，kPB，所以可得k的范圍為故選：C．【題目點撥】解決此類問題的關鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學的一個重要數(shù)學思想，是解決數(shù)學問題的必備的解題工具．5、A【解題分析】

記“一名學生語文及格”為事件A，“該生數(shù)學不及格”為事件B，所求即為，根據(jù)條件概率的計算公式，和題設數(shù)據(jù)，即得解.【題目詳解】記“一名學生語文及格”為事件A，“該生數(shù)學不及格”為事件B，所求即為：故選：A【題目點撥】本題考查了條件概率的計算，考查了學生概念理解，實際應用，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.6、B【解題分析】

利用互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式直接求解，即可求得答案.【題目詳解】設第次按對密碼為事件第一次按對第一次按錯，第二次按對第一次按錯，第二次按錯，第三次按對事件，事件，事件是互斥，任意按最后一位數(shù)字，則不超過次就按對的概率由概率的加法公式得：故選：C．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7、C【解題分析】

對函數(shù)求導得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點，然后對參數(shù)分類討論，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值；在時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.①當時，對任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，，則對任意的，.此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；②當時，解方程，得.當時，，當時，，此時，.（i）當時，即當時，則對任意的，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；（ii）當時，即當時，，當時，，由零點存在定理可知，存在和，使得，即，且當和時，，此時，；當時，，此時，.所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，由題意可知，，，可得，又，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，則，.因此，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.8、A【解題分析】

根據(jù)殘差的特點，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．即可得到答案．【題目詳解】用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．故選：．【題目點撥】本題考查了殘差分析，了解殘差分析的原理及特點是解決問題的關鍵，本題屬基礎題．9、D【解題分析】

畫出方程左右兩邊所對應的函數(shù)圖像，結(jié)合圖像可知答案?！绢}目詳解】畫出函數(shù)與的圖像，如圖結(jié)合圖像容易知道這兩個函數(shù)的圖像有兩個交點，交點的橫坐標即為方程的兩個根，結(jié)合圖像可知，，根據(jù)是減函數(shù)可得，所以有圖像可知所以即，則，所以，而所以故選D【題目點撥】本題考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關鍵是畫出圖像，利用圖像解答，屬于一般題。10、B【解題分析】因為，所以圓心到直線的距離，所以，應選答案B。11、A【解題分析】

根據(jù)定積分表示直線與曲線圍成的圖像面積，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為定積分表示直線與曲線圍成的圖像面積，又表示圓的一半，其中；因此定積分表示圓的，其中，故.故選A【題目點撥】本題主要考查定積分的幾何意義，熟記定積分幾何意義即可，屬于基礎題型.12、D【解題分析】試題分析：當甲一人住一個寢室時有：種，當甲和另一人住一起時有：，所以有種.考點：排列組合.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

當時，不等式顯然成立；當時，不等式恒成立等價于恒成立，運用基本不等式可得的最小值，從而可得的范圍．【題目詳解】當時，不等式顯然成立；當時，不等式恒等價于恒成立，由，當且僅當時，上式取得等號，即有最小值，所以，故答案為【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題、分類討論思想和分離參數(shù)的應用以及基本不等式求最值，屬于中檔題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).14、5【解題分析】

先記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，分別求出其對應概率，再由題意得到抽取活動獎金的可能取值，進而可求出結(jié)果.【題目詳解】記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，由題意可得，所以.因為李女士當天在該超市購物消費128元，按照活動要求，李女士可參加一次抽獎，抽取活動獎金的可能取值為，所以期望為.故答案為5【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的期望，熟記概念即可，屬于?？碱}型.15、；【解題分析】

對函數(shù)求導，然后把代入導函數(shù)中，即可求出的值.【題目詳解】，.【題目點撥】本題考查了導數(shù)的有關運算，正確掌握導數(shù)的運算法則和常見函數(shù)的導數(shù)是解題的關鍵.16、1【解題分析】由題意，得x∈(0,2)時，f(x)＝lnx－ax(a＞)有最大值－1，f′(x)＝－a，由f′(x)＝0得x＝∈(0,2)，且x∈(0，)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，x∈(，2)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，則f(x)max＝f()＝ln－1＝－1，解得a＝1.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）x+y-1=0,；（2）.【解題分析】

（1）由直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可得到普通方程；根據(jù)極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化公式，可將化為直角坐標方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，再設兩點對應的參數(shù)為，根據(jù)韋達定理，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）直線的普通方程為由，得，則，故曲線的直角坐標方程為.（2）將,代人，得，設兩點對應的參數(shù)為，則，故.【題目點撥】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，以及極坐標方程與直角坐標方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）因為在橢圓上且在第一象限，故可設，從而所求面積可用的三角函數(shù)來表示，求出該函數(shù)的最大值即可.詳解：（Ⅰ）由題可變形為，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，設，.于是由，由得，于是，∴四邊形最大值.點睛：直角坐標方程轉(zhuǎn)為極坐標方程的關鍵是利用公式，而極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程的關鍵是利用公式，后者也可以把極坐標方程變形盡量產(chǎn)生以便轉(zhuǎn)化.另一方面，當動點在圓錐曲線運動變化時，我們可用一個參數(shù)來表示動點坐標，從而利用一元函數(shù)求與動點有關的最值問題.19、(1)(2)【解題分析】

（1）由，，又由，解得，即可求得橢圓的方程；（2）設出過焦點的直線方程代入橢圓方程，利用一元二次方程跟與系數(shù)關系得出交點縱坐標的關系，繼而表示△OAB的面積，利用基本不等式求最值．【題目詳解】（1）由，，又由，解得，，所以橢圓的方程為．（2）設過的直線方程為，代入橢圓的方程，化簡得，顯然．設，，，.從而.所以.令，則，當，即時取等號.所以面積的最大值為.【題目點撥】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．20、（1）,；（2）．【解題分析】

（1）根據(jù)參數(shù)方程化普通方程、極坐標方程化直角坐標方程的方法可直接得到結(jié)果；（2）利用直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，從而構(gòu)造方程求得.【題目詳解】（1）由題意